Gazdasági matematika II. tanmenet

Átírás

1 Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó Cs: Csernyák László (szerk.): Valószín ségszámítás, Nemzeti Tankönyvkiadó G: Gáspár László: Mátrixaritmetikai gyakorlatok, Nemzeti Tankönyvkiadó D: Denkinger Géza: Valószín ségszámítási gyakorlatok, Nemzeti Tankönyvkiadó S: Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás (Bolyai sorozat), M szaki Könyvkiadó Mátrixaritmetika Irodalom: T 3.1, 3.2 fejezet, (G 1.1, 1.2 bevezetései), S 89-97, o A mátrix fogalma Mátrix deníciója, jelölései, mérete. Példákkal. Mátrix transzponáltja. Sorvektor, oszlovektor. Példákkal. Négyzetes mátrix. Mátrix rendje. F átló. Példákkal. Alsó, fels háromszögmátrix. Szimmetrikus mátrix, Ferdén szimmetrikus mátrix. Diagonális mátrix. Példákkal. Vektorok közti rendezés: nem teljes! 1.2. M veletek mátrixokkal Összeadás, pontos denícióval. Számmal való szorzás. Lineáris kombináció (vektorokkal, mátrixokkal). Konvex kombináció (vektorokkal). Példákkal. n dimenziós vektorok skaláris szorzata. Pár példa. Mátrixszorzás deníciója. Sok példa, a méret számít!!! 1

2 1.3. M veleti tulajdonságok Megfelel méretek mellett szinte minden tulajdonság teljesül kivéve a szorzás felcserélhet ségét. Tehát általában AB BA, még négyzetes mátrixokra sem! Ezt pár példán szemléltetni. Transzponált összeadása, szorzása M veletek négyzetes mátrixokkal Egységmátrix (I n ). M veleti tulajdonságai: AI = IA = A. Példán is mutatni. Mátrixok hatványa, ha a kitev természetes szám. Példák Feladatok G 1.2/9-12, 23, 27, S 113. oldaltól 3-5, 9, 11, 24-35, 43-50, Mátrixaritmetikai alkalmazások Irodalom: T 3.4 fejezet (G 1.4 bevezetés), S 99. oldaltól a kidolgozott feladatok 2.1. Fogalmak Összegz vektor, egységvektor. Deníciók, tulajdonságok Termelési feladat Szöveges példa. Technológia mátrix, termelési program, termelés költsége, árbevétel. Ugyanezek er forrásonként ill. termékenként. 3. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Irodalom: T 5.3 vagy G 4.1 bevezet (az el adáson teljes mátrixszal dolgozunk!), S o. (itt a Gauss elimináció szerepel, ezzel is elfogadom a megoldást), 2

3 3.1. Megoldási módszerek Lineáris egyenletrendszer. Együttható mátrix. B vített együttható mátrix. Megengedett sorm veletek: (a) sor (nemnulla) számmal való szorzása, (b) egy sor számszorosának másik sorhoz adása, (c) sorcsere. Gauss-Jordan elimináció (sorcserés) példán keresztül. A megoldások számára vonatkozó kritériumok. Végtelen sok megoldás felírása. Mindhárom esetre egy-egy példa. Esetleg pár paraméteres feladat. Az ajánlott irodalom jelölésrendszere Feladatok G 4.1/ S 212. oldaltól (Gauss v. Gauss-Jordan eliminációval megoldani és a végeredményt a könyv eredményével összehasonlítani) 4. Mátrix inverze Irodalom: T 5.4 (G 4.2 bevezetés), S 168 o. közepe "másik módszer"-171 o Az inverz deníciója, tulajdonságai Csak négyzetes mátrixra. Deníció. Tulajdonságok: nem minden mátrixnak létezik. Ha (bármelyik oldali) létezik, akkor: AA 1 = A 1 A = I Az inverz meghatározása AX = I megoldását keressük. Ez lényegében n darab lineáris egyenletrendszer, ugyanazzal az együttható mátrixszal, más-más (egységvektor) jobboldalakkal. Felírni az egyenletrendszert elemekkel, és bemutatni, hogy X j-edik oszlopa pont az Ax j = e j megoldása. Az n darab egyenletrendszer együttes megoldása Gauss-Jordan elimináció segítségével. Sok-sok példa. Hogy vesszük észre, ha az inverz nem létezik. 3

4 4.3. Feladatok G 4.2/ S 179. oldaltól Kombinatorika Irodalom: Cs Permutáció Ismétlés nélküli, n! deníciója, ismétléses Variáció Ismétlés nélküli, ismétléses Kombináció Csak ismétlés nélküli, ( ) n k deníciója Feladatok D 2-21, 30-41, 44, Eseményalgebra Irodalom: Cs Alapfogalmak Elemi esemény (jel: h i ), Eseménytér (jel: H), Esemény (jel: latin nagybet ). Példák (kocka, vezeték Wenn diagramokkal) Biztos esemény (H), Lehetetlen esemény ( ). A maga után vonja B-t: A B. Példák (kocka, vezeték, Wenn diagramm) A H. 4

5 6.2. M veletek eseményekkel Kocka, vezeték, Wenn diagramm példákkal is illusztrálva: Ellentétes (komplementer) esemény (jel: A). H =, = H, A = A. Események összege (A B). Események szorzata (A B). Egymást kizáró események (A B = ). Események különbsége (A \ B). A \ B = A B Teljes eseményrendszer (B i -kel). A és A teljes eseményrendszer Fontosabb azonosságok Boole-algebra. De-Morgan egyenl ségek Feladatok D 118, 119, 133, A valószín ségszámítás elemei Irodalom: Cs A valószín ség axiómái Motiváció. Axióma rendszer Valószín ségszámítási tételek Komplementer valószín sége. Teljes eseményrendszer tulajdonsága. P (A B). P (A \ B), ha A B. Klasszikus képlet: kedvez /összes. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel Feladatok D

6 8. Feltételes valószín ség, események függetlensége Irodalom: Cs A feltételes valószín ség Üzemes példa. Deníció. Teljesíti az axiómarendszert. Szorzási szabály. Teljes valószín ség tétele. Bayes tétel Események függetlensége Deníció. Komplementerek is függetlenek. Teljesen független rendszer. Példa páronként független de nem teljesen független rendszerre. Független kísérletek. Bernoulli féle képlet Feladatok Feltételes valószín ség: D Függetlenség: D Valószín ségi változók és jellemz ik Irodalom: Cs A valószín ségi változó fogalma Deníció. Diszkrét (kocka) és folytonos (vezeték) példák. Diszkrét valószín ségi változó deníciója. Valószín ségi eloszlás deníció és példa Az eloszlásfüggvény és tulajdonságai Eloszlásfüggvény deníció. El z példák eloszlásfüggvényei. Folytonos valószín ségi változó deníciója (F (x) folytonos és véges sok pont kivételével dierenciálható). P (a ξ < b) = F (b) F (a). Eloszlásfüggvény tulajdonságai. Folytonos esetben P (ξ = x 0 ) = 0, illetve ennek következményei. 6

7 9.3. A s r ségfüggvény és tulajdonságai Deníció (f(x) = F (x)). P (a ξ < b) = b a f(x)dx. Tulajdonságok. El z folytonos példa folytatása Feladatok D , , 311, , , Várható érték és szórás Irodalom: Cs Várható érték Deníció diszkrétre. Motiváció (relatív gyakoriságokkal). Példa. Deníció folytonosra, példával. M(p n (ξ)) Szórás Motiváció. Deníció. D 2 (ξ) = M(ξ 2 ) M 2 (ξ). D(aξ + b) = a D(ξ). Példákkal tovább számolni Feladatok D , 358, 360, 366, 369/a,b,e,f, Markov- és Csebisev egyenl tlenség Irodalom: Cs 4.7 Rövid példa mindkett re. P (η a) M(η) a. P ( ξ M(ξ) td(ξ)) 1 t 2. 7

8 11.1. Feladatok D 396, 399, 401, Nevezetes eloszlások Irodalom: Cs Diszkrét eloszlások Karakterisztikus eloszlás. Binomiális eloszlás. Hipergeometrikus eloszlás. Poisson eloszlás. Példákkal Folytonos eloszlások Egyenletes eloszlás. Exponenciális eloszlás. Normális eloszlás. Példákkal Feladatok D 530, 531, 537, , , , , Nagy számok törvényei Irodalom: Cs Bernoulli féle alak P ( Centrális határeloszlás tétel ξ n n p ) pq ɛ 2 n. ( lim P ξ1 + + ξ n nm n σ n < x ) = Φ(x). 8

9 13.3. Feladatok Bernoulli: D , CHT: D