Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Vác, Németh László u : /fax:

Átírás

1 5. OSZTÁLY 1.) Apám 20 lépésének a hossza 18 méter, az én 10 lépésemé pedig 8 méter. Hány centiméterrel rövidebb az én lépésem az édesapáménál? 18m = 1800cm, így apám egy lépésének hossza 1800:20 = 90cm. 8m = 800cm, így az én lépésem hossza 800:10 = 80cm. Az én lépésem 10cm-rel rövidebb az apáménál. 2.) Van 80 golyónk, közülük 35 piros, 25 zöld, 15 sárga, 5 fekete. Hány darabot kell kivenni, hogy biztosan legyen köztük a) piros vagy fekete; b) piros és fekete; c) két különböző szín. a) = 41 b) = 76 c) = 36 3.) Darabolj föl egy négyzetet 10 négyzetre! Egy lehetséges megoldás: 4.) Két egész szám összegének és szorzatának az összege 11. Melyek ezek a számok? Összesen 6 db különböző számpár van. Ezek: (-4;-5) (-3;-7) (-2;-13) (2;3) (1;5) (0;11)

2 6. OSZTÁLY 1.) Az egyhetes nyaralásunkra indulva az egyik otthoni vízcsapot rosszul zártuk el. A csöpögő csapból 3 másodpercenként esett le egy vízcsepp. Hány liter vizet pazaroltunk el emiatt az egy hét alatt, ha egy 1 dl-es edényt 504 csepp töltene meg? Először kiszámoljuk, hogy az egy hét alatt hány vízcsepp esett le. Mivel 1 hét = 7 nap = 168 óra = perc = másodperc, és 3 másodpercenként esett le egy vízcsepp, ezért a héten :3 = vízcsepp esett le. Az 1dl-es edényt 504 csepp tölti meg. Mivel :504 = 400, ezért 400 dl = 40 l vizet pazaroltunk el a rosszul elzárt csap miatt. 2.) Egy 3x3-as négyzet kilenc mezőjébe írjuk be az 1, 2, 3, 7, 8, 9, 13, 14, 15 számokat úgy, hogy mindegyik sorban, mindegyik oszlopban és a két átlóban ugyanannyi legyen a számok összege. Az adott 9 szám összege 72, ezért egy sorban a számok összege ennek harmada, azaz 24 kell, hogy legyen. Ekkor viszont minden oszlopban és az átlókban is 24 a számok összege. Íme egy megoldás: 3.) Bizonyítsd be, hogy 11 természetes szám között mindig van kettő, amelyek különbsége osztható 10-zel! Mivel a tízes számrendszerben 10 különböző számjegy van, ezért a 11 szám között lesz kettő, melyek ugyanarra a számjegyre végződnek. Ennek a két számnak a különbsége 0-ra végződik, tehát osztható 10-zel.

3 4.) Darabolj föl egy 12cm oldalhosszúságú szabályos háromszöget a) 4, b) 6, c) 7 (nem feltétlenül egyforma) szabályos háromszögre! Rajzold le a darabolást, és a rajzra írd rá a különböző méretű háromszögek oldalhosszait! Íme a lehetséges megoldások:

4 7. OSZTÁLY 1.) Három fiú és három lány táncolni ment egy bálba. Az első három tánc során a három fiú mindegyike pontosan egyszer táncolt a három lány mindegyikével, egy-egy táncot teljesen végigtáncolva egymással. András Enikővel mambózott, Bálint Erikával keringőzött, Tibor Csillával tangózott. Ki kinek a párja az egyes táncokban? András csak Csillával keringőzhetett és Erikával tangózott. Ennek alapján elkészíthetjük a logikai táblát: Enikő Csilla Erika András mambó keringő tangó Bálint tangó mambó keringő Tibor keringő tangó mambó 2.) Gergő iskolai kirándulásra zsebpénzt kapott a szüleitől. Ha a kirándulás minden napján, kivéve az utolsót, 3000 forintot költött volna, akkor az utolsó napra 2000 forintja marad. Ezért mindegyik nap csak 2000 forintot költött, és így az utolsó napra 7000 forintja maradt. Hány napos volt a kirándulás? Jelöljük x -szel a napok számát. A következő egyenletet oldjuk meg: x ( x 1) Az egyenlet megoldása: x = 6 Tehát a kirándulás 6 napos volt.

5 3.) Egy család 5 ludat, 2 pulykát és 3 tyúkot vesz, amiért 452 tallért fizet. Egy pulyka annyiba kerül, mint egy lúd és egy tyúk együtt, és egy tyúk 20 tallérral olcsóbb, mint egy lúd. Mennyit fizettek az egyes állatokért külön-külön? Lúd Tyúk Pulyka Összesen Hiba 1.feltételezés tallér 192 tallér 2.feltételezés tallér 180 tallér 3.feltételezés tallér 168 tallér A ludak számának növelésekor a hiba 12-vel csökken. Így további 14 lúddal kell növelni a ludak számát, hogy a hiba 0-ra csökkenjen. Tehát egy lúd 46 tallérba, egy tyúk 26 tallérba, míg egy pulyka 72 tallérba kerül. 4.) Egy szigeten 15 kaméleon él. Közülük 3 kék, 5 zöld és 7 piros. Ha két különböző kaméleon találkozik, akkor annyira megijed egymástól, hogy mindketten a harmadik színre változtatják a bőrüket. Két azonos színű kaméleon nem ijed meg egymástól, így találkozásukkor nem változtatják meg színüket. Lehetséges-e, hogy egy idő múlva csak azonos színű kaméleon él a szigeten? Válaszodat indokold! Jelöljük a pirosak számát p-vel, míg a kékek számát k-val. Vizsgáljuk a p-k különbséget. Ez kezdetben 7-3 = 4. Aminek 3-mal való osztási maradéka 1. Ez lesz az invariáns mennyiség. Ha egy piros és egy kék találkozik, akkor a p-k különbség nem változik. Ha egy piros és egy zöld találkozik, akkor a p-k különbség 3-mal csökken. Ha egy kék és egy zöld találkozik, akkor a p-k különbség 3-mal növekszik. Tehát a p-k különbség 3-mal való osztási maradéka nem változik. Mivel kezdetben az osztási maradék 1 volt, ami azt jelenti, hogy nem lehet egyszerre minden kaméleon zöld (ekkor ugyanis p-k = 0 lenne), és nem lehet 15 db piros vagy kék kaméleon sem (ekkor ugyanis p-k = 15 vagy -15 lenne). Ezért nem lehetséges, hogy minden kaméleon azonos színű legyen.

6 8. OSZTÁLY 1.) Andi, Bea, Csilla és Kinga futóversenyen vett részt. A verseny után a következőképpen nyilatkoztak: Andi: Nem lettem sem első, sem utolsó. Bea: Nem lettem első. Csilla: Első lettem. Kinga: Én lettem az utolsó. Állapítsd meg, hogy ki hazudott, ki lett az első, és ki az utolsó, ha tudjuk, hogy pontosan hárman mondtak igazat! Ha Csilla hazudna, akkor a többiek igazat mondanak, és ebből az derül ki, hogy senki sem lehetne az első. Következik, hogy Csilla igazat mond, de akkor az is igaz, hogy Bea nem az első, vagyis Bea is igazat mond. Ezek szerint Andi vagy Kinga hazudik. Ha Andi hazudna, akkor mivel első nem lehet, ő az utolsó, de ez ellentmond annak, hogy Kinga az utolsó (mivel ebben az esetben ő igazat mond). Tehát Kinga hazudik és Andi igazat mond. Csilla az első és Bea az utolsó. (A másik két gyerek helyezését nem tudjuk megállapítani.) 2.) Egy raktárban 2588 kg rizs van 50 kg-os, 54 kg-os és 63 kg-os zsákokba csomagolva, összesen 48 zsák. Hány zsák van mindegyikből, ha az 50 kg-os zsákok száma 8-cal kevesebb, mint a 63 kg-os zsákok számának a háromszorosa? 63 kg-os 50 kg-os 54 kg-os Összesen Hiba 1.feltételezés kg 21 kg 2.feltételezés kg 18 kg 3.feltételezés kg 15 kg

7 A 63 kg-os zsákok számának növelésekor a hiba 3-mal csökken. Így további 5-tel kell növelni a 63 kg-os zsákok számát, hogy a hiba 0-ra csökkenjen. Tehát 12 darab 63 kg-os, 28 darab 50 kg-os és 8 darab 54 kg-os zsák van. 3.) Jánosnak ötször annyi juha volt, mint Imrének. János juhainak a nyolcadát és még 12 juhot Imrének adott, így most Jánosnak kétszer annyi juha van, mint Imrének. Hány juha volt kezdetben Jánosnak és Imrének külön-külön? Jelöljük a juhok számát a következőképpen: Imre = x db. János = 5 x db. A következő egyenletet oldjuk meg: 5 x 5 x 5 x 12 2 x Az egyenlet megoldása: x 32 Tehát Imrének 32, Jánosnak 160 juha volt. 4.) Egy szigeten 18 kaméleon él. Közülük 4 kék, 6 zöld és 8 piros. Ha két különböző kaméleon találkozik, akkor annyira megijed egymástól, hogy mindketten a harmadik színre változtatják a bőrüket. Két azonos színű kaméleon nem ijed meg egymástól, így találkozásukkor nem változtatják meg színüket. Lehetséges-e, hogy egy idő múlva csak azonos színű kaméleon él a szigeten? Válaszodat indokold! Jelöljük a pirosak számát p-vel, míg a kékek számát k-val. Vizsgáljuk a p-k különbséget. Ez kezdetben 8-4 = 4. Aminek 3-mal való osztási maradéka 1. Ez lesz az invariáns mennyiség. Ha egy piros és egy kék találkozik, akkor a p-k különbség nem változik. Ha egy piros és egy zöld találkozik, akkor a p-k különbség 3-mal csökken. Ha egy kék és egy zöld találkozik, akkor a p-k különbség 3-mal növekszik. Tehát a p-k különbség 3-mal való osztási maradéka nem változik. Mivel kezdetben az osztási maradék 1 volt, ami azt jelenti, hogy nem lehet egyszerre minden kaméleon zöld (ekkor ugyanis p-k = 0 lenne), és nem lehet 18 db piros vagy kék kaméleon sem (ekkor ugyanis p-k = 18 vagy -18 lenne). Ezért nem lehetséges, hogy minden kaméleon azonos színű legyen.