PRÍMSZÁMOK ÉS A TITKOSÍRÁS

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "PRÍMSZÁMOK ÉS A TITKOSÍRÁS"

Átírás

1 PRÍMSZÁMOK ÉS A TITKOSÍRÁS Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS Úgy tapasztaltam, széles körben ismert az a tény, hogy a manapság használatos titkosítási eljárások a prímszámokhoz kötődnek. Arról azonban sokkal kevesebb embernek van elképzelése, hogy pontosabban milyen kapcsolat van e két dolog között, pedig az elv középiskolás szinten is elmagyarázható. Erre teszek kísérletet a következő cikkben egy konkrét, kis számokat használó példán keresztül. BEVEZETÉS Középiskolai tanárként szinte mániákusan keressük azokat a témákat, melyek saját tantárgyunkban szélesebb rétegek számára is érdekes lehet. Biztosan ilyen a titkosírás, mely mindig megmozgatja a diákok fantáziáját. Könnyen elérhető, óriási irodalma van, miután több ezer éves történelemmel rendelkezik. Éppen ezért ideális területe az önálló kutatómunkának, többen tudnak egyidejűleg foglalkozni vele, hiszen van akit a középkor, van akit a II. Világháború érdekel inkább. 1. ábra. A Rononci-kódex és az Enigma: a németek által a II. Világháborúban használt titkosító gép. Aki a diákok közül nem próbálta még, lelkesen szokta kipróbálni, hogyan lehet kézzel, írásban megfejteni pár soros, tetszőleges szöveget, amit egyszerű helyettesítéses eljárással kódolt valamelyik társuk. 335

2 2. ábra. Július Cézár titkosítási eljárása egyszerű eltolással. Érdemes a diákokkal beszélnünk arról, mekkora segítséget jelent egy hosszabb általános szöveg megfejtéséhez, ha ismerjük a nyelvet, amelyen íródott, és az adott nyelv betűinek gyakoriság táblázatát használjuk a megfejtéshez. Később, nehezítésképpen, kódolhatunk egymásnak olyan szövegeket, melyek a magyar nyelv gyakoriság értékeitől lényegesen eltérő betűösszetétellel rendelkeznek. FELTŰNNEK A PRÍMSZÁMOK G. H. Hardy ( ), a prímszámok elméletének egyik legkiemelkedőbb kutatója a XX. század első felében, ezt írja Egy matematikus védekezése című könyvében: Soha nem tettem semmi "hasznosat". Semelyik felfedezésem sem volt, és nem valószínű, hogy valaha is legyen, közvetlenül vagy közvetve, jó vagy rossz hatással a világ folyására... Hardy véleményével szemben ma a prímszámok jelentik a diplomáciai, gazdasági, katonai titkosítás alapját ben született meg az RSA prímszámalapú titkosírási rendszer, mely elnevezését a három felfedező matematikus vezetéknevének kezdőbetűi után kapta. 3. ábra. Ronald R. Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman. [3] Eljárásuk lényegét szeretnénk bemutatni, ami kis számokkal egyszerűen végigszámolható, megérthető. 336

3 SZÜKSÉGES MATEMATIKAI FOGALMAK, TÉTELEK [1] A gimnáziumi tananyagon túlmenően szükségünk van néhány fogalomra, tételre, melyek bizonyítása, részletes vizsgálata nem szükséges a módszer megértéséhez, elegendő puszta ismeretük. Először is a kongruencia fogalmát kell megismerni, amit egy egyszerű példán keresztül rögtön megértethetünk. A 17 2 (mod 5) annyit jelent mindössze, hogy a 17 5-tel osztva ugyanazt a maradékot adja, mint a 2, vagyis a 17 kongruens a 2-vel mod 5. A kongruenciákra vonatkozó Kis Fermat-tétel kimondja: ha a-val egy tetszőleges egész számot jelölünk, és p prím, akkor a p a (mod p). Nem kell bizonyítanunk a tételt, de egy példán ellenőrizve a jelentése világosabb lesz, és közben megismerjük, gyakoroljuk a kongruenciákkal való számolást. A Kis Fermat-tétellel összefüggő Euler-tétel speciális esete: Ha k 1 (mod (p 1)(q 1)), ahol p,q prímszámok, akkor a k a (mod pq). Itt is érdemes egyszerű számolással ellenőrizni egy esetet, közben barátkozni az állítással. AZ RSA NYILVÁNOS KULCSÚ TITKOSÍRÁS Az eljárás lényege a következő: Választunk két prímszámot: p és q, ezeket összeszorozzuk: n = pq. Keresünk olyan k számot, amely 1 maradékot ad (p -1)(q 1)-gyel osztva. Utána k-t felbontjuk két szám szorzatára: k = ed, ahol az e számot használjuk a kódoláshoz (encoding), és d-t a dekódoláshoz. 4. ábra. Kódolás - dekódolás. Kis számokkal végig számolva ez a következő módon néz ki: Legyen p = 19 és q = 13, ekkor n = pq = 247, (p 1)(q 1) = = 216. k = 217; k = ed alapján pl. 217 = 7 31, vagyis e = 7 és d = 31. Az üzenet, amit szeretnénk kódolva elküldeni, legyen mondjuk: HELLO, amit számsorozattá kell alakítani. Erre a célra használhatjuk akár az ASCII kódokat, de saját készítésű kódtáblával talán még érdekesebb. 1. táblázat. Az ABC betűi, és nekik megfelelő kódok a b c d e f g h i j k l m n O p q r S t u v w x y z vége

4 Ezzel a kódolással a következőt kapjuk: HELLO Ha b = üzenet, és c = kódolt üzenet, akkor c-t úgy kapjuk, hogy c b e (mod pq) teljesüljön. Ekkor: (mod 247) (mod 247) (mod 247) (mod 247) (mod 247) [2] A kódolt üzenet így alakul tehát: A dekódolás a következő módon történik: ha c = kódolt üzenet, és b = dekódolt üzenet, akkor b-t úgy kapjuk, hogy b c d (mod pq) teljesüljön. Vagyis ki kell számítani, hogy 45 31? (mod 247). Ez zsebszámológéppel több lépésben könnyen elvégezhető, és azt kapjuk, hogy: (mod 247). Majd hasonlóképpen: (mod 247) (mod 247) (mod 247) (mod 247). [2] A dekódolt üzenet így: , vagyis HELLO! Könnyen látható, azért kapjuk vissza az eredeti számsorozatot, mert az Euler-tételt alkalmazzuk: kiindulunk b-ből, kódoljuk, c = b e, majd ezt dekódoljuk, (b e ) d = b k b (mod pq), ami az eredeti üzenet. Ez így persze egyszerű helyettesítő eljárás lenne (jól elbonyolítva), ami a gyakoriság táblázatok alapján gyorsan megfejthető. Ez a probléma azonban könnyen kiküszöbölhető a számsorozat egybeírásával, majd meghatározott egységekre bontásával. AZ RSA A VALÓSÁGBAN Minden titkosírásnál kell legyen titokban tartott információ. Aki megszerzi ezt a titkos információt, az meg tudja fejteni a kódolt üzenetet. Nem ismétlődő elemeket tartalmazó kódkönyv segítségével elvileg feltörhetetlen titkosítás készíthető. Ezeknek a könyveknek a biztonságos előállítása, szállítása és őrzése azonban nagy kockázatot jelent. Ezért különösen jó, hogy ennél az eljárásnál csak d értékét kell féltve őrizni. Mindössze egyetlen egy szám! Valójában p és q prímek a 100 számjegyű nagyságrendbe esnek, így n 200 számjegyű lehet. Nyilvánosságra hozzuk n és e értékét (a példánkban 247 és 7), így bárki tud kódolt üzenetet küldeni, mivel a kódoláshoz nincs másra szükség, mint a számsorozattá alakított üzenet egységeit hatványozni, és a hatványokról megállapítani az n-nel való osztás maradékát. Akinek az üzenetet küldtük, az ismeri (a nyilvános n és e értékén kívül) d értékét is. A megérkezett kódot egységenként d-edik hatványra emeli, kiszámítja az n-nel való osztás maradékát, és visszakapja az eredeti üzenetet. Aki nem ismeri d értékét, mert előle eltitkoltuk, de fel akarja törni a titkosítást, annak a megfejtéshez, dekódoláshoz tehát d értékére van szüksége. (Vegyük észre, hogy d értéke nélkül még az sem tud üzenetet dekódolni, aki rendszeresen kódol üzeneteket n és e ismeretével.) Ennek meghatározásához k-t kell ismerni, hiszen k = ed. A k értéke egyébként 338

5 nem egyértelmű, mert több ilyen tulajdonságú szám is lehet, de minden k érték egyformán jó, ami teljesíti a megadott feltételt, A k számot p és q értékéből kaphatjuk meg, mivel k 1 (mod (p 1)(q 1)). Vagyis n-t kell prímtényezőire bontanunk, hogy megkapjuk p és q értékét. Ezt nevezzük faktorizációnak, amikor az n összetett számot akarjuk prímtényezőire bontani. Ebből látszik: a titkosított szöveg megfejtése attól függ, fel tudunk-e bontani egy ismert számot prímtényezőire. FAKTORIZÁCIÓ A faktorizációra az ókor óta ismert módszer az Erathosztenészi szita. Ennél elegendő a prímosztókat vizsgálni az n szám négyzetgyökéig, de nagy számokra így sem elég hatékony. A felbontási módszerek alapkérdése a lépésszám: vagyis hogyan függ a felbontáshoz szükséges lépések száma n-től? Azok a módszerek, amelyek n exponenciális függvényei, alkalmatlanok nagy számok faktorizálására. A matematikusok hihetetlen erőfeszítéseket tettek hatékonyabb algoritmusok kidolgozására, de a probléma nagyon nehéz. Néhány érdekesség a faktorizáció történetéből: 1874-ben úgy gondolták, a 10 jegyű számot soha nem lesz képes az ember felbontani. Ezzel szemben az 1970-es években 20 számjegyig tudják elvégezni a felbontást, természetesen már a számítógépek segítségével augusztusában jelenik meg a Scientific American-ben, hogy egy 129 jegyű számot, amit két prímszám szorzataként kaptak, (ezt nevezzük RSA 129-nek), évmilliókba telik faktorizálni. Itt p és q 64 számjegyű, és a cikkben 100 $-t ajánlottak egy, ennek a számnak a segítségével titkosított mondat megfejtéséért. [3] 1980-ban 50 számjegyig tudtak faktorizálni ben érték el a 100 számjegyet a felbontásban 1994-ben faktorizálták az RSA 129-t ben faktorizálták az RSA 155-t. [3] 2009-ben egy 232 jegyű számot egy év alatt faktorizáltak több száz számítógép összekapcsolásával, összesen 2000 év gépidő felhasználásával. IRODALOMJEGYZÉK 1. Freud Gyarmati: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Sramó B.: A titkosírás szerepe a XX. században, Gábor Ferenc pályázat, Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma, Pécs,

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak... Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus

Részletesebben

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye: Az RSA módszer Az RSA módszer titkossága a prímtényezős felbontás nehézségén, a prímtényezők megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

Részletesebben

Prímtesztelés, Nyilvános kulcsú titkosítás

Prímtesztelés, Nyilvános kulcsú titkosítás Prímtesztelés, Nyilvános kulcsú titkosítás Papp László BME December 8, 2018 Prímtesztelés Feladat: Adott egy nagyon nagy n szám, döntsük el, hogy prímszám-e! Naív kísérletek: 1. Nézzük meg minden nála

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Információs társadalom alapismeretek

Információs társadalom alapismeretek Információs társadalom alapismeretek Szabó Péter Gábor Titkosítás és számítástechnika Titkosítás alapfogalmai A Colossus Kriptográfia A rejtjelezés két fı lépésbıl áll: 1) az üzenet titkosítása (kódolás)

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 11. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Waldhauser Tamás december 1.

Waldhauser Tamás december 1. Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba

Részletesebben

Prímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak.

Prímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. Bevezetés on vagy felbonthatatlan számokon olyan pozitív egész számokat értünk, amelyeknek csak két pozitív osztójuk van, nevezetesen az 1 és

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra. 1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz

Részletesebben

4. Előadás Titkosítás, RSA algoritmus

4. Előadás Titkosítás, RSA algoritmus 4. Előadás Titkosítás, RSA algoritmus Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom A kriptográfia meghatározása, alaphelyzete Szimmetrikus (titkos) kulcsú titkosítás A Caesar-eljárás Aszimmetrikus (nyilvános)

Részletesebben

RSA algoritmus. Smidla József. Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem

RSA algoritmus. Smidla József. Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem RSA algoritmus Smidla József Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem 2012. 3. 27. Smidla József (RSZT) RSA algoritmus 2012. 3. 27. 1 / 29 Tartalom 1 Aszimmetrikus kódolók 2 Matematikai alapok

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék.

Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék. Kriptográfia és Információbiztonság 8. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2018 Miről volt szó az elmúlt előadáson? az RSA titkosító

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Fábián Zoltán Hálózatok elmélet

Fábián Zoltán Hálózatok elmélet Fábián Zoltán Hálózatok elmélet Információ fajtái Analóg az információ folytonos és felvesz minden értéket a minimális és maximális érték között Digitális az információ az idő adott pontjaiban létezik.

Részletesebben

Miller-Rabin prímteszt

Miller-Rabin prímteszt Az RSA titkosítás Nyílt kulcsú titkosításnak nevezünk egy E : A B és D : B A leképezés-párt, ha bármely a A-ra D(E(a)) = a (ekkor E szükségképpen injektív leképezés), E ismeretében E(a) könnyen számítható,

Részletesebben

Készítette: Fuszenecker Róbert Konzulens: Dr. Tuzson Tibor, docens

Készítette: Fuszenecker Róbert Konzulens: Dr. Tuzson Tibor, docens A nyílt kulcsú titkosítás és a digitális aláírás Készítette: Fuszenecker Róbert Konzulens: Dr. Tuzson Tibor, docens Budapest Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Műszaki Főiskolai Kar Műszertechnikai és Automatizálási

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék.

Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék. Kriptográfia és Információbiztonság 7. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2018 Miről volt szó az elmúlt előadáson? Kriptográfiai

Részletesebben

1. Egészítsük ki az alábbi Python függvényt úgy, hogy a függvény meghatározza, egy listába, az első n szám faktoriális értékét:

1. Egészítsük ki az alábbi Python függvényt úgy, hogy a függvény meghatározza, egy listába, az első n szám faktoriális értékét: Az írásbeli vizsgán, az alábbiakhoz hasonló, 8 kérdésre kell választ adni. Hasonló kérdésekre lehet számítani (azaz mi a hiba, egészítsük ki, mi a függvény kimeneti értéke, adjuk meg a függvényhívást,

Részletesebben

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2

Részletesebben

2017, Diszkrét matematika

2017, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 10. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a prímszámtétel prímszámok,

Részletesebben

Üzenetek titkosítása az óra-aritmetika alkalmazásával Catherine A. Gorini 1

Üzenetek titkosítása az óra-aritmetika alkalmazásával Catherine A. Gorini 1 Üzenetek titkosítása az óra-aritmetika alkalmazásával Catherine A. Gorini 1 Aszámítógépek és más elektronikus kommunikációs eszközök befolyással vannak életünk szinte minden területére az áruházi vásárlástól

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

XII. Bolyai Konferencia. Bodnár József Eötvös Collegium II. matematikus, ELTE TTK

XII. Bolyai Konferencia. Bodnár József Eötvös Collegium II. matematikus, ELTE TTK XII. Bolyai Konferencia Bodnár József Eötvös Collegium II. matematikus, ELTE TTK A legegyszerűbb titkosírás: a betűcsere A B C D E... C A B E D... AD --> CE Állandó helyettesítési séma Váltogatott kulcs:

Részletesebben

2018, Diszkre t matematika. 8. elo ada s

2018, Diszkre t matematika. 8. elo ada s Diszkre t matematika 8. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Kriptográfiai alapfogalmak

Kriptográfiai alapfogalmak Kriptográfiai alapfogalmak A kriptológia a titkos kommunikációval foglalkozó tudomány. Két fő ága a kriptográfia és a kriptoanalízis. A kriptográfia a titkosítással foglalkozik, a kriptoanalízis pedig

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az

Részletesebben

Infóka verseny. 1. Feladat. Számok 25 pont

Infóka verseny. 1. Feladat. Számok 25 pont Infóka verseny megoldása 1. Feladat. Számok 25 pont Pistike és Gyurika egy olyan játékot játszik, amelyben prímszámokat kell mondjanak. Az nyer, aki leghamarabb ér el 1000 fölé. Mindkét gyerek törekedik

Részletesebben

2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s

2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

SZÁMELMÉLETI FELADATOK

SZÁMELMÉLETI FELADATOK SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok 2

Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. Kriptográfia és Információbiztonság 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017 Miről volt szó az elmúlt előadáson? A Crypto++

Részletesebben

Szakács Lili Kata megoldása

Szakács Lili Kata megoldása 1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan

Részletesebben

Nyilvános kulcsú titkosítás RSA algoritmus

Nyilvános kulcsú titkosítás RSA algoritmus Nyilvános kulcsú titkosítás RSA algoritmus OpenPGP NYILVÁNOS KULCSÚ TITKOSÍTÁS Legyen D a titkosítandó üzenetek halmaza. Tegyük fel, hogy Bob titkosítottan szeretné elküldeni Aliznak az M D üzenetet. A

Részletesebben

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet: Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik

Részletesebben

Matematika 7. osztály

Matematika 7. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály III. rész: Számelmélet Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

MBL013E Számelmélet és Alkalmazásai

MBL013E Számelmélet és Alkalmazásai MBL013E Számelmélet és Alkalmazásai előadás vázlat 2013 0. Korábbi kurzusok alapján ismertnek föltételezett anyag. 1. Az MBL112E kódú, Bevezetés a száelméletbe c. kurzus anyaga, különösen a következők:

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Eötvös Loránd Tudományegyetem Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Fejezetek a Bonyolultságelméletből Szakdolgozat Hrubi Nóra Matematika Bsc Matematikai elemző szakirány Konzulens: Korándi József Adjunktus Budapest

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Mintafeladat az RSA algoritmus szemléltetésére

Mintafeladat az RSA algoritmus szemléltetésére Mintafeladat az RSA algoritmus szemléltetésére Feladat Adottak a p = 269 és q = 24 prímszámok, továbbá az e = 5320 nyilvános kulcs és az x = 48055 nyílt szöveg. Számolja ki n = p q és ϕ(n) értékét! Igazolja

Részletesebben

5.1 Környezet. 5.1.1 Hálózati topológia

5.1 Környezet. 5.1.1 Hálózati topológia 5. Biztonság A rendszer elsodleges célja a hallgatók vizsgáztatása, így nagy hangsúlyt kell fektetni a rendszert érinto biztonsági kérdésekre. Semmiképpen sem szabad arra számítani, hogy a muködo rendszert

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

Kriptográfiai protokollok

Kriptográfiai protokollok Kriptográfiai protokollok Protokollosztályok - partnerhitelesítés - kulcskiosztás - üzenetintegritás - digitális aláírás - egyéb(titokmegosztás, zero knowledge...) 1 Shamir "háromlépéses" protokollja Titok

Részletesebben

Kriptográfia házi használatra Szeptember 26

Kriptográfia házi használatra Szeptember 26 Kriptográfia házi használatra 1 / 16 Kriptográfia házi használatra Csirmaz László CEU Rényi ELTE 2018 Szeptember 26 Kriptográfia házi használatra 2 / 16 A fagylaltos kocsik hová álljanak? Szomszédos sarkokon

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

Prímszámok statisztikai analízise

Prímszámok statisztikai analízise Prímszámok statisztikai analízise Puszta Adrián 28. április 18. Kivonat Munkám során a prímszámok és a páros prímek eloszlását, illetve különbségét vizsgáltam, majd ebből következtettem a véletlenszerű

Részletesebben

Elektronikus aláírás. Gaidosch Tamás. Állami Számvevőszék

Elektronikus aláírás. Gaidosch Tamás. Állami Számvevőszék Elektronikus aláírás Gaidosch Tamás Állami Számvevőszék 2016.05.24 Tartalom Mit tekintünk elektronikus aláírásnak? Hogyan működik? Kérdések 2 Egyszerű elektronikus aláírás 3 Demo: valódi elektronikus aláírás

Részletesebben

Data Security: Public key

Data Security: Public key Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Kongruenciák. Waldhauser Tamás Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek

Részletesebben

6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra

6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra 6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Feladatok, megjegyzések Irodalom 2 Eml.: Próbaosztásos algoritmus (teljes felbontás) 14-18 jegyű számokig

Részletesebben

6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra

6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra 6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Fermat algoritmusa A Pollard-ró algoritmus Pollard (p 1) algoritmusa Feladatok, megjegyzések Irodalom 2

Részletesebben

Dan Brown Digitális erődje és a nyilvános kulcsú titkosítás

Dan Brown Digitális erődje és a nyilvános kulcsú titkosítás EÖTVÖS LÓRÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Dan Brown Digitális erődje és a nyilvános kulcsú titkosítás BSc Szakdolgozat Készítette: Fekete Ildikó Elemző matematika szakos hallgató Témavezető:

Részletesebben

Adat és Információvédelmi Mesteriskola 30 MB. Dr. Beinschróth József SAJÁTOS LOGIKAI VÉDELEM: A KRIPTOGRÁFIA ALKALMAZÁSA

Adat és Információvédelmi Mesteriskola 30 MB. Dr. Beinschróth József SAJÁTOS LOGIKAI VÉDELEM: A KRIPTOGRÁFIA ALKALMAZÁSA 30 MB Dr. Beinschróth József SAJÁTOS LOGIKAI VÉDELEM: A KRIPTOGRÁFIA ALKALMAZÁSA Tartalom Alapvetések - kiindulópontok Alapfogalmak Változatok Tradicionális módszerek Szimmetrikus kriptográfia Aszimmetrikus

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro Kriptográfia és Információbiztonság 10. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Vizsgatematika 1 Klasszikus kriptográfiai rendszerek

Részletesebben

IT BIZTONSÁGTECHNIKA. Tanúsítványok. Nagy-Löki Balázs MCP, MCSA, MCSE, MCTS, MCITP. Készítette:

IT BIZTONSÁGTECHNIKA. Tanúsítványok. Nagy-Löki Balázs MCP, MCSA, MCSE, MCTS, MCITP. Készítette: IT BIZTONSÁGTECHNIKA Tanúsítványok Készítette: Nagy-Löki Balázs MCP, MCSA, MCSE, MCTS, MCITP Tartalom Tanúsítvány fogalma:...3 Kategóriák:...3 X.509-es szabvány:...3 X.509 V3 tanúsítvány felépítése:...3

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Kvantumkriptográfia II.

Kvantumkriptográfia II. LOGO Kvantumkriptográfia II. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Titkos kommunikáció modellje k 1 k 2 k n k 1 k 2 k n A titkos kommunikáció során Alice és Bob szeretne egymással üzeneteket

Részletesebben

SE EKK EIFTI Matematikai analízis

SE EKK EIFTI Matematikai analízis SE EKK EIFTI Matematikai analízis 2. Blokk A számelmélet a matematikának a számokkal foglalkozó ága. Gyakran azonban ennél sz kebb értelemben használják a számelmélet szót: az egész számok elméletét értik

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Modern titkosírások és a matematika

Modern titkosírások és a matematika Modern titkosírások és a matematika Az Enigma feltörése Nagy Gábor Péter Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Geometria Tanszék Kutatók Éjszakája 2015. szeptember 25. 1 / 20 Tagolás 1 A titkosírások

Részletesebben

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Dicsőségtabló Beadós programozási feladatok

Dicsőségtabló Beadós programozási feladatok Dicsőségtabló Beadós programozási feladatok Hallgatói munkák 2017 2018 Készítő: Maurer Márton (GI, nappali, 2017) Elméleti háttér A szita a neves ókori görög matematikus, Eratoszthenész módszere, amelynek

Részletesebben

Számelmélet. Oszthatóság

Számelmélet. Oszthatóság Számelmélet Oszthatóság Egy szám mindazok az egész számok, amelyek az adott számban maradék nélkül megvannak. Pl: 12 osztói: 12=1x12=(-1)x(-12)=2x6=(-2)x(-6)=3x4=(-3)x(- 4) Azt is mondhatjuk, hogy 12 az

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

VI. Vályi Gyula Emlékverseny november

VI. Vályi Gyula Emlékverseny november VI. Vályi Gyula Emlékverseny 1999. november 19-1. VI. osztály 1. Ki a legidősebb, ha Attila 10 000 órás, Balázs 8 000 napos, Csanád 16 éves, Dániel 8000000 perces, Ede 00 hónapos. (A) Attila (B) Balázs

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 11. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? legnagyobb közös

Részletesebben

Dr. Beinschróth József Kriptográfiai alkalmazások, rejtjelezések, digitális aláírás

Dr. Beinschróth József Kriptográfiai alkalmazások, rejtjelezések, digitális aláírás 2017.10.13. Dr. Beinschróth József Kriptográfiai alkalmazások, rejtjelezések, digitális aláírás 1 Tartalom Alapvetések Alapfogalmak Változatok Tradicionális Szimmetrikus Aszimmetrikus Kombinált Digitális

Részletesebben

Egyesíthető prioritási sor

Egyesíthető prioritási sor Egyesíthető prioritási sor Értékhalmaz: EPriSor = S E, E-n értelmezett a lineáris rendezési reláció. Műveletek: S,S 1,S 2 : EPriSor, x : E {Igaz} Letesit(S, ) {S = /0} {S = S} Megszuntet(S) {} {S = S}

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok 2 H406 2016-09-13,15,18 Wettl Ferenc

Részletesebben

Számelmélet. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György. 2015. október 19.

Számelmélet. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György. 2015. október 19. Számelmélet 7 8. évfolyam Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György 2015. október 19. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás,

Részletesebben

2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.

2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója. Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány

Részletesebben

Nemzeti Közszolgálati Egyetem. Vezető-és Továbbképzési Intézet. Bérczes Attila Pethő Attila. Kriptográfia

Nemzeti Közszolgálati Egyetem. Vezető-és Továbbképzési Intézet. Bérczes Attila Pethő Attila. Kriptográfia Nemzeti Közszolgálati Egyetem Vezető-és Továbbképzési Intézet Bérczes Attila Pethő Attila Kriptográfia Budapest, 2014 A tananyag az ÁROP 2.2.21 Tudásalapú közszolgálati előmenetel című projekt keretében

Részletesebben

Fejezetek a. csodálatos életéből

Fejezetek a. csodálatos életéből Fejezetek a prímszámok csodálatos életéből Bolyai János véleménye Az egész számtan, sőt az egész tan mezején alig van szebb és érdekesebb s a legnagyobb nyitászok (matematikusok) figyelme és eleje óta

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL

NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL SZAKDOLGOZAT Készítette: Farkas Mariann Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Pappné Dr. Kovács Katalin, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Minimális redundanciájú kódok Statisztika alapú tömörítő algoritmusok http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07 BMF

Részletesebben

A törzsszámok sorozatáról

A törzsszámok sorozatáról A törzsszámok sorozatáról 6 = 2 3. A 7 nem bontható fel hasonló módon két tényez őre, ezért a 7-et törzsszámnak nevezik. Törzsszámnak [1] nevezzük az olyan pozitív egész számot, amely nem bontható fel

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!

Részletesebben

Dénes Tamás matematikus-kriptográfus

Dénes Tamás matematikus-kriptográfus Dénes Tamás matematiks-kriptográfs email: tdenest@freemail.h omplementer prímszita és alkalmazása a prímszámok számának becslésére ABSTRACT A címbeli komplementer kifejezés azt jelzi hogy a szokásossal

Részletesebben

Az elektronikus aláírás és gyakorlati alkalmazása

Az elektronikus aláírás és gyakorlati alkalmazása Az elektronikus aláírás és gyakorlati alkalmazása Dr. Berta István Zsolt Microsec Kft. http://www.microsec.hu Elektronikus aláírás (e-szignó) Az elektronikus aláírás a kódolás

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Diszkrét matematika I. Vizsgaanyag Készítette: Nyilas Árpád Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 2 Bizonyítások 1)

Részletesebben