Saj at ert ek-probl em ak febru ar 22.
|
|
- Csenge Mészárosné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Sajátérték-problémák február 22.
2 Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre az egyenlet teljesül az A mátrix sajátvektorai és sajátértékei. minden sajátvektor számszorosára is igaz (1) ezeket nem tekintjük külön sajátvektornak a sajátvektorok ezért normalizálhatók a v = 0 triviális megoldás nem sajátvektor
3 A karakterisztikus egyenlet Az eredeti egyenlet akkor és csak akkor teljesül, ha det A λi = 0 is teljesül. ez egy polinomiális egyenlet λ-ra csak N < 4 esetben érdemes ezt megoldani lehetnek nem valós és degenerált gyökök is nagyobb mátrixok esetében más módszerek lesznek
4 Sajátvektorok Megkülönböztetünk jobb és baloldali sajátvektorokat Av = λv ua = λu v: jobboldali sajátvektor, oszlopvektor u: baloldali sajátvektor, sorvektor a kétoldali sajátvektorokhoz tartozó sajátértékek megegyeznek valós szimmetrikus mátrixra a sajátvektorok is
5 Négyzetes mátrixok állatkertje Szimmetrikus mátrix A = A T a ij = a ji Hermitikus mátrix A = A H a ij = a ji Ortogonális mátrix Normálmátrix Unitér mátrix A T A = A A T = I A H A = A A H A H = A 1 Valós mátrixokra hermitikus szimmetrikus unitér ortogonális
6 Speciális mátrixok tulajdonságai Hermitikus mátrix: A = A H sajátértékei mind valósak Nem szimmetrikus valós mátrix sajátértékei valósak vagy komplex konjugált párok Általános komplex mátrix sajátértékei tetszőleges komplex számok
7 Érdekesség: Wigner-féle félkörtörvény Valós, szimmetrikus mátrix random elemekkel feltöltve A sajátértékek valószínűségi eloszlása egy félkör, N esetben Viszonylag kevés megkötés az egyes elemek valószínűségi eloszlására: Azonos eloszlásból, függetlenül választva A sajátértékek eloszlása random mátrixokra tehát jól meghatározott Algoritmusok tesztelésére a random mátrixok nem jók!
8 Sajátvektorokból alkotott bázis Ha egy normálmátrix sajátértékei mind különbözőek, akkor sajátvektorai ortogonális bázist alkotnak normálás után: e i e j = δ ij degenerált sajátérték esetén saját altér van ortogonalizálható: pl. Gram Schmidt-eljárás Általános mátrix esetében a sajátvektorok általában nem ortogonálisak nem biztos, hogy teljes bázist alkotnak de a legtöbbször azért a bázis teljes
9 Gram Schmidt-ortogonalizáció u 1 = v 1, e 1 = u 1 u 1 u 2 = v 2 proj u1 (v 2 ), e 2 = u 2 u 2 u 3 = v 3 proj u1 (v 3 ) proj u2 (v 3 ), e 3 = u 3 u 3 u 4 = v 4 proj u1 (v 4 ) proj u2 (v 4 ) proj u3 (v 4 ), e 4 = u 4 u 4. k 1 u k = v k proj uj (v k ), j=1. e k = u k u k. Vektor vetítése másik vektorra: proj (b) a = a cos θ ( b b = a ) b b b b (2)
10 Jobb és baloldali sajátvektorok mátrixa Vezessük be a következő mátrixokat: U: baloldali sorvektorok alkotta mátrix V: jobboldali oszlopvektorok alkotta mátrix λ: a sajátértékekből alkotott diagonális mátrix Ezzel a jelöléssel a sajátérték-egyenletek: U A = λ U A V = V λ
11 Bal és jobboldali sajátvektorok ortogonalitása A sajátértékegyenletek: U A = λ U A V = V λ Az elsőt balról V-vel, a másodikat jobbról U-val szorozva, majd a két egyenlet különbségét képezve: (UV)λ = λ(uv) Különböző elemekből álló diagonális mátrixszal, mint pl. λ, csak olyan mátrix kommutál, ami maga is diagonális. következmény: UV diagonális következmény: u i v j = δ ij persze u-k és v-k megfelelően normálandók
12 Invertálható mátrix faktorizációja Ha létezik egy A mátrix inverze, akkor a következő áll fenn a balés jobboldali sajátvektorokból képzett U és V mátrixokra: U 1 = V Ha létezik a mátrix inverze, akkor a következőképpen faktorizálható A = VλU, illetve igaz, hogy λ = UAV
13 Invertálható mátrix diagonalizálása Előző eredmény: λ = UAV viszont tudjuk: vagyis: U = V 1 V 1 AV = λ Valós szimmetrikus mátrixokra: fenn áll, hogy V 1 = U = V T így a V-vel való szendvicselés ortogonális transzformáció is
14 Általános esetben ezt a szendvicselést hasonlósági transzformációnak nevezzük: ahol Z nyilvánvalóan invertálható A Z 1 AZ, A sajátérték-problémát megoldó programok ezen alapulnak megfelelően választott P i transzformációkkal az A mátrixot egyre közeĺıtjük a diagonálishoz: A P 1 1 AP 1 P 1 2 P 1 1 AP 1P 2... λ Ekkor a sajátvektorokat a következő módon kapjuk V = P 1 P 2...
15 Jacobi-transzformáció Keressük a P transzformációkat síkbeli forgatások alakjában: 1 c s P pq =. 1. s c 1 ahol a c és s számokra fennáll, hogy c 2 + s 2 = 1 ez a mátrix csak a pq, qp, pp és qq helyeken nem 0 vagy 1 szendvicseljük vele A-t, és számoljuk végig
16 Egyenlet a Jacobi-transzformáció paramétereire Elvégezzük a beszorzást 1 kiszámoljuk az A = P 1 AP mátrix elemeit csak a p. és q. sorok, illetve oszlopok elemei változnak tegyük a pq-t nullává! a következő egyenletre jutunk ctg 2φ = c2 s 2 2sc = a qq a pp 2a pq 1 házi feladat
17 A = P 1 AP kiszámítása a rp = ca rp sa rq ha r p, r q a rq = ca rq + sa rp ha r p, r q a pp = c 2 a pp + s 2 a qq 2sca pq a qq = s 2 a pp + c 2 a qq + 2sca pq a pq = ( c 2 s 2) a pq + sc (a pp a qq ) = a qp
18 A Jacobi-transzformáció iterációs lépése Az előbb felvázolt lépéssel a mátrix a pq elemét nulláztuk ezt a lépés tetszőlegesen sokszor ismételhetjük az újabb lépés a korábban lenullázott elemeket ugyan elrontja, de belátható: a nem diagonális elemek négyzetösszege monoton csökken vagyis a mátrix tart a diagonálishoz A Jacobi-transzformáció tulajdonságai érdemes mindig a legnagyobb nem diagonális elemet nullázni az algoritmus N 2 elem nullázását igényli de többször végig kell menni az egész mátrixon
19 A hatványiteráció Keressük egy mátrix legnagyobb sajátértékéhez tartozó sajátvektorát a sajátvektorai teljes ortogonális bázist alkotnak a teljes sajátérték-probléma megoldása nem feltétlen éri meg gyorsabb, iteratív megoldást keresünk Ha x 0 tetszőleges vektor megszorozzuk az A mátrixszal, majd leosztjuk a kapott vektort a legnagyobb elemével y 0 = 1 Ax 0, ahol c 0 = max (Ax 0 ) (i) c 0 i ezután képezzük a következő iterációt x k = y k 1
20 A hatványiteráció konvergenciája Fejtsük ki az x 0 vektort a sajátvektorok bázisán: x 0 = α 1 v 1 + α 2 v α n v n Mivel a v vektorok sajátvektorok, ezért az A mátrix hatása: Ax 0 = λ 1 α 1 v 1 + λ 2 α 2 v λ n α n v n Most fejtsük ki az x k vektort a sajátvektorok bázisán: x k = 1 [ ] λ k c 1 c 2...c 1α 1 v 1 + λ k 2α 2 v λ k nα n v n k Emeljük ki a legnagyobb sajátérték k. hatványát: [ λ k ( ) k ( ) ] k 1 λ2 λn x k = α 1 v 1 + α 2 v α n v n c 1 c 2...c k λ 1 λ 1
21 A hatványiteráció konvergenciája Előző diáról: λ k 1 x k = c 1 c 2...c k [ ( ) k ( ) ] k λ2 λn α 1 v 1 + α 2 v α n v n λ 1 λ 1 ahol λ 1 a legnagyobb sajátérték emiatt az iteráció során az összes együttható kihal kivéve α 1 -et a sorozat a legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektorhoz konvergál lim k x k = v 1 lim k c k = λ 1
22 Fontos tétel Az első egyenlet mindkét oldalához τ v-et adva: Av + τv = λv + τv a sajátértékek eltolódnak, de a sajátvektorok változatlanok, ugyanis (A + τi) v = (λ + τ) v Ezt a tulajdonságot sok numerikus módszer kihasználja
23 Inverz hatványiteráció Gyakran előfordul, hogy megsejtjük valamelyik sajátértéket hogyan találhatjuk meg a hozzá tartozó sajátvektort? Tekintsük a következő egyenletet (A τi) y 0 = b 0 legyen b 0 tetszőleges vektor τ pedig közel van valamelyik λ sajátértékhez y 0 a fenti egyenlet megoldása Belátjuk, hogy b n = y n 1 helyettesítéssel az iteráció konvergens b n a λ-hoz tartozó sajátvektorhoz tart
24 Az inverz hatványiteráció konvergenciája Fejtsük ki y-t és b-t az u i sajátvektorok alkotta bázison: y 0 = j α j x j b 0 = j β j x j Ezzel az egyenlet: α j (λ j τ)x j = j j β j x j, vagyis α j = β j λ j τ és y 0 = j β j x j λ j τ Az így kapott y 0 -t helyettesítjük be b 0 helyére, ebből: y 1 = j β j x j (λ j τ) 2, stb.
25 Inverz hatványiteráció Előző diáról: y 1 = j β j x j (λ j τ) 2, stb. A további iterációk során a nevezőben λ j τ hatványai jelennek meg: y k = β j x j (λ j j τ) (k 1) Ha τ közel van a j. sajátértékhez, azaz λ j τ λ i τ, i j, akkor a szummában a j. tag fog dominálni vagyis y k x j
26 Főkomponens-anaĺızis 2 Az adataink sokszor magas dimenziós vektorok képek (pixelek száma a dimenzió!) spektrumok (galaxisok, tömegspektrum stb.) akár néhány ezer dimenzió is lehet Az adatvektorok gyakran eléggé hasonlóak szabványos igazolványképek azonos felbontású spektrumok általában sok adatunk van N PCA = Principal Component Analysis
27 A főkomponens-anaĺızis célja Az adatvektorok valamilyen módon hasonlóak elég jól előállnak valamilyen bázisvektorok lineárkombinációjaként a variancia nagy része információ (megtartjuk) a többi része zaj (eldobjuk) Szeretnénk: kezelhető szintre redukálni a dimenziók számát tömöríteni az adatokat zajt eldobni
28 Példa: adatok alacsony dimenzióban
29 Korrelált szórás: ellipszisek
30 Főtengely-irányok
31 Főtengely-transzformáció általánosabban Kérdés: mik azok az irányok, melyekben a legnagyobb a szórás? válasszuk az új bázist ilyen irányokba az új bázisvektorok hossza legyen arányos a szórással előtte ne felejtsük el levonni az átlagot! Eljárás: rendezzük az adatvektorokat mátrixba az X mátrix sorai az adatvektorok tekintsük a kovarianciamátrixot C = X T X a mátrix mérete: D D, ahol D az adatvektorok dimenziója
32 Az új bázis meghatározása Az új bázist a C = X T X kovarianciamátrix sajátvektorai alkotják megoldjuk a kovarianciamátrix sajátérték-problémáját C = VλU ez a mátrix nagy, valószínű nem invertálható de valós szimmetrikus, ami segít használhatunk pl. szingulárisérték-dekompozíciót (SVD) Az új bázisvektorokat U sorai tartalmazzák kifejtjük az adatvektorokat az új bázison X = U X T
33 A szingulárisérték-dekompozíció Egy M mátrix szingulárisérték-dekompozíciója: M = USV H U és V a szinguláris vektorokat tartalmazza 3 S diagonális, és a szinguláris értékeket tartalmazza a szinguláris értékek S-ben csökkenő sorrendben A szinguláris vektorok és szinguláris értékek valójában U a M M H mátrix sajátvektoraiból áll V a M H M sajátvektoraiból a szinguláris értékek M H M és M M H sajátértékeinek a gyökei 3 ha M szimmetrikus, akkor mindkét oldali sajátvektorok azonosak
34 Pszeudo-inverz meghatározása SVD-vel Az M mátrix nem feltétlenül invertálható ez nagy mátrixok esetében viszonylag gyakori de a szingulárisérték-felbontása ekkor is létezik segítségével definiálható egy ún. pszeudo-inverz A szingulárisérték-dekompozíció eredménye M = USV H A pszeudo-inverz definíciója M + = VS + U H, ahol S + úgy gyártódik, hogy S minden nem nulla elemét a reciprokával helyettesítünk
35 Sajátértékek eloszlása Eddig mi teljes főtengely-transzformációt végeztünk ez minden sajátvektort megtart azokból épít egy teljes bázist Érdemes viszont megfigyelni: valódi adatok kovarianciamátrixának néhány sajátértéke kiemelkedik a többi nagyjából azonos nagyságrendbe esik a lényeget a nagy sajátértékekhez tartozó sajátvektorok hordozzák a többi sajátvektor ezeket csak kissé módosítja finom részletek, illetve zaj Ötlet: elég csak az első néhány sajátvektort megtartani ezek az ún. főkomponensek-vektorok jól reprezentálják a magas dimenziós teret
36 Dimenzióredukció PCA-val Mi most nem a részletekre, hanem az átlagos dolgokra koncentrálunk elég csak az első néhány sajátvektort megtartani ezek az ún. főkomponens-vektorok jól reprezentálják a magas dimenziós teret Ha a részletekre is kíváncsiak vagyunk megtarthatunk több főkomponens általában 8 10 komponens elég Dimenzióredukció az eredeti adatvektorokat kifejtjük a csonkolt bázison a kifejtési együtthatók (főkomponensek) jól jellemzik az eredeti vektort de itt sok ezer szám helyett már csak néhány szám kell!
37 Érdekes példa: arcok főkomponens-anaĺızise
38 Első hat főkomponens
39 Képek kifejtése a sajátbázison
40 Automatikus osztályozás Magas dimenziós térben gyakorlatilag lehetetlen osztályozni minden adatpont mindentől azonos távolságra van csökkentsük hát a dimenziót PCA-val osztályozzunk a redukált dimenziós térben Térbeli osztályozás tekintsük a PCA kifejtési együtthatók terét keressünk ebben egymások közeli pontokat dimenzióban még jól megy Érdekes alkalmazások galaxisok spektroszkópiai osztályozása rákos szövetek detektálása műtét közben
Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenSzinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebbenés n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Bevezetés Szükségünk van a komplex elemű mátrixok és vektorok bevezetésére. A komplex elemű n-dimenziós oszlopvektorok halmazát C n -el jelöljük. Hasonlóképpen az m n méretű komplex elemű mátrixok halmazát
Részletesebbeni=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
RészletesebbenII. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés
II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak
RészletesebbenFeladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: A x = b,
Gauss Jordan-elimináció Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: ahol A négyzetes mátrix. A x = b, A Gauss Jordan-elimináció tulajdonképpen az általános iskolában tanult módszer lineáris egyenletrendszerek
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenAlkalmazott algebra - SVD
Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenAlkalmazott algebra - skalárszorzat
Alkalmazott algebra - skalárszorzat Ivanyos Gábor 2011 sz Skalárszorzat Skalárszorzat Ebben a részben: a standard skalárszorzat: u T v = n µ i ν i i=1 és a kapcsolódó lineáris algebra absztrakt tárgyalással
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenMer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
Részletesebben1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
Részletesebben3. Lineáris egyenletrendszerek megoldása február 19.
3. Lineáris egyenletrendszerek megoldása 2018. február 19. Lineáris egyenletrendszer M darab egyenlet N változóval, az a ij és b j értékek ismertek: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1N x N = b 1 a 21 x 1 +
Részletesebben7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
RészletesebbenAz impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
Részletesebben3D számítógépes geometria 2
3D számítógépes geometria 2 Lineáris algebra alapok Várady Tamás, Salvi Péter / BME September 6, 2018 Mátrixok típusai Mátrixműveletek Jellemző értékek A mátrix m n skalár érték: A = a 11 a 12 a 13 a 14
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf87 2017-11-21
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
Részletesebbenazonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i
A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
RészletesebbenTartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás
Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenProblémás regressziók
Universitas Eotvos Nominata 74 203-4 - II Problémás regressziók A közönséges (OLS) és a súlyozott (WLS) legkisebb négyzetes lineáris regresszió egy p- változós lineáris egyenletrendszer megoldása. Az egyenletrendszer
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf81 2018-11-20
RészletesebbenBlind Source Separation. Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása
Blind Source Separation Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása 1 Bevezetés Az EEG jelek elemzése során egyik fő nehézség a különböző források szuperponálásából kapott többcsatornás jelből az egyes
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 2009/10. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 9/. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK. Feladat. Az a. választás mellett A /( a) értéke.486. Határozzuk meg mi is A értékét egy tizes számrendszerű, hatjegyű mantisszás
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
Részletesebben