Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Átírás

1 Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 017. ősz

2 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz. Komplex számok gyökei Példa ( ) 8-t: 1+i Számoljuk ki ( ) 8 ( ) 8 ( 1+i = i = cos π 4 + i sin ) π 8 4 = = cos ( 8 π 4 ) + i sin ( 8 π 4 ) = cos π + i sin π = 1 További komplex számok, melyeknek a 8-adik hatványa 1: 1; 1; i : i 8 = (i ) 4 = ( 1) 4 = 1; i; 1+i ; 1+i ; sőt: ±i 1+i : ( i 1+i ) 8 = i 8 ( 1+i ) 8 = 1 1 = 1.

3 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 3. Gyökvonás A z = z (cos ϕ + i sin ϕ) és w = w (cos ψ + i sin ψ) trigonometrikus alakban megadott komplex számok pontosan akkor egyenlőek: z (cos ϕ + i sin ϕ) = w (cos ψ + i sin ψ), ha z = w ϕ = ψ + k π valamely k Z szám esetén. n-edik gyökvonás: Legyen z n = w: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) = w (cos ψ + i sin ψ). Ekkor z n = w z = n w nϕ = ψ + k π valamely k Z esetén, vagyis: ϕ = ψ n + k π n valamely k Z esetén. Ha k {0, 1,..., n 1}, akkor ezek mind különböző komplex számot adnak.

4 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 4. Gyökvonás Tétel Legyen z = z (cos ϕ + i sin ϕ), n N. Ekkor a z n-edik gyökei azok a w-k, amikre w n = z: w = n ( ( ϕ z cos n + kπ ) ( ϕ + i sin n n + kπ )) n k = 0, 1,..., n 1.

5 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 5. Gyökvonás w = n ( ( ϕ z cos n + kπ ) ( ϕ + i sin n n + kπ )) : k = 0, 1,..., n 1. n Példa Számítsuk ki a 6 1 i 3+i értékét! 1 i = ( i ) = ( cos 7π 4 + i sin 7π 4 ( 3 ) 3 + i = + i 1 = ( cos π 6 + i sin ) π 6 Mivel 7π i π 6 = 19π 1, ezért: 3+i = 6 1 ( cos 19π 19π 1 + i sin 1 ( cos 19π+4kπ 7 + i sin 19π+4kπ 7 = 1 1 ) ) = ) : k = 0, 1,..., 5.

6 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 6. Komplex egységgyökök Az ε n = 1 feltételnek eleget tevő komplex számok az n-edik egységgyökök: ( ε k = ε (n) k = cos kπ n + i sin kπ ) : k = 0, 1,..., n 1. n Nyolcadik komplex egységgyökök ε ε 3 ε 1 ε 4 ε 0 = 1 ε 5 ε 7 ε 6

7 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 7. Gyökvonás Pozitív valós számok négyzetgyöke: legyen r > 0 valós szám, ekkor az x = r megoldásai: ± r. Tétel Legyen z C nemnulla komplex szám. n N és w C olyan, hogy w n = z. Ekkor z n-edik gyökei feĺırhatóak a következő alakban: wε k : k = 0, 1,... n 1. Bizonyítás A wε k számok mind n-edik gyökök: (wε k ) n = w n ε n k = z 1 = z. Ez n különböző szám, így az összes gyököt megkaptuk.

8 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 8. Rend Bizonyos komplex számok hatványai periodikusak ismétlődnek: 1, 1, 1,... 1, 1, 1, 1,... i, 1, i, 1, i, 1,... 1+i, i, 1+i, 1, 1 i, i, 1 i, 1, 1+i, i,... Általában: cos( π n ) + i sin( π n )-nek n darab különböző hatványa van. Egy z komplex szám különböző (egész kitevős) hatványainak számát a z rendjének nevezzük és o(z)-vel jelöljük. Példa 1 rendje 1; rendje :, 4, 8, 16,... ; 1 rendje : 1, 1; i rendje 4: 1, i, 1, i.

9 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 9. Rend Tétel Egy z komplex számnak vagy bármely két egész kitevős hatványa különböző (ilyenkor a rendje végtelen), vagy pedig a hatványok a rend szerint periodikusan ismétlődnek. A rend a legkisebb olyan pozitív d szám, melyre z d = 1. Továbbá z k = z l o(z) k l. Speciálisan z k = 1 o(z) k. Bizonyítás NB. Talán később...

10 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 10. Primitív egységgyökök Az n-edik egységgyökök rendje nem feltétlenül n: 4-edik egységgyökök: 1, i, 1, i. 1 rendje 1; 1 rendje ; i rendje 4. Az n-ed rendű n-edik egységgyökök a primitív n-edik egységgyökök. A tétel következményei: Következmény(HF) Egy primitív n-edik egységgyök hatványai pontosan az n-edik egységgyökök. Egy primitív n-edik egységgyök pontosan akkor k-adik egységgyök, ha n k.

11 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 11. Primitív egységgyökök Példa Primitív 1. egységgyök: 1; Primitív. egységgyök: 1; Primitív 3. egységgyökök: 1±i 3 ; Primitív 4. egységgyökök: ±i; Primitív 5. egységgyökök:... (HF) Primitív 6. egységgyökök: 1±i 3. Álĺıtás(HF) Egy cos ( ) ( kπ n + i sin kπ ) n n-edik egységgyök pontosan akkor primitív n-edik egységgyök, ha (n, k) = 1.

12 Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Oszthatóság Ha a és b racionális számok (b 0), akkor az a/b osztás mindig elvégezhető (és az eredmény szintén racionális). Ha a és b egész számok, az a/b osztás nem mindig végezhető el (a hányados nem feltétlenül lesz egész). Az a egész osztja a b egészet (b osztható a-val): a b, ha létezik olyan c egész, mellyel a c = b (azaz a 0 esetén b/a szintén egész). Példák 1 13, mert 1 13 = 13; 1 n, mert 1 n = n; 6 1, mert 6 = 1; 6 1, mert ( 6) ( ) = 1. A definíció kiterjeszthető például a Gauss-egészekre: {a + bi : a, b Z}. Példák i 13, mert i ( 13i) = 13; 1 + i, mert (1 + i) (1 i) =.

13 Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 13. Oszthatóság tulajdonságai Álĺıtás (HF) Minden a, b, c,... Z esetén 1 a a; a b és b c a c; 3 a b és b a a = ±b; 4 a b és a b aa bb ; 5 a b ac bc; 6 ac bc és c 0 a b; 7 a b 1,..., b k a c 1 b c k b k ; 8 a 0, u.i. a 0 = 0; 9 0 a a = 0; 10 1 a és 1 a; Példák 1 6 6; 6 és 6 1 1; 3 a 3 és 3 a a = ±3; 4 4 és ; ; és ; 7 3 6, 9 3 6c 1 + 9c

14 Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 14. Egységek Ha egy ε szám bármely másiknak osztója, akkor ε-t egységnek nevezzük. Álĺıtás Az egész számok körében két egység van: 1, 1. Bizonyítás A ±1 nyilván egység. Megfordítva: ha ε egység, akkor 1 = ε q valamely q egész számra. Mivel ε 1, q 1 ε = 1, azaz ε = ±1. Példa A Gauss-egészek körében az i is egység: a + bi = i(b ai). Megjegyzés Pontosan 1 osztói az egységek.

15 Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 15. Asszociáltak Oszthatóság szempontjából nincs különbség a 1 ill. 1 között. Két szám asszociált, ha egymás egységszeresei. Megjegyzés a és b pontosan akkor asszociált, ha a b és b a. Bizonyítás = : Ha b = εa és a = ε b, ahol ε, ε egységek, akkor a b és b a nyilvánvaló. =: Legyen b = ab 1 és a = ba 1. Ekkor b = ab 1 = ba 1 b 1, így a 1 b 1 = 1, vagyis a 1 és b 1 is egységek. Egy számnak az asszociáltjai és az egységek a triviális osztói.

16 Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 16. Prímek, felbonthatatlanok Ha egy nem-nulla, nem egység számnak a triviális osztóin kívül nincs más osztója, akkor felbonthatatlannak (irreducibilisnek) nevezzük. Példa,, 3, 3, 5, 5 felbonthatatlanok. Példa 6 nem felbonthatatlan, mert 6 = 3. Egy nem-nulla, nem egység p számot prímszámnak nevezünk, ha p ab p a vagy p b. Példa,, 3, 3, 5, 5. Példa 6 nem prímszám, mert 6 3 de 6 és 6 3.

17 Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 17. Prímek, felbonthatatlanok Álĺıtás Minden prímszám felbonthatatlan. Bizonyítás Legyen p prímszám és legyen p = ab egy felbontás. Igazolnunk kell, hogy a vagy b egység. Mivel p = ab, így p ab, ahonnan például p a. Ekkor a = pk = a(bk), azaz bk = 1, ahonnan következik, hogy b és k is egység. A fordított irány nem feltétlenül igaz: Z-ben igaz, (lásd később); {a + bi 5 : a, b Z}-ben nem igaz.