Bevezetés Standard 1 vállalatos feladatok Standard több vállalatos feladatok 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Átírás

1 Operációkutatás I. 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 10. Előadás

2 Vállalatelhelyezés

3 Vállalatelhelyezés Amikor egy új telephelyet kell nyitni, hogy valamilyen szolgáltatást, vagy terméket biztosítunk néhány keresleti pontnak, az egyik legfontosabb kérdés, hogy hova helyezzük azt a célfüggvény optimalizálásához. Egy új vállalat megnyitása stratégiai döntés, általában nagy beruházást igényel és nem változtatható könnyedén. Vállalatelhelyezési feladat: Köz szféra: iskolák tűzoltóállomások kórházak szemétlerakók Privát szektor: szupermarketek benzinkutak éttermek pékségek

4 Példa elhelyezési feladatra Lidl Spar Aldi Aldi Lidl

5 Az első elhelyezési feladat A Fermat-Weber probléma volt az első elhelyezési feladat, amit már a 17. században meg akartak oldani. A francia matematikus, Pierre de Fermat adta fel Torricellinek, az olasz fizikusnak a feladatot: Ha adott egy síkon három pont, találd meg a negyedik pontot úgy, hogy a három adott ponttól vett távolságainak összege a lehető legkisebb legyen ben Alfred Weber használta ezt a három pontos modelt, hogy ipari alkalmazásokban minimalizálja a teljes utiköltséget. Ez a megfogalmazás a legegyszerűbb folytonos vállalatelhelyezési feladatot adja.

6 A matematikai modell Keressük azt az x (x 1, x 2,..., x n koordinátájú) pontot, amire az a 1, a 2,..., a m pontok súlyozott össztávolsága minimális, azaz min m w i x a i i=1 ahol w i egy pont súlya és. az Euklidészi távolságot jelöli, azaz n x = x 2 i. j=1 A síkon vett három pontra ez min w 1 (x1 a 11 ) 2 + (x 2 a 12 ) w 2 (x1 a 21 ) 2 + (x 2 a 22 ) w 3 (x1 a 31 ) 2 + (x 2 a 32 ) 2.

7 Elhelyezési feladat hozzávalói Keresési tér: ahol az új vállalatot keressük, lehet diszkrét hálózat folytonos Keresleti pontok: felhasználók, vásárlók, akinek a keresletét kell kielégíteni. Lehet pontokba aggregált folytonos (adott sűrűségfüggvénnyel) mennyisége ismert vagy valószínűsített Vállalatok száma: hány telephelyet válasszunk, lehet egy több Döntési változók: a helyen kívül néha változó a kapacitás minőség (méret) áru ára Célfüggvény: mi szerint optimalizáljunk minisum minimax max profit

8 Távolságfüggvény A távolságfüggvény függhet a keresési tértől, általában diszkrét esetben előre adott hálózatnál gráfelméleti legrövidebb út, tehát x (v i, v j ) él és v k csúcs esetén d(x, v k ) = min{x+d ik, l ij x+d jk }, ahol d ij a v i és v j csúcs távolsága folytonos esetben lehet n Euklidészi, x 2 = j=1 x2 i, Manhattan-i, x 1 = n j=1 x i, Végtelen norma, x = max x i.

9 Center és medián feladat Legyen adva m keresleti pont, a 1, a 2,..., a m, és ezek kereslete w 1, w 2,..., w n. Feltéve, hogy adott a távolságfüggvény, d i (x), ami a i és x távolságát adja meg, keressük az x pontot, ahol a célfüggvény: Medián min m w i d i (x) i=1 konvex függvény, könnyű megoldani iskolák, raktárak Másnéven Fermat-Weber probléma Geogebra Weiszfeld Europa Center min max i=1,...,m w id i (x) ez is konvex, de nem mindenhol differenciálható vészelhárítási szervek

10 Anti-center és anti-medián feladat Itt is m keresleti pont, a 1, a 2,..., a m, és ezek kereslete w 1, w 2,..., w n van megadva a d i (x) távolságfüggvény mellett. Anti-medián max m w i d i (x) i=1 konvex függvény, de most MAX!!! börtön, nem-kívánt vállalat (pl. zajos, büdös) Anti-center max max i=1,...,m w id i (x) ez is konvex, nem mindenhol differenciálható veszélyes üzemek, pl. atomerőmű

11 p-center és p-medián feladat Itt is adott m keresleti pont, a 1, a 2,..., a m, és ezek kereslete w 1, w 2,..., w n, illetve a távolságfüggvény, d i (x). Egy keresleti pont mindig a hozzá legközelebbi vállalatot választja. Keressük p darab új vállalat helyét, x 1, x 2,..., x p -t, ami minimalizálja p-medián min m i=1 w i min d i(x j ) j=1,...,p iskolák, raktárak, klaszterezés p-center min max i=1,...,m w i vészelhárítási szervek min d i(x j ) j=1,...,p GO nem konvex, nem konkáv függvények, nem könnyű megoldani

12 Fedési feladatok Tegyük fel, hogy a telepítendő üzemek csak egy bizonyos sugáron belül tudják kielégíteni a keresletet. Adott sugár mellett keressük az új vállalat (vagy vállalatok) helyét, maximalizálva a lefedett keresletet. max m i=1 j d i (x j ) R w i

13 Versenyző vállalatok A kereslet lehet fix vagy rugalmas. Már létezhetnek vállalatok, saját vagy versenytársé. A vásárlók dönthetnek melyik vállalatot válaszják. Ezt többnyire vonzási függvény segítségével teszik. A vonzóság a távolsággal fordítottan arányos. A vonzás alapján lehet bináris, vagy arányos. Néha el kell dönteni az áru árát is.

14 Köszönöm a figyelmet! Őszi félévben tartok Optimalizálási Modellek spec.koll.t (laborgyakorlat), ahol modellezéssel, azaz szöveges feladatok matematikai feĺırásával és azok megoldásával foglalkozunk. Hasonló témában érdeklődő hallgatóknak feladatok, TDK, szakdolgozat téma, stb. Érdeklődj en: boglarka@inf.szte.hu