Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
|
|
- Jenő Bognár
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) január Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy K[x] egységelemes kommutatív gyűrű, de nem test; míg K(x) test Feladat. Döntsük el, hogy a komplex számok körében a szokásos műveletekkel testet alkotnak-e az alábbi halmazok? a. {a + bi a, b Q}; b. {a + b 4 2 a, b Q}; c. {a + b c 3 9 a, b, c Q} Feladat. Határozzuk meg, hogy mely n > 1 egész számokra lesz a Z n gyűrű test Feladat. Bizonyítsuk be, hogy p karakterisztikájú test tetszőleges a, b elemeire teljesül az (a + b) p = a p + b p egyenlőség, tehát az x x p leképezés homomorfizmus Feladat. Határozzuk meg Q, R, C és az 1.3. Feladatban szereplő testek prímtestét Feladat. Mutassuk meg, hogy egy K test bármely automorfizmusa fixen hagyja K prímtestének elemeit Feladat. Határozzuk meg az alábbi tesbővítések fokát: a. Q( 3 3) Q; b. Q( 7 3) Q( 7 9); c. Q( 4 2) Q( 2); d. Q( 2, 7) Q; e. Q( 15 + i 14) Q Feladat. A 10 és az elemek közül melyek primitívek a Q( 2, 5) Q testbővítésben? 1.9. Feladat. Keressünk primitív elemet az alábbi tesbővítésekben: a. Q( 3, 5) Q; b. Q( 5, 3 5) Q. 1
2 1.10. Feladat. Keressük meg az alábbi komplex számok minimálpolinomját Q felett: a ; b. 2 i 5; c Feladat (2 pont). Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges u, v pozitív egész számokra Q( u) = Q( v) pontosan akkor teljesül, ha uv négyzetszám Feladat (2 pont). Határozzuk meg az alábbi tesbővítések fokát: a. Q( 3 1 2) Q; b. Q( ) Q Feladat (2 pont). Legyen chark = 0, L K tetszőleges testbővítés és α, β L. Ha m α és m β gyökei rendre α = α 1,..., α s és β = β 1,..., β t, valamint a c K elemre α + cβ = α i + cβ j csak i = j = 1 esetén teljesül, akkor K(α + cβ) = K(a, b). 2. Gyakorlat 2.1. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges p karakterisztikájú véges test esetén az x x p leképezés automorfizmus Feladat. Bizonyítsuk be, hogy véges testnek nincs két különböző, azonos elemszámú részteste Feladat. Legyenek K L véges testek. Tegyük fel, hogy K = p m és L = p n. Mutassuk meg, hogy m n Feladat. Mutassuk meg hogy tetszőleges n és m n pozitív egész számok esetén a p n elemű testnek van p m elemű részteste Feladat. Határozzuk meg a megadott elemek multiplikatív rendjét az alábbi véges testekben, és döntsük el, hogy ezek közül melyek ciklikus generátorok és melyek nem: a. Z 2 [x]/(x 4 + x + 1): x + 1, x 2 + x; b. Z 3 [x]/(x 2 + 1): x, x Feladat. Határozzuk meg a megadott elemek inverzét az alábbi véges testekben: a. Z 3 [x]/(x 2 + 1): 2, x + 1; b. Z 5 [x]/(x 2 2x 2): x, x
3 2.7. Feladat. Keressük meg a megadott elemek minimálpolinomját az alábbi véges testekben: a. Z 2 [x]/(x 4 + x + 1): x 2 + x, x 3 + 1; b. Z 5 [x]/(x 2 2x 2): x 1, x Feladat (2 pont). Bizonyítsuk be, hogy minden K véges testre és minden n pozitív egész számra van n-edfokú, K felett irreducibilis polinom K[x]-ben Feladat (2 pont). Mutassuk meg, hogy ha L K tetszőleges testbővítés és α L páratlan fokú algebrai elem K fölött, akkor α 2 is az, és K(α) = K(α 2 ) Feladat (2 pont). Legyen K(α) a K test egyszerű transzcendens bővítése és L közbülső test: K L K(α). Mutassuk meg, hogy K(α) egyszerű algebrai bővítése L-nek. Határozzuk meg K(α) azon elemeit, amelyek algebraiak K felett Feladat (3 pont). Van-e olyan p karakterisztikájú test, amelyben az x x p leképezés NEM automorfizmus? Feladat (2 pont). Legyen K véges test. Mely pozitív egész n számokra teljesül, hogy az x n a polinomnak van gyöke K-ban az összes a K elemre? Feladat (4 pont). Legyen K véges test. Mely pozitív egész n számokra teljesül, hogy az x x n leképezés automorfizmus? 3. Gyakorlat 3.1. Feladat. Mathematica segítségével oldjuk meg a 2.5. és 2.6. Feladatokat Feladat. Mathematica segítségével készítsünk olyan függvényt, ami tetszőleges véges testben meghatározza bármely nem 0 elem multiplikatív rendjét / multiplikatív inverzét Feladat (2 pont). Mathematica segítségével készítsünk olyan függvényt, ami megoldja a 2.7. Feladatot (tetszőleges véges tesben bármely elemnek kiszámolja a prímtest feletti minimálpolinomját) Feladat (2 pont). Mathematica segítségével készítsünk olyan függvényt, ami adott (p, n) input esetén felsorolja a p (prím) elemszámú test felett az összes n fokszámú irreducibilis polinomot. 3
4 4. Gyakorlat 4.1. Feladat. Legyen p = 19, q = 23, m = pq és jelölje s és t az RSA algoritmusban szereplő két kulcsot. Számoljuk ki a hiányzó paramétereket (m, ϕ(m), t), ha s = 101. Hány bites az így kapott kód? 4.2. Feladat. Whitefield (Diffie) es Martin (Hellman) titkos kulcsot szeretnének generálni. Kiválasztanak egy szimpatikus prímszámot: 17, keresnek hozzá egy primitív gyököt: 3. Whitefield titkos száma: 4, Martin titkos száma: 5 lesz. Számoljuk ki a közösen generált titkos kulcsot Feladat. Ha egy n összetett számra a n 1 1 mod n teljesül, akkor az n-et a alapú álprímnek nevezzük. Igazoljuk, hogy a 341 kettes alapú álprím, de nem hármas alapú álprím Feladat. Ha egy n összetett számra a n 1 1 mod n minden (a, n) = 1 esetén teljesül, akkor az n-et univerzális álprímnek (vagy Carmichael-számnak) nevezzük. Igazoljuk, hogy az 561 univerzális álprím Feladat. Mutassuk meg, hogy egy univerzális álprímnek legalább három prímosztója van (ld Feladat) Feladat. Adjunk becslést arra, hogy az alábbi műveletek hány lépésben számíthatók ki, ahol egy lépés két szám összeadását, kivonását, szorzását vagy maradékos osztását jelenti: a. a b maradéka modulo m; b. az a és b legnagyobb közös osztója; c. az ax + by = c lineáris diofantikus egyenlet megoldása; d. az ax c mod b kongruencia megoldása Feladat (3 pont). Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n összetett számra az alábbi három feltétel ekvivalens. a. Az n univerzális álprím. b. Az n négyzetmentes, továbbá tetszőleges p prímszámra ha p n, akkor p 1 n 1. c. Bármely a számra a n a mod n Feladat (2 pont). Keressünk hatékony eljárást log k n és k n kiszámítására (k > 1 rögzített, n 1 tetszőleges egész szám). Az előző eredményeket felhasználva mutassuk meg, hogy létezik hatékony eljárás, ami eldönti, hogy egy szám hatványszám-e Feladat (3+2 pont). Tegyük fel, hogy van hatékony algoritmus, ami feltöri az RSA kódolást: a nyilvános kulcs (m és s) ismeretében meghatározza a titkos kulcsot (t). a. Mutassuk meg, hogy ezt az algoritmust használva meghatározható (p 1)(q 1). b. A fentiek segítségével faktorizáljuk m-et, azaz határozzuk meg p-t és q-t. 4
5 5. Gyakorlat Kiselőadás: Jacobi szimbólum (kb. 30 perc) 5.1. Feladat. Számítsuk ki az alábbi Jacobi-szimbólumokat: ( ) ( ) ( ) ,, Feladat. Döntsük el, melyik megoldható az alábbi kongruenciák közül (11131 és 3659 prímszámok): x (mod 11131), x 2 23 (mod 3659) Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha p prím és p = a 2 +b 2, akkor az alábbi kongruenciák közül legalább az egyik megoldható: x 2 a (mod p), x 2 b (mod p) Feladat (2 pont). Határozzuk meg az alábbi Jacobi-szimbólum értékét: ( ) m+1 2, m > 2 páratlan szám. m 5.5. Feladat (2 pont). Bizonyítsuk be, hogy ha x tetszőleges egész szám, akkor 12x 2 +1 prímosztói 6k + 1 alakúak. 6. Gyakorlat Kiselőadás: Solovay Strassen prímteszt (kb. 30 perc) Korábbi feladatok megoldása 7. Gyakorlat Zárthelyi dolgozat (90 perc) 8. Gyakorlat 8.1. Feladat. Legyen K véges test. Bizonyítsuk be, hogy minden f : K K függvény polinomfüggvény; azaz létezik olyan p(x) K polinom, amelyre p(a) = f(a) minden a K elemre. 5
6 8.2. Feladat. Lássuk be, hogy a kúpszeletek (kör, ellipszis, parabola, hiperbola) R 2 affin varietásai Feladat. Lássuk be, hogy a gömb, az ellipszoid, a paraboloid és a hiperboloid R 3 affin varietásai Feladat. Legyen K tetszőleges test. Mutassuk meg, hogy tetszőleges n pozitív egész szám esetén K n minden véges részhalmaza affin varietást alkot Feladat. Legyen K tetszőleges test. Mutassuk meg, hogy K n affin varietásai (disztributív) hálót alkotnak Feladat. Igazoljuk, hogy az alábbi halmazok affin varietást alkotnak: a. {(t, t 2, t 3 ) : t K} K 3 ; b. R 2 azon pontjai, melyek (r, ϑ) polárkoordinátái kielégítik az r = sin ϑ egyenlőséget Feladat. Igazoljuk, hogy az alábbi halmazok nem alkotnak affin varietást (ld Feladat): a. {(z, w) C 2 : z 2 + w 2 = 1} C 2 ; b. {(cos t, sin t, t) : t R} R ábra. {(t, t 2, t 3 ) : t R} és {(cos t, sin t, t) : t R} 8.8. Feladat (2 pont). Legyen K tetszőleges test. Mutassuk meg, hogy K[x] végtelen sok irreducibilis (fő)polinomot tartalmaz Feladat (2 pont). Mutassuk meg, hogy minden algebrailag zárt test végtelen Feladat (2 pont). Legyen K végtelen test és tekintsük a K[x 1,..., x n ] polinomgyűrűt. Mutassuk meg, hogy az f K[x 1,..., x n ] polinomra f = 0 pontosan akkor teljesül, ha az általa meghatározott f : K n K polinomfüggvény az azonosan nulla függvény Feladat (3 pont). Legyen f K[x, y] n-edfokú polinom. Tegyük fel, hogy C = V (f) és L C tetszőleges K 2 -beli egyenes. Igazoljuk, hogy ekkor C L n. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be a feladat állítását kettő helyett magasabb dimenzióra. 6
7 9. Gyakorlat 9.1. Feladat. Igazoljuk, hogy R 2 azon pontjai, melyek (r, ϑ) polárkoordinátái kielégítik a megadott egyenlőséget, affin varietást alkotnak: a. r = sin(3ϑ); b. r 2 = sin 2 (2ϑ). 2. ábra. r = sin(3ϑ) és r = sin(2ϑ) 9.2. Feladat. Legyen a R rögzített szám. Mutassuk meg, hogy az alábbi paraméteres egyenletekkel megadott görbe (sztrofoid) affin varietás: x = a sin t, y = a(tan t)(1 + sin t) Feladat. Keressünk algebrai paraméterezést a V (x+2y 3u+v+1, x+y+u v 2) R 4 affin varietáshoz Feladat. Keressünk algebrai paraméterezést a V (y x 2, z x 3 ) R 3 affin varietáshoz, valamint a hozzá tartozó érintőfelülethez Feladat (2 pont). Legyen Φ: R n R n, x xa + b affin transzformáció (A R n n, b R n ), V R n affin varietás. Melyik lesz (mindig) affin varietás az alábbi halmazok közül: a. Φ(V ) = {Φ(a) : a V }; b. Φ 1 (V ) = {a R n : Φ(a) V }? 9.6. Feladat (2+2 pont). Keressünk algebrai paraméterezést az alábbi R 2 -beli affin varietásokhoz. 7
8 a. V (x 2 + y 2 1); b. V (x 2 y 2 1) Feladat (2 pont). Legyen a R rögzített szám. Keressünk algebrai paraméterezést a V ((a x) 3 (a + x)y 2 ) affin varietáshoz (cisszoid). 3. ábra. Sztrofoid és cisszoid (a = 1) 10. Gyakorlat Feladat. Írjuk fel az R kommutatív egységelemes gyűrű (x 1,..., x n ) R ideáljának egy általános elemét Feladat. Mutassuk meg, hogy Z és K[x] tetszőleges K testre főideálgyűrű Feladat. Mutassuk meg, hogy Z[x] Noether-gyűrű, de nem főideálgyűrű Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha R kommutatív (egységelemes) gyűrű, és R[x] Noether-gyűrű, akkor R is az Feladat. A K = R, C és Z 2 testek esetén határozzuk meg a {(0, 0)} és K varietásokhoz tartozó ideálokat: I({(0, 0)})-t és I(K)-t Feladat. Legyen R egységelemes kommutatív gyűrű. és I R tetszőleges ideál. Lássuk be, hogy a. I I R minden I R; b. I J = I J minden I, J R Feladat. Határozzuk meg a (360) Z ideál radikálját Feladat. Tetszőleges f C[x] polinomra határozzuk meg az (f) C[x] ideál radikálját. 8
9 10.9. Feladat. Legyen K = R vagy C. Igazoljuk a következő állításokat: a. IV (x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 ) teljesül, ha K = C és nem teljesül, ha K = R. b. IV (x 2, y 2 ) = (x 2, y 2 ) = (x, y) K = C és R esetén is Feladat (4 pont). Minden pozitív egész n számra keressünk Z[x] ideáljai között olyant, amelyik generálható n elemmel, de nem generálható kevesebb, mint n elemmel Feladat (2 pont). Rögzítsünk egy p prímszámot. Legyen R azon racionális számok halmaza, amelyek felírhatók r/s alakban, ahol 2 s. Mutassuk meg, hogy R (egységelemes) részgyűrűje a racionális számok halmazának. Határozzuk meg R összes ideálját és radikálideálját Feladat (2 pont). Definiáljuk az R (egységelemes, kommutatív) gyűrű I és J ideáljainak szorzatát a következőképpen. Legyen IJ az {ab a I, b J} halmaz által generált ideál. Mutassuk meg, hogy IJ I J tetszőleges I, J R ideálokra teljesül, de IJ = I J nem minden esetben áll fenn. [Gondolhatunk R-re, mint n változós polinomgyűrűre.] Feladat (2 pont). Az előző feladat jelöléseit használva, mutassuk meg, hogy IJ = I J tetszőleges I, J R ideálokra teljesül. [Gondolhatunk R-re, mint n változós polinomgyűrűre.] 11. Gyakorlat Feladat. Számoljuk ki az alábbi polinompárok s-polinomját a lexikografikus rendezésre nézve, ha x > y > z. a. f = 4x 2 z 7y 2 és g = xyz 2 + 3xz 4 ; b. f = xy + z 3 és g = z 2 3z Feladat. Mutassuk meg, hogy az {y x 2, z x 3 } Q[x, y, z] polinomhalmaz a. nem Gröbner-bázis a lexikografikus rendezésre nézve, ha x > y > z; b. Gröbner-bázis a lexikografikus rendezésre nézve, ha y > z > x Feladat. Keressünk (minimális/redukált) Gröbner-bázist az alább megadott F Q[x, y] polinomhalmazhoz. a. F = {x 2 y 1, xy 2 x}; b. F = {x 2 + y, x 4 + 2x 2 y + y 2 + 3} Feladat. Döntsük el, hogy az alább megadott f R[x, y] polinomra és G R[x, y] Gröbner bázisra teljesül-e f (G). 9
10 a. f = x 2 + xy + y 2 és G = {x + y, y 2 }; b. f = x 3 + x 2 y 2 + y 3 és G = {x 3 y 2, y 3 } Feladat. Döntsük el, hogy az alább megadott f polinomra és F polinomhalmazra teljesül-e f (F ). a. f = x 3 + x 2 y 2 + y 3 C[x, y] és F = {x 3 y 2, y 3 } C[x, y]; b. f = yz C[x, y, z] és F = {y x 2, z x 3 } C[x, y, z]. 12. Gyakorlat Korábbi feladatok megoldása 13. Gyakorlat Zárthelyi dolgozat (90 perc) 10
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenMTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak
MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenTestek március 29.
Testek 2014. március 29. 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések [Sz] V/3, XIII/1,2; [F] III/1-7 (+ előismeretek!) Definíció Ha egy nemüres halmazon
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenData Security: Public key
Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenZárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenVizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenFELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest
FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A 2. és a 4. fejezet feladatai megoldva megtalálhatók a Testb vítés, véges testek;
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
RészletesebbenDiszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
RészletesebbenSZÁMELMÉLETI FELADATOK
SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenAlapvető polinomalgoritmusok
Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.
Részletesebben5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok
Részletesebben1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenDiszkrét matematika alapfogalmak
2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK 1.1.1 Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható 1.1.2 Incidenciamátrix
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK
KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK (a rutinfeladatokat O jelzi) Leképezések, relációk 1. feladat O Adja meg az A = {2, 3, 8, 9, 14, 15, 19, 26} alaphalmazon értelmezett ekvivalenciarelációhoz
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 11. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
RészletesebbenLáng Csabáné Testbıvítés, véges testek
Láng Csabáné Testbıvítés, véges testek Készült a programtervezı matematikus szak esti tagozat III. év II. félév, valamint az esti informatikus Bsc szak II. év II. félév számára Lektorálta Burcsi Péter
RészletesebbenSE EKK EIFTI Matematikai analízis
SE EKK EIFTI Matematikai analízis 2. Blokk A számelmélet a matematikának a számokkal foglalkozó ága. Gyakran azonban ennél sz kebb értelemben használják a számelmélet szót: az egész számok elméletét értik
RészletesebbenLineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
RészletesebbenMM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAlgebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra
RészletesebbenALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév)
ALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév) Ismétlés 0. feladat O Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre (a) ϕ-nek 1-dimenziós a képtere; (b) ϕ-nek nincsen sajátértéke;
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
RészletesebbenSzámelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenAlapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból
Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból (A szakirány, 2015-2016 tavaszi félév) A számonkérés során ezeknek a definícióknak, tételkimondásoknak az alapos megértését is számon kérjük. A példakérdések
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 8. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 8. feladatsor, megoldásvázlatok 1. Jelölje I az (x 2 + 1 ideált. Most az x + I R[x]/(x 2 + 1 négyzete (x + I 2 x 2 + I 1+x 2 +1+I 1+I, hiszen x 2 +1 I. Így ( x+i(x+i (x+i 2 1+I. Tehát
Részletesebben3. Feloldható csoportok
3. Feloldható csoportok 3.1. Kommutátor-részcsoport Egy csoport két eleme, a és b felcserélhető, ha ab = ba, vagy átrendezve az egyenlőséget, a 1 b 1 ab = 1. Ezt az [a,b] = a 1 b 1 ab elemet az a és b
Részletesebben10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...
1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenA parciális törtekre bontás?
Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenAz eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz
Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz 2011. tavasz A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők! A tételek esetleges neve, vagy száma a fóliákkal van szinkronban,
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9
Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint
Részletesebben