Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Átírás

1 Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék ősz

2 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 2. A maradékos osztás tétele és következményei Tétel (polinomok maradékos osztása) Legyen R egységelemes integritási tartomány, f, g R[x], és tegyük fel, hogy g főegyütthatója egység R-ben. Ekkor egyértelműen léteznek olyan q, r R[x] polinomok, melyekre f = qg + r, ahol deg(r) < deg(g). Egyértelműség: Tekintsük f két megfelelő előálĺıtását: f = qg + r = q g + r, amiből: g(q q ) = r r. Ha a bal oldal nem 0, akkor a foka legalább k (Miért?), de a jobb oldal foka legfeljebb k 1 (Miért?), tehát 0 = g(q q ) = r r, és így q = q és r = r.

3 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 3. A maradékos osztás tétele és következményei folyt. Létezés: f = 0 esetén q = 0 és r = 0 jó választás. f 0 esetén f foka szerinti TI: 0 = deg(f ) = deg(g) esetén f = f 0 = f 0 g 1 0 g 0 + 0, 0 = deg(f ) < deg(g) esetén f = 0 g + f. Ha deg(f ) < deg(g), akkor q = 0 és r = f esetén megfelelő előálĺıtást kapunk. Legyen f főegyütthatója f n, g főegyütthatója g k. n k esetén legyen f (x) = f (x) f n g 1 k g(x)x n k. deg(f ) < deg(f ) (Miért?) miatt f -ra használhatjuk az indukciós feltevést, vagyis léteznek q, r R[x] polinomok, amikre f = q g + r. f (x) = f (x) + f n g 1 k g(x)x n k = q (x)g(x) + r (x) + f n g 1 k g(x)x n k = = (q (x) + f n g 1 k x n k )g(x) + r (x), így q(x) = q (x) + f n g 1 k x n k és r(x) = r (x) jó választás. Definíció c R esetén az (x c) R[x] polinom a c-hez tartozó gyöktényező.

4 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 4. A maradékos osztás tétele és következményei Következmény (gyöktényező leválasztása) Ha 0 f R[x], és c R gyöke f -nek, akkor létezik olyan q R[x], amire f (x) = (x c)q(x). Osszuk el maradékosan f -et (x c)-vel (Miért lehet?): f (x) = q(x)(x c) + r(x). Mivel deg(r(x)) < deg(x c) = 1, ezért r konstans polinom. Helyettesítsünk be c-t, így azt kapjuk, hogy 0 = f (c) = q(c)(c c) + r(c) = r(c), amiből r = 0.

5 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 5. A maradékos osztás tétele és következményei Következmény Az f 0 polinomnak legfeljebb deg(f ) gyöke van. f foka szerinti TI: deg(f ) = 0-ra igaz az álĺıtás (Miért?). Ha deg(f ) > 0 és f (c) = 0, akkor f (x) = (x c)g(x) (Miért?), ahol deg(g) + 1 = deg(f ) (Miért?). Ha d gyöke f -nek, akkor d c = 0, amiből d = c, vagy d gyöke g-nek (Miért?). Innen következik az álĺıtás.

6 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 6. A maradékos osztás tétele és következményei Következmény Ha két legfeljebb n-ed fokú polinomnak n + 1 különböző helyen ugyanaz a helyettesítési értéke, akkor egyenlőek. A két polinom különbsége legfeljebb n-ed fokú, és n + 1 gyöke van (Miért?), ezért nullpolinom (Miért?), vagyis a polinomok egyenlőek. Következmény Ha R végtelen, akkor két különböző R[x]-beli polinomhoz nem tartozik ugyanaz a polinomfüggvény. Ellenkező esetben a polinomok különbségének végtelen sok gyöke lenne (Miért?).

7 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 7. Bővített euklideszi algoritmus Definíció Azt mondjuk, hogy f, g R[x] polinomok esetén f osztója g-nek (g többszöröse f -nek), ha létezik h R[x], amire g = f h. Definíció Az f, g R[x] polinomok kitüntetett közös osztója (legnagyobb közös osztója) az a d R[x] polinom, amelyre d f, d g, és tetszőleges c R[x] esetén (c f c g) c d. Test fölötti polinomgyűrűben tetszőleges nem-nulla polinommal tudunk maradékosan osztani, ezért működik a bővített euklideszi-algoritmus. Ez f, g R[x] esetén (R test) meghatározza f és g kitüntetett közös osztóját, a d R[x] polinomot, továbbá u, v R[x] polinomokat, amelyekre d = u f + v g.

8 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 8. Bővített euklideszi algoritmus Algoritmus Legyen R test, f, g R[x]. Ha g = 0, akkor (f, g) = f = 1 f + 0 g, különben végezzük el a következő maradékos osztásokat: f = q 1 g + r 1 ; g = q 2 r 1 + r 2 ; r 1 = q 3 r 2 + r 3 ;. r n 2 = q n r n 1 + r n ; r n 1 = q n+1 r n. Ekkor d = r n jó lesz kitüntetett közös osztónak. Az u 1 = 1, u 0 = 0, v 1 = 0, v 0 = 1 kezdőértékekkel, továbbá az u k = u k 2 q k u k 1 és v k = v k 2 q k v k 1 rekurziókkal megkapható u = u n és v = v n polinomok olyanok, amelyekre teljesül d = u f + v g.

9 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 9. Bővített euklideszi algoritmus A maradékok foka természetes számok szigorúan monoton csökkenő sorozata, ezért az eljárás véges sok lépésben véget ér. Indukcióval belátjuk, hogy r 1 = f és r 0 = g jelöléssel r k = u k f + v k g teljesül minden 1 k n esetén: k = 1-re f = 1 f + 0 g, k = 0-ra g = 0 f + 1 g. Mivel r k+1 = r k 1 q k+1 r k, így az indukciós feltevést használva: r k+1 = u k 1 f + v k 1 g q k+1 (u k f + v k g) = = (u k 1 q k+1 u k ) f + (v k 1 q k+1 v k ) g = u k+1 f + v k+1 g. Tehát r n = u n f + v n g, és így f és g közös osztói r n -nek is osztói. Kell még, hogy r n osztója f -nek és g-nek. Indukcióval belátjuk, hogy r n r n k teljesül minden 0 k n + 1 esetén: k = 0-ra r n r n nyilvánvaló, k = 1-re r n 1 = q n+1 r n miatt r n r n 1. r n (k+1) = q n (k 1) r n k + r n (k 1) miatt az indukciós feltevést használva kapjuk az álĺıtást, és így k = n, illetve k = n + 1 helyettesítéssel r n r 0 = g, illetve r n r 1 = f.

10 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 10. Polinomok algebrai deriváltja Definíció Legyen R gyűrű. Az f (x) = f n x n + f n 1 x n f 2 x 2 + f 1 x + f 0 R[x] (f n 0) polinom algebrai deriváltja az f (x) = nf n x n 1 + (n 1)f n 1 x n f 2 x + f 1 R[x] polinom. Megjegyzés Itt kf k = f k + f k f }{{ k. } k db Álĺıtás Legyen R gyűrű, a, b R és n N +. Ekkor (na)b = n(ab) = a(nb). (a + a a)b = (ab + ab ab) = a(b + b b) }{{}}{{}}{{} n db n db n db

11 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 11. Polinomok algebrai deriváltja Álĺıtás Ha R egységelemes integritási tartomány, akkor az f f algebrai deriválás rendelkezik a következő tulajdonságokkal: 1 konstans polinom deriváltja a nullpolinom; 2 az x polinom deriváltja az egységelem; 3 (f + g) = f + g, ha f, g R[x] (additivitás); 4 (fg) = f g + fg, ha f, g R[x] (szorzat differenciálási szabálya). Megjegyzés Megfordítva, ha egy R egységelemes integritási tartomány esetén egy f f, R[x]-et önmagába képező leképzés rendelkezik az előző 4 tulajdonsággal, akkor az az algebrai deriválás.

12 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 12. Polinomok algebrai deriváltja Álĺıtás Ha R egységelemes integritási tartomány, c R és n N +, akkor ((x c) n ) = n(x c) n 1. Következő órán.