Diszkrét matematika I.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Diszkrét matematika I."

Győző Török
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Diszkrét matematika I. középszint ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék ősz

2 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 2. Számfogalom bővítése A természetes számokból kiindulva megkonstruálhatók a természetes számok: N = {0, 1,... }; egész számok: Z = {..., 1, 0, 1,... }; racionális számok: Q = {p/q : p, q Z, q 0}; valós számok: R =?; komplex számok: C = {a + bi : a, b R}. Kérdések Milyen fontos tulajdonságokkal rendelkeznek az adott számhalmazok? Mik a valós számok? Mi a pontos kapcsolat a műveletek és a számhalmazok között? N-ben nincs kivonás, de Z-ben van, Z-ben nincs osztás, de Q-ban van...

3 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 3. Természetes számok Peano-axiómák Legyen N egy halmaz, + egy unér művelet (rákövetkező). Ekkor 1. 0 N; 2. n N n + N; 3. n N n + 0; 4. n, m N esetén n + = m + n = m; 5. (S N, 0 S, (n S n + S)) S = N. Megjegyzések Az axiómák egyértelműen definiálják N-et. Mindegyik axióma szükséges. N halmaz megkonstruálható: 0 :=, 0 + := { }, (0 + ) + := {, { } },... 1 := 0 +, 2 := 1 +,...

4 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 4. Műveletek természetes számokkal N-en természetes módon definiálhatjuk az összeadást (HF), például n + 1 := n +, n + 2 := (n + ) +,... Álĺıtás Ha k, m, n N, akkor 1. (k + m) + n = k + (m + n) (asszociativitás); 2. k + m = m + k (kommutativitás); n = n + 0 = n (van nullelem/egységelem/semleges elem).

5 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 5. Félcsoportok Definíció A G halmaz a művelettel félcsoport, ha asszociatív G-n. Ha létezik n G: g G : n g = g n = g, akkor az n egységelem (nullelem, neutrális elem), G pedig egységelemes félcsoport. Példa N az + művelettel egységelemes félcsoport n = 0 egységelemmel. Q a művelettel egységelemes félcsoport n = 1 egységelemmel. C k k a mátrixszorzással egységelemes félcsoport az egységmátrixszal, mint egységelemmel.

6 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 6. Egész számok Az N halmazon nem (mindig) tudjuk a kivonást elvégezni. A kivonás elvégzéséhez elég (lenne), hogy a 0-ból ki tudjuk vonni az adott n számot (ellentett): Definíció Legyen G egy egységelemes félcsoport a művelettel és n egységelemmel. A g G elem inverze (ellentettje) a g 1 G elem, melyre g g 1 = g 1 g = n. Ha minden g G elemnek létezik inverze, akkor G csoport. Ha kommutatív, akkor G Abel-csoport. Álĺıtás Z a legszűkebb olyan (Abel-) csoport, mely tartalmazza N-et. Megjegyzés Z megkonstruálható N-ből: az (r, s) (p, q), ha r + q = p + s ekvivalenciareláció osztályai az egész számok.

7 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 7. Csoportok További példák csoportokra: Q az + művelettel, a 0 egységelemmel. Q = Q \ {0} a művelettel, az 1 egységelemmel. {M C k k : det M 0} a mátrixszorzással, és az egységmátrixszal, mint egységelemmel. X X bijektív függvények a művelettel, és az id X : x x identikus leképzéssel, mint egységelemmel.

8 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 8. Egész számok szorzása Az egész számok körében definiálhatjuk a műveletet: Ha n N, m Z, akkor legyen n m = m + m + + m. }{{} n darab Ha n N, akkor legyen n m = ( ( n) m ). Álĺıtás A Z a műveletre kommutatív egységelemes félcsoport. (A kommutatív, asszociatív, van egységelem.) A két művelet nem,,független : Álĺıtás Z-n a az +-ra nézve disztributív: k, l, m Z-re: k (l + m) = k l + k m.

9 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 9. Gyűrűk Definíció Legyen R egy halmaz két binér művelettel:,. Ekkor az R gyűrű, ha R a művelettel Abel-csoport (0-val, mint egységelemmel); R a művelettel félcsoport; a a -ra nézve disztributív: r (s t) = (r s) (r t); (s t) r = (s r) (t r). Az R egységelemes gyűrű, ha R-en a műveletre nézve van egységelem. Az R kommutatív gyűrű, ha a művelet (is) kommutatív. Példa Z az (+, ) műveletekre egységelemes kommutatív gyűrű. A páros számok halmaza gyűrű, de nem egységelemes. Q, R, C egységelemes kommutatív gyűrűk. C k k egységelemes gyűrű, de nem kommutatív.

10 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 10. Nullosztómentes gyűrűk A gyűrűkben általában nem lehet elvégezni az osztást: Z-ben nem oldható meg a 2x = 1 egyenlet. R 2 2 -ben nem oldható meg az alábbi egyenlet ( ) ( ) X = Definíció Ha egy (R,, ) gyűrűben r, s R, r, s 0 esetén r s 0, akkor R nullosztómentes gyűrű. Példa Nem nullosztómentes gyűrű ( ) ( R 2 2 : ) = ( )

11 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 11. Testek Szeretnénk Z-ben az osztást elvégezni. Mivel az osztás nem,,szép művelet (nem asszociatív), ezért azt a reciprokkal (inverzzel) való szorzással helyettesítenénk. Definíció Legyen K egy halmaz, azon két művelet:,. A K ferdetest, ha K gyűrű; K = K \ {0} a művelettel csoport. Megjegyzés Ha K csoport, akkor minden elemnek létezik inverze (reciproka), így minden elemmel tudunk osztani. Álĺıtás Q az N-et tartalmazó legszűkebb test. Megjegyzés Q megkonstruálható Z segítségével: az (r, s) (p, q) (s, q 0), ha r q = p s ekvivalenciareláció osztályai a racionális számok.

12 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 12. Testek Példa R, C {r + s 2 : r, s Q}: 1 r + s 2 = 1 r + s 2 r s 2 r s 2 = = r s 2 r 2 2s 2 = r r 2 2s 2 + s r 2 2s 2 2 Kvaterniók H = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d R}, továbbá i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = k, ji = k,... Nemkommutatív ferdetest! j k i

13 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 13. Számok és rendezés Z-n a természetes módon definiálhatjuk a rendezést: Adott n N, n 0 esetén legyen 0 < n. Legyen továbbá n < m, ha 0 < m n. Ekkor a rendezés kompatibilis a műveletekkel: Álĺıtás Ha k, m, n Z, akkor k < m k + n < m + n, m, n > 0 m n > 0. Definíció Egy R gyűrű rendezett gyűrű, ha van az R-en definiálva egy rendezés, mely kielégíti a fenti tulajdonságokat.

14 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 14. Rendezett testek p A Z-n definiált rendezés kiterjeszthető Q-ra: q < r, ha ps < rq. s A kiterjesztés azonban nem lesz,,teljes, Q nem lesz felső határ tulajdonságú. Emlékeztető Egy X halmaz felső határ tulajdonságú, ha minden Y X felülről korlátos részhalmaznak van supremuma. Álĺıtás 2 Q. Speciálisan Q nem felső határ tulajdonságú: {r Q : r 2} felülről korlátos, de nincs supremuma (sup = 2 Q). Bizonyítás Indirekt tfh n, m N + : (m/n) 2 = 2. Válasszuk azt az m, n párt, ahol (m, n) = 1. Most m 2 = 2n 2 2 m. Legyen m = 2k m 2 = 4k 2 = 2n 2 2 n (m, n) 2.

15 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 15. Valós számok Valós számok axiómája Legyen R az N-et tartalmazó legszűkebb felső határ tulajdonsággal rendelkező rendezett test. Megjegyzés A valós számok halmaza lényegében egyértelmű. R megkonstruálható: legyen R a Q kezdőszeletei: Egy A Q kezdőszelet, ha A Q, és r A, s < r s A; például 2 {r Q : r 2}. N, Z, Q definiálható R segítségével is: N: a 0, 1 R elemeket tartalmazó legszűkebb félcsoport; Z = N ( N); Q = {r/s R : r, s Z, s 0}.

16 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 16. Összefoglaló Műveletek halmazokon Struktúra Példa Peano axiómák N félcsoport: van asszociatív művelet (N, +), (Z, ) csoport: van inverz (Z, +), (Q, ), (Z m, +), (Z p, ) gyűrű: két művelet, (Z, +, ), (Z m, +, ), -ra kommutatív csoport, (R k k, +, ) -re félcsoport, disztributivitás ferdetest: két művelet, Q, R, C, H, Z p -ra kommutatív csoport, -re a 0 kivételével csoport, disztributivitás

17 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint ősz 17. Összefoglaló Műveletek és rendezés Struktúra félcsoport: van asszociatív művelet rendezett gyűrű rendezett test felsőhatár tulajdonságú test Példa Z Q, R R

Hasonló dokumentumok

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra