TERÜLETSZÁMÍTÁS évfolyam

Átírás

1 Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u : /fax: WEB: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör TERÜLETSZÁMÍTÁS 2017/ feladatsor évfolyam Területszámítási feladatokkal foglalkozunk. Nem bizonyos adatok ismeretében területképletekbe helyettesítő számításokról van szó, sokkal inkább területek összehasonlításáról, területek átdarabolásáról, azaz olyan feladatokról, melyek képzelőerőt, kombinatív készséget igénylő ötletelésről szólnak. A feladatokban szereplő síkidomok is a lehető legegyszerűbbek (négyzet, téglalap, paralelogramma, stb). Jó szórakozást és jó munkát kívánunk! Mintapéldák 1.) Az ábrán látható nagy négyzet oldala 3 egység. Az oldalait 3-3 egyenlő részre osztottuk és a megfelelő osztópontokat összekötöttük. Mekkora az így kapott négyzet területe? A nagy négyzet területéből hagyjuk el a felesleges részek területét. A nagy négyzet területe 3 3 = 9 területegység. A négy felesleges derékszögű háromszög befogói 1 és 2 egység, területük együtt 4 területegység. Így a vonalkázott rész területe 9-4 = 5 területegység. 2.) Egy téglalap szomszédos oldalainak felezőpontjait az ábrán látható módon összekötöttük a téglalap két csúcsával. Hányszorosa a T-vel jelölt terület a t-vel jelölt területnek? ABC és DEC háromszögek területe a téglalap területe felének (ezt mutatják a piros vonalak) a fele, azaz a téglalap területének a negyede. A T-vel jelölt területet kiegészítve a piros háromszöggel, az így nyert ABC háromszög területe megegyezik DEC háromszög területével, melyet úgy kapunk, hogy a t- vel jelölt területet is kiegészítjük a pontozott háromszöggel. A két egyenlő területű háromszög mindegyikéből ugyanazt a pontozott háromszöget elhagyva egyenlő területeket kapunk: T= t.

2 3.) Egy paralelogramma belső pontját összekötöttük a csúcsokkal (ld. rajz). Igazold, hogy a jelölt részek területe egyenlő a jelöletlen (fehér) részek területével! A belső ponton át húzzunk párhuzamosokat a paralelogramma oldalaival. Az így keletkezett négy paralelogramma mindegyikében a vonalkázott terület egyenlő a fehér területtel, így valóban a jelölt terület egyenlő a jelöletlennel. 4.) Egy paralelogramma átlójának tetszőleges pontján át párhuzamosokat húztunk az oldalakkal. Igazold, hogy a vonalkázott rész területe egyenlő a pontozott rész területével! A paralelogramma átlója felezi a területét. Ha ebből a két egyenlő részből egyenlő részeket hagyunk el két-két egyenlő területű háromszöget, egyenlő területeket kapunk. Gyakorló feladatok 1.) A kis négyzetek területe 1. Mennyi a jelölt háromszög területe? 2.) Az ABCD egységoldalú négyzet két szomszédos oldalának felezőpontja E, ill. F. Mekkora az AEF háromszög területe?

3 3.) Egy szabályos háromszög oldalait 3-3 egyenlő részre osztottuk és a megfelelő osztópontokat az ábrán látható módon összekötöttük. Hányad része az így kapott kisebb szabályos háromszög területe a nagyobb szabályos háromszög területének? 4.) Egy trapézban meghúztuk az átlókat (ld. rajz). Igazold, hogy a szürke rész területe egyenlő a piros rész területével! Kitűzött feladatok 1.) A jelölt rész hányadrésze a négyzet területének? (Az oldalakon felezőpontokat vettünk fel.) 2.) Hányad része a négyzet területének a háromszög területe?(a megjelölt pontok a négyzet oldalait négy-négy egyenlő részre osztják.) 3.) Egy négyzet oldalait az ábrán látható módon 2, 3, 4 és 5 egyenlő részre osztottuk, majd az ábra szerinti osztópontokat összekötöttük. Hányad része a jelölt rész területe a négyzet területének? 4.) A pontok a négyzet oldalait 3-3 egyenlő részre osztják. Hányadrésze a jelölt háromszög területe a négyzet területének? Beküldési határidő: Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.

4 Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u : /fax: WEB: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2017/ feladatsor évfolyam Egyenlet írjunk vagy inkább okoskodjunk? A legtöbb szöveges feladat több módszerrel is megoldható, ezek közül mindig azt válasszuk, amelyikkel az illető feladat a legkönnyebben kezelhető. A szöveges feladatokról legtöbbször az egyenletek felírása jut eszünkbe. Ugyanakkor azt is tapasztalhattuk, hogy az egyenletek felírása nem minden esetben számít a legkönnyebb megoldási módszernek. Gyakran már az ismeretleneknek a betűszimbólumokkal való felírása is gondot okoz, valamint az egyenletek felírása is nehézkesnek bizonyul. Ilyen esetekben könnyebben cél érünk más módszerekkel, esetleg egy kis okoskodással is. Egy ilyen okoskodás a hamis feltételezések módszere, amelyet az alábbiakban párhuzamosan mutatunk be a feladatok egyenletekkel történő megoldásával. A módszer lényege: a feladat ismeretlen mennyiségeire nézve valamilyen feltételt (feltételeket) állítunk és összehasonlítjuk a valódi helyzetet (a feladat adatait) a feltételezéseink által létrehozott helyzettel. Az eltérés figyelembevételével egyszerű számolások segítségével könnyen következtethetünk arra, hogy mennyiben tér el a hamis feltételezés a helyes megoldástól. Természetesen a legtöbb szöveges feladat más módszerekkel is megoldható. Ezért hangsúlyozni óhajtjuk, hogy a módszerek közül mindig azt válasszuk, amelyikkel szerintünk az illető feladat a legkönnyebben megoldható. Mintapéldák 1.) Ha egy vonat 54 km/h sebességgel haladna, akkor a menetrendhez képest egy fél órával hamarabb, ha viszont 36 km/h sebességgel haladna, akkor a menetrendhez képest másfél órával több idő alatt tenné meg a két állomás közötti utat. Mekkora a vonat sebessége, ha a menetrend szerint teszi meg a távot? Első módszer: Jelöljük x-szel a menetrend szerinti időtartamot. Ebben az esetben a két állomás közötti utat kétféleképpen írhatjuk fel. Ha 54 km/h sebességgel haladna, akkor a menetrendhez képest egy fél órával hamarabb érne célba, tehát az említett távolság 54 x 0,5. Ha viszont 36 km/h sebességgel haladna, akkor a menetrendhez képest másfél órával több idő szükséges, tehát a távolságot a 36 x 1,5 kifejezés adja. A fentieket összevetve felírhatjuk az 54 0,5 36 x 1,5 x egyenletet, amelynek megoldása x 4, 5, tehát a menetrend szerinti idő 4,5 óra. Ebből következik, hogy a két állomás közötti út km (vagy ami ugyanazt jelenti km). Tehát a vonat sebessége 216 : 4,5 48km/h abban az esetben, ha menetrend szerint teszi meg a távot.

5 Második módszer: 1. Feltételezés: Tételezzük fel, például, hogy a menetidő 10 óra. Ebben az esetben a feladat feltételei szerint a távolságra két különböző érték adódik: 54 9,5 513km, illetve 36 11,5 414 km. Tehát a feltételezés hibája km. 2. Feltételezés: A továbbiakban tételezzük fel, hogy a menetidő 9 óra (tehát a menetidőt egy órával csökkentettük). Ebben az esetben a távolságra 54 8,5 459km, illetve 36 10,5 378km adódik, tehát a feltételezés hibája km. Következik, hogy a menetidőt egy órával csökkentve a feltételezés hibája km-rel csökken. Tehát a hibát nullára csökkentjük, ha a kezdeti feltételezéshez képest a menetidőt 99 :18 5,5 órával csökkentjük. Tehát a menetidő 10 5,5 4, 5 óra. Ebből következik, hogy a két állomás közötti út km (vagy ami ugyanazt jelenti km). Tehát a vonat sebessége 216 : 4,5 48km/h abban az esetben, ha menetrend szerint teszi meg a távot. 2.) Egy dobozban piros és fehér golyók vannak, a fehér golyók száma négyszerese a piros golyók számának. Kiveszünk 38 fehér golyót és beteszünk 6 piros golyót, így a dobozban a fehér golyók száma a piros golyók számának a háromszorosa lesz. Hány fehér, illetve piros golyó volt eredetileg a dobozban? Első módszer: Jelöljük a piros golyók számát x-szel, így a fehér golyók száma 4 x. Ha a dobozba beteszünk még 6 piros golyót, illetve eltávolítunk 38 fehér golyót, akkor a piros golyók száma x 6, míg a fehér golyók száma 4 x 38 lesz. Mivel így a dobozban háromszor annyi fehér golyó van, mint piros, felírhatjuk a következő egyenletet: 4 x 38 3 x 6. Az egyenlet megoldása x 56, tehát kezdetben 56 piros golyó és fehér golyó volt a dobozban. Második módszer: 1. Feltételezés: Feltételezzük, például, hogy kezdetben 30 piros és 120 fehér golyó van. Ha beteszünk még 6 piros golyót és elveszünk 38 fehér golyót, akkor a piros golyók száma 36, míg a fehér golyók száma 82 lesz. Így viszont a piros golyók számának háromszorosa nem lesz egyenlő a fehér golyók számával, a feltételezés hibája Feltételezés: A következőkben feltételezzük, hogy 31 piros és 124 fehér golyó van a dobozban. Ebben az esetben, ha beteszünk még 6 piros golyót és elveszünk 38 fehér golyót, akkor a piros golyók száma 37, míg a fehér golyók száma 86 lesz. Így viszont a feltételezés hibája A fentiekből következik, hogy a piros golyók számát eggyel növelve a feltételezés hibája eggyel csökken. Tehát az első feltételezéshez képest a piros golyók számát 26-tal kell megnövelnünk ahhoz, hogy a feltételezés hibája nulla legyen, így kezdetben a piros golyók száma , míg a fehér golyóké

6 3.) Két év múlva anya életkora 3-szor több lesz, mint a fia életkora. Ezelőtt 2 évvel a fiú életkora 5-ször több volt, mint a húga életkora. 8 év múlva az anya négyszer idősebb lesz a lányánál. Hány évesek most? Első módszer: Jelöljük x szel a lány életkorát. Mivel 2 évvel ezelőtt a fiú életkora 5-ször több volt, mint a húga életkora, ezért a fiú életkora most 5 x 2 2 5x 8. Két év múlva anya életkora 3-szor több lesz, mint a fia életkora, ezért az anya életkora most 3 5x x. Mivel 8 év múlva az anya négyszer idősebb lesz a lányánál, 20 ezért felírhatjuk a x 8 x egyenletet, amelynek megoldása x 4. Tehát a lány most 4 éves, a fiú éves, míg az anya éves. Második módszer: 1. Feltételezés: Feltételezzük, hogy a lány most 6 éves. Ezelőtt két évvel a fiú életkora a lány életkorának az ötszöröse volt, ezért ő akkor éves volt, vagyis most a fiú 22 éves. Két év múlva az anya életkora 3-szor több lesz, mint a fia életkora, ezért ő akkor éves lesz, vagyis az anya most 70 éves. Viszont a feladatban szerepel még egy adat, amely szerint 8 év múlva az anya négyszer idősebb lesz a lányánál. Mivel a fentiek értelmében 8 év múlva a lány éves lesz, ezért az anya életkora 8 év múlva év kellene, hogy legyen. De az előzőekben már levezettük, hogy az anya most 70 éves, ezért 8 év múlva éves lesz. Tehát a feltételezés hibája év. 2. Feltételezés: Feltételezzük, hogy a lány most 5 éves és alkalmazzuk az 1. Feltételezésben szemléltetett gondolatmenetet. Ezelőtt két évvel a fiú életkora a lány életkorának az ötszöröse volt, így akkor éves volt, vagyis most a fiú 17 éves. Két év múlva az anya életkora 3-szor több lesz, mint a fia életkora, ezért ő akkor éves lesz, vagyis az anya most 55 éves. Viszont a feladatban szerepel 57 még egy adat, amely szerint 8 év múlva az anya négyszer idősebb lesz a lányánál. Mivel a fentiek értelmében 8 év múlva a lány éves lesz, ezért az anya életkora év lesz. De az előzőekből következik, hogy az anya most 55 éves, ezért 8 év múlva éves lesz. Tehát ebben az esetben a feltételezés hibája év. Tehát arra a következtetésre jutunk, hogy a lány életkorát eggyel csökkentve a feltételezés hibája 11-gyel csökken. Ezért az első feltételezéshez képest a lány életkorát 2-vel kell csökkentenünk ahhoz, hogy a feltételezés hibája 22-ről nullára csökkenjen, tehát a lány most éves. A feladat adatait felhasználva könnyen adódik, hogy a fiú életkora év, míg az anya éves. 4.) János gazda így morfondírozik: Összesen 218 juhom és kecském van. A teheneim száma egynegyede a juhok számának. Ha eladom a juhok egyharmadát és a kecskék felét, valamint vásárolok még 138 tehenet, akkor a kecskék és tehenek számának összege kétszer annyi lesz, mint a juhok száma. Hány kecskéje, juha, illetve tehene van János gazdának különkülön?

7 Első módszer: Legcélszerűbb a tehenek számát x -szel jelölni, így a juhok száma 4 x, míg a kecskék száma x. Miután János gazda eladja a juhok egyharmadát és a kecskék felét, 8 x x valamint vásárol még 138 tehenet, a juhok száma, a kecskék száma, míg a 3 2 tehenek száma x 138 lesz. Mivel így a kecskék és tehenek számának összege kétszer annyi lesz, mint a juhok száma, ezért fölírhatjuk a következő egyenletet: x 8 x x Az egyenlet megoldása x 39, tehát a tehenek száma 39, a juhok száma , míg a kecskék száma Második módszer: A juhok száma 12 többszöröse, mivel egyébként a juhok számának az egynegyede (tehenek száma), valamint az egyharmada (eladott juhok száma) törtszám lenne Feltételezés: Feltételezzük, hogy a juhok száma 60. Így a tehenek száma 15, míg a 4 kecskék száma Miután János gazda eladja a juhok egyharmadát és a kecskék felét, valamint vásárol még 138 tehenet, a juhok száma 40, a kecskék száma 79, míg a tehenek száma 153 lesz. A kecskék és tehenek számának összege , ez pedig egyenlő kellene legyen a juhok számának kétszeresével, ami Tehát a feltételezés hibája Feltételezés: Az első feltételezéshez képest a juhok számát 12-vel növeljük, így a juhok száma 72, a tehenek száma 18, míg a kecskék száma 146. Miután eladja a juhok egyharmadát és a kecskék felét, valamint vásárol még 138 tehenet, a juhok száma 48, a kecskék száma 73, míg a tehenek száma 156 lesz. A kecskék és tehenek számának összege , a juhok számának kétszerese pedig , tehát a feltételezés hibája Tehát a juhok számát 12-vel növelve a feltételezés hibája cel csökken. Mivel az első feltételezés hibája 152, ezért 152 :19 8 ilyen lépésre van szükség ahhoz, hogy a feltételezés hibája nulla legyen, vagyis megtaláljuk a helyes megoldást. Tehát a juhok számát az első feltételezéshez képest tal kell növelni, így a juhok száma , a tehenek száma 156 : 4 39, a kecskék száma pedig Gyakorló feladatok 1.) Öt évvel ezelőtt Béla kétszer olyan idős volt, mint Csaba. Hét év múlva Béla kétszer olyan idős lesz, mint András. Most az életkoruk összege 77 év. Hány évesek most külön-külön? 2.) Egy farmon birkák, tehenek és lovak vannak. A birkák száma negyede a többi állat számának. A tehenek száma 28-cal több a lovak számánál. Hoznak még 18 birkát, valamint elvisznek 14 tehenet és 4 lovat. Ekkor a birkák és tehenek számának összege a lovak

8 számának a háromszorosával egyenlő. Kezdetben hány birka, ló illetve tehén volt a farmon külön-külön? 3.) János bácsi egy bizonyos pénzösszeggel a vásárba ment és azon mind birkákat vásárolt. Hazafelé menet így morfondírozott magában: Ha egy birka 1120 forinttal kevesebbe került volna, akkor 45 birkát vihetnék haza. Ha viszont egy birka 700 forinttal többe került volna, akkor csak 32 birkát vásároltam volna. Hány forintot vitt a vásárba és mennyi birkát vásárolt? 4.) Egy vállalat alkalmazottainak 25 %-a férfi. Még érkezett másfélszer annyi férfi, mint amennyi azelőtt volt, valamint érkezett 560 nő. Így a férfiak az összlétszám harmadát alkotják. Kezdetben hány férfi, illetve női alkalmazott volt külön-külön? Kitűzött feladatok 1.) András a kötelező olvasmányok elolvasása céljából minden napra ugyanannyi oldalt tervezett. Ha naponta a tervezett napi oldalszám kétszeresénél 16 oldallal kevesebbet olvasna, akkor 20 nap alatt végezne. Ha viszont naponta a tervezett napi oldalszámnál 8 oldallal többet olvasna, akkor 24 nap alatt érne az olvasmányok végére. Hány oldal elolvasását tervezte egy napra? Hány nap alatt végez az olvasmányokkal? 2.) Nyolc évvel ezelőtt Béla kétszer olyan idős volt, mint András. Két év múlva Béla kétszer olyan idős lesz, mint Csaba most. Most András életkorának a kétszerese 14 évvel kevesebb Csaba életkorának a háromszorosánál. Hány évesek most? 3.) Egy dobozban piros, fehér és zöld golyók találhatók, a golyók negyede piros. A fehér golyók száma 53-mal több a zöld golyók számánál. A dobozba még beleteszünk 17 piros, illetve 22 zöld golyót, valamint kiveszünk 29 fehér golyót. Ekkor a dobozban lévő golyók egyharmada fehér lesz. Mennyi piros, fehér, illetve zöld golyó volt eredetileg a dobozban? 4.) András egy 8050 forintos magnót 20, 50 és 100 forintos érmekkel fizetett ki. Összesen 158 érmét használt fel, 14-gyel több 20 forintost, mint 50 forintost. Hány 20 forintos, 50 forintos, illetve 100 forintos érmét használt fel külön-külön? Beküldési határidő: Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.