1. Lineáris transzformáció

Átírás

1 Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható v =α u + + α n u n alakban Ekkor azt mondjuk a B bázisban a v vektor koordinátái: α Jelben: v B = α α n α n Az egszerűség kedvéért dolgozzunk most a síkon vagis R -en Legen tehát adott eg F : R R lineáris transzformáció és szintén adott eg bázisa az R -nek B := {u, u } Cél: Meghatározni az F mátrixát a B bázisban Vagis keresünk eg olan -es M mátrixot, amelre a következő teljesül: Minden v R vektorra F (v) B = M v B () Uganez szavakban: keresünk eg olan M mátrixot amellel megszorozva eg tetszőleges v vektornak a B bázisban felírt koordinátáiból álló v B vektort (() jobb oldala) megkapjuk ezen v vektor F lineáris transzformációval vett F (v) képének a B bázisban vett koordinátáiból alkotott F (v) B vektort (() bal oldala) Ezt az M mátrixot hívjuk az F lineáris transzformáció mátrixának a B bázisban

2 tétel Az F : R R lineáris transzformáció mátrixa a B = {u, u } bázisban az a -es M mátrix, melnek első oszlopa: F (u ) B, második oszlopa F (u ) B Jelben: M = F (u ) B, F (u ) B () Uganez szavakban: Az M mátrixot, úg kapjuk, hog megkeressük F (u ) vektornak a B bázisban vett koordinátáiból álló F (u ) B vektort Ez lesz az M első oszlopa Ezután megkeressük F (u ) vektornak a B bázisban vett koordinátáiból álló F (u ) B vektort Ez lesz az M második oszlopa Bizonítás Jelöljük az M = F (u ) B, F (u ) B mátrix elemeit m m M = m m m m Ez azt jelenti, hog F (u ) B = és F (u ) B = Vagis m m F (u ) = m u + m u és F (u ) = m u + m u () Legen v R eg tetszőleges vektor Jelöljük α, α -vel a v koordinátáit α a B bázisban Vagis v B = Ami azt jelenti, hog α v = α u + α u Mivel F eg lineáris transzformáció kapjuk, hog: Behelettesítve a () képletet F (v) = α F (u ) + α F (u ) F (v) = α (m u + m u }{{} ) + α (m u + m u ) }{{} F (u ) F (u ) = (m α + m α ) u + (m α + m α ) u Ez pedig pont azt jelenti, hog m α F (v) B = + m α m α + m α m m = m m }{{} M α α = M α α

3 példa Határozzuk meg a síkon az = x egenesre vonatkozó tükrözés mátrixát a B =, bázisban }{{}}{{} u u Megoldás: A természetes bázisban az = x egenesre tükrözés azt jelenti, hog fel kell cseréli a koordinátákat Vagis a természetes bázisban az F (u ) és F (u ) vektorok: F ( ) = és F ( ) = Ezután kifejezzük ezen vektorokat a B bázisban Ehhez eg az előző előadáson tanult formulát alkalmazzuk a v = F (u ) majd a v = F (u ) vektorokra Ezen formula szerint: Eg v R n vektor koordinátáit a B = {u,, u n } bázisban a következő formula adja: v B = u,, u n v T Vagis felírjuk a P = u, u = mátrixot és képezzük ennek inverzét: P = Ezután az F (u ) vektornak a B bázisbeli koordináta vektorát F (u ) B -t az F (u ) vektornak a T természetes bázisbeli F (u ) T = koordináta vektorából úg kapjuk, hog: 5 F (u ) B = P F (u ) T = = Hasonlóan F (u ) B = P F (u ) T = = 8 5

4 Tehát az F lineáris transzformáció mátrixa a B bázisban: 5 8 M = F (u ) B, F (u ) B = 5 Feladatok Írjuk fel a térben az x = síkra való tükrözés mátrixát! (E: Van kidolgozott megoldás) Írja fel az x + z = síkra való vetítés mátrixát! (E: van rá kidolgozott megoldás) { } x + z = Írjuk fel az egenesre való vetítés mátrixát! = ) 4 Írjuk fel az x = egenesre való tükrözés mátrixát a síkban Mi az (5, ) pont tükörképe? (E:, (, 5)) 5 Írjuk fel annak a lineáris transzformációnak a mátrixát, amel eg térbeli pontot az -tengel körül 6 -al elforgat, majd az x koordináta síkra vetíti (tükrözi) (E:, 6 Határozzuk meg a következő mátrix sajátértékét és saját vektorait: A = (E: i,, és i, ) + i i ) (E: 4

5 { 7 Adottak a B = 4, } és a B = { 4 4, 5 } Tudjuk, hog a v vektor koordinátái a B bázisban: 9 (a) v B = (b) v B = Határozzuk meg mind két esetben a v vektor koordinátáit a B bázisban (E: (a) v B = 7 6 Megoldások 9 8, (b) v B = ) Az = x sík tartalmazza a z tengelt, és z tengelre merőleges egenesei 45 fokot zárnak be az és x tengelekkel Felrajzolva kiderül, hog a rá való tükrözés az eges egségvektorokkal a következőt teszi:,, A transzformáció mátrixa az eredménvektorokból alkotott oszlopokból áll: E mátrix négzete az egségmátrix, determinánsa Ezek a tulajdonságok általában is jellemzőek minden tükrözésre ) Az x + z = azaz z = x sík tartalmazza az tengelt, és az -ra merőleges egenesei szintén 45 fokot zárnak be az x és z tengelekkel A síkra többféleképp lehet vetíteni, mi most meghatározzuk a merőleges vetítés mátrixát A transzformáció a következőt műveli az egségvektorokkal:, 5,

6 Íg a transzformáció mátrixa előáll a három eredménvektorból mint oszlopokból: Mátrixunk négzete megegezik önmagával, és determinánsa nulla, inverze nem létezik Ez általánosan jellemző tulajdonsága a merőleges vetítéseknek, vag másnéven ortogonális projekcióknak Az inverz nem létezése szemléletesen is érthető, hiszen a vetületből nilván nem lehet rekonstruálni, hog mi az, amit vetítettünk (Mint ahog az úthengerelt békából sem lehet visszaállítani az élő példánt) ) A ) feladathoz hasonló transzformáció mátrixát kell felírnunk, az egetlen különbség, hog az = síkban fekvő egenesre való vetítés lenullázza az koordinátát Ezért ennek a vetítésnek a hatása (ha az egenesre való merőleges vetítést tekintjük): A keresett mátrix:,, Ez is tisztességes merőleges vetítésként viselkedik, vagis négzete önmaga, determinánsa nulla, íg nem is invertálható 5) Először meghatározzuk az tengel körüli 6 o -os forgatás mátrixát A forgatás helbenhagja az tengel pontjait, és megforgat mindenkit az x z síkban:, Ezért ez a transzformáció megfelel az, O = 6

7 mátrixnak E mátrix determinánsa, inverze megegezik a transzponáltjával: O O T = O T O = I Ezek általános jellemzői a forgatásokat leíró ún ortogonális forgatásmátrixoknak Az eddig használt módszerrel az x síkra való vetítés mátrixa Az a mátrix, amelik először forgat, aztán vetít az x síkra e kettő szorzatából állítható elő: = Az x síkra való tükrözést írja le a mátrix (Lévén tisztességes tükrözés, ennek determinánsa is -, négzete az egségmátrix) Az a transzformáció, amelik először forgat, majd tükröz, a következő mátrixszal írható le: = Figeljük meg, hog mindkét mátrixszorzásnál fontos volt a mátrixok sorrendje: nem uganazt kapjuk, ha először forgatunk és aztán vetítünk, vag ha először vetítünk és azután forgatunk Szintén más lesz az eredmén, ha először forgatunk és azután tükrözünk, vag ha fordítva járunk el Gram-Schmidt ortogonalizációs eljárás és SVD Konstruáljunk eg ortonormált bázisát annak az R 4 -beli S lineáris altérnek, melet az x + x + x + x 4 = egenlet határoz meg (E: 7

8 végtelen sok megoldás van Választ eg bázisát S-nek (választ független vektort S-ből, úg hog valamilen módon lerögzít koordinátát és az egenletből kiszámítja a negediket) és erre alkalmazza a Gram-Schmidt eljárást) Határozzuk meg a következő mátrixok szinguláris érték felbontását! 4 6 A =, B = E: 4 A = B = Kvadratikus alakok 8 Kúpszeletek: Adott eg kvadratikus alak a következő formában: ax + bx + c + k x + k + d =, a, b, c, k, k, d R (4) Ezt felírhatjuk a x T A x + K x + d = alakban, ahol a b x x + x k }{{} b c k +d = (5) }{{} }{{}}{{} x T K }{{} A x x I lépés: Meghatározzuk az A mátrixnak a λ, λ sajátértékeit és a hozzájuk tartozó egség hosszú u, u sajátvektorokat úg választjuk, hog hog a Q := u, u mátrixra: det(q) = x II lépés: Jelöljük az x := vektornak a B = {u, u } bázisbeli x B x koordinátái vektorát x = -el Ekkor mint tanultuk x x = = x B = Q x (6) 8

9 Vagis x Q x = Q = x = x (7) III lépés: Legen λ D := λ, és K := K Q Ekkor az első fokú rész: K x = K (Q x ) = (K Q) x = K x Használva, hog x T A x = (x ) T D x és K x = K x : = x T A x + K x + d = (x ) T D x + K x + d Tehát λ (x ) + λ ( ) + k x + k + d =, (8) ahol K = k k = k k Q IV lépés: Ekkor Q eg forgatás mátrixa a természetes bázisban Az x Q x lineáris transzformáció az x tengel pozitív felét az u vektor (origóból felmérve), félegenesébe, míg az tengel pozitív felét az u vektor (origóból felmérve), félegenesébe forgatja Az u egenese az új x, koordinátarendszer x tengele és az u egenese az új x, koordinátarendszer tengele V lépés: Az új változók tehát: x = q x + q = q x + q, ahol q q Q = q q VI lépés: Az új x koordináta rendszerben teljes négzetté alakítunk Ez az x koordináta rendszer eltolásaként előálló x rendszert eredménezi amiben felírhatjuk a kúpszeletünket 9

10 x + + x 6 = ( 5 Megoldás: A = 5 ( Példa ), λ = 6, u = ( ), tehát az új változók x = x + ), λ = 4, u =, = x + Ezekkel az új változókkal 6(x ) 4( ) 6 =, átrendezés után (x ) ( ) 4 =, tehát eg +6 fokkal elforgatott hiperboláról van szó

11 ábra x x + x = ( Megoldás: A =, u = ( ), λ = 4, u = ( ), λ = ), tehát az új változók x = x, = x + A lineáris részre pedig K = ( ; ), az új változóknak megfelelő vektor pedig K = KQ = ( ), azaz a képlet az új változókkal

12 4(x ) =, átrendezve = (x ), tehát eg - fokkal elforgatott parabola volt megadva ábra

13 5x x 4 x = ( ) 5, λ 5 = 8, u = Megoldás: A = ( ) ( ), λ =, u =, tehát az új változók x = x +, = x + A lineáris részre K = ( 4 ; 8 ), az új változóknak megfelelő vektor pedig K = KQ = ( ; 4) Íg kapjuk, hog az új változókkal felírt képlet 8(x ) + ( ) x = Ezt most teljes négzetté alakítjuk: 8(x ) + ( ) + 6 =, ezért bevezetjük a még újabb változókat: x = x =, amikkel felírva a képletet kapjuk, hog (x ) + ( ) =, tehát eg ellipszisről 4 beszélünk

14 ábra A feladat megoldása 4 9x + 6 x + + ( + )x + ( ) + 6 = ( ) 9 Megoldás: A =, λ =, u = ( ), tehát az új változók x = ( ), λ =, u = x +, = x + A li- neáris részre K = ( + ; ), az új változóknak megfelelő vektor pedig K = KQ = (4; 4) Íg kapjuk, hog az új változókkal felírt képlet (x ) + 4x = Ezt most teljes négzetté alakítjuk: (x + ) 4( ) =, ezért bevezetjük a még újabb 4

15 változókat: x = x + =, amikkel felírva a képletet kapjuk, hog = (x ), tehát eg parabola volt megadva 4 ábra A 4 feladat megoldása 5 Ekkor A = x + x = (9) A sajátértékek és a hozzájuk tartozó saját- 5

16 vektorok mátrixba rendezve: λ =, λ = és Q := u u = Tehát az új / / / / változókkal: Innen x = x + = x + (x ) + ( ) = (x ) + ( ) ( ) = Vagis a kvadratikus alak ellipszist határoz meg, melnek hosszabb féltengele az u egenesén hosszú, míg a rövidebb féltengele az u egenesén hosszú 5 ábra Az 5 feladat megoldása 6 4x x + 5 }{{} kvadratikus rész 6 5x 6 }{{} első fokú rész = ()

17 Először a kvadratikus részben eltüntetjük az x alakú tagot új változókra való áttéréssel Ehhez a kvadratikus részt x x A alakban írjuk fel, ahol A = 4 5 A sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok mátrixba rendezve: λ = 9, λ = és Q := u u = Tehát az új x = 9 x 5 9 változókkal ()-ben az első fokú rész: = 5 9 x + 9 4x x + 5 = 9(x ) () 5x 6 = K x, ahol K = 5 6 Amint tanultuk ekkor kiszámoljuk: K = K Q = = 9 Ahonnan 5x 6 = K x x = K = x 9 () 7

18 Ezt ()-al összetéve kapjuk, hog a () egenlet az x rendszerben: 9(x ) 9 = vagis = 9 (x ) 6 ábra A 6 feladat megoldása 7 x 8x }{{} kvadratikus rész x 64 }{{} első fokú rész = () Először a kvadratikus részben eltüntetjük az x alakú tagot új változókra való áttéréssel Ehhez a kvadratikus részt x x A alakban írjuk fel, ahol 4 A = 4 A sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok mátrixba rendezve: λ =, λ = 4 és Q := u u =

19 Használva, hog x = Q T x, az új x = 7 x = 4 7 x + 7 változókkal () egenlet kvadratikus része: ()-ben az első fokú rész: x 8x = (x ) + 4( ) (4) x 64 = K x, ahol K = 64 Amint tanultuk ekkor kiszámoljuk: K = K Q = = Ahonnan x 64 = K x x = K = 86 7 x (5) Innen és (4)-ből adódik, hog a () egenlet az új koordinátákkal: (x ) + 4( ) 86 7 x = (6) Az x -ös és -ös tagokat csoportosítjuk: 4 4 {}}{{}}{ (x ) 86 x + 4( ) 56 + = (7) 7 7 }{{}}{{} ( ( x + 7 ) 7 ) 9 ( ( ) 49 7 )

20 Mind az teljes négzetté alakítva kapjuk, hog (x ) + 4( ) = 8, ahol x = x + 7 és = Tehát ebben a legújabb x koordináta rendszerben a () egenlet: (x ) ( ) 9 ( ) ( 9 ) = 7 ábra A 7 feladat megoldása 8 x + 6x 4x = (8)

21 Először a kvadratikus részben eltüntetjük az x alakú tagot új változókra való áttéréssel Ehhez a kvadratikus részt x x A alakban írjuk fel, ahol A = A sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok mátrixba rendezve: λ =, λ = és Q := u u = Használva, hog x = Q T x, az új x = x = x + változókkal (8) egenlet kvadratikus része: x + 6x = (x ) + ( ) (9) (8)-ben az első fokú rész: ahol 4x + 4 = K K = 4 4 Amint tanultuk ekkor kiszámoljuk: K = K Q = 4 4 x, = 6 8 Ahonnan 4x + 4 = K x x = K = 6 x 8 ()

22 Innen és (9)-ből adódik, hog a (8) egenlet az új koordinátákkal: (x ) + ( ) 6 x = () Az x -ös és -ös tagokat csoportosítjuk: 9 7 {}}{{}}{ (x ) 6 x + ( ) 8 +7 = }{{}}{{} (x 9 ) 8 Teljes négzetté alakítás után: ( 7 ) 49 (x ) + ( ) =, ahol x = x 9 = 7 Tehát a (8) egenlet az x koordinátákkal: (x ) + ( ) 5 = Ez tehát eg ellipszis aminek az x koordináta tengelen a féltengel hossza és az koordináta tengelen a féltengel hossza 5 4 Felületi integrál, Gauss-divergencia tétel Legen H = {(x,, z) : x + 9 és z 5} tömör henger Legen A a H henger palastja kifelé mutató normálissal iránítva: A = { (x,, z) : x + = 9 és z 5 } Legen B a henger felülete (tehát a palást és az alsó és felső körlemez egütt) szintén kifelé mutató normálissal Legen F (x,, z) = (x,, z)

23 8 ábra A 8 feladat megoldása (a) Határozzuk meg az FdA =? felületmenti integrált! A (b) Határozzuk meg az FdA =? felületmenti integrált a Gauss divergencia tétel segítségével! B Megoldás (a) Az A felület eg paraméterezése: r(α, z) = ( cos α, sin α, z), α, π, z 5 Az F lokalizálása az A-ra: F(r(α, z)) = i j k (6 cos α, 6 sin α, z) Továbbá: r α r z = sin α cos α = ( cos α, sin α, ) Tehát F(r(α, z)) r α r z = (6 cos α, 6 sin α, z) ( cos α, sin α, ) = 8(cos α+sin α) 8 Tehát FdA = 5 π F(r(α, z)) (r α r z )dαdz = 5 π 8dαdz = 8π A z= α= z= α=

24 (b) Nilván div(f) 6 Tehát Gauss divergencia tételből FdA = div(f)dxddz 6dxddz = 6 térfogat(h) = 6 ( π) = 45π B H H Legen A az z = 6 x felületnek az x sík feletti része a lefelé mutató normálissal iránítva és legen G(x,, z) = (, x, z) Kérdés GdA =?(E: 8π) A 4