Assignment problem Hozzárendelési feladat (Szállítási feladat speciális esete)

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Assignment problem Hozzárendelési feladat (Szállítási feladat speciális esete)"

István Németh
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Assignment problem Hozzárendelési feladat (Szállítási feladat speciális esete) C költség mátrix költség Munkákat hozzá kell rendelni gépekhez: egy munka-egy gép c(i,j) mennyi be kerül i-dik munka j-dik gépen Dr. Bajalinov Erik, DE IK 1

2 Hozzárendelési feladat matematikai modellje ahol x ij =1, ha i-dik munkát hozzá kell rendelni j-dik géphez Dr. Bajalinov Erik, DE IK 2

Példa Egy cégnek 4 gépe van és 4 olyan munka, amelyeket kell ezeken a gépeken kell elvégezni. Minden egyes gépre egy munkát kell kijelölni, amelyet a gép teljesen elvégez.

3 Példa Egy cégnek 4 gépe van és 4 olyan munka, amelyeket kell ezeken a gépeken kell elvégezni. Minden egyes gépre egy munkát kell kijelölni, amelyet a gép teljesen elvégez. A következő táblázat mutatja, hogy az egyes gépeknek az egyes munkák elvégzéséhez mennyi munkaórára van szükség: Ki kell deríteni, hogy melyik munkát melyik géphez kell hozzárendelni ahhoz, hogy összes munkák elvégzéséhez szükséges munkaidő legyen minimális Dr. Bajalinov Erik, DE IK 3

4 Modell Dr. Bajalinov Erik, DE IK 4

5 Lingo modell Dr. Bajalinov Erik, DE IK 5

6 Lingo output Dr. Bajalinov Erik, DE IK 6

7 Optimális megoldás C(x)= = Dr. Bajalinov Erik, DE IK 7

Magyar módszer (Harold W. Kuhn - amerikai matematikus, 1992.-óta Magyar Operációkutatási Társaság tiszteletbeli tagja ) miért??? 1. Keressük meg az n n es költség mátrix minden sorában a legkisebb elemet.

8 Magyar módszer (Harold W. Kuhn - amerikai matematikus, óta Magyar Operációkutatási Társaság tiszteletbeli tagja ) miért??? 1. Keressük meg az n n es költség mátrix minden sorában a legkisebb elemet. Képezzük egy új mátrixot úgy, hogy, a sor minden eleméből kivonjuk a legkisebb elemet. Ebben az új mátrixban keressük meg minden oszlopban a legkisebb elemet. Képezzük egy új (un. redukált) mátrixot úgy, hogy az oszlop minden eleméből kivonjuk a legkisebb elemet. 2. Húzzuk át vízszintes és függőleges vonalakkal a kapott redukált mátrixban összes nulla értékű elemet (minimális számban). Ha ehhez éppen n vonal szükséges, akkor optimális megoldást kaptunk (lefedett nulláknál). Egyébként 3. Keressük meg a redukált mátrix nem lefedett részében legkisebb nem-nulla értékű elemet és vonjuk ki azt minden nem lefedett elemből, majd adjuk azt hozzá a kétszer lefedett elemekhez. Térjünk vissza a 2. lépéshez Dr. Bajalinov Erik, DE IK 8

Megjegyzések 1. Ha feladatban cél-függvényt kell maximalizálni, akkor a magyar módszer használata előtt költség mátrix minden elemét meg kell szoroznunk -1-gyel. 2.

9 Megjegyzések 1. Ha feladatban cél-függvényt kell maximalizálni, akkor a magyar módszer használata előtt költség mátrix minden elemét meg kell szoroznunk -1-gyel. 2. Magyar módszer alkalmazható csak olyan hozzárendelési feladatoknál, amelyekben sorok száma pontosan egyenlő oszlopok számával. Ha ez nem teljesül, akkor fiktív munka vagy fiktív gép bevezetésével a feladatot lehet átalakítani szükséges formába (kiegyensúlyozottá tenni). 3. Ahány vonallal sikerült lefedni nulla értékű elemeket redukált mátrixban, annyi munkát lehet hozzárendelni a nulla értékű elemeken keresztül ingyen, azaz a minimális költséghez képest. Ezért éppen n darab lefedő vonalra van szükségünk Dr. Bajalinov Erik, DE IK 9

10 Példa 1.lépés Dr. Bajalinov Erik, DE IK 10

11 2.lépés 3 vonal 3.lépés: Legkisebb nem lefedett elem = 1, ezért kivonása után: Dr. Bajalinov Erik, DE IK 11

12 A kétszer lefedett elemekhez adjuk hozzá 1-t, majd vízszintes és függőleges vonalakkal húzzuk át összes nullát: 4 vonal megvan! Mivel lefedéshez szükséges vonalak száma éppen 4, ezért optimális táblázat!!! Dr. Bajalinov Erik, DE IK 12

Optimális megoldás leolvasása (0-kat tartalmazó cellák alapján) Kezdjünk azzal a nullát tartalmazó cellával, amely saját sorban és saját oszlopban egyetlen egy nullát képez: 3.oszlopban 3.

13 Optimális megoldás leolvasása (0-kat tartalmazó cellák alapján) Kezdjünk azzal a nullát tartalmazó cellával, amely saját sorban és saját oszlopban egyetlen egy nullát képez: 3.oszlopban 3.sorban áll egyetlen nulla, ezért x 33 =1 2.oszlopban csak egy lefedett nulla van, 1.sorban, ezért x 12 =1 Mivel 1. munka már hozzá van rendelve 2. géphez, akkor 4.oszlopban szereplő 2 darab nullából csak 2.sorban állót lehet használni, így x 24 =1 Mivel csak 4. sor és 1.oszlop maradnak hozzárendelés nélkül, ezért x 41 = Dr. Bajalinov Erik, DE IK 13

Hasonló dokumentumok

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,