Érdekességek az elemi matematika köréből
|
|
|
- Laura Vörösné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Érdekességek az elemi matematika köréből Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
2 Társasház Egy társasházban 123 ember lakik. Életkoruk összege években mérve L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
3 Társasház Egy társasházban 123 ember lakik. Életkoruk összege években mérve L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
4 Társasház Egy társasházban 123 ember lakik. Életkoruk összege években mérve Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható a házból 100 lakos úgy, hogy életkoraik összege nem kevesebb, mint L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
5 Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
6 Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
7 Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike. Állítás A 100 legidősebb lakos életkorának összege nem lehet kevesebb 3100-nál. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
8 Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike. Állítás A 100 legidősebb lakos életkorának összege nem lehet kevesebb 3100-nál. Bizonyítás Indirekt tegyük fel, hogy az életkoruk összege kevesebb, mint Ez azt jelenti, hogy közülük a legfiatalabb életkora kevesebb, mint 31. Ekkor a kimaradó 23 lakos életkora is kevesebb 31-nél (külön-külön), vagyis az életkoraik összege kevesebb, mint = 713. Ezekből kapjuk, hogy a 123 lakos életkorának összege kevesebb, mint = 3813, ami ellentmondásban van a feladat föltételével. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
9 Haj-jaj Anatómia: az embereknek kevesebb, mint hajszála van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
10 Haj-jaj Anatómia: az embereknek kevesebb, mint hajszála van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
11 Haj-jaj Anatómia: az embereknek kevesebb, mint hajszála van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
12 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
13 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
14 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
15 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: csoport. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
16 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: csoport. Biztosan van legalább egy olyan csoport, ahová legalább két ember kerül. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
17 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: csoport. Biztosan van legalább egy olyan csoport, ahová legalább két ember kerül. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
18 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: csoport. Biztosan van legalább egy olyan csoport, ahová legalább két ember kerül. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
19 Tanuló Egy diáknak 9 feladatot kell megoldania egyetlen hét alatt. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
20 Tanuló Egy diáknak 9 feladatot kell megoldania egyetlen hét alatt. Mutassuk meg, hogy legalább a hét egyik napján, legalább 2 feladatot meg kell oldania, ha a határidőt tartani akarja. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
21 Tanuló Egy diáknak 9 feladatot kell megoldania egyetlen hét alatt. Mutassuk meg, hogy legalább a hét egyik napján, legalább 2 feladatot meg kell oldania, ha a határidőt tartani akarja. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
22 Skatulya elv (Pigeonhole-, Dirichlet-principle) Ha m testet osztunk szét n csoportba, és m > n k, k N, akkor legalább (k + 1) test kerül az egyik csoportba. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
23 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
24 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
25 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
26 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
27 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
28 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
29 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
30 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. A 4 szám paritását vizsgálva 3 b a L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
31 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású 3 b a L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
32 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
33 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
34 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan legalább 2 különbség páros L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
35 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan legalább 2 különbség páros A szorzat osztható 3-mal és 4-gyal, azaz 12-vel. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
36 Geometria Egy szabályos húszszög csúcsai mind kékre vagy pirosra vannak festve. A piros csúcsok száma 9, a kékeké 11. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
37 Geometria Egy szabályos húszszög csúcsai mind kékre vagy pirosra vannak festve. A piros csúcsok száma 9, a kékeké 11. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
38 Geometria Egy szabályos húszszög csúcsai mind kékre vagy pirosra vannak festve. A piros csúcsok száma 9, a kékeké 11. Bizonyítsuk be, hogy legalább 2 kék csúcs egy átló mentén, ellentétesen helyezkedik el. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
39 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
40 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
41 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
42 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
43 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
44 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
45 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van. Véve azon átmérőket, melyek legalább egyik vége piros, legföljebb 9 ilyet találunk. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
46 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van. Véve azon átmérőket, melyek legalább egyik vége piros, legföljebb 9 ilyet találunk. Van legalább 1 átmérő, amin nincs piros csúcs. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
47 Számrejtvény Keressük meg a kifejezés értékét, ha különböző betű különböző számjegyet jelöl, azonos betűk ugyanazt a számjegyet rejtik: L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
48 Számrejtvény Keressük meg a kifejezés értékét, ha különböző betű különböző számjegyet jelöl, azonos betűk ugyanazt a számjegyet rejtik: D I R I C H L E T P R I N C I P L E L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
49 Az elkent" irracionálisok α Q, m, n Z L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
50 Az elkent" irracionálisok Bizonyítsuk be, hogy ε > 0 esetén α Q, m, n Z n α m < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
51 Az elkent" irracionálisok Bizonyítsuk be, hogy ε > 0 esetén α Q, m, n Z n α m < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
52 Az elkent" irracionálisok Bizonyítsuk be, hogy ε > 0 esetén α Q, m, n Z n α m < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
53 Megoldás - naná, hogy skatulya elvvel Legyen M > 1/ε, és osszuk föl a (0; 1) intervallumot M egyenlő részre. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
54 Megoldás - naná, hogy skatulya elvvel Legyen M > 1/ε, és osszuk föl a (0; 1) intervallumot M egyenlő részre. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
55 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
56 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
57 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
58 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
59 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek {n 1 α} {n 2 α} < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
60 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek {n 1 α} {n 2 α} < ε. {n 1 α} = n 1 α [n 1 α] L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
61 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek {n 1 α} {n 2 α} < ε. {n 1 α} = n 1 α [n 1 α] (n 1 n 2 )α ([n 1 α] + [n 2 α]) = n α m < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
62 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
63 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
64 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
65 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
66 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második,... L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
67 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második,... Megmutatjuk, hogy a (0; 1)-be eső valós számokat nem tudjuk sorozatba szedni. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
68 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második,... Megmutatjuk, hogy a (0; 1)-be eső valós számokat nem tudjuk sorozatba szedni. Indirekt módon tegyük föl, hogy sorozatba rendezhetőek. Írjuk mindegyik számot tizedestört alakba úgy, hogy mindig a végtelen sok tizedesjegyű kifejtést választjuk, például (0, 5 = 0, ). L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
69 a ij {0, 1,..., 9} x 1 = 0, a 11 a 12 a 13..., x 2 = 0, a 21 a 22 a 23...,... L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
70 a ij {0, 1,..., 9} x 1 = 0, a 11 a 12 a 13..., x 2 = 0, a 21 a 22 a 23...,... y = 0, b 1 b 2 b 3... b n = { 1, ha ann 1; 2, ha a nn = 1. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
71 a ij {0, 1,..., 9} x 1 = 0, a 11 a 12 a 13..., x 2 = 0, a 21 a 22 a 23...,... y = 0, b 1 b 2 b 3... b n = { 1, ha ann 1; 2, ha a nn = 1. Föltételezésünkkel ellentétben y (0; 1), azaz mégsem mindegyik számot soroltuk föl. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
72 Búcsú Tanulság: skatulyázni jó L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
73 Búcsú Tanulság: skatulyázni jó de azért óvatosan L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
74 Búcsú Tanulság: skatulyázni jó de azért óvatosan Köszönöm a figyelmet! L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17
SKATULYA-ELV. Sava Grozdev
SKATULYA-ELV Sava Grozdev Ha 3 apró labdát akarunk elhelyezni a nadrágunk 2 zsebébe, akkor kétség sem férhet hozzá, hogy legalább 2 labda azonos zsebbe fog kerülni. Hasonlóan, ha 4 kicsi dobozt akarunk
Megoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
Bizonyítási módszerek - megoldások. 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha. Megoldás: 9 n n = 9k = 3 3k 3 n.
Bizonyítási módszerek - megoldások 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha (a) 9 n 3 n (b) 4 n 2 n (c) 21 n 3 n (d) 21 n 7 n (e) 5 n 25 n (f) 4 n 16 n (g) 15 n (3 n 5 n) 9 n n = 9k = 3 3k
A skatulya-elv Béres Zoltán (Szabadka, Zenta)
A skatulya-elv Béres Zoltán (Szabadka, Zenta) Ez a 205. november 28-i komáromi előadás kibővített, javított, újraszerkesztett és megoldásokkal ellátott feladatsora Alapfeladatok. Van 4 skatulyám és 5 gyufaszálam.
7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
A III. forduló megoldásai
A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak
Invariánsok (a matematikai problémamegoldásban)
Invariánsok (a matematikai problémamegoldásban) Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2018. április 27. ELK 18 1. feladat: Poharak 1/9 Feladat. 11 pohár van
Egészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Skatulya-elv. Sava Grozdev
Skatulya-elv Sava Grozdev Egy alapvető szabály, azaz elv azt állítja, hogy: ha m testet szétosztunk n csoportba és m > n, akkor legalább két test azonos csoportba fog kerülni. Ezt az elvet különböző országokban
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. A 2014-et felírtuk három természetes szám összegeként úgy, hogy ha az első számot elosztjuk
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
ISKOLÁD NEVE:... Az első három feladat feleletválasztós. Egyenként 5-5 pontot érnek. Egy feladatnak több jó megoldása is lehet. A) 6 B) 8 C) 10 D) 12
2. OSZTÁLY 1. Mennyi az alábbi kifejezés értéke: 0 2 + 4 6 + 8 10 + 12 14 + 16 18 + 20 A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 2. Egy szabályos dobókockával kétszer dobok. Mennyi nem lehet a dobott számok összege? A) 1
Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)
Kombi/2 Egy bizonyos bulin n lány és n fiú vesz részt. Minden fiú pontosan a darab lányt és minden lány pontosan b darab fiút kedvel. Milyen (a,b) számpárok esetén létezik biztosan olyan fiúlány pár, akik
Javítókulcs, Válogató Nov. 25.
Javítókulcs, Válogató 2016. Nov. 25. 1. Az A, B, C pontok által meghatározott hegyesszögű háromszögben az egyes csúcsokhoz tartozó magasságvonalak talppontjait jelölje rendre T A, T B és T C. A T A T B
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2
Elemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
Fazakas Tünde: Ramsey tételéről
Fazakas Tünde Ramsey tételéről: a tétel előkészítése és alkalmazása (Készült a H533_003 továbbképzés záródolgozataként, Schultz János, Mike János és Ábrahám Gábor előadásához) Budapest, 2013. május 18.
Ágotai László (Kisújszállás)
Kalandozás a rácspontok világában Ágotai László (Kisújszállás) 1.) Hány egész koordinátájú pont van azon a szakaszon, amelynek végpontjai ( 3 ; 17 ) és ( 48, 81 )?.) Igazoljuk, hogy ha az ax + by = c (
(4 pont) Második megoldás: Olyan számokkal próbálkozunk, amelyek minden jegye c: c( t ). (1 pont)
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2005 2006-os tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a
Ezután az első megoldásban látott gondolatmenettel fejezhetjük be a feladat megoldását. = n(np 1)...(np p+1) (p 1)! ( ) np 1.
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2011 12-es tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
SZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK
3. osztály A mellékelt ábrán két egymás melletti mező számának összege mindig a közvetlen felettük lévő mezőben szerepel. Fejtsétek meg a hiányzó számokat! 96 23 24 17 A baloldali három mezőbe tartozó
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer
Számelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
XXII. Vályi Gyula Emlékverseny április 8. V. osztály
V. osztály 1. Egy anya éveinek száma ugyanannyi, mint a lánya életkora hónapokban kifejezve. Mennyi idősek külön-külön, ha az anya 23 évvel és 10 hónappal idősebb a lányánál? 2. Melyek azok a 2016-nál
illetve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
1. Határozd meg az a, b és c értékét, és az eredményeket közönséges tört alakban írd a megfelelő helyre!
1. Határozd meg az a, b és c értékét, és az eredményeket közönséges tört alakban írd a megfelelő helyre! a) a = 9 4 8 3 = 27 12 32 12 = 5 12 a = 5 12. a) b = 1 2 + 14 5 5 21 = 1 2 + 2 1 1 3 = 1 2 + 2 3
Feladatlap. a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006)
Feladatlap a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006) 1) Karcsi januárban betegség miatt háromszor hiányzott az iskolából:12-én,14-én és 24-én. Milyen napra esett
Szakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
Elemi feladatsorok; 2G
Elemi feladatsorok; 2G 1. Hányféle végeredménye lehet egy olyan futóversenynek, melyen 90-en vesznek részt és az első öt helyezést rögzítik? 2. Hányféle lottóhúzás lehetséges a 90-ből 5-öt lottón? 3. Ha
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)
Matematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
SZÁMELMÉLETI FELADATOK
SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban
Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein
A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden
Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):
Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =
A matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket
48. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló HETEDIK OSZTÁLY MEGOLDÁSOK = = 2019.
8. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló HETEDIK OSZTÁLY MEGOLDÁSOK 1. Bizonyítsd be, hogy 019 db egymást követő pozitív egész szám közül mindig kiválasztható 19 db úgy, hogy az összegük
X. PANGEA Matematika Verseny II. forduló 10. évfolyam. 1. Az b matematikai műveletet a következőképpen értelmezzük:
1. Az a @ b matematikai műveletet a következőképpen értelmezzük: @ a a b b, feltéve, hogy a 0. a Melyik állítás igaz a P és Q mennyiségekre? P = ((2 @ 1) @ (1 @ 2)) Q = ((7 @ 8) @ (8 @ 7)) A) P > Q B)
Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
Kisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
Láthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5
D1. Egy pozitív egész számról az alábbi 7 állítást tették: I. A szám kisebb, mint 23. II. A szám kisebb, mint 25. III. A szám kisebb, mint 27. IV. A szám kisebb, mint 29. V. A szám páros. VI. A szám hárommal
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes
c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3
1. Az alái feladatok egyszerűek, akár fejen is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonan erre a papírra írja! a.) Írja fel egy olyan egész együtthatós másodfokú egyenlet
IV. Vályi Gyula Emlékverseny november 7-9.
IV. Vályi Gyula Emlékverseny 997. november 7-9. VII. osztály LOGIKAI VERSENY:. A triciklitolvajokat a rendőrök biciklin üldözik. Összesen tíz kereken gurulnak. Hány triciklit loptak el. (A) (B) 2 (C) 3
44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.
44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HATODIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Melyik a legkisebb 3-mal osztható négyjegyű szám, amelynek minden számjegye különböző,
FELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ
BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam 1. félév ESZKÖZÖK Matematika A 9. évfolyam 1. modul 1.1 dominó { 5-re végződő páros számok } { az x < 0 egyenlet megoldásai } { a Föld holdjai }
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve)
Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Kombinatorika 5. előadás SZTE Bolyai Intézet Szeged, 2016. március 1. 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
A törzsszámok sorozatáról
A törzsszámok sorozatáról 6 = 2 3. A 7 nem bontható fel hasonló módon két tényez őre, ezért a 7-et törzsszámnak nevezik. Törzsszámnak [1] nevezzük az olyan pozitív egész számot, amely nem bontható fel
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
III. Vályi Gyula Emlékverseny december
III. Vályi Gyula Emlékverseny 1996. december 14 15. VI osztály A feladatok szövege után öt lehetséges válasz (A, B, C, D és E) található, amelyek közül csak pontosan egy helyes. A helyes válasz betűjelét
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
Tartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
Színezések Fonyó Lajos, Keszthely
Színezések Fonyó Lajos, Keszthely 1. A sík pontjait kiszínezzük két színnel. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges d R + esetén lesz két egymástól d távolságra levő pont, amelyek azonos színűek. I. megoldás:
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK
Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK Év eleji feladatok Szükséges eszközök: A4-es négyzetrácsos füzet Letölthető tananyag: Emelt szintű matematika érettségi témakörök (2016) Forrás: www.mozaik.info.hu
Differenciálegyenletek a mindennapokban
Differenciálegyenletek a mindennapokban Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 15 Pénz, pénz,
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Vác, Németh László u : /fax:
5. OSZTÁLY 1.) Apám 20 lépésének a hossza 18 méter, az én 10 lépésemé pedig 8 méter. Hány centiméterrel rövidebb az én lépésem az édesapáménál? 18m = 1800cm, így apám egy lépésének hossza 1800:20 = 90cm.
352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?
148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
A végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet.
A végtelen a matematikában Radnóti Gimnázium 203. 04. 23. Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj 2 Pólya György: Ha a tudomány
4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 =
4. Sorozatok Megjegyzés: A szakirodalomban használt a sorozat tagjáról, máskor eleméről beszélni. Az alábbiakban mindkét kifejezést használtuk megtartva a feladatok eredeti fogalmazását. I. Feladatok.
MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi
Szoldatics József: MEMO MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi A feladatmegoldó szemináriumon első részében egy rövid beszámolót fognak hallani a 010. szeptember 9. és
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
Hatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései
12. Mellékletek 1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései 1. Mikor tanít számelméletet és hány órában? (Pl. 9. osztályban a nevezetes azonosságok után 4 órában.) 2. Milyen könyvet használnak
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával:
Kombinatorika Variáció - megoldások 1. Hány kétjegyű szám képezhető a 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből. ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? A lehetőségek száma annyi, mint amennyi 7 elem
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül