Diszkrét matematika I.

Átírás

1 Diszkrét matematika I. középszint ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék ősz

2 Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint ősz 2. A logika a helyes következtetés tudománya. Alkalmazási területek: matematika; informatika; mesterséges intelligencia;... Minden bogár rovar. tagadás: Van olyan bogár, ami nem rovar. Esik az eső, de meleg van, bár a nap is elbújt, és az idő is későre jár. tagadás:?

3 Axiomatikus módszer Diszkrét matematika I. középszint ősz 3. A tudományok a valóság egy részének modellezésével foglalkoznak. Axiomatikus módszer: közismert, nem definiált fogalmakból (alapfogalmakból) és bizonyos feltevésekből (axiómákból) a logika szabályai szerint milyen következtetéseket vonunk le (milyen tételeket bizonyítunk). Euklidészi geometria Alapfogalmak Axiómák pont, egyenes, párhuzamossági axióma, sík. Az axiomatikus módszer előnye: elég ellenőrizni az axiómák teljesülését....

4 Predikátumok Diszkrét matematika I. középszint ősz 4. Definíció Predikátum: olyan változóktól függő definiálatlan alapfogalom, amelyhez a változóik értékétől függően valamilyen igazságérték tartozik: igaz(i, ), hamis (H, ) és a kettő egyidejűleg nem teljesül. M():Minden jogász hazudik. 0-változós, értéke: I. Sz(x): x egy szám. 1-változós, értéke: Sz(1)=I, SZ(h)=H. E(x): x egy egyenes. 1-változós. P(x): x egy pont. 1-változós. I (x, y): x illeszkedik y-ra. 2-változós. F (x, y): x az y férje. 2-változós. Gy(x, y, z): x az y és z gyermeke. 3-változós.

5 Logikai jelek Diszkrét matematika I. középszint ősz 5. A predikátumokat logikai jelekkel tudjuk összekötni: Tagadás, jele: A. És, jele: A B Vagy (megengedő), jele: A B. Ha..., akkor... (implikáció), jele: A B. Ekvivalencia, jele: A B. Igazságtáblázat A B A A B A B A B A B I I H I I I I I H H H I H H H I I H I I H H H I H H I I

6 Logikai jelek Diszkrét matematika I. középszint ősz 6. A köznyelvben a vagy háromféle értelemmel bírhat: Megengedő vagy,,átok reá ki gyávaságból vagy lomhaságból elmarad,... A B I H I I I H I H Kizáró vagy:,,vagy bolondok vagyunk és elveszünk egy szálig, vagy ez a mi hitünk valóságra válik. A B I H I H I H I H Összeférhetetlen vagy:,,iszik vagy vezet! A B I H I H I H I I

7 Logikai jelek Diszkrét matematika I. középszint ősz 7. Az implikáció (A B) csak logikai összefüggést jelent és nem okozatit! A B I H I I H H I I 2 2 = 4 i 2 = = 4 kedd van Hamis álĺıtásból minden következik: 2 2 = 5 i 2 = 2 Adott logikai jel, más módon is kifejezhető: (A B) ( A B)

8 Kvantorok Diszkrét matematika I. középszint ősz 8. Kvantorok egzisztenciális kvantor:,,létezik,,,van olyan. univerzális kvantor:,,minden. V (x): x veréb. M(x): x madár. Minden veréb madár. Van olyan madár, ami veréb. Minden veréb madár, de nem minden madár veréb. ( x(v (x) M(x))) ( x(m(x) V (x))). x(v (x) M(x)). x(m(x) V (x)).

9 Formulák Diszkrét matematika I. középszint ősz 9. A formulák predikátumokból és logikai jelekből alkotott,,mondatok. Definíció(Formulák) A predikátumok a legegyszerűbb, ún. elemi formulák. Ha A, B két formula, akkor A,(A B),(A B), (A B), (A B) is formulák. Ha A egy formula és x egy változó, akkor ( xa) és ( xa) is formulák. Minden veréb madár, de nem minden madár veréb. ( x(v (x) M(x))) ( x(m(x) V (x))). Ez egy formula. Ha nem okoz félreértést, a zárójelek elhagyhatóak.

10 Diszkrét matematika I. középszint ősz 10. Zárt/ nyitott formulák Definíció Ha A egy formula és x egy változó, akkor ( xa) és ( xa) formulákban az x változó minden előfordulása az A formulában a kvantor hatáskörében van. Ha egy formulában a változó adott előfordulása egy kvantor hatáskörében van, akkor az előfordulás kötött, egyébként szabad. Ha egy formulában a változónak van szabad előfordulása, akkor a változó szabad változó, egyébként kötött változó. Ha egy formulának van szabad változója, akkor nyitott formula, egyébként zárt formula. Gy(x, y): x gyereke y-nak. y Gy(x, y): x-nek létezik szülője.

11 Zárt/nyitott formulák Diszkrét matematika I. középszint ősz 11. E(x): x egy egyenes. P(x): x egy pont. I (x, y): x illeszkedik y-ra. E(x), P(x), I (x, y) (elemi) nyitott formulák. A(x, y) legyen E(x) P(y) I (x, y)! Az x egyenes illeszkedik az y pontra. B(x, y) legyen P(x) P(y) (x = y)! Az x és y pontok különbözőek. C(x) legyen y (E(x) P(y) I (x, y))! Van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre. Itt x szabad y kötött változó. D() legyen x (E(x) y (E(x) P(y) I (x, y))) Minden x egyenes esetén, van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre. Itt x, y kötött változó.

12 Halmazok Diszkrét matematika I. középszint ősz 12. Halmazelméletben az alapvető fogalmak predikátumok, nem definiáljuk őket: A halmaz (rendszer, osztály, összesség,...) elemeinek gondolati burka. x A, ha az x eleme az A halmaznak. A halmazok alapvető tulajdonságai axiómák, nem bizonyítjuk őket. : Meghatározottsági axióma Egy halmazt az elemei egyértelműen meghatároznak. Két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Egy halmaznak egy elem csak egyszer lehet eleme.

13 Diszkrét matematika I. középszint ősz 13. Halmazok Részhalmazok Definíció Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak: A B, ha x(x A x B). Ha A B-nek, de A B, akkor A valódi részhalmaza B-nek: A B. A részhalmazok tulajdonságai: Álĺıtás (Biz. HF) 1 A A A (reflexivitás). 2 A, B, C (A B B C) A C (tranzitivitás). 3 A, B (A B B A) A = B (antiszimmetria). Halmazok egyenlősége egy további tulajdonságot is teljesít: 3. A, B A = B B = A (szimmetria).

14 Halmazok Diszkrét matematika I. középszint ősz 14. Definíció A halmaz és F(x) formula esetén {x A : F(x)} = {x A F(x)} halmaz elemei pontosan azon elemei A-nak, melyre F(x) igaz. {z C : Im z = 0}: valós számok halmaza. {z C : n N z n = 1}: komplex egységgyökök halmaza.

15 Halmazok Diszkrét matematika I. középszint ősz 15. Speciális halmazok Üres halmaz Annak a halmaznak, melynek nincs eleme a jele:. A meghatározottsági axióma alapján ez egyértelmű. A A halmaz A Halmaz megadása elemei felsorolásával. Annak a halmaznak, melynek csak az a elem az eleme a jelölése: {a}. Annak a halmaznak, melynek az a és b az eleme a jelölése: {a, b},... Speciálisan = {}, illetve, ha a = b, akkor {a} = {a, b} = {b}.

16 Diszkrét matematika I. középszint ősz 16. Műveletek halmazokkal Definíció Az A és B halmazok uniója: A B az a halmaz, mely pontosan az A és a B elemeit tartalmazza. Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok (halmazrendszer). Ekkor A = {A : A A} = A A A az a halmaz, mely az A összes elemének elemét tartalmazza. Speciálisan: A B = {A, B}. {a, b, c} {b, c, d} = {a, b, c, d} {n : n 0 mod 2} {n : n 1 mod 2} = Z Rövidebben, ha a = {n : n a mod m}, akkor Általában m = 2 esetén 0 1 = Z {a : a {0, 1,..., m 1}} = m 1 a=0 a = Z

17 Műveletek halmazokkal Diszkrét matematika I. középszint ősz 17. Az unió tulajdonságai Álĺıtás 1 A = A 2 A B = B A (kommutativitás) 3 A (B C) = (A B) C (asszociativitás) 4 A A = A (idempotencia) 5 A B A B = B Bizonyítás 1. Egy x pontosan akkor eleme mindkét oldalnak, ha x A 2. Egy x pontosan akkor eleme mindkét oldalnak, ha x A vagy x B 3-as, 4-es hasonló 5. : A B A B B, de A B B mindig teljesül, így A B = B. : Ha A B = B, akkor A minden eleme eleme B-nek.

18 Diszkrét matematika I. középszint ősz 18. Műveletek halmazokkal Definíció Az A és B halmazok metszete: A B az a halmaz, mely pontosan az A és a B közös elemeit tartalmazza: A B = {x A : x B}. Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok (halmazrendszer)! Ekkor A = {A : A A} = A A A a következő halmaz A = {x : A A x A} Speciálisan: A B = {A, B}. {a, b, c} {b, c, d} = {b, c}. Ha E n = {z C : z n = 1} az n-edik egységgyökök halmaza, akkor E 2 E 4 = E 2 E 6 E 8 = E 2 E n E m = E (n,m) n=1e n = E 1 = {1}

19 Műveletek halmazokkal Diszkrét matematika I. középszint ősz 19. Definíció Ha A B =, akkor A és B diszjunktak. Ha A egy halmazrendszer és A =, akkor A diszjunkt, illetve A elemei diszjunktak. Ha A egy halmazrendszer és A bármely két eleme diszjunkt, akkor A elemei páronként diszjunktak. Az {1, 2} és {3, 4} halmazok diszjunktak. Az {1, 2}, {2, 3} és {1, 3} halmazok diszjunktak, de nem páronként diszjunktak. Az {1, 2}, {3, 4} és {5, 6} halmazok páronként diszjunktak.

20 Műveletek halmazokkal Diszkrét matematika I. középszint ősz 20. A metszet tulajdonságai Álĺıtás (Biz. HF) 1 A = 2 A B = B A (kommutativitás) 3 A (B C) = (A B) C (asszociativitás) 4 A A = A (idempotencia) 5 A B A B = A

21 Műveletek halmazokkal Diszkrét matematika I. középszint ősz 21. Az unió és metszet disztributivitási tulajdonságai Álĺıtás 1 A (B C) = (A B) (A C) 2 A (B C) = (A B) (A C) Bizonyítás 1 x A (B C) x A x B C. Így x pontosan akkor eleme a bal oldalnak, ha x A x B vagy x A x C azaz x (A B) (A C). 2 HF. hasonló

22 Diszkrét matematika I. középszint ősz 22. Különbség, komplementer Definíció Az A és B halmazok különbsége az A \ B = {x A : x B}. Definíció Egy rögzített X alaphalmaz és A X részhalmaz esetén az A halmaz komplementere az A = A = X \ A.

23 Komplementer tulajdonságai Diszkrét matematika I. középszint ősz 23. Álĺıtás (Biz. HF) 1 A = A; 2 = X ; 3 X = ; 4 A A = ; 5 A A = X ; 6 A B B A; 7 A B = A B; 8 A B = A B; A 7. és 8. összefüggések az ún. de Morgan szabályok.

24 Diszkrét matematika I. középszint ősz 24. Szimmetrikus differencia Definíció Az A és B halmazok szimmetrikus differenciája az A B = (A \ B) (B \ A). Álĺıtás (Biz. HF) A B = (A B) \ (A B).

25 Diszkrét matematika I. középszint ősz 25. Hatványhalmaz Definíció Ha A egy halmaz, akkor azt a halmazrendszert, melynek elemei az A halmaz összes részhalmaza, az A hatványhalmazának mondjuk és 2 A -val jelöljük. A =, 2 = { } A = {a}, 2 {a} = {, {a}} A = {a, b}, 2 {a,b} = {, {a}, {b}, {a, b}} Álĺıtás (Biz. HF) 2 A = 2 A