Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

Átírás

1 Szinguláris értékek Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

2 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 2 / 28

3 Szinguláris érték Szinguláris vektorok D A pozitív σ 1 σ 2 σ r > 0 számok az r-rangú valós (komplex) A mátrix szinguláris értékei, ha van olyan {v 1,..., v r } ONB-a a sortérnek (konjugáltjának) és {u 1,..., u r } ONB-a az oszloptérnek, hogy Av i = σ i u i, i = 1,..., r. A v i vektorokat jobb, az u i vektorokat bal szinguláris vektoroknak nevezzük. M u i = 1 (i = 1, 2,..., r) Av i = σ i. Lehetne így: k = min(m, n), és σ r+1 = σ r+2 = = σ k = 0. P {v 1, v 2 } = {( 4, 3), ( 3, 4)}, {u 1, u 2 } = {( 5, ), ( [ ] [ 5/13 3 /5 [ ] [ ] 4/ /5 = / /5 σ 1 = 10, σ 2 = 5. 12/13 ], [ 4/ /13 4, 5 )} ] = 5 4/5 [ 12 /13 5/13 ], Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 3 / 28

4 Szinguláris érték SVD J Jelölések σ σ Σ 1 = diag(σ 1,..., σ r ) = U 1 = {u 1,..., u r } V 1 = {v 1,..., v r } σ r Av i = σu i AV 1 = U 1 Σ 1 σ [ ] [ ] 0 σ A v1 v 2... v r = u1 u 2... u r {v 1,..., v r }-b l {u 1,..., u r }-b l ONB: V 2 = [ v r+1... v n ] U 2 = [ u r+1... u m ] σ r Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 4 / 28

5 Szinguláris érték SVD R-ben V 2 oszlopvektorai S (C-ben S-re) r < i n esetén Av i = 0. AV = [ ] Av 1... Av r Av r+1... Av n = [ σ 1 u 1... σ r u r 0... ] 0 σ σ = [ ] u 1... u r u r+1... u m σ r = UΣ, azaz A m n V n n = U m m Σ m n, blokkmátrix alakban [ ] [ ] [ ] Σ A V1 V 2 = 1 O U1 U 2. O O Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 5 / 28

6 Szinguláris érték SVD D Szinguláris érték szerinti felbontás, vagy szinguláris felbontás: A = UΣV H Redukált szinguláris felbontás: A = U 1 Σ 1 V H 1 Szinguláris érték szerinti diadikus felbontás vagy a szinguláris felbontás diadikus alakja A = σ 1 u 1 v T 1 + σ 2 u 2 v T σ r u r v T r. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 6 / 28

7 Szinguláris érték SVD = = = 6 1/3 2 /3 2/3 2 /3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 1/3 2 /3 2 /3 1/3 2/3 2/ [ /3 2 /3 1/3 2/3 1/3 2 /3 1/3 2/3 2/3 [ ] [ ] /3 2 /3 1/ /3 1/3 2 /3 ] [ 2 3 ] /3 4 /3 2/3 4 /3 2 /3 4/3 = 8 /3 8/3 4 /3 + 2/3 1/3 2 /3. 8/3 8 /3 4/3 4/3 2/3 4 /3 Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 7 / 28

8 Szinguláris érték Az SVD meghatározása M Ötlet: A H A = (UΣV H ) H UΣV H = VΣ H U H UΣV H = VΣ H ΣV H Ez A H A spektrálfelbontása: V ortogonális (unitér), Σ H Σ diagonális (σ i 0) A H A sajátértékei épp a szinguláris értékek négyzetei, ui. Σ H Σ = diag(σ 2 1, σ2 2,..., σ2 r, 0,..., 0). SVD kiszámítása: 1 meghatározzuk A T A sajátértékeit (λ i ) és sajátvektorait (x i ), 2 a sajátértékek gyökei a szinguláris értékek (σ i = λ i ), 3 a jobb szinguláris vektorok a sajátvektorok (v i = x i / x i ), 4 bal szinguláris vektorok: mivel Av i = σ i u i, ezért u i = Av i /σ i, 4 alternatíva: a bal szinguláris vektorok megegyeznek az AA T sajátvektoraival, 5 a szinguláris vektorokból fölírható V 1 és U 1, a redukált szinguláris felbontás és a diadikus alak, 6 a V-hez ki kell egészíteni a {v 1,..., v r } vektorokat ONB-sá (hasonlóképp U-hoz) Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 8 / 28

9 Szinguláris érték Szinguláris érték szerinti felbontás létezése T A szinguláris értékek létezése és egyértelm sége: Minden r-rangú komplex A mátrixnak létezik r szinguláris értéke. Ezek megegyeznek A H A (illetve az AA H ) pozitív sajátértékeinek négyzetgyökeivel. A szinguláris értékek monoton csökken sorozata egyértelm. B A H A önadjungált: (A H A) H = A H (A H ) H = A H A minden sajátértéke valós, így ortogonálisan diagonalizálható, A H A pozitív szemidenit, így minden sajátértéke nemnegatív, ui. x H A H Ax = (Ax) H (Ax) = Ax 2 0. r(a H A) = r(a) = r, így (λ 1 λ 2 λ n rendezés után), λ i > 0, ha 1 i r, és λ i = 0, ha r < i n σ i = λ i > 0, ha 1 i r A H A sajátértékei egyértelm ek, ezért A szinguláris értékei is azok A H A és AA H 0-tól különböz sajátértékei megegyeznek Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 9 / 28

10 Szinguláris érték Szinguláris felbontás geometriai interpretációja P SVD hatása egységkörön 2-rangú 2 2-es mátrixszal: V T v i = e i, Σe i = σ i e i, Uσe i = σue i = σu i, azaz V T a {v i } bázist a standardba viszi ortogonális leképezéssel (forgatás vagy tükrözés), ott Σ tengelyirányban nyújtja/összenyomja, végül az ortogonális U hat rá. A = UΣV T : x UΣV T x: V T Σ U e 2 v 2 e 1 σ 2 e 2 σ 1 u 1 σ 1 e 1 σ 2 u 2 v 1 Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

11 Szinguláris érték Szinguláris felbontás geometriai interpretációja P 2 3-as, valós, 2-rangú mátrix: V T ortogonális, így hatása: V T v i = e i (i = 1, 2, 3). Σ a két els tengely irányában nyújt/összenyom: Σe i = σ i e i (i = 1, 2), a harmadik tengely irányával párhuzamosan vetít: Σe 3 = 0. A kép nem egy ellipszisvonal, hanem a teljes általa határolt tartomány. Végül az ortogonális U ezt elforgatja vagy tükrözi egy egyenesre. v 3 V T Σ U e 2 σ 2 e 2 σ 1 u 1 σ 2 u 2 v 2 e 1 e 3 σ 1 e 1 v 1 Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

12 Szinguláris érték Szinguláris felbontás geometriai interpretációja T A egy r-rangú, m n-es valós mátrix. Az x Ax leképezés R n az e T e = 1 egyenletet kielégít, egységgömb felületén lév pontjait, R m egy r-dimenziós altere egy ellipszoidjának felületére képzi, ha r = n, és egy ellipszoidja által határolt tartományára képzi, ha r < n. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

13 Szinguláris érték Polárfelbontás M Analógia: az r e iϕ exp. alak egy nyújtás és egy forgatás szorzata D Polárfelbontás: egy négyzetes mátrixnak egy pozitív szemidenit és egy ortogonális (unitér) mátrix szorzatára való felbontása: A = PQ. T Bármely komplex (valós) négyzetes A mátrix el áll A = PQ alakban. Ha A invertálható, akkor P pozitív denit, és a felbontás egyértelm. B A felbontás A = UΣV H = UΣU H UV H = (UΣU H )(UV H ), ahonnan P = UΣU H, Q = UV H. P önadjungált: (UΣU H ) H = UΣ H U H = UΣU H. P pozitív szemidef. (hasonló Σ-hez), ha A invertálható, Σ pozitív def. Q unitér (ortogonális), hisz két unitér (ortogonális) mátrix szorzata. P egyértelm (nem csak akkor, ha pozitív denit), ugyanis AA H = PQQ H P H = PP H = P 2, és pozitív szemidenit önadjungált mátrix négyzetgyöke egyértelm az önadjungált pozitív szemidenit mátrixok körében. Ha P pozitív denit, akkor invertálható, így Q = P 1 A is egyértelm. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

14 Szinguláris érték Pszeudoinverz T SVD: A = U 1 Σ 1 V T 1, illetve A = UΣVT. Ekkor B U 1 teljes oszloprangú, Σ 1 V T 1 A + = V 1 Σ 1 1 UT 1 = VΣ + U T. teljes sorrangú, így ( ) A + 1 ) 1 = (Σ 1 V T 1 ) T Σ 1 V T 1 (Σ 1 V T 1 ) (U T T 1 U 1 U T 1 = V 1 Σ 1 Σ 2 1 UT 1 = V 1 Σ 1 1 UT 1. Ebb l VΣ + U T = [ V 1 V 2 ] [ Σ 1 1 O O O ] [ ] U T 1 U T 2 = V 1 Σ 1 1 UT 1. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

15 Alkalmazások Információtömörítés T Kis rangú approximáció tétele EckartYoung-tétel A r-rangú, k-adik szinguláris értéke σ k, jobb és bal szinguláris vektorta v k, illetve u k. Legyen k A k = σ i u i v T i. Ekkor A k az A mátrix legjobb legföljebb k-rangú közelítése, azaz r min A B F = A A k F = σ 2, i r(b) k i=1 i=k+1 min A B 2 = A A k 2 = σ k+1. r(b) k Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

16 Alkalmazások Információtömörítés 1, 2, 3, 4, 8, 12, 40, 97, 194. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

17 Alkalmazások Információtömörítés Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

18 Alkalmazások Mögöttes tartalom analízise A latent semantic indexing (LSI) vagy latent semantic analysis (LSA) Ö Az egy dokumentumban szerepl szavakat összekapcsolja a dokumentum tartalma, e kapcsolatokat a szavak mögött lév tartalmat az SVD kiemeli, mint lényeges információt. A sorai a szavakat, oszlopai a dokumentumokat reprezentálják. t ij az i-edik szó gyakorisága a j-edik dokumentumban és T i a teljes szöveggy jteményben ( ) t n ik log t ik T a ij = 1 + i T i log(1 + t ij ). log n k=1 az els tényez egy csak az i-edik szónak az egész gy jteményhez való kapcsolatától függ globális súly, a második csak a lokális érték függvénye. A = UΣV T és közelítése A k = U k Σ k V T k U k, illetve V k oszlopainak vektorterében a szavak, illetve dokumentumok kapcsolatát a hozzájuk tartozó vektorok helyzete jellemzi Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

19 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma D Az x vektor euklideszi normája vagy más néven abszolút értéke x 2 = n x 2 = x i T x, ha x R n, i=1 x 2 = n x i 2 = x H x, ha x C n. i=1 M Manhattan ( x + y ), képméretezés (max{ x, y }). D A p 1 valósra az x C n vektor p-normája x p = ( n i=1 x i p ) 1/p, míg ennek határértéke a -norma, azaz x = lim p x p. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

20 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma M 1-norma = rácsnorma = Manhattan-norma maximum norma = -norma x = lim p x p = lim p ( n i=1 ) 1/p x i p = max x i. i B a legnagyobb abszolút érték koordináta x max ( x i / x max 1) 1 n x i /x max p n. i=1 Mindegyik kifejezést 1/p-edik hatványra emelve, majd x max -szal beszorozva kapjuk, hogy ( n x max x max i=1 x i x max p ) 1/p x max n 1/p, Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

21 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma p = 1 p = 3 2 p = 2 p = 3 p = Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

22 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma p = 1 p = 2 p = Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

23 Norma A norma általános fogalma Á Az el z normák alaptulajdonságai: x 0 x = 0 x = 0 ( a d(x, y) = x y távolságfüggvény szeparálja a pontokat, azaz két különböz pont távolsága sosem 0) cx = c x (pozitív homogenitás) x + y x + y (háromszögegyenl tlenség) D Az f : R n R, vagy f : C n R függvény norma, ha f (x) 0 minden x vektorra, és f (x) = 0 pontosan akkor áll fenn, ha x = 0, f (cx) = c f (x) minden x vektorra, f (x + y) f (x) + f (y). M x = x bármely. normára igaz, hisz x = 1 x = x. M háromszögegyenl tlenség másik alakja: z x z x Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

24 Norma A norma általános fogalma M A háromszögegyenl tlenség p-normánál: Minkowski-egyenl tlenség: x + y p x p + y p. (1) M A Hölder-egyenl tlenség a CBS-egyenl tlenség általánosítása: x H y x p y q, ahol 1 p + 1 q = 1. (2) M Ha x x egy norma, és A egy egy-egy értelm lineáris leképezés, akkor az x Ax leképezés is norma és az x y x sup y 0 y M max i { x i } x x n 2 x x n azaz M Másrészt x x 2 x 1. x 1 n x 2, x 2 n x és x 1 n x. M Minden norma folytonos függvény. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

25 Norma Vektornormák ekvivalenciája D A. a és. b normák ekvivalensek, ha van olyan c és d pozitív valós szám, hogy. a c. b és. b d. a. M Az 1-, 2- és -normák ekvivalensek T A K n téren értelmezett bármely két norma ekvivalens (K = R vagy C). M Ez csak véges dimenziós terekben igaz, itt tehát a konvergenciakérdésekhez bármelyik norma jó. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

26 Mátrixnorma Vektornorma mátrixokon D Az A C m n mátrix Frobenius-normája m n m n A F = a ij 2 = A i 2 = 2 A j 2. 2 i=1 j=1 T Frobenius-norma ekvivalens alakjai: A F = i=1 trace(a H A) = min(m,n) i=1 j=1 σ 2 i. B [A H A] jj = A j 2 2 nyom = sajátértékek összege Á Bármely x C n vektorra és A C m n mátrixra Ax 2 A F x 2. B CauchyBunyakovszkijSchwarz-egyenl tlenségb l: n n Ax 2 = 2 A i x 2 A i 2 2 x 2 = 2 A 2 F x 2. 2 i=1 i=1 Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

27 Mátrixnorma A mátrixnorma általános fogalma D. : K n R mátrixnorma, ha A 0, és A = 0 pontosan akkor áll fenn, ha A = O, ca = c A, A + B A + B, AC A C. D. egy tetsz leges vektornorma. Ekkor az A = max Ax x =1 egyenl séggel deniált függvényt a vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük. M Jelölés: A p = max x p =1 Ax p M Ha lineáris leképezésre értelmezzük, operátornormáról beszélünk. M A normák ekvivalenciájából bármely normában az egységgömb korlátos és zárt a x Ax függvénynek van maximuma és minimuma M a deníció a ekvivalens alakjai Ax A = sup x =0 x = max Ax x =0 x. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28

28 Mátrixnorma Az 1-, 2- és -norma mátrixokra T Legyen A C m n, ekkor A 1 = max j n a ij = legnagyobb abszolút oszlopösszeg, (3) i=1 m A = max a ij = legnagyobb abszolút sorösszeg, (4) i j=1 A 2 = A H = max max y H Ax = σ 1, (5) 2 x 2 =1 y 2 =1 Ha az A C n n invertálható, akkor A 1 2 = max x 2 =1 1 Ax 2 = ahol σ n az A legkisebb (pozitív) szinguláris értéke. 1 = 1, (6) min Ax 2 σ n x 2 =1 M Az 1-, a - és a 2-normára szokásos másik elnevezés: oszlopnorma, sornorma és spektrálnorma. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 28