Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Átírás

1 Diszkrét matematika 1. középszint ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék ősz

2 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 2. Euler-féle ϕ függvény Definíció Egy m > 0 egész szám esetén legyen ϕ(m) az m-nél kisebb, hozzá relatív prím természetes számok száma: ϕ(m) = {j : 0 j < m, (m, j) = 1}. ϕ(5) = 4: 5-höz relatív prím pozitív egészek 1, 2, 3, 4. ϕ(6) = 2: 6-hoz relatív prím pozitív egészek 1, 5. ϕ(12) = 4: 12-höz relatív prím pozitív egészek 1, 5, 7, 11. ϕ(15) = 8: 15-höz relatív prím pozitív egészek 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. Megjegyzés: ϕ(m) a redukált maradékosztályok száma modulo m.

3 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 3. Euler-féle ϕ függvény ϕ(m) = {j : 0 j < m, (m, j) = 1} Tétel (NB) Legyen m kanonikus alakja m = p α1 1 pα2 2 pα l. Ekkor ϕ(m) = m l ) (1 1pi = i=1 l l (p α i i=1 i p α i 1 i ). ϕ(5) = 5 ( 1 5) 1 = = 4; ϕ(6) = 6 ( ( 1 2) ) = ( )( ) = 2; ϕ(12) = 12 ( ( 1 2) ) = ( )( ) = 4; ϕ(15) = 15 ( ( 1 3) ) = ( )( ) = 8.

4 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 4. Euler-Fermat tétel Tétel Legyen m > 1 egész szám, a olyan egész, melyre (a, m) = 1. Ekkor a ϕ(m) 1 (modm). Következmény (Fermat tétel) Legyen p prímszám, p a. Ekkor a p 1 1 (modp), illetve tetszőleges a esetén a p a (modp). ϕ(6) = = 25 1 (mod 6); ϕ(12) = = (mod 12); 7 4 = (mod 12). Figyelem! 2 4 = (mod 12), mert (2, 12) = 2 1.

5 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 5. Euler-Fermat tétel bizonyítása Lemma Legyen m > 1 egész, a 1, a 2,..., a m teljes maradékrendszer modulo m. Ekkor minden a, b egészre, melyre (a, m) = 1, a a 1 + b, a a 2 + b,..., a a m + b szintén teljes maradékrendszer. Továbbá, ha a 1, a 2,..., a ϕ(m) redukált maradékrendszer modulo m, akkor a a 1, a a 2,..., a a ϕ(m) szintén redukált maradékrendszer. Bizonyítás Tudjuk, hogy aa i + b aa j + b (modm) aa i aa j (modm). Mivel (a, m) = 1, egyszerűsíthetünk a-val: a i a j (modm). Tehát a a 1 + b, a a 2 + b,..., a a m + b páronként inkongruensek. Mivel számuk m, így teljes maradékrendszert alkotnak. (a i, m) = 1 (a, m) = 1 (a a i, m) = 1. Továbbá a a 1, a a 2,..., a a ϕ(m) páronként inkongruensek, számuk ϕ(m) redukált maradékrendszert alkotnak.

6 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 6. Euler-Fermat tétel bizonyítása Tétel (Euler-Fermat) (a, m) = 1 a ϕ(m) 1 (modm). Bizonyítás Legyen a 1, a 2,..., a ϕ(m) egy redukált maradékrendszer modulo m. Mivel (a, m) = 1 a a 1, a a 2,..., a a ϕ(m) szintén redukált maradékrendszer. Innen ϕ(m) a ϕ(m) a j = Mivel j=1 ϕ(m) j=1 ϕ(m) j=1 a ϕ(m) 1 (modm). a a j ϕ(m) j=1 a j (modm). a j relatív prím m-hez, így egyszerűsíthetünk vele:

7 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 7. Euler-Fermat tétel Tétel (Euler-Fermat) (a, m) = 1 a ϕ(m) 1 (modm) Mi lesz a utolsó számjegye tízes számrendszerben? Mi lesz mod 10? ϕ(10) = = = ( 3 4) = 3 3 = 27 7 (mod 10) Oldjuk meg a 2x 5 (mod 7) kongruenciát! ϕ(7) = 6. Szorozzuk be mindkét oldalt 2 5 -nel. Ekkor x x (mod 7). És itt 5 25 = = 20 6 (mod 7). Oldjuk meg a 23x 4 (mod 211) kongruenciát! ϕ(211) = 210. Szorozzuk be mindkét oldalt nel. Ekkor x x (mod211). És itt (mod 211).

8 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 8. Gyors hatványozás Legyenek m, a, n pozitív egészek, m > 1. Szeretnénk kiszámolni a n mod m maradékot hatékonyan. Ábrázoljuk n-et 2-es számrendszerben: k n = ε i 2 i = (ε k ε k 1... ε 1 ε 0 ) (2), ahol ε 0, ε 1,..., ε k {0, 1}. i=0 Legyen n j (0 j k) az első j + 1 jegy által meghatározott szám: n j = n/2 k j = (ε k ε k 1... ε k j ) (2) Ekkor meghatározzuk minden j-re az x j a n j (modm) maradékot: n 0 = ε k = 1, x 0 = a. n j = 2 n j 1 + ε k j { x j = a ε k j x xj mod m = j 1 mod m, ha ε k j = 0 axj 1 2 mod m, ha ε k j = 1 x k = a n mod m. Az algoritmus helyessége az alábbi formulából következik (Biz.: HF): a n = a k k i=0 ε i 2 i = (a ) ε i 2i i=0

9 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 9. Gyors hatványozás Mi lesz mod 10? (Euler-Fermat 7) 111 (10) = (2) itt k = 6, a = 3, m = 10. j n j x j =a ε k j x 2 j 1 x j mod x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 =

10 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 10. Gyors hatványozás Oldjuk meg a 23x 4 (mod 211) kongruenciát! Euler-Fermat x (mod 211). Mi lesz mod 211? 209 (10) = (2) itt k = 7, a = 23. j n j x j =a ε k j x 2 j 1 x j mod x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 6 = x (mod 211).

11 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 11. Generátor Tétel (NB) Legyen p prímszám. Ekkor Z p-ban van generátor (primitív gyök): van olyan 1 < g < p egész, mely hatványaiként előáll minden redukált maradékosztály: {g 0 = 1, g, g 2,..., g p 2 } = Z p, azaz {1 = g 0, g mod p, g 2 mod p,..., g p 2 mod p} = {1, 2,..., p 1}. 3 generátor modulo 7: 3 0 = 1 = = 1 1 (mod 7) 3 1 = 3 = = 3 3 (mod 7) 3 2 = 9 = = 9 2 (mod 7) 3 3 = 27 = = 6 6 (mod 7) 3 4 = 81 = = 18 4 (mod 7) 3 5 = 243 = = 12 5 (mod 7)

12 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 12. Generátor 2 generátor modulo 11: n n mod nem generátor modulo 7: n n mod

13 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 13. Diszkrét logaritmus Definíció Legyen p prímszám, g generátor modulo p. Ekkor az a Z (p a) g alapú diszkrét logaritmusa (indexe): log g a = n : a g n (modp), 0 n < p. 3 generátor modulo 7: n n azaz a log 3 a n n a log 3 a

14 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 14. Diszkrét logaritmus 2 generátor modulo 11: n n mod Logaritmus-táblázat: a log 2 a Tétel (HF) Legyen p prímszám, g generátor modulo p, 1 a, b < p, n Z. Ekkor log g (a b) log g a + log g b (mod p 1) log g (a n ) n log g a (mod p 1)

15 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 15. Alkalmazások Számelmélet alkalmazási területei: Kriptográfia üzenetek titkosítása; digitális aláírás; azonosítás,... Kódelmélet...

16 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 16. Caesar kód Julius Caesar katonáival a következő módon kommunikált. Feleltessük meg az (angol) ábécé betűit a {0, 1,..., 25} halmaznak: a 0 b 1 c 2. z 25 Titkos kulcs: σ {0, 1,..., 25}. Titkosítás: adott α {0, 1,..., 25} esetén α titkosítása α α + σ mod 26. Üzenet titkosítása betűnként. Kititkosítás: adott β {0, 1,..., 25} esetén β kititkosítása β β σ mod 26. Üzenet kititkosítása betűnként. hello titkosítása az s = 13 kulccsal: hello titkosítás uryyb uryyb kititkosítása az s = 13 kulccsal: uryyb kititkosítás hello

17 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 17. Caesar kód Ha s = 13 kulcsot választjuk: Rot13. Titkosítás és kititkosítás ugyanazzal a kulccsal: (mod 26). A titkosítás nem biztonságos: betűgyakoriság vizsgálattal törhető (al-kindi i.sz. 9 sz.) Ha a különböző pozíciókban különböző kulcsokat választhatunk (véletlenszerűen) bizonyítottan biztonságos Gyakorlatban: One Time Pad OTP Üzenetek: bináris formában: m= Kulcs: bináris sorozat: s= Titkosítás: bitenkénti XOR (mod 2 összeadás): m= XOR s= c= Kritikus pont: az s titkos kulcs átadása.

18 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 18. RSA Ron Rivest, Adi Shamir és Leonard Adleman 1977-ben a következő eljárást javasolták: Kulcsgenerálás: Legyen p, q két (nagy, 1024 bites) prím, n = p q. Legyen e {1,..., ϕ(n)} olyan, hogy (e, ϕ(n)) = 1. Legyen d az ex 1 (mod ϕ(n)) kongruencia megoldása. Kulcsok: - nyilvános kulcs (n, e), Kulcsok: - titkos kulcs d. Titkosítás: Adott 0 m < n üzenet titkosítása: c = m e mod n. Kititkosítás Adott 0 c < n titkosított üzenet kititkosítása: m = c d mod n. Algoritmus helyessége: c d = (m e ) d = m e d k ϕ(n)+1 E-F = m m (modn)

19 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 19. RSA Valóságban az m üzenet egy titkos kulcs további titkosításhoz. Az eljárás biztonsága azon múlik, hogy nem tudjuk hatékonyan faktorizálni az n = p q szorzatot. Feladat Találjuk meg a következő szám osztóit. RSA-100 = RSA-2048=

20 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 20. RSA RSA-2048 faktorizálása: Próbaosztás (Eratoszthenész szitája): n szám esetén n osztást kell végezni: RSA-2048 n , n próbaosztás. Ha 1 másodperc alatt osztás /2 30 = másodperc kell a faktorizáláshoz másodperc év. Ugyanezt 2 db géppel: év. Ugyanezt a legjobb (ismert) algoritmussal: év (= 2, ) Univerzum életkora: 1, év.

21 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 21. RSA Kulcsgenerálás: Legyen p = 61, q = 53 és n = = 3233, ϕ(3233) = Legyen e = 17. Bővített euklideszi algoritmussal: d = Nyilvános kulcs: (n = 3233, e = 17); Titkos kulcs: d = Titkosítás: Legyen m = 65. c = (mod 3233) Kititkosítás: Ha c = 2790: (mod 3233) Digitális aláírást is lehet generálni: e és d felcserélésével: (Ekkor külön n, e, d kell a titkosításhoz!) Aláírás Legyen s = m d mod n, ekkor az aláírt üzenet: (m, s). Ellenőrzés m? s e (modn).

22 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 22. Diffie-Hellman kulcscsere protokoll Az első nyilvános kulcsú kriptográfiai rendszert Whitfield Diffie és Martin Hellman 1976-ban publikálta. Legyen p (nagy) prím, g pedig generátor modp. Alice választ a R {0, 1,..., p 2} kiszámolja ( g b) a nem megbízható csatorna g a g b közös titkos kulcs: g ab Bob választ b R {0, 1,..., p 2} kiszámolja (g a ) b

23 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 23. Diffie-Hellman kulcscsere protokoll Nyilvános paraméterek: p (nagy) prím, g generátor modp. Kulcsok: Alice titkos kulcsa a: 1 a < p 1, nyilvános kulcsa g a mod p, Kulcsok: Bob titkos kulcsa b: 1 a < p 1, nyilvános kulcsa g b mod p. Közös kulcs: g ab mod p. A protokoll biztonsága azon múlik, hogy a diszkrét logaritmus kiszámítás nehéz. Ha p (2048 bites), diszkrét logaritmus számolása év. Nyilvános paraméterek: Legyen p = 11, g = 2. Kulcsok: Alice titkos kulcsa a = 4, nyilvános kulcsa 2 4 mod p = 5. Kulcsok: Bob titkos kulcsa b = 8, nyilvános kulcsa 2 8 mod p = 3. Közös kulcs: ( g b) a = 3 4 mod p = 4, (g a ) b = 5 8 mod p = 4.