Opkut deníciók és tételek

Átírás

1 Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét (minimumát vagy maximumát) értelmezési tartományának adott lineáris korlátokkal (feltételekkel) meghatározott részében. 2. Deníció (Lehetséges megoldás). Olyan x R n vektor, amely kielégíti a feladat feltételrendszerét jelölés: lehetséges megoldások halmaza: L ( R n ) 3. Deníció (Optimális megoldás). Olyan lehetséges megoldás, amelyen a célfüggvény felveszi a maximumát (minimumát). 4. Deníció (Lineáris feltétel). Olyan ' ', ' ' egyenl tlenség vagy egyenlet, amely csak lineáris illetve konstans tagokat tartalmaz. 5. Deníció (Standard alakú lineáris programozási feladat). a ij x i b i i = 1, 2,..., m x j 0 max c i x i = z i = 1, 2,..., n 6. Deníció (Szótár). x n+i = b i a ij x j z = c j x j 1 i = 1, 2,..., m

2 2 7. Deníció (Természetes (vagy döntési) változók). A standard alakú feladatban szerepl változók (x 1, x 2,..., x n ). 8. Deníció (Mesterséges (vagy slack) változók). A szótár felírásakor felvett új, nemnegatív változók (x n+1, x n+2,..., x n+m ) 9. Deníció (Bázisváltozók, más néven Bázis). A szótár feltétel egyenleteinek bal oldalán álló változók, jelölés - Bázisváltozók indexhalmaza: B 10. Deníció. A szótár feltételeinek jobb oldalán álló változók jelölés - Nembázisváltozók indexhalmaza: N 11. Deníció (Szótár bázismegoldása). Olyan x vektor, amelyben a bázisváltozók értékei az ket tartalmazó egyenletek jobb oldali konstansai, a nembázis változók értéke nulla. 12. Deníció (Lehetséges bázismegoldás). Olyan bázismegoldás, ami egyben lehetséges megoldás is, azaz a szótárra teljesül, hogy b i 0i = 1, 2,..., m 13. Deníció (Pivot lépés). Új szótár megadása egy bázis és nembázis változó szerepének felcserélésével 14. Deníció (Belép változó). A szimplex algoritmus egy iterációnak belép változója az a nembázis változó, ami a következ szótárra áttérés hatására bázisváltozóvá válik. 15. Deníció (Kilép változó). A szimplex algoritmus egy iterációnak belép változója az a nembázis változó, ami a következ szótárra áttérés hatására nembázis változóvá válik. 16. Deníció (Szótárak ekvivalenciája). Két szótár ekvivalens, ha lehetséges megoldásaik és a hozzájuk tartozó célfüggvényértékek rendre megegyeznek. 17. Deníció (Nem korlátos LP feladat). Ha az LP feladat maximalizálandó (minimalizálandó) és célfüggvénye tetsz legesen nagy (kicsi) értéket felvehet a lehetséges megoldásainak halmazán, akkor a feladatot nem korlátosnak nevezzük. 18. Deníció (Pivot szabály). Olyan szabály, ami egyértelm vé teszi, hogy a szimplex algoritmusban mely változók legyenek a belép - és a kilép változók, ha több változó is teljesíti az alapfeltételeket.

3 3 19. Deníció (Klasszikus Szimplex algoritmus pivot szabálya). - A lehetséges belép változók közül válasszuk a legnagyobb c k érték t, több ilyen esetén azok közül a legkisebb index t. - A lehetséges kilép változók köül válasszuk a legkisebb l index egyenlet változóját. 20. Deníció (Degenerált iterációs lépés). Olyan szimplex iteráció, amelyben nem változik a bázismegoldás. 21. Deníció (Degenerált bázismegoldás). Olyan bázismegoldás, amelyben egy vagy több bázisváltozó értéke Deníció (Ciklizáció). Ha a Szimplex algoritmus valamely iterációja végén egy korábbi iteráció szótárát kapjuk meg újra, akkor azt ciklizációnak nevezzük. 23. Deníció (Legkisebb index szabálya). - A lehetséges belép változók közül válasszuk a legkisebb index t. - A lehetséges kilép változók közül válasszuk a legkisebb index t. 24. Deníció (Lexikograkus rendezés). Egy x R n vektor lexikogra- kusan kisebb vagy egyenl, mint egy y R n vektor, ha létezik olyan i index, amelyre x i < y i és x j = y j j = 1, 2,..., i 1, vagy x = y - Dichotom, reexív, tranzitív és antiszimmetrikus - Teljes rendezés 25. Deníció. Egészítsük ki szimbolikus ɛ konstansokkal az induló szótárat, majd - A lehetséges belép változók közül válasszuk a legnagyobb c k érték t, több ilyen esetén azok közül a legkisebb index t. - A lehetséges kilép változók közül válasszuk azt, amelynek l index egyenletére a [a lɛ1 a lɛ2... a lɛm ] vektor lexikograkusan a legkisebb

4 4 26. Deníció (Primál duál feladatpár). a ij x i b i i = 1, 2,..., m Primál feladat x j 0 i = 1, 2,..., n max c i x i = z a ij y i c j j = 1, 2,..., n Duál feladat y i 0 j = 1, 2,..., m min b i y i = w 27. Deníció (Általános LP feladat dualitás esetben). a ij x j b i i I a ij x j = b i i E x j 0 max c j x j = z i R - Ámnf. hogy az egyenl tlenségek mind ' ', a korlátos változók 0 alsó korlátosak - Jelölje a szabad változók indexhalmazát F - Legyen összesen n váltzó és m feltétel

5 5 28. Deníció (Általános LP feladat duálisa dualitás esetben). a ij y i c j j R a ij y i = c j y i 0 min b i y i = w j F i I 29. Deníció (Inkonzisztencia). egyenletek és egyenl tlenségek egy m elem a ij x j b i i I a ij x j = b i i E rendszere inkonzisztens, ha léteznek olyan y 1, y 2,..., y m valós számok, amelyekre teljesül, hogy a ij y i = 0 b i y i < 0 y i 0 j = 1, 2,..., n i I 30. Deníció (R n ). n-dimenziós lineáris tér a valós számok felett - Elemei az n elem valós vektorok 31. Deníció (E n ). n-dimenziós euklideszi tér, olyan R n, amelyben értelmezett egy bels szorzat és egy távolság függvény a következ módon - (x, y) = x T y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n - d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2

6 6 32. Deníció (Pont). egy x E n vektor 33. Deníció. x 1 ( E n ) és x 2 ( E n ) különböz pontokat összeköt szakasz: ahol λ [0, 1] és tetsz leges. {x : x E n, x = λx 1 + (1 λ)x 2 }, 34. Deníció. x 1, x 2 végpontú szakasz felez pontja: 1 2 x x 2 pont 35. Deníció (Ponthalmaz csúcspontja). Olyan pont, amely nem áll el egyetlen ponthalmazbeli szakasz felez pontjaként sem. 36. Deníció (n-dimenziós sík). {x : x E n, a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b}, ahol a 1, a 2,..., a n, b R és rögzítettek 37. Deníció. {x : x E n, a 1 x 1 + a 2 x a n x n b}, ahol a 1, a 2,..., a n, b R és rögzítettek 38. Deníció (Konvex ponthalmaz). Olyan ponthalmaz, amely tartalmazza bármely két pontját összeköt szakasz pontjait is. 39. Deníció (Zárt ponthalmaz). Olyan ponthalmaz, amely tartalmazza a pontjaiból képezhet tetsz leges konvergens sorozat határértékét is. 40. Deníció (Korlátos ponthalmaz). Olyan ponthalmaz, amelynek minden x pontjára teljesül, hogy d(0, x) K, ahol K egy rögzített valós szám. 41. Deníció (Poliéder). Zárt, véges sok csúcsponttal rendelkez ponthalmaz. 42. Deníció (Egy f függvény gradiens függvénye). [ f f(x) =, f,..., f ] x 1 x 2 x n 43. Deníció (Egy f függvény x pontjához tartozó Hesse mátrix). [ ] 2 f Hf(x) = x 1 x j

7 44. Deníció (Az optimalizálási feladathoz társított Log Barrier függvény). { log(bi a Φ i (x) = i x), a i x < b i i = 1, 2,..., m, a i x b i 45. Deníció (Az optimalizálási feladathoz társított Log Barrier feladat). max f(x) + Φ i (x) 46. Deníció (A standard alakú LP feladathoz társított Log Barrier feladat). Ax + w = b max c T x + µ log(x 1 ) + µ log(w j ) 47. Deníció (Mátrix játék kizetési mátrix). Olyan M mátrix, amelyben az m ij elemek a sor játékos nyereményei, amennyiben a sor játékos i-t, az oszlop játékos j-t lép a játékban. 48. Deníció (Tiszta stratégia). A kizetési mátrix sorait (oszlopait) a sor (oszlop) játékos tiszta stratégiáinak nevezzük. 49. Deníció (Sztochasztikus vektor). Olyan nem negatív vektor, amelyben az elemek össze Deníció (Kevert stratégia). Sztochasztikus vektor, amelynek i. eleme annak valószín sége, hogy a játékos az i tiszta stratégiát játssza egy fordulójában. 51. Deníció (Mátrix játék értéke). A játékhoz tartozó Minimax tétel szerinti z = w érték. 52. Deníció (Igazságos játék). Egy mátrix játék igazságos, ha értéke Deníció (Szimmetrikus játék). Egy mátrix játék szimmetrikus, ha mátrixának minden elemére teljesül, hogy a ij = a ji 54. Deníció (Dominancia). Egy Am n-es kizetési mátrix egy r sora dominálja az s sort, ha minden j = 1, 2,..., n-re a rj a sj, hasonlóan egy r oszlop dominálja az s oszlopot, ha minden i = 1, 2,..., m-re a ir a is 7

8 8 55. Deníció (Nyeregpont). Ha egy mátrix játékra M = m, akkor a mátrix a rs = m elemét a mátrix nyeregpontjának nevezzük. 56. Deníció (Nash egyensúly, equlibrium). Olyan stratégia pár, amely esetén egyik játékos sem tudja stratégiája változtatásával növelni a nyereségét, amennyiben a másik játékos nem változtat stratégiát. 57. Deníció (Prol). Egy döntéshozó egyéni preferencia sorrendje az alternatívák felett. 58. Deníció (Konszenzus függvény). Az F : P m P függvényt konszenzus függvénynek nevezzük. 59. Deníció (Egyszer többség). Helyezzük az a alternatívát a b elé, ha a döntéshozók többsége is ezt tette - Nem ad konszenzus függvényt. - Condorcet paradoxon. 60. Deníció. Jelölje b i (a) az i. prolban az a után következ alternatívák számát, és rendezzük az alternatívákat nagyság szerint a következ érték alapján b(a) = b i (a)

9 9 Tételek 1. Tétel. Minden lineáris programozási feladathoz megadható egy vele ekvivalens standard alakú feladat. 2. Tétel. A pivot lépés el tti és az utána el álló új szótár. 3. Tétel. Ha egy szótárban nincs pozitív c j j = 1, 2..., n + m célfüggvény együttható és negatív b i i = 1, 2,..., m konstans a feltételek egyenleteiben, akkor a szótár bázismegoldása. 4. Tétel. Ha egy szótárban van olyan pozitív c j j = 1, 2,..., n + m célfüggvény együttható, hogy minden a ij i = 1, 2,..., m együttható pozitív, akkor az LP feladat, amihez a szótár tartozik, nem korlátos 5. Tétel (Ciklizáció). Ha a szimplex algoritmus nem áll meg, akkor ciklizál. 6. Tétel (Bland szabály). A szimplex algoritmus véget ér, ha a legkisebb index szabályt használjuk. 7. Tétel (Szimplex módszer). Egy standard feladatnak akkor és csak akkor létezik lehetséges megoldása, ha 0 a hozzá felírt segédfeladat optimuma. 8. Tétel. Tetsz leges standard alakú lineáris programozási feladatra teljesülnek az alábbi állítások: - Ha nincs optimális megoldása, akkor vagy nem korlátos vagy nincs lehetséges megoldása. - Ha van lehetséges megoldása, akkor van lehetséges bázismegoldása is. - Ha van optimális megoldása, akkor van optimális bázismegoldása is. 9. Tétel (Gyenge dualitás tétele). Ha [x 1 x 2... x n ] a primál feladat lehetséges megoldása és [y 1 y 2... y m ] a duál feladat lehetséges megoldása, akkor c j x j b i y i 10. Tétel (Er s dualitás tétele). Ha x = [x 1 x 2... x n] a primál feladat egy optimális megoldása, akkor létezik a duális feladatnak egy y = [y1 y2... ym] optimális megoldása, amelyre teljesül, hogy c j x j b i yi

10 Tétel (1. Komplementaritás tétel). Egy x = [x 1 x 2... x n] primál lehetséges megoldás és egy y = [y 1 y 2... y m] duális lehetséges megoldás akkor és csak akkor optimálisak, ha teljesülnek a következ feltételek 1. Feltétel a ij yi = c j és/vagy x j = 0 igaz j = 1, 2,..., n 2. Feltétel a ij x j = b i és/vagy yi = 0 igaz i = 1, 2,..., m 12. Tétel (2. Komplementaritás tétel). Egy x = [x 1 x 2... x n] primál lehetséges megoldás akkor és csak akkor optimális, ha léteznek olyan y1y 2... ym valós számok, amelyekre teljesülnek az alább feltételek 1. Feltétel x j > 0 a ij yi = c j 2. Feltétel 3. Feltétel a ij x j < b i yi = 0 a ij yi c j j = 1, 2,..., n 4. Feltétel y i 0 i = 1, 2,..., m 13. Tétel. Ha egy LP feladatnak van legalább egy nem degenerált optimális megoldása, akkor létezik olyan pozitív ɛ, hogy a ij x i b i + t i i = 1, 2,..., m

11 11 x j 0 j = 1, 2,..., n max t i i = 1, 2,..., m c i x i = z LP feladatseregnek is van optimális megoldása, és az optimum értéke z (t 1, t 2,... t m ) = z + t i yi ahol z az eredeti LP feladat optimuma, y 1y 2... y m pedig a duális feladat optimális megoldása. 14. Tétel (Általános er s dualitás tétele). Ha egy lineáris programozási feladatnak van optimális megoldása, akkor a duálisának is, és ezek az optimumok megegyeznek. 15. Tétel (Tucker lehetetlenségi tétele egyenlet és egyenl tlenség rendszerekre). Egyenletek és egyenl tlenségek egy rendszere akkor és csak akkor megoldhatatlan, ha inkonzisztens 16. Tétel. Ha a g i feltételek lineárisak, akkor az f függvénynek az x pontban lokális maximum helye van, ha valahányszor egy ξ 0 vektorra teljesül ξ T g i (x ) = 0 minden i = 1, 2,..., m, akkor ξ T Hf(x )ξ < 0 is igaz rá. 17. Tétel. Akkor és csak akkor létezik a társított Log Barrier problémának optimuma, ha a kiindulási standard alakú LP feladatnak és a duálisának is léteznek lehetséges megoldásai. 18. Tétel. Ha egy primál (vagy duális) feladatnak létezik lehetséges megoldása és korlátos, akkor a társított Log Barrier feladatnak egyértelm en létezik optimuma. 19. Tétel (Minimax tétel). Minden m n méret A mátrixhoz léteznek olyan x m-dimenziós és y n-dimenziós stochasztikus vektorok, hogy min y x Ay = max xay, x ahol x és y rendre tetsz leges m és n dimenziós sztochasztikus vektorok.

12 Tétel (Dominancia tétel). Minden mátrix játékra igazak az alábbiak 1. Ha egy r sort dominál egy másik, akkor a sor játékosnak létezik olyan x kevert stratégiája, amelyben x r = 0, tehát az r sor törlése a mátrixból nem változtatja meg a játék értékét. 2. Ha egy s oszlopot dominál egy másik, akkor az oszlop játékosnak létezik olyan y kevert stratégiája, amelyben y s = 0, tehát az s oszlop törlése a mátrixból nem változtatja meg a játék értékét. 21. Tétel (Nyeregpont tétel). Ha egy A mátrixnak egy a rs elem nyeregpontja, akkor a sor játékos számára az r. sor illetve az oszlop játékos számára az s. oszlop választása optimális stratégia párt alkot, továbbá a játék értéke a rs 22. Tétel. Nem létezik olyan determinisztikus, teljes rendezést adó konszenzus függvény amely egyszerre kielégítené az alábbi 3 axiómát 1. axióma: ha egy a alternatíva minden prolban megel zi a b alternatívát, akkor a konszenzusban is. 2. axióma: a függvények argumentumul adott prol halmazban nincs olyan prol, amelyben valahányszor egy a alternatíva megel zi a b alternatívát, akkor a konszenzusban is így lesz független a többi proltól. 3. axióma: ha a és b alternatívák egymáshoz viszonyított sorrendjét nem változtatva módosítunk a prolokon, akkor a és b egymáshoz viszonyított sorrendje a konszenzusban sem változik.