Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
|
|
|
- Ákos Kovács
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok összege -mal nagobb mint a felírt páratlan számok összege Mettől meddig írtuk fel a számokat? Megoldás: n -től n -ig n n n darab pozitív egész szám van Két esetet kell megkülönböztetnünk: n páros vag páratlan a) Legen először n páros azaz n k ahol Ekkor a papírlapra felírt számok a következők: k N () k k k 4k 4k közülük a párosak: k k 4k Ezek a számok számtani sorozatot alkotnak a sorozat differenciája tagjainak száma k A számtani sorozat összegképlete szerint ekkor a páros számok összege: azaz egszerűsítés után k 4k S k S k k () S k k Az ()-ben szereplő számok közül a páratlan számok: k k 4k pont Ez is differenciájú számtani sorozat melben a tagok száma k íg az összegük:
2 vagis () A feladat feltétele szerint ebből pedig () és () alapján azaz S k 4k k S k S S k (4) k 67 Mivel n k ezért a papírlapra től ig írtuk fel a számokat b) A második esetben n páratlan azaz n k ahol Ekkor a papírlapra írt számok: k N (5) k k k 4k 4k Az (5)-ben szereplő számok közül páros: k k 4k ez a számsorozat eg differenciájú számtani sorozat k darab tagja A számtani sorozat összegképlete szerint (5)-ben a páros számok összege: ebből S k 4k k (6) S k k S k k Az (5)-ben felsorolt számok közül páratlanok: k k 4k ez is k darab differenciájú számtani sorozatot alkotó szám íg összegük: azaz S k 4k k 4 (7) S k k 4
3 A feltétel miatt ebből (6) és (7) behelettesítésével S k k 4 S S 4 (8) k (8)-ból az adódik hog ha n páratlan akkor a papírlapra 45-től 4 85-ig írtuk fel a számokat Összesen: pont Megoldás: A papírlapra felírt számok: ez n db szám n n n n a) ha n páratlan akkor a felírt páratlan számok: n n n ez n darab páratlan szám A felírt páros számok: n n n n ez n darab páros szám Az összegek különbsége: n n n n n n Az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonsága alapján átrendezve: n n n n n n Minden szögletes zárójelben a különbség és a zárójelek száma n íg A feltétel miatt ezért n
4 n n 45 Eszerint 45 -től 85 -ig írtuk a lapra a számokat b) ha n páros akkor a felírt páros számok: n n n n ez darab páros szám A felírt páratlan számok: n n n n n ez darab páratlan szám Az összegek különbsége: n n n n n n n Az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonsága alapján átrendezve: n n n n n n n Minden szögletes zárójelben a különbség és a zárójelek száma n íg A feltétel miatt ezért n n n n azaz n 4 Eszerint a lapra 4-től ig írtuk a számokat Összesen pont 4
5 Oldja meg a valós számpárok halmazán a és 58 egenletekből álló egenletrendszert! Megoldás: a aritmus értelmezése miatt az első egenletből illetve azaz () ebből pedig az következik f függvén szigorúan monoton növekvő tulajdonsága miatt () Ugancsak a aritmus értelmezése miatt az első egenletből és amelből () innen pedig a g (4) adódik függvén szigorúan monoton csökkenő tulajdonsága miatt ()-et és ()-t összevetve kapjuk az -re vonatkozó feltételt: 5
6 (5) valamint ()-ból és (4)-ből az -ra: (6) Az egenlet megoldásához átalakítjuk az eges tagokat: vagis (7) (7)-ből az következik hog ebből pedig ismételt átalakítással illetve Ezért az egenletrendszer első egenlete átírható a alakba (8) Alkalmazzuk (8) bal oldalára az azonos alapú aritmikus kifejezések különbségére vonatkozó azonosságot: pont amiből 6
7 (9) (9)-ből a aritmusfüggvén kölcsönösen egértelmű tulajdonsága miatt következik hog amit tovább alakítva: Ismét hivatkozva a aritmusfüggvén kölcsönösen egértelmű tulajdonságára () Az egenletrendszer második egenletének bal oldalán mindkét kifejezés hatvánkitevője megegezik () bal oldalával ezért ebből az egenletből azaz vagis 58 7 () Az eponenciális függvén kölcsönösen egértelmű tulajdonságából következik hog () mindkét oldalán megegeznek a hatvánkitevők: ebből ekvivalens átalakításokkal az () másodfokú egenletet kapjuk 7
8 () gökei 5 5 és 5 4 Mivel ezért (5) alapján nem megoldása a feladatnak Uganakkor tehát megfelel az (5) feltételnek és mivel átalakításaink a megadott halmazon ekvivalensek voltak ezért megoldása a feladatnak A () összefüggésből íg azaz 5 amelből a nevező négzetgöktelenítésével és egszerűsítéssel () Az előzőekben láttuk hog 5 íg teljesül a (6) feltétel is vagis 5 ezért a feladat megoldása 5 Átalakításaink a feltételeknek megfelelő számhalmazokon ekvivalensek voltak azt kaptuk hog az egenletrendszer mindkét egenletét egetlen valós számpár elégíti ki mégpedig 5 5 és Összesen: pont 8
9 Az ABC háromszög egik szöge -os Bizonítsa be hog a belső szögfelezőknek a szemben levő oldalakkal való metszéspontjai derékszögű háromszöget határoznak meg! Megoldás: az ABC háromszög -os szöge legen az ACB szög A BC félegenesen a C ponton túl felvettünk eg P pontot ábra A PCA szög az ACB kiegészítő szöge ezért 8 6 A PCF a CFB háromszögnek külső szöge Ezt a szöget a CA egenes felezi hiszen CF az ABC háromszögben belső szögfelező és ezért az előzőek szerint pedig Mivel a CFB háromszög ACF 6 6 PCF külső szögét a CA egenes felezi ezért a CA egenes áthalad a CFB háromszög CF oldalához hozzáírt kör középpontján A CFB háromszög CF oldalához hozzáírt kör középpontján áthalad a háromszög B pontjából induló belső szögfelezője is Ezért a CA külső szögfelező és a B pontból induló belső szögfelező E metszéspontja a CFB háromszög CF oldalához hozzáírt kör középpontja pont pont 9
10 Az E pont illeszkedik a CFB háromszög F csúcsához tartozó külső szögfelezőre is Ez pedig azt jelenti hog az FE egenes felezi a CFA szöget Hasonlóképpen mutatható meg hog az AFC háromszög CF oldalához hozzáírt körének középpontja a D pont és ezért az FD egenes felezi a Mivel és ezért BFC CFA 8 CFB szöget BFC CFA DFE DFC CFE 8 DFE 9 tehát a belső szögfelezőknek a szemben levő oldalakkal való metszéspontjai valóban derékszögű háromszöget alkotnak melnek derékszögű csúcsa az AB oldalon van Megoldás: Az ABC háromszög -os szöge legen az ACB szög A ábrán párhuzamost húztunk az A és B pontokon keresztül az ACB szög Összesen: szögfelezőjével a CF egenessel A párhuzamosok a BC és AC egeneseket rendre az A és B pontokban metszik pont pont ábra
11 A CBB és a és CA A háromszögek két-két szöge CBB ennek váltószöge vagis BCF 6 mert továbbá Hasonlóan CBB 6 B CB 8 6 ACBB és a A CA és 6 CAA 6 CA A tehát szabálos háromszögek amelekben az ábra jelöléseivel és A BB CA B C CB a A A AC b BAB szöget a CF és B B párhuzamos egenesekkel metszettük el ezért felírhatjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét (a ábra jelöléseivel): ahonnan () CF a b a b a b CF a b A párhuzamos szelők tételének felírásával ebből () () és () összevetésével () AF c b a b b c AF a b CF a AF c Az ABC háromszögben a belső szögfelező tétele miatt
12 (4) () és (4) egüttesen azt jelentik hog CE a AE c CF CE AF AE ebből pedig a belső szögfelező tételének megfordítását alkalmazva az következik hog a CFA háromszögben az FE egenes felezi a Hasonlóan: az ABA szöget a CF és felírhatjuk a párhuzamos szelők tételét: ahonnan (5) () és (5) összefüggésekből (6) következik BF c CFA szöget A A párhuzamos egenesekkel metszettük el ezért a a b a c BF a b CF b BF c Az ABC háromszögben a belső szögfelező tételéből azt kapjuk hog (7) (6) és (7) szerint (8) CD b BD c CF CD BF BD A belső szögfelező tételének megfordításából következik hog a CFB háromszögben az FD egenes felezi a CFB szöget Azt kaptuk hog az FE egenes felezi a szöget íg és mivel CFA szöget az FD egenes felezi a CFB DFE DFC EFC BFC CFA DFE BFC CFA 8
13 ezért 8 DFE 9 vagis a belső szögfelezőknek a szemben levő oldalakkal való metszéspontjai valóban derékszögű háromszöget alkotnak ahol a derékszög csúcsa az F pontban van Összesen: pont megoldás: a megoldás ábráját és jelöléseit használjuk Azt fogjuk bizonítani azt hog CF CE CF CD és AF AE BF BD ezekből a CFA és CFB háromszögekben a belső szögfelező tételének megfordításával azt kapjuk hog az FE egenes felezi a CFA szöget és az FD egenes felezi a CFB szöget Felírjuk az ABC háromszög AB c oldalára és ACB szögére a koszinusztételt: c a b a bcos amelből cos miatt () c a b a b következik Felírhatjuk az ACB szögfelezője által az AB oldalon létrehozott AF és c AF BF szakaszokra a belső szögfelező tételét amel szerint: ebből rendezés után () következik AF c AF b a b c AF és a b BF a c a b
14 Hasonlóképpen kapjuk a CD szakaszokra hog: () végül az hog: BAC szögfelezője által a BC oldalból lemetszett BD és a c a b BD és CD b c b c ABC szögfelezője által a CA oldalból lemetszett CE és AE szakaszokra (4) a b CE és a c b c AE pont a c Felhasználunk eg a belső szögfelező háromszög belsejébe eső szakaszának négzetére vonatkozó nevezetes összefüggést (a Geometriai Feladatgűjtemén I kötetének 56 feladata) amel szerint: a szögfelező négzete egenlő a közrefogó oldalak szorzatának és azon két szakasz szorzatának a különbségével amelekre a szögfelező a szemközti oldalt osztja Ebből az adódik hog (5) CF a b BF AF () és (5) összevetésével CF a c b c a b a b a b ebből a műveletek elvégzésével és rendezéssel illetve CF a b c a b c a b a b (6) CF a b c a b c a b a b A CF CE egenlőség pontosan akkor teljesül ha AF AE CE CF AF AE amelből () és (4) szerint a műveletek elvégzésével és egszerűsítéssel (7) adódik CF a b a b 4
15 CF CE A egenlőség tehát pontosan akkor igaz ha (6) és (7) egszerre teljesül AF AE vagis ha (8) a b a b c a b c a b a b a b igaz (8) -ból egszerűsítéssel a műveletek elvégzésével és rendezéssel azt kapjuk hog c a b a b Ez éppen a koszinusztételből kapott () összefüggés amel nilvánvalóan igaz Ezzel beláttuk hog szöget CF CE valóban teljesül ezért az FE egenes felezi a CFA AF AE Hasonlóképpen: a CF CD egenlőség pontosan akkor teljesül ha BF BD CD CF BF BD ez () és () alapján egszerű átalakításokkal können belátható hog éppen a (7) egenlőségre vezet CF CD Eszerint is pontosan akkor igaz amikor (6) és (7) egszerre igaz vagis BF BD amikor (8) teljesül ezt pedig az előzőekben már bizonítottuk Ezzel igazoltuk hog az FD egenes felezi a CFB szöget Bizonításunk szerint az FE és FD egenesek rendre felezik a CFA és CFB szögeket és mivel BFC AFC 8 ezért BFC AFC DFE DFC EFC 9 vagis a belső szögfelezőknek a szemben levő oldalakkal való metszéspontjai valóban derékszögű háromszöget alkotnak Összesen: pont 5
Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
Matematika szintfelmérő szeptember
Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt
4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja
Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot
EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK
Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok
Az 1. forduló feladatainak megoldása
Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:
a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont
1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza
Kidolgozott feladatok a gyökvonás témakörhöz (10.A osztály)
1. Számítsuk ki a következő szorzatok értékét! (a) 3 3 3 (b) 7 3 7 3 1 9. Számítsuk ki a következő hánadosokat! (a) (b) 1 0 1 0 3. Döntsük el, melik szám a nagobb! (a) ( 3) vag ( ) 3 (b) Mivel tudjuk,
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály
Nagvárad, 07. február 3 6.. feladat: Két játékos a következő játékot játssza: Az,,3,...,07 véges számsorozatból váltakozva kiválasztanak eg-eg számot, és azt törlik a sorozatból. Bármelikük látja, hog
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot
13. Trigonometria II.
Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális
1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!
Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás
11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.
osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z
A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)
Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan
5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze!
1 1. Rendezd a következő polinomokat a bennük lévő változó növekedő hatvánkitevői szerint! a) 2 + + 2 b) 2 + + 2 + 6 2. Melek egnemű algebrai kifejezések? a) a 2 b; 2ab; a 2 b; 2a b; 1,a 2 b b) 2 ; 2 ;
9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
1.1. Halmazelméleti alapfogalmak
. Halmazok, relációk, függvének.. Halmazelméleti alapfogalmak... A halmaz fogalma A halmazt a halmazelmélet alapfogalmának tekintjük és ezért nem definiáljuk. Szokás azt mondani, hog a halmaz különböző
8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
1. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3..-/-0-000 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 05 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. A 2014-et felírtuk három természetes szám összegeként úgy, hogy ha az első számot elosztjuk
Inverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
Függvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója
SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva
Teljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
1. Lineáris leképezések
Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály
. feladat: Szupercsiga egy függőleges falon mászik felfelé. Első nap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második napon 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik napon 6 cm-t mászik,
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100
1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév Kezdők III. kategória I. forduló
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév Kezdők I II. kategória II. forduló Kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy kört
Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két
352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
Láthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5
D1. Egy pozitív egész számról az alábbi 7 állítást tették: I. A szám kisebb, mint 23. II. A szám kisebb, mint 25. III. A szám kisebb, mint 27. IV. A szám kisebb, mint 29. V. A szám páros. VI. A szám hárommal
Kvadratikus alakok gyakorlás.
Kvadratikus alakok gakorlás Kúpszeletek: Adott eg kvadratikus alak a következő formában: ax 2 + 2bx + c 2 + k 1 x + k 2 + d = 0, a, b, c, k 1, k 2, d R (1) Ezt felírhatjuk a x T A x + K x + d = 0 alakban,
A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?
! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig
, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
Okaási Hivaal A 015/016 anévi Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny dönő forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javíási-érékelési úmuaó 1 Ado három egymásól és nulláól különböző számjegy, melyekből
Megoldások 11. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 016. március 1115. Megoldások 11. osztály 1. feladat Egy háromszög három oldalának mér száma, a, b, c ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
XXIII. Vályi Gyula Emlékverseny május 13. V. osztály
XXIII. Vályi Gyula Emlékverseny Marosvásárhely 207. május 3. V. osztály. Sári néni a piacon 00 db háromféle tojást vásárolt 00 RON értékben. Tudva azt, hogy a tyúktojás ára 50 bani, a libatojás 5 RON és
Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény
Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!
Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.
XXIV NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, 05 április 8- XII évfolyam A szabályos hatoldalú csonka gúla alapélei és ( a b ) A csonka gúla oldalfelülete megegyezik az alaplapok területének összegével
a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
FELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész
Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )
10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Megoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
3. A megoldóképletből a gyökök: x 1 = 7 és x 2 = Egy óra 30, így a mutatók szöge: 150º. 3 pont. Az éves kamat: 6,5%-os. Összesen: 2 pont.
. 3650 =,065 0000 Az éves kamat: 6,5%-os I.. D C b A a B AC = a + b BD = b a 3. A megoldóképletből a gyökök: x = 7 és x = 5. Ellenőrzés 4. Egy óra 30, így a mutatók szöge: 50º. írásbeli vizsga 05 3 / 007.
Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
A TERMÉSZETES SZÁMOK
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.