ÖSSZESZÁMLÁLÁSI FELADATOK

Átírás

1 Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u : /fax: WEB: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2017/ feladatsor évfolyam ÖSSZESZÁMLÁLÁSI FELADATOK A matematikában az összeszámlálási feladatok nagy részével a matematikának az úgynevezett kombinatorika ága foglalkozik. Ezek a feladatok lehetnek sorbarendezési, kiválasztási és ezekkel kapcsolatos összetettebb problémák. Az alábbi feladatok ezekből nyújtanak ízelítőt kedvcsinálóként az igazán izgalmas kalandra nyitottaknak. Kellemes időtöltést és sok sikert az érdeklődőknek! Mintapéldák 1.) Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, melyben a számjegyek szorzata 6? Három számjegy szorzata csak akkor 6, ha a számjegyek 1,1,6 vagy 1,2,3. Az 1,1,6 számjegyekből három (116,161 és 611), az 1,2,3 számjegyekből hat (123,132,213,231,312 és 321) szám írható föl. Tehát kilenc ilyen pozitív egész szám van. 2.) Egy 10cm élű fakockát feketére festettünk, majd az oldalakkal párhuzamos vágásokkal 1cm élű kockákra daraboltunk. Hány olyan kis kocka keletkezett, melynek legalább egyik oldala fekete? A kockát = 1000 darab kis kockára daraboltuk. Csak a belül levőket nem színeztük, ezek száma = 512, így azon kockák száma, melyeknek legalább egy oldala fekete: = ) Hány olyan szám van az első 2017 pozitív egész között, amelyik a 2,3,5 számok közül legfeljebb kettővel osztható? Ha valamelyik szám 2-vel, 3-mal és 5-tel is osztható, az osztható = 30-cal is, és fordítva. Mivel 2017:30 67,23, ezért 2017-ig 67 darab 30-cal osztható szám van = 1950, tehát 1950 olyan szám van, mely legfeljebb kettővel osztható az adott három szám közül. 4.) A 3215 számjegyeit leírjuk az összes lehetséges sorrendben, és ezeket a négyjegyű számokat nagyság szerint növekvő sorba rendezzük. Melyik négyjegyű szám lesz a 19-edik? Egy adott számjeggyel kezdődő számból hat darab van, mivel a maradék három számjegyet hatféle sorrendbe rakhatjuk. A feladatban szereplő sorban a 19-edik szám az 5-tel kezdődő első (legkisebb) szám lesz, amelyik az 5123.

2 Gyakorló feladatok 1.) Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, melyben szerepel a 0 számjegy? 2.) Egy 33 fős osztály tanulói közül minden nap 22-en úsznak és 22-en fociznak. Mindenki minden nap az egyik edzésen részt vesz. Azok közül, akik ma fociznak, tegnap 15-en úsztak és 15-en fociztak, és ugyanez a helyzet azoknál is, akik ma úsznak. Hány olyan diák van, aki mindkét nap csak úszott? 3.) Hány olyan pozitív egész szám van, amelynek minden számjegye különböző, és a számjegyek szorzata 48? 4.) Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, melyben a számjegyek növekvő sorrendben követik egymást? Kitűzött feladatok 1.) Tekintsük a természetes számokat 1-től 1000-ig. Ezek között melyikből van több, amelyikben van 1-es számjegy, vagy amelyikben nincs? 2.) Egy teremben öt lámpa van. Mindegyiket önállóan lehet kapcsolni. Hányféleképpen éghetnek a lámpák, ha legalább egynek égnie kell? 3.) Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, melynek pontosan két számjegye egyenlő? 4.) Egy játékbabának 5-féle szoknyája, 6-féle blúza, és 4-féle sapkája van. Hányféleképpen öltöztethető fel ízlésesen a baba, ha a blúzok között 3 olyan van, amelyekhez a szoknyák közül csak 2-féle illik? (A feladatok megoldásait kérjük, hogy kidolgozva, A/4 méretű papíron küldjék be. A versenyzők azonosítása miatt kérjük, hogy minden dolgozaton szerepeljen a következő 2 adat: NÉV, ÉVFOLYAM.) Beküldési határidő: Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.

3 Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u : /fax: WEB: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Készítsünk mérleget 2017/ feladatsor évfolyam Számos olyan matematika feladattal találkozunk, melyben legalább két ismeretlen szerepel, és az egyes mennyiségek közötti összefüggések a valamennyivel több (vagy kevesebb), illetve a valahányszor több (vagy kevesebb) viszonyításokkal vannak kifejezve. Az is előfordulhat, hogy az egyik ismeretlen mennyiség a másik két (vagy több) mennyiséggel összehasonlítva van megadva. Ilyenkor sok esetben előnyös lehet, ha az ismeretlen mennyiségeket egy egyensúlyban lévő mérleg két serpenyőjére helyezzük. Amennyiben a feladatban több összefüggés is szerepel, akkor minden összefüggés szemléltetéséhez külön-külön mérlegeket készíthetünk. A mérleg alkalmazását a hétköznapokban is jól ismert módszerek szabályozzák. Például, egy mérleg egyensúlya megmarad, ha a következő megengedett műveleteket végezzük el: 1) a mérleg mindkét serpenyőjébe ugyanazt az ismert vagy ismeretlen mennyiséget rakjuk fel (vagy távolítjuk el); 2) a mérleg mindkét serpenyőjének tartalmát ugyanazzal a számmal szorozzuk (vagy osztjuk); 3) a mérleg egyik serpenyőjébe egy ismert (vagy ismeretlen) mennyiséget, míg a másik serpenyőjébe ezzel egyenértékű mennyiségeket helyezünk (vagy távolítunk el); 4) két egyensúlyban levő mérleg bal-, illetve jobb oldali serpenyőinek tartalmát egyetlen mérleg bal-, illetve jobb oldali serpenyőjébe helyezve ez a mérleg is egyensúlyban lesz. Természetesen a mérleg serpenyőibe nem feltétlenül a különböző tárgyak tömege kerül, hanem az ismeretlen mennyiségeknek különböző jellemzői (például egy tárgy értéke forintban kifejezve, egy egyén életkora, valaminek a hosszúsága vagy akár egy időtartam is). Mintapéldák 1.) Egy pohár tömege 10 dkg. Egy palack és egy pohár együtt ugyanakkora tömegű, mint a kancsó. A palack tömege egyenlő egy tányér és egy pohár tömegével. Két kancsó tömege egyenlő három tányér tömegével. Mennyi az egyes tárgyak tömege? Jelölje P egy palack, K egy kancsó, T pedig egy tányér dkg-ban kifejezett tömegét. Rajzoljuk meg a következő három mérleget (a mérlegek elkészítésénél az egyenlőség bal oldalán szereplő mennyiségek a mérleg bal oldali serpenyőjébe, míg a jobb oldalon szereplő mennyiségek a jobb oldali serpenyőbe kerülnek): (1) P 10 K (2) P 10 T (3) K K T T T Az (1) mérleg bal oldali serpenyőjében a palackot egy tányér tömegével és 10 dkg-mal helyettesítve (amint ez a (2) mérlegből kitűnik) adódik, hogy 10 T 10 K, vagyis 20 T K. Tehát a (3) mérleg bal oldali serpenyőjében minden kancsót egy tányérral és

4 egy 20 dkg-os súllyal helyettesítve adódik, hogy: 20 T 20 T T T T. Ennek a mérlegnek mindkét serpenyőjéből eltávolítva két tányér tömegét kapjuk, hogy egy tányér tömege 40 dkg. A továbbiakban a (2), illetve (3) mérleg jobb oldali serpenyőjében a tányér tömegét 40 dkg-mal helyettesítve adódik, hogy egy palack tömege 50 dkg, míg egy kancsó tömege 60 dkg. 2.) Három ceruzáért, két radírért és négy füzetért 1070 forintot fizettünk. Egy ceruza, négy radír és két füzet 690 forintba kerül. Tudjuk továbbá, hogy három ceruza, két radír és két füzet 770 forint. Mennyibe kerül egy ceruza, egy radír és egy füzet külön-külön? Rajzoljuk meg a következő mérlegeket: (1) C C C R R F F F F 1070 (2) C R R R R F F 690 (3) C C C R R F F 770 Látható, hogy ebben az esetben a jobb oldali serpenyőkben nem mérősúlyok, hanem az illető tárgyak értékét kifejező pénzösszegek állnak (mivel a feladatban nem a tárgyak tömege, hanem értéke szerepel). Az (1) és (3) mérlegek tartalmát összehasonlítva láthatjuk, hogy két füzet ára az különbséggel egyenlő. Tehát egy füzet ára 300 : forint. Ezt figyelembe véve rajzoljuk újra az (1) és (2) mérlegek tartalmát, eltávolítva a serpenyőkből a füzetek értékét: (1) C C C R R 470 (2) C R R R R 390 Most duplázzuk meg az (1) mérleg mindkét serpenyőjének tartalmát, majd hasonlítsuk össze a (2) mérleg tartalmával: (1) C C C C C C R R R R 940 (2) C R R R R 390 A (2) mérleg tartalmát figyelembe véve látható, hogy az (1) mérleg bal oldali serpenyőjéből egy ceruzát és négy radírt, míg a jobb oldali serpenyőből 390 forintot eltávolítva a következőket kapjuk: C C C C C 550 Tehát egy ceruza ára 110 forint. A radír árát könnyen megkaphatjuk, ha például a (2) mérleg bal oldali serpenyőjéből a ceruzát, a jobb oldali serpenyőből pedig ennek az értékét (110 forint) távolítjuk el: (2) R R R R 280 Tehát egy radír 280 : 4 70 forintba kerül. 3.) Apa, anya és három lányuk együtt 88 évesek. Az anya tíz évvel idősebb, mint a három lány együtt. Az apa és az anya életkora közötti különbség éppen a legkisebb lány életkorával egyenlő. Az egyik lány két évvel fiatalabb, mint a másik, és ugyanannyival idősebb a harmadiknál. Hány évesek a szülők, ha az apa a legidősebb a családban? Ebben az esetben a mérősúlyok szerepét az egyes életkorokat kifejező évek száma veszi át. Jelölje rendre AP, ANY,,, L3 az apa, az anya, a legkisebb, a középső, illetve a legnagyobb lány életkorát. Készítsük el a következő mérlegeket:

5 (1) AP ANY L3 88 (2) ANY 10 L3 (3) AP ANY (4) L 2 2 (5) L 3 4 A (4) és (5) mérlegek egyensúlya alapján az (1) és (2) mérlegen helyettesítjük az és L3 mennyiségeket a velük egyenértékű mennyiségekkel, ezáltal az (1) és (2) mérlegek tartalma a következőképpen alakul: (1) AP ANY 6 88 (2) ANY 16 A következőkben a (2) mérleg egyensúlyából kiindulva az ANY mennyiséget az (1) és (3) mérlegeken a 16 mennyiséggel helyettesítjük és adódik, hogy: (1) AP (3) AP 16 Most a (3) mérlegből kiindulva az AP mennyiséget az (1) mérlegen helyettesítjük a megfelelő 16 mennyiséggel: (1) L ahonnan, az (1) mérleg mindkét serpenyőjéből 38-at eltávolítva, kapjuk: (1) L 1 50 Tehát a legkisebb lány életkora 5 év. A továbbiakban a feladat adatait figyelembe véve könnyen adódik, hogy a középső lány 7 éves, a legnagyobb lány 9 éves, anya éves, apa éves. 4.) Jóska bácsi két lovat árul nyereggel. Az egyik nyereg forint, a másik nyereg forint. Az első ló a drágább nyereggel háromszor annyiba kerül, mint a második ló az olcsóbb nyereggel. A második ló viszont a drágább nyereggel feleannyiba kerül, mint az első ló az olcsóbb nyereggel. Mennyibe kerülnek a lovak külön-külön? Jelöljük gyel és vel a lovak árát. A következő mérlegeket készíthetjük el: (1) L (2) L Összegezve a két mérleg megfelelő serpenyőiben szereplő mennyiségeket a következő mérleget kapjuk: L Ha mindkét serpenyőről leveszünk -t, akkor a mérleg tartalma a következőképpen alakul: L Ahonnan a második ló: forint. A továbbiakban a (2) mérleg alapján L , Ahonnan adódik, hogy az első ló forint.

6 Gyakorló feladatok 1.) A piacon két tyúkért egy libát, egy libáért egy kacsát és két csibét, hat csibéért pedig egy tyúkot adnak. Hány csibét ér egy kacsa? 2.) Az üzletben 2 kg banán és 5 kg kivi 4000 forintba kerül, 3 kg banánért és 2 kg kiviért pedig 2700 forintot kell fizetni. Mennyibe kerül 1 kg banán, illetve 1 kg kivi? 3.) Béla 6 órát kerékpározva és 5 órát gyalogolva 68 km utat tenne meg. Ha 8 órát gyalogolna és 7 órát kerékpározna, akkor 88 km utat tenne meg. Mennyi utat tesz meg egy óra alatt gyalog, illetve kerékpárral? 4.) Adott egy kétkarú mérleg és négyféle test: gömb, kocka, henger és kúp. Mérlegre helyezve ezek a következőképpen egyensúlyozzák ki egymást: Kitűzött feladatok 2 henger +1 gömb = 3 kocka + 2 kúp 6 gömb = 1 kúp + 1 henger + 1 kocka 1 henger + 1 kúp = 2 gömb + 1 kocka Határozzuk meg, hogy négy kúpot mivel lehet kiegyensúlyozni (testeket nem vághatunk szét)? Keressünk minél több lehetőséget! 1.) Egy pohár és egy üveg együttes tömege egy köcsög tömegével egyenlő. Két üveg és négy pohár együttes tömege három köcsög tömegével egyenlő. Hány pohárral egyensúlyozhatunk ki egy üveget? Hát egy köcsögöt? 2.) 5 zsák búza és 4 zsák kukorica össztömege 320 kg, míg 10 zsák búza és 3 zsák kukorica össztömege 490 kg. Hány kg egy zsák búza, illetve egy zsák kukorica? 3.) Ha 1 órát autóval, 3 órát kerékpárral és 3 órát gyalog haladunk, akkor 150 km-t tudunk megtenni. Ha 1 órát kerékpárral és 1 órát gyalog haladunk, akkor csak 30 km-t teszünk meg. Ha 1 órát autóval és 1 órát gyalog haladnánk, akkor 70 km-t tennénk meg. Hány km-t teszünk meg egy-egy óra alatt autóval, kerékpárral, illetve gyalog? 4.) Két alma, három barack és négy citrom 430 g, míg egy alma és két barack 160 g. Egy alma, egy barack és három citrom együtt 230 g. Számítsuk ki az egyes gyümölcsök egy-egy darabjának a tömegét! (A feladatok megoldásait kérjük, hogy kidolgozva, A/4 méretű papíron küldjék be. A versenyzők azonosítása miatt kérjük, hogy minden dolgozaton szerepeljen a következő 2 adat: NÉV, ÉVFOLYAM.) Beküldési határidő: Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.