1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
|
|
|
- Elek Tóth
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI
2 /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x + 5x = z max A feladat kanonikus alakjának alábbi lehetséges megoldásai közül válasszuk ki a bázismegoldásokat. x = [,,,,, ] x = [,,,,, ] x = [,,, 9,, 6] x 4 = [,,,,, ] x 5 = [,, 6,,, ]
3 /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x + 5x = z max A feladat kanonikus alakjának alábbi lehetséges megoldásai közül válasszuk ki a bázismegoldásokat. x = [,,,,, ] x = [,,,,, ] x = [,,, 9,, 6] x 4 = [,,,,, ] x 5 = [,, 6,,, ] x biztosan nem bázismegoldás, hiszen -nál több nem-nulla koordinátát tartalmaz.
4 /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x + 5x = z max A feladat kanonikus alakjának alábbi lehetséges megoldásai közül válasszuk ki a bázismegoldásokat. x = [,,,,, ] x = [,,,,, ] x = [,,, 9,, 6] x 4 = [,,,,, ] x 5 = [,, 6,,, ] Az x -hez tartozó bázis B = 4 lenne, de a mátrix szinguláris.
5 /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x + 5x = z max A feladat kanonikus alakjának alábbi lehetséges megoldásai közül válasszuk ki a bázismegoldásokat. x = [,,,,, ] x = [,,,,, ] x = [,,, 9,, 6] x 4 = [,,,,, ] x 5 = [,, 6,,, ] Az x -hez tartozó bázis B =. Így bázismegoldásról van szó, de biztosan nem maximális célfüggvényértékkel (z = ).
6 /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x + 5x = z max A feladat kanonikus alakjának alábbi lehetséges megoldásai közül válasszuk ki a bázismegoldásokat. x = [,,,,, ] x = [,,,,, ] x = [,,, 9,, 6] x 4 = [,,,,, ] x 5 = [,, 6,,, ] Az x 5 -hez tartozó bázis B 5 =. Bázismegoldásról van szó.
7 /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x + 5x = z max A feladat kanonikus alakjának alábbi lehetséges megoldásai közül válasszuk ki a bázismegoldásokat. x = [,,,,, ] x = [,,,,, ] x = [,,, 9,, 6] x 4 = [,,,,, ] x 5 = [,, 6,,, ] Az x 4 -hez tartozó bázisok B 4, = 4 B 4, = B 4, = B 4,4 =. B 4, mátrix szinguláris.
8 Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel /
9 / Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel Definíció. Egy LP-feladatot normál feladatnak nevezünk, ha feltételrendszere csak relációkat tartalmaz a változók csak nemnegatív értékeket vehetnek fel a célfüggvény maximumát keressük. a feltételek jobboldalán csak nemnegatív konstansok lehetnek.
10 Műveletek a szimplex-táblában 4/
11 4/ Műveletek a szimplex-táblában A pivot elem helyére a reciprokát írjuk A pivot elem sorában minden elemet elosztunk a pivotelemmel A pivot elem oszlopában minden elemet elosztunk a pivotelemmel és vesszük az ellentetjét A többi elemet úgy számoljuk, mint a báziscserénél
12 Pivot elem választása 5/
13 5/ Pivot elem választása Olyan oszlopban választjuk a pivot elemet ahol a célsor eleme negatív Pozitív számot választunk pivot elemnek A kiválasztott oszlop pozitív elemeivel osszuk el az utolsó oszlop megfelelő elemeit és azt a számot választjuk pivot elemnek, amelyre ez a hányados a legkisebb (szűk keresztmetszet szabály)
14 5/ Pivot elem választása Olyan oszlopban választjuk a pivot elemet ahol a célsor eleme negatív Pozitív számot választunk pivot elemnek A kiválasztott oszlop pozitív elemeivel osszuk el az utolsó oszlop megfelelő elemeit és azt a számot választjuk pivot elemnek, amelyre ez a hányados a legkisebb (szűk keresztmetszet szabály) A negatív célelemű oszlopok közül az alábbiak alapján választhatunk: A legnagyobb abszolútértékű negatív célelem oszlopából választunk Minden negatív célelemű oszlopban határozzuk meg a pivot elemet és számítsuk ki a célfüggvény növekedését. Válasszuk azt az oszlopot, amelynél a növekedés a legnagyobb Könnyebb számolás érdekében olyan oszlopot választunk, ahol pivot elem -nek adódik. Könnyebb számolás érdekében olyan oszlopot választunk, ahol pivot elem sorában vagy oszlopában -t, vagy -kat találunk.
15 Az algoritmus végetér 6/
16 6/ Az algoritmus végetér ha a célfüggvény sorában nincs negatív elem, ekkor az optimális megoldás és a hozzátartozó célfüggvényérték a táblából kiolvasható ha a negatív célelemek oszlopaiban nincs pozitív elem, ilyenkor a célfüggvény a lehetséges megoldások halmazán tetszőlegesen nagy értéket felvehet Bizonyos esetekben végtelen ciklusra vezet az algoritmus. Az ilyen esetek akkor léphetnek fel, ha a pivot elem sorában az utolsó oszlopban áll. (Ilyen esetekben a célfüggvény érték nem növekszik.) Az általunk használtaknál lényegesen bonyolultabb pivotelem-választási szabályokkal a végtelen ciklus elkerülhető.
17 7/ Példák.a) Oldjuk meg a Horgász-problémát szimplex algoritmussal! x + x + x 4 x + + x 5 x + x + 4x 7 x, x, x x + x + 4x = z max Az induló szimplex-tábla: x x x z 4 u 4 u 5 u 4 7 A szimplex táblából kiolvasható bázismegoldás: [x, u] = [,,, 4, 5, 7], a célfüggvény értéke z =. A táblához tatozó bázis a B =.
18 7/ Példák.a) Oldjuk meg a Horgász-problémát szimplex algoritmussal! x + x + x 4 x + + x 5 x + x + 4x 7 x, x, x x + x + 4x = z max Az induló szimplex-tábla: x x x z 4 u 4 u 5 u 4 7 A szimplex táblából kiolvasható bázismegoldás: [x, u] = [,,, 4, 5, 7], a célfüggvény értéke z =. A táblához tatozó bázis a B =.
19 7/ Példák.a) Oldjuk meg a Horgász-problémát szimplex algoritmussal! x + x + x 4 x + + x 5 x + x + 4x 7 x, x, x x + x + 4x = z max Az induló szimplex-tábla: x x x z 4 u 4 u 5 u 4 7 A szimplex táblából kiolvasható bázismegoldás: [x, u] = [,,, 4, 5, 7], a célfüggvény értéke z =. A táblához tatozó bázis a B =.
20 8/ Elemi bázistranszformációval új bázisra térünk át. Ehhez a pivot elemet a legkisebb negatív célelem oszlopából (. oszlop) választjuk. Az oszlopot a szűk keresztmetszet elve alapján a. sor helyére visszük a bázisba: x x x z 4 u 4 u 5 u 4 7
21 8/ Elemi bázistranszformációval új bázisra térünk át. Ehhez a pivot elemet a legkisebb negatív célelem oszlopából (. oszlop) választjuk. Az oszlopot a szűk keresztmetszet elve alapján a. sor helyére visszük a bázisba: x x x z 4 u 4 u 5 u 4 7
22 8/ Elemi bázistranszformációval új bázisra térünk át. Ehhez a pivot elemet a legkisebb negatív célelem oszlopából (. oszlop) választjuk. Az oszlopot a szűk keresztmetszet elve alapján a. sor helyére visszük a bázisba: x x x x x u z 4 z 4 u 4 u u 5 x u 4 7 u 4 A szimplex táblából kiolvasható bázismegoldás: [x, u] = [,, 5,,, ], a célfüggvény értéke z =. A táblához tatozó bázis a B = 4. 5
23 8/ Elemi bázistranszformációval új bázisra térünk át. Ehhez a pivot elemet a legkisebb negatív célelem oszlopából (. oszlop) választjuk. Az oszlopot a szűk keresztmetszet elve alapján a. sor helyére visszük a bázisba: x x x x x u z 4 z 4 u 4 u u 5 x u 4 7 u 4 A szimplex táblából kiolvasható bázismegoldás: [x, u] = [,, 5,,, ], a célfüggvény értéke z =. A táblához tatozó bázis a B = 4. 5
24 8/ A bejelölt elemet választjuk pivotelemnek, így a. oszlop kerül a. bázisvektor helyére: x x u z 4 u x u 4 5
25 8/ A bejelölt elemet választjuk pivotelemnek, így a. oszlop kerül a. bázisvektor helyére: x x u x u u z 4 z u u x x u 4 x 6 A szimplex táblából kiolvasható bázismegoldás: [x, u] = [, 6, 5,,, ], a célfüggvény értéke z =. A táblához tatozó bázis a B =. 4
26 8/ A bejelölt elemet választjuk pivotelemnek, így a. oszlop kerül a. bázisvektor helyére: x x u x u u z 4 z u u x x u 4 x 6 A szimplex táblából kiolvasható bázismegoldás: [x, u] = [, 6, 5,,, ], a célfüggvény értéke z =. A táblához tatozó bázis a B =. 4
27 8/ A megjelölt elemet választva pivotelemnek, az. oszlopot visszük a bázisba, a. sor helyére: x u u z u x x 6 5 6
28 8/ A megjelölt elemet választva pivotelemnek, az. oszlopot visszük a bázisba, a. sor helyére: x u u x u u z u x x z 9 u x x 5 A szimplex táblából kiolvasható bázismegoldás: [x, u] = [ 5,,,,, ], a célfüggvény értéke z = 9. A táblához tatozó bázis a B =.
29 8/ A megjelölt elemet választva pivotelemnek, az. oszlopot visszük a bázisba, a. sor helyére: x u u x u u z u x x z 9 u x x 5 A szimplex táblából kiolvasható bázismegoldás: [x, u] = [ 5,,,,, ], a célfüggvény értéke z = 9. A táblához tatozó bázis a B =.
30 8/ A megjelölt elemet választva pivotelemnek, az. oszlopot visszük a bázisba, a. sor helyére: x u u x u u z u x x z 9 u x x 5 A szimplex táblából kiolvasható bázismegoldás: [x, u] = [ 5,,,,, ], a célfüggvény értéke z = 9. A táblához tatozó bázis a B = Mivel a célsorban nincs negatív elem, az algoritmus véget ért. A kapott megoldás optimális..
31 9/.b) Oldjuk meg a következő LP-feladatot szimplex algoritmussal! x x x x 6 x x x, x x + x = z max
32 9/.b) Oldjuk meg a következő LP-feladatot szimplex algoritmussal! x x z u u 6 u x x x x 6 x x x, x x + x = z max
33 9/.b) Oldjuk meg a következő LP-feladatot szimplex algoritmussal! x x z u u 6 u x x x x 6 x x x, x x + x = z max
34 9/.b) Oldjuk meg a következő LP-feladatot szimplex algoritmussal! x x x x 6 x x x, x x + x = z max x x z u u 6 u u x z x u 5 u 9
35 9/.b) Oldjuk meg a következő LP-feladatot szimplex algoritmussal! x x z u u 6 x x x x 6 x x x, x x + x = z max u x z x u 5 u u A második táblában a negatív célelem alatt nincs pozitív szám, ezért a célfüggvény tetszőlegesen nagy értékeket felvehet a lehetséges megoldások halmazán. 9
36 9/.b) Oldjuk meg a következő LP-feladatot szimplex algoritmussal! x x z u u 6 x x x x 6 x x x, x x + x = z max u x z x u 5 u u A második táblában a negatív célelem alatt nincs pozitív szám, ezért a célfüggvény tetszőlegesen nagy értékeket felvehet a lehetséges megoldások halmazán. Írjuk fel a kapott táblához tartozó egyenletrendszert: 9
37 / u x + z = u x + x = u 5 x + u = 9 u x + u = Az egyes egyenletekből a bázisváltozókat kifejezve: z = u + x x = u + x u = 9 + u + 5 x u = + u + x Az u =, x = d > értékekkel az x = + d, u = d, u = + d lehetséges megoldást kapjuk, amely mellett a célfüggvény értéke z = + d lesz, amely d esetén minden határon túl nő.
38 / u x + z = u x + x = u 5 x + u = 9 u x + u = Az egyes egyenletekből a bázisváltozókat kifejezve: z = u + x x = u + x u = 9 + u + 5 x u = + u + x Az u =, x = d > értékekkel az x = + d, u = d, u = + d lehetséges megoldást kapjuk, amely mellett a célfüggvény értéke z = + d lesz, amely d esetén minden határon túl nő.
39 / u x + z = u x + x = u 5 x + u = 9 u x + u = Az egyes egyenletekből a bázisváltozókat kifejezve: z = u + x x = u + x u = 9 + u + 5 x u = + u + x Az u =, x = d > értékekkel az x = + d, u = d, u = + d lehetséges megoldást kapjuk, amely mellett a célfüggvény értéke z = + d lesz, amely d esetén minden határon túl nő.
40 / u x + z = u x + x = u 5 x + u = 9 u x + u = Az egyes egyenletekből a bázisváltozókat kifejezve: z = u + x x = u + x u = 9 + u + 5 x u = + u + x Az u =, x = d > értékekkel az x = + d, u = d, u = + d lehetséges megoldást kapjuk, amely mellett a célfüggvény értéke z = + d lesz, amely d esetén minden határon túl nő.
41 / Feladatok. Oldjuk meg a következő LP-feladatot szimplex algoritmussal! x + x + x + x 5 x + x + x 4 + x 5 8 x + x + x 4 5 x, x, x, x 4, x 5 x + x + x + x 4 + x 5 = z max Megoldás: x = (,,,, 5), u = (,, ) z =
42 / Feladatok. Oldjuk meg a következő LP-feladatot szimplex algoritmussal! Megoldás: x = ( 6 7, 75 7 x 5x 7x + 8x 56 5x + x x, x x + 5x = z max 859 ), u = (777 7,, ) z = 7
43 / Feladatok. Oldjuk meg a következő LP-feladatot szimplex algoritmussal! x + x x x x 8 x + x + x 6 x, x, x 6x + 7x + x = z max Megoldás: x = (9,, ), u = (,, ) z =
44 / Feladatok 4. Oldjuk meg a következő LP-feladatot szimplex algoritmussal! x x + x 8 x + x x 4 x + x x + x 4 x, x, x, x 4, x 5 6x + x + 5x + 7x 4 = z max Megoldás: x = (,, 8, 8), u = (,, ) z = 66
45 / Felhasznált Irodalom [.] Bajalinov Erik - Imreh Balázs: Operációkutatás, Polygon 5. [.] Imreh Balázs: Bevezetés az operációkutatásba, Phare 999. [.] Temesi József - Varró Zoltán: Operációkutatás, Aula 7.
1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév
1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI
1/12 Operációkutatás 5. gyakorlat Hiperbolikus programozási feladat megoldása Pécsi Tudományegyetem PTI 2/12 Ha az Hiperbolikus programozási feladat feltételek teljesülése mellett a A x b x 0 z(x) = c
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény
A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
A szimplex algoritmus
. gyakorlat A szimplex algoritmus Az előző órán bevezetett feladat optimális megoldását fogjuk megvizsgálni. Ehhez új fogalmakat, és egy algoritmust tanulunk meg. Hogy az algoritmust alkalmazni tudjuk,
Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu Budapest 200. október 10. Mit tanulunk ma? Szállítási feladat Megoldása Adott: Egy árucikk, T 1, T 2, T,..., T m termelőhely, melyekben rendre
A szimplex tábla. p. 1
A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex
A szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
Opkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Áttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Áttekintés Kezdjük újra a klasszikus erőforrás allokációs problémával (katonák,
Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor
Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje
Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.
Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor
Nem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei
5. gyakorlat Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei. Emlékeztető Standard alak, áttérés Standard alak Minden feltétel et tartalmaz csak. A célfüggvényünket maximalizáljuk. A b vektor (jobb oldalon
Bevezetés a lineáris programozásba
Bevezetés a lineáris programozásba 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Szimplex módszer p. 1/1 Az LP feladatok általános modellje A korlátozó feltételeket írjuk fel
Operációkutatás gyakorlattámogató jegyzet
TÁMOP-4...F-4//KONV-05-0009 A GÉPÉSZETI ÉS INFORMATIKAI ÁGAZATOK DUÁLIS ÉS MODULÁRIS KÉPZÉSEINEK KIALAKÍTÁSA A PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEMEN Király Balázs Operációkutatás gyakorlattámogató jegyzet Pécs 05 A
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció
7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy
Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar
Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Operációkutatás I. írta Bajalinov, Erik és Bekéné Rácz,
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
Bázistranszformáció és alkalmazásai
Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer
Lineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
Lineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor
Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok Rétvári Gábor retvari@tmit.bme.hu Feladatok Szöveges feladatok. Egy acélgyárban négyfajta zártszelvényt gyártanak: kis,
Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
Branch-and-Bound. 1. Az egészértéketű programozás. a korlátozás és szétválasztás módszere Bevezető Definíció. 11.
11. gyakorlat Branch-and-Bound a korlátozás és szétválasztás módszere 1. Az egészértéketű programozás 1.1. Bevezető Bizonyos feladatok modellezése kapcsán előfordulhat olyan eset, hogy a megoldás során
5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.
A pivotálás hasznáról és hatékony módjáról Adott M mátrixra pivotálás alatt a következ½ot értjük: Kijelölünk a mátrixban egy nemnulla elemet, melynek neve pivotelem, aztán az egész sort leosztjuk a pivotelemmel.
EGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE
Lipécz György* EGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE AVAGY A SZÁMÍTÓGÉP-HASZNÁLAT LEHETŐSÉGE A LINEÁRIS ALGEBRA ÉS AZ OPERÁCIÓKUTATÁS ALAPJAINAK OKTATÁSÁBAN " Simplicitassigillum veri"
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
Általános algoritmustervezési módszerek
Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás
Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai
Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.
1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1
1. Előadás Lineáris programozás
1. Előadás Lineáris programozás Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Operációkutatás Az operációkutatás az alkalmazott matematika az az ága, ami bizonyos folyamatok és
Mátrixalgebra Optimumszámítás
Mátrixalgebra Optimumszámítás Ábrahám István Mátrixalgebra Optimumszámítás Egyszerűen, érthetően A könyv megjelenését a Nemzeti Kulturális Alap támogatta. c Ábrahám István, Typotex, Budapest, 2015 Engedély
Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot:
Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x 3 11 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 = maximum, feltéve, hogy
9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
Érzékenységvizsgálat
Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális
Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.
Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót
További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás
További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás Készítette: Dr. Ábrahám István Hiperbolikus programozás Gazdasági problémák optimalizálásakor gyakori, hogy
15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport
Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát
MA1143v A. csoport Név: december 4. Gyak.vez:. Gyak. kódja: Neptun kód:.
MAv A. csoport Név:... Tekintsük az alábbi mátriot! A 7 a Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozza meg az inverzét! Ellenőrizze számításait! b Milyen egyéb mátritulajdonságokra
Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Operációkutatás. tanulmányokhoz
II. évfolyam szakirány BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Operációkutatás tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS Tanév (2014/2015) I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Operációkutatás Tanszék: BGF Módszertani Intézeti
2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 8. Előadás Bevezetés Egy olyan LP-t, amelyben mindegyik változó egészértékű, tiszta egészértékű
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról
A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról Nagy Adrienn A doktori disszertáció tézisei Témavezető: Illés Tibor Egyetemi Docens, PhD Témavezető: Kovács
Operációkutatás példatár
1 Operációkutatás példatár 2 1. Lineáris programozási feladatok felírása és megoldása 1.1. Feladat Egy gazdálkodónak azt kell eldöntenie, hogy mennyi kukoricát és búzát vessen. Ha egységnyi földterületen
Előfeltétel: legalább elégséges jegy Diszkrét matematika II. (GEMAK122B) tárgyból
ÜTEMTERV Programozás-elmélet c. tárgyhoz (GEMAK233B, GEMAK233-B) BSc gazdaságinformatikus, programtervező informatikus alapszakok számára Óraszám: heti 2+0, (aláírás+kollokvium, 3 kredit) 2019/20-es tanév
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
A Szállítási feladat megoldása
A Szállítási feladat megoldása Virtuális vállalat 201-2014 1. félév 4. gyakorlat Dr. Kulcsár Gyula A Szállítási feladat Adott meghatározott számú beszállító (source) a szállítható mennyiségekkel (transportation
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek
1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:
Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus
Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6
9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI
A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI Irodalom: Temesi J., A döntéselmélet alapjai, Aula, 2002, Budapest Lawrence, J.A., Pasternack, B.A., Applied management science, John Wiley & Sons Inc. 2002 Stevenson, W. J., Operation
Nemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
Operációkutatás I. Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdinfo nappali tagozat Operációkutatás I. Tantárgyi útmutató 2017/18 tanév 1. félév 1/4 Tantárgy megnevezése: Operációkutatás Tantárgy kódja: OPKU1KOMEMM Tanterv szerinti
További forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék
További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két
lineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását
1. előadás Bevezetés Lehetetlen egészen pontosan megállapítani, mi tekinthető az operációkutatás első eredményeinek, hisz az optimalizálás mégcsak nem is az emberi faj kiváltsága. Kétségtelen viszont,
1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
Jelen jegyzet a József Attila Tudományegyetem programozó matematikus és. A feldolgozott anyag bevezető jellegű. Néhány karakterisztikus, ma már
Előszó Jelen jegyzet a József Attila Tudományegyetem programozó matematikus és közgazdasági programozó hallgatói számára készült, akik második félévtől hallgatnak operációkutatást. A feldolgozott anyag
Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása
1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június
Matematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................
Optimumkeresés számítógépen
C Optimumkeresés számítógépen Az optimumok megtalálása mind a gazdasági életben, mind az élet sok más területén nagy jelentőségű. A matematikában számos módszert dolgoztak ki erre a célra, például a függvények
Assignment problem Hozzárendelési feladat (Szállítási feladat speciális esete)
Assignment problem Hozzárendelési feladat (Szállítási feladat speciális esete) C költség mátrix költség Munkákat hozzá kell rendelni gépekhez: egy munka-egy gép c(i,j) mennyi be kerül i-dik munka j-dik
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
A lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás
A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott
Döntéselőkészítés. VII. előadás. Döntéselőkészítés. Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat)
VII. előadás Legyenek adottak Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat) I, I 2,, I i,, I m személyek és a J, J 2,, J j,, J n munkák. Azt, hogy melyik személy melyik munkához ért ( melyik munkára van kvalifikálva)
Egyenletek, egyenletrendszerek, matematikai modell. 1. Oldja meg az Ax=b egyenletrendszert Gauss módszerrel és adja meg az A mátrix LUfelbontását,
Egyenletek egyenletrendszerek matematikai modell Oldja meg az A=b egyenletrendszert Gauss módszerrel és adja meg az A mátri LUfelbontását ahol 8 b 8 Oldja meg az A=b egyenletrendszert és határozza meg
3. előadás. Termelési és optimalizálási feladatok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
3. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Fontos fogalmak
Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
Az online algoritmusok k-szerver probléma
Az online algoritmusok k-szerver probléma Bittner Emese, Imreh Csanád, Nagy-György Judit Szegedi Tudományegyetem Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az
Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok
Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok In English Integer Programming - IP Zero/One (boolean) programming 2007.03.12 Dr. Bajalinov Erik, NyF MII 1 Diszkrét és egészértékű változókat tartalmazó feladatok
Online algoritmusok. Algoritmusok és bonyolultságuk. Horváth Bálint március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok március 30.
Online algoritmusok Algoritmusok és bonyolultságuk Horváth Bálint 2018. március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok 2018. március 30. 1 / 28 Motiváció Gyakran el fordul, hogy a bemenetet csak részenként
Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal
1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják
egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Ütemezési feladatok. Az ütemezési feladatok vizsgálata az 50-es évek elején kezdődött, majd
1 Ütemezési feladatok Az ütemezési feladatok vizsgálata az 50-es évek elején kezdődött, majd tekintettel a feladat gyakorlati fontosságára sok különböző modell tanulmányozására került sor, és a témakör
Konjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
Döntéselmélet OPERÁCIÓKUTATÁS
Döntéselmélet OPERÁCIÓKUTATÁS Operációkutatás Az operációkutatás az a tudomány, amely az optimális döntések előkészítésében matematikai módszereket használ fel. Az operációkutatás csak a döntés-előkészítés