Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35"

Átírás

1 Szinguláris értékek Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

2 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

3 Szinguláris érték 1 Szinguláris érték Az SVD meghatározása Szinguláris érték szerinti felbontás létezése Szinguláris felbontás geometriai interpretációja 2 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma A norma általános fogalma Vektornormák ekvivalenciája 3 Mátrixnorma Vektornorma mátrixokon A mátrixnorma általános fogalma Az 1-, 2- és -norma mátrixokra 4 Alkalmazások Információtömörítés Mögöttes tartalom analízise Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

4 Szinguláris érték Szinguláris értékek és vektorok D A pozitív σ 1 σ 2 σ r > 0 számok az r-rangú valós (komplex) A mátrix szinguláris értékei, ha van olyan {v 1,..., v r } ONB-a a sortérnek (konjugáltjának) és {u 1,..., u r } ONB-a az oszloptérnek, hogy Av i = σ i u i, i = 1,..., r. A v i vektorokat jobb, az u i vektorokat bal szinguláris vektoroknak nevezzük. m u i = 1 (i = 1, 2,..., r) Av i = σ i. Lehetne így: k = min(m, n), és σ r+1 = σ r+2 = = σ k = 0. P {v 1, v 2 } = {( 4, 3), ( 3, 4)}, {u 1, u 2 } = {( 5, ] [ ] [ 4 /5 5/13 [ 4/ / /5 σ 1 = 10, σ 2 = 5. = 10 12/13 ], [ 4/ / ), (, 5 )} ] [ ] 3 /5 = 5 4/5 [ 12 /13 5/13 Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35 ],

5 Szinguláris érték J Jelölések σ σ Σ 1 = diag(σ 1,..., σ r ) = U 1 = {u 1,..., u r } V 1 = {v 1,..., v r } σ r Av i = σu i AV 1 = U 1 Σ 1 σ [ ] [ ] 0 σ A v 1 v 2... v r = u1 u 2... u r {v 1,..., v r }-b l {u 1,..., u r }-b l ONB: V 2 = [ v r+1... v n ] U 2 = [ u r+1... u m ] σ r Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

6 Szinguláris érték R-ben V 2 oszlopvektorai S (C-ben S-re) r < i n esetén Av i = 0. AV = [ ] Av 1... Av r Av r+1... Av n = [ σ 1 u 1... σ r u r 0... ] 0 σ σ = [ ] u 1... u r u r+1... u m σ r = UΣ, azaz A m n V n n = U m m Σ m n, blokkmátrix alakban [ ] [ ] [ ] Σ A V 1 V 2 = 1 O U1 U 2. O O Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

7 Szinguláris érték Szinguláris (érték szerinti) felbontás, SVD D Szinguláris érték szerinti felbontás, vagy szinguláris felbontás: A = UΣV H Redukált szinguláris felbontás: A = U 1 Σ 1 V H 1 Szinguláris érték szerinti diadikus felbontás vagy a szinguláris felbontás diadikus alakja A = σ 1 u 1 v T 1 + σ 2 u 2 v T σ r u r v T r. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

8 Szinguláris érték = = = 6 1/3 2 /3 2/3 2 /3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 1/3 2 /3 2 /3 1/3 2/3 2/ [ /3 2 /3 1/3 2/3 1/3 2 /3 1/3 2/3 2/3 [ ] [ ] /3 2 /3 1/ /3 1/3 2 /3 ] [ 2 3 ] /3 4 /3 2/3 4 /3 2 /3 4/3 = 8 /3 8/3 4 /3 + 2/3 1/3 2 /3. 8/3 8 /3 4/3 4/3 2/3 4 /3 Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

9 Szinguláris érték Az SVD meghatározása m Ötlet: A H A = (UΣV H ) H UΣV H = VΣ H U H UΣV H = VΣ H ΣV H Ez A H A sajátfelbontása: V ortogonális (unitér), Σ H Σ diagonális (σ i 0) A H A sajátértékei épp a szinguláris értékek négyzetei, ui. Σ H Σ = diag(σ 2 1, σ2 2,..., σ2 r, 0,..., 0). SVD kiszámítása: 1 meghatározzuk A T A sajátértékeit (λ i ) és sajátvektorait (x i ), 2 a sajátértékek gyökei a szinguláris értékek (σ i = λ i ), 3 a jobb szinguláris vektorok a sajátvektorok (v i = x i / x i ), 4 bal szinguláris vektorok: mivel Av i = σ i u i, ezért u i = Av i /σ i, 4 alternatíva: a bal szinguláris vektorok megegyeznek az AA T sajátvektoraival, innen v i = A T u i /σ i, 5 a szinguláris vektorokból fölírható V 1 és U 1, a redukált szinguláris felbontás és a diadikus alak, 6 a V-hez ki kell egészíteni a {v 1,..., v r } vektorokat ONB-sá (hasonlóképp U-hoz) Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

10 Szinguláris érték Szinguláris érték szerinti felbontás létezése T A szinguláris értékek létezése és egyértelm sége: Minden r-rangú komplex A mátrixnak létezik r (pozitív) szinguláris értéke. Ezek megegyeznek A H A (illetve az AA H ) pozitív sajátértékeinek négyzetgyökeivel. A szinguláris értékek monoton csökken sorozata egyértelm. B A H A önadjungált: (A H A) H = A H (A H ) H = A H A minden sajátértéke valós, így ortogonálisan diagonalizálható, A H A pozitív szemidenit, így minden sajátértéke nemnegatív, ui. x H A H Ax = (Ax) H (Ax) = Ax 2 0. r(a H A) = r(a) = r, így (λ 1 λ 2 λ n rendezés után), λ i > 0, ha 1 i r, és λ i = 0, ha r < i n σ i = λ i > 0, ha 1 i r A H A sajátértékei egyértelm ek, ezért A szinguláris értékei is azok A H A és AA H 0-tól különböz sajátértékei megegyeznek Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

11 Szinguláris érték Szinguláris felbontás geometriai interpretációja P SVD hatása egységkörön 2-rangú 2 2-es mátrixszal: V T v i = e i, Σe i = σ i e i, Uσe i = σue i = σu i, azaz V T a {v i } bázist a standardba viszi ortogonális leképezéssel (forgatás vagy tükrözés), ott Σ tengelyirányban nyújtja/összenyomja, végül az ortogonális U hat rá. A = UΣV T : x UΣV T x: V T e Σ U σ 1 u 1 2 σ 2 e 2 v 2 e 1 σ 1 e 1 σ 2 u 2 v 1 Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

12 Szinguláris érték Szinguláris felbontás geometriai interpretációja P 2 3-as, valós, 2-rangú mátrix: V T ortogonális, így hatása: V T v i = e i (i = 1, 2, 3). Σ a két els tengely irányában nyújt/összenyom: Σe i = σ i e i (i = 1, 2), a harmadik tengely irányával párhuzamosan vetít: Σe 3 = 0. A kép nem egy ellipszisvonal, hanem a teljes általa határolt tartomány. Végül az ortogonális U ezt elforgatja vagy tükrözi egy egyenesre. v 3 V T Σ U σ 1 u 1 e 2 σ 2 e 2 σ 2 u 2 v 2 e 1 e 3 σ 1 e 1 v 1 Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

13 Szinguláris érték Szinguláris felbontás geometriai interpretációja T A egy r-rangú, m n-es valós mátrix. Az x Ax leképezés R n az e T e = 1 egyenletet kielégít, egységgömb felületén lév pontjait, R m egy r-dimenziós altere egy ellipszoidjának felületére képzi, ha r = n, és egy ellipszoidja által határolt tartományára képzi, ha r < n. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

14 Szinguláris érték Polárfelbontás m r e iϕ : egy nemnegatív nyújtási tényez (r) és egy egységnyi abszolút érték komplex szám (e iϕ, ami a komplex síkon ϕ-vel való forgatás) szorzata. D Polárfelbontáson egy négyzetes mátrixnak egy pozitív szemidenit és egy ortogonális mátrix szorzatára való felbontását értjük. T Bármely komplex (valós) négyzetes A mátrix el áll A = PQ alakban, ahol P pozitív szemidenit önadjungált (szimmetrikus) mátrix, Q pedig unitér (ortogonális). Ha A invertálható, akkor P pozitív denit, és a felbontás egyértelm. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

15 Szinguláris érték B A = UΣV H = UΣU H UV H = (UΣU H )(UV H ), ahonnan P = UΣU H, Q = UV H. P önadjungált, hisz (UΣU H ) H = UΣ H U H = UΣU H. A P pozitív szemidenit, hisz hasonló a pozitív szemidenit Σ mátrixhoz (ha A invertálható, akkor Σ pozitív denit) Q unitér (ortogonális), hisz két unitér (ortogonális) mátrix szorzata. A P egyértelm (nem csak akkor, ha pozitív denit), ugyanis AA H = PQQ H P H = PP H = P 2, azaz P = AA H, és pozitív szemidenit önadjungált mátrix négyzetgyöke egyértelm az önadjungált pozitív szemidenit mátrixok körében. Ha P pozitív denit, akkor invertálható, így Q = P 1 A is egyértelm. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

16 Szinguláris érték analógia a determinánson is: det P = r, det Q = e iϕ (hisz Q unitér), det A = r e iϕ. Fordított sorrend: azonos unitér (ortogonális) mátrixszal: A = UΣV H = UV H VΣV H = (UV H )(VΣV H ) = QˆP, Valós polárfelbontás geometriai jelentése: minden mátrixleképezés két olyan leképezés kompozíciója, amelyekb l az egyik forgatja vagy forgatva tükrözi a teret (Q), a másik pedig egy ortonormált bázis tengelyei mentén nyújtja/összenyomja a teret minden tengelyirányban egy-egy nemnegatív tényez vel. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

17 Szinguláris érték P Polárfelbontásait számítsuk ki A = B P = UΣU T, Q = UV T, ˆP = VΣV H /9 8 /9 1/9 A = PQ = /9 1/9 8 / /9 4 /9 4 /9 4 /9 8 /9 1/ = QˆP = 4 /9 1/9 8 / /9 4 /9 4 / A = = Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

18 Szinguláris érték Pszeudoinverz T SVD: A = U 1 Σ 1 V T 1, illetve A = UΣVT. Ekkor B U 1 teljes oszloprangú, Σ 1 V T 1 A + = V 1 Σ 1 1 UT 1 = VΣ + U T. teljes sorrangú, így ( ) A + 1 ) 1 = (Σ 1 V T 1 ) T Σ 1 V T 1 (Σ 1 V T 1 ) (U T T 1 U 1 U T 1 = V 1 Σ 1 Σ 2 1 UT 1 = V 1 Σ 1 1 UT 1. Ebb l VΣ + U T = [ V 1 V 2 ] [ Σ 1 1 O O O ] [ ] U T 1 U T 2 = V 1 Σ 1 1 UT 1. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

19 Norma 1 Szinguláris érték Az SVD meghatározása Szinguláris érték szerinti felbontás létezése Szinguláris felbontás geometriai interpretációja 2 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma A norma általános fogalma Vektornormák ekvivalenciája 3 Mátrixnorma Vektornorma mátrixokon A mátrixnorma általános fogalma Az 1-, 2- és -norma mátrixokra 4 Alkalmazások Információtömörítés Mögöttes tartalom analízise Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

20 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma D Az x vektor euklideszi normája vagy más néven abszolút értéke x 2 = n x 2 = x i T x, ha x R n, i=1 x 2 = n x i 2 = x H x, ha x C n. i=1 m Manhattan ( x + y ), képméretezés (max{ x, y }). D A p 1 valósra az x C n vektor p-normája x p = ( n i=1 x i p ) 1/p, míg ennek határértéke a -norma, azaz x = lim p x p. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

21 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma m 1-norma = rácsnorma = Manhattan-norma maximum norma = -norma x = lim p x p = lim p ( n i=1 ) 1/p x i p = max x i. i B a legnagyobb abszolút érték koordináta x max ( x i / x max 1) 1 n x i /x max p n. i=1 Mindegyik kifejezést 1/p-edik hatványra emelve, majd x max -szal beszorozva kapjuk, hogy ( n x max x max i=1 x i x max p ) 1/p x max n 1/p, Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

22 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma p = 1 p = 3 2 p = 2 p = 3 p = Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

23 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma p = 1 p = 2 p = Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

24 Norma A norma általános fogalma Á Az el z normák alaptulajdonságai: x 0 x = 0 x = 0 ( a d(x, y) = x y távolságfüggvény szeparálja a pontokat, azaz két különböz pont távolsága sosem 0) cx = c x (pozitív homogenitás) x + y x + y (háromszögegyenl tlenség) D Az f : R n R, vagy f : C n R függvény norma, ha f (x) 0 minden x vektorra, és f (x) = 0 pontosan akkor áll fenn, ha x = 0, f (cx) = c f (x) minden x vektorra, f (x + y) f (x) + f (y). m x = x bármely. normára igaz, hisz x = 1 x = x. m háromszögegyenl tlenség másik alakja: z x z x Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

25 Norma A norma általános fogalma m A háromszögegyenl tlenség p-normánál: Minkowski-egyenl tlenség: x + y p x p + y p. (1) m A Hölder-egyenl tlenség a CBS-egyenl tlenség általánosítása: x H y x p y q, ahol 1 p + 1 q = 1. (2) m Ha x x egy norma, és A egy egy-egy értelm lineáris leképezés, akkor az x Ax leképezés is norma és a következ is x y x sup y 0 y m max i { x i } x x n 2 x x n azaz m Másrészt x x 2 x 1. x 1 n x 2, x 2 n x és x 1 n x. m Minden norma folytonos függvény. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

26 Norma Vektornormák ekvivalenciája D A. a és. b normák ekvivalensek, ha van olyan c és d pozitív valós szám, hogy. a c. b és. b d. a. m Az 1-, 2- és -normák ekvivalensek T A K n téren értelmezett bármely két norma ekvivalens (K = R vagy C). m Ez csak véges dimenziós terekben igaz, itt tehát a konvergenciakérdésekhez bármelyik norma jó. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

27 Mátrixnorma 1 Szinguláris érték Az SVD meghatározása Szinguláris érték szerinti felbontás létezése Szinguláris felbontás geometriai interpretációja 2 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma A norma általános fogalma Vektornormák ekvivalenciája 3 Mátrixnorma Vektornorma mátrixokon A mátrixnorma általános fogalma Az 1-, 2- és -norma mátrixokra 4 Alkalmazások Információtömörítés Mögöttes tartalom analízise Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

28 Mátrixnorma Vektornorma mátrixokon D Az A C m n mátrix Frobenius-normája m n m n A F = a ij 2 = A i 2 = 2 A j 2. 2 i=1 j=1 T Frobenius-norma ekvivalens alakjai: A F = i=1 trace(a H A) = min(m,n) i=1 j=1 σ 2 i. B [A H A] jj = A j 2 2 nyom = sajátértékek összege Á Bármely x C n vektorra és A C m n mátrixra Ax 2 A F x 2. B CauchyBunyakovszkijSchwarz-egyenl tlenségb l: n n Ax 2 = 2 A i x 2 A i 2 2 x 2 = 2 A 2 F x 2. 2 i=1 i=1 Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

29 Mátrixnorma A mátrixnorma általános fogalma D. : K n R mátrixnorma, ha A 0, és A = 0 pontosan akkor áll fenn, ha A = O, ca = c A, A + B A + B, AC A C. D. egy tetsz leges vektornorma. Ekkor az A = max Ax x =1 egyenl séggel deniált függvényt a vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük. m Jelölés: A p = max x p =1 Ax p m Ha lineáris leképezésre értelmezzük, operátornormáról beszélünk. m A normák ekvivalenciájából bármely normában az egységgömb korlátos és zárt a x Ax függvénynek van maximuma és minimuma m a deníció ekvivalens alakjai Ax A = sup x =0 x = max Ax x =0 x. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

30 Mátrixnorma Az 1-, 2- és -norma mátrixokra T Legyen A C m n, ekkor A 1 = max j n a ij = legnagyobb abszolút oszlopösszeg, (3) i=1 m A = max a ij = legnagyobb abszolút sorösszeg, (4) i j=1 A 2 = A H = max max y H Ax = σ 1, (5) 2 x 2 =1 y 2 =1 Ha az A C n n invertálható, akkor A 1 2 = max x 2 =1 1 Ax 2 = ahol σ n az A legkisebb (pozitív) szinguláris értéke. 1 = 1, (6) min Ax 2 σ n x 2 =1 m Az 1-, a - és a 2-normára szokásos másik elnevezés: oszlopnorma, sornorma és spektrálnorma. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

31 Alkalmazások 1 Szinguláris érték Az SVD meghatározása Szinguláris érték szerinti felbontás létezése Szinguláris felbontás geometriai interpretációja 2 Norma Euklideszi vektornorma és p-norma A norma általános fogalma Vektornormák ekvivalenciája 3 Mátrixnorma Vektornorma mátrixokon A mátrixnorma általános fogalma Az 1-, 2- és -norma mátrixokra 4 Alkalmazások Információtömörítés Mögöttes tartalom analízise Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

32 Alkalmazások Információtömörítés T Kis rangú approximáció tétele EckartYoung-tétel A r-rangú, k-adik szinguláris értéke σ k, jobb és bal szinguláris vektorta v k, illetve u k. Legyen k A k = σ i u i v T i. Ekkor A k az A mátrix legjobb legföljebb k-rangú közelítése, azaz r min A B F = A A k F = σ 2, i r(b) k i=1 i=k+1 min A B 2 = A A k 2 = σ k+1. r(b) k Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

33 Alkalmazások Információtömörítés 1, 2, 3, 4, 8, 12, 40, 97, 194. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

34 Alkalmazások Információtömörítés Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

35 Alkalmazások Mögöttes tartalom analízise A latent semantic indexing (LSI) vagy latent semantic analysis (LSA) Ö Az egy dokumentumban szerepl szavakat összekapcsolja a dokumentum tartalma, e kapcsolatokat a szavak mögött lév tartalmat az SVD kiemeli, mint lényeges információt. A sorai a szavakat, oszlopai a dokumentumokat reprezentálják. t ij az i-edik szó gyakorisága a j-edik dokumentumban és T i a teljes szöveggy jteményben ( ) t n ik log t ik T a ij = 1 + i T i log(1 + t ij ). log n k=1 az els tényez egy csak az i-edik szónak az egész gy jteményhez való kapcsolatától függ globális súly, a második csak a lokális érték függvénye. A = UΣV T és közelítése A k = U k Σ k V T k U k, illetve V k oszlopainak vektorterében a szavak, illetve dokumentumok kapcsolatát a hozzájuk tartozó vektorok helyzete jellemzi Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28 Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Alkalmazott algebra - SVD

Alkalmazott algebra - SVD Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés

Részletesebben

Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition

Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

Haladó lineáris algebra

Haladó lineáris algebra B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26. Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága

Részletesebben

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22 Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Alkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )

Alkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Lineáris leképezések

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf87 2017-11-21

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 Tartalomjegyzék Bevezetés 17 A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 I. A lineáris algebra forrásai 25 1 Vektorok 29 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 29 Irányított szakasz,

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

3. el adás: Determinánsok

3. el adás: Determinánsok 3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások

Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A

Részletesebben

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2. Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és

Részletesebben

1. Bázistranszformáció

1. Bázistranszformáció 1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei

Részletesebben

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf81 2018-11-20

Részletesebben

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach/ február 15 Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó

Részletesebben

2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma

2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma Mátrixok Definíció Az m n típusú (méretű) valós A mátrixon valós a ij számok alábbi táblázatát értjük: a 11 a 12... a 1j... a 1n.......... A = a i1 a i2... a ij... a in........... a m1 a m2... a mj...

Részletesebben

Tartalomjegyzék. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 63

Tartalomjegyzék. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 63 Tartalomjegyzék I. A lineáris algebra forrásai 17 1 Vektorok 21 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 21 Irányított szakasz, kötött és szabad vektor 21 Vektor magadása egy irányított szakasszal 22 Vektor

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

3. előadás Stabilitás

3. előadás Stabilitás Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása

Részletesebben

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek 10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix

Részletesebben

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n} Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai

Részletesebben

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában 1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

Alkalmazott algebra - skalárszorzat

Alkalmazott algebra - skalárszorzat Alkalmazott algebra - skalárszorzat Ivanyos Gábor 2011 sz Skalárszorzat Skalárszorzat Ebben a részben: a standard skalárszorzat: u T v = n µ i ν i i=1 és a kapcsolódó lineáris algebra absztrakt tárgyalással

Részletesebben

1 Lebegőpontos számábrázolás

1 Lebegőpontos számábrázolás Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23 Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Szalai Eszter. Mátrix felbontások és alkalmazásaik

Szalai Eszter. Mátrix felbontások és alkalmazásaik Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematika Intézet Szalai Eszter Mátrix felbontások és alkalmazásaik BSc szakdolgozat Témavezet : Dr. Gergó Lajos ELTE Numerikus Analízis Tanszék Budapest 2016. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

1. feladatsor Komplex számok

1. feladatsor Komplex számok . feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................

Részletesebben

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31 Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen

Részletesebben

Faragó István Horváth Róbert NUMERIKUS MÓDSZEREK

Faragó István Horváth Róbert NUMERIKUS MÓDSZEREK Faragó István Horváth Róbert NUMERIKUS MÓDSZEREK El szó Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart a kezében vagy néz a számítógépe képerny jén. E jegyzetet a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetemen

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1-2 feladatok

Lin.Alg.Zh.1-2 feladatok Lin.Alg.Zh.- feladatok. Lin.Alg.Zh. feladatok.. d vektorok Adott három vektor ā b c az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 Tartalomjegyzék Bevezetés 17 A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 I A lineáris algebra forrásai 25 1 Vektorok 29 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 29 Irányított szakasz, kötött

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

rank(a) == rank([a b])

rank(a) == rank([a b]) Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és

Részletesebben

Normák, kondíciószám

Normák, kondíciószám Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér? Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Bevezetés Szükségünk van a komplex elemű mátrixok és vektorok bevezetésére. A komplex elemű n-dimenziós oszlopvektorok halmazát C n -el jelöljük. Hasonlóképpen az m n méretű komplex elemű mátrixok halmazát

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 22.

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 22. Sajátérték-problémák 2016. február 22. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre az egyenlet

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Principal Component Analysis

Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Numerikus módszerek beugró kérdések

Numerikus módszerek beugró kérdések 1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i

i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

7. gyakorlat megoldásai

7. gyakorlat megoldásai 7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy

Részletesebben

Mátrixfelbontások BSc szakdolgozat

Mátrixfelbontások BSc szakdolgozat Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Radnai Georgina Mátrixfelbontások BSc szakdolgozat Témavezető: Ágoston István Algebra és Számelmélet tanszék Budapest, 6 Tartalomjegyzék Bevezetés 4.

Részletesebben