ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

Átírás

1 ÍTÉLETKALKULUS SZINTAXIS ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA) jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek: ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r,... ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai atomi formula (atom) minden ítéletkonstans atomi formula minden ítéletváltozó atomi formula formula minden atomi formula egyben formula is ha A és B formulák, akkor ( A), (A B), (A B), (A B), (A B) kifejezések is formulák a formulaképzés szabálya rekurzív LOGIKA 3 KONJUNKTÍV NORMÁLFORMA ÍTÉLETKALKULUS SZEMANTIKA logikai formula (wff): szabályos szimbólumsorozat igazságértéke ad jelentést (szemantika szabályai szerint) formula interpretációja minden ítéletváltozóhoz igaz (T) vagy hamis (F) érték rendelése minden lehetséges módon interpretált formula kiértékelése műveleti jelek szemantikája alapján (igazságtáblák) REZOLÚCIÓ-bizonyítási eljárás Modell: az az interpretáció amelyben a formula igaz p q p p q p q p q p q T T F T T T T T F F F T F F F T T F T T F F F T F F T T LOGIKA 4 1

2 IMPLIKÁCIÓ FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA p q Ha a kutyusok repülnek akkor 2=1. T F hamis előtagból bármi következik? F Értelmezés lehet: Ha p igaz, akkor azt állítom, hogy q is igaz, egyébként q-ról nem állítok semmit. p q p q Két formula ekvivalens, ha minden interpretációban ugyanaz a logikai értékük. Nevezetes ekvivalenciák, logikai törvények: 1. A B = (A B) (B A) 2. A B = A B 3. A B = B Akommutatív A B = B A 4. (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) asszociatív 5. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) disztributív LOGIKA 5 LOGIKA 7 ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK Igazság - Egy formula igaz, ha az, amit leír, valóban előfordul a világban. - Egy formula igazsága függ a világ állapotától, és az interpretációtól (szemantikától) Tautológia / Érvényes formula: pl. A v A - A formula igazsága nem függ sem a világ állapotától, sem a szemantikától. - minden interpretációban igaz, minden modellben benne van T Kontradikció /Ellentmondás: pl. A A - a világ soha nem olyan, mint amilyennek leírja - minden interpretációban hamis, nincs modellje FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Logikai törvények 6. A F = A A T = A 7. A T = T A F = F 8. A A = T A A = F 9. ( A) = A kettős tagadás 10. (A B) = A B (A B) = A B demorgan 11. A (A B) = A A (A B) = A abszorpció, elnyelés A A = A A A = A idempotencia LOGIKA 6 LOGIKA 8 2

3 LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY F1: p q F2: q TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL A W W formula az A formulának logikai következménye, ha W igaz minden olyan interpretációban, amelyben A igaz. LEGALÁBB OTT IGAZ, AHOL A. A 1,..., A n W bizonyos formulákról tudjuk, hogy igazak (A 1,..., A n ) F3: p?: F1 F2 F3 lehetőségek: a. A definíció alapján beláthatjuk, hogy minden olyan interpretációban, amelyben F1 F2 igaz, és ha W ezek logikai következménye, akkor W-nek is igaznak kell lennie igaz F3 is Hogy lehet eldönteni? Pl. Modus Ponens a b a b a (a b) T T T T b. bebizonyíthatjuk, hogy F1 F2 F3 tautológia c. beláthatjuk, hogy F1 F2 F3 kontradikció a (a b) b T F F F F T T F p q F 1 F 2 F 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 3 T T T F F F T F F F T F T F F T F F T F F T T F F T T F LOGIKA 9 F F T T T T T F a b c LOGIKA 11 LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL Logikai következmény fogalmának eldöntése a tautológia fogalmával: A 1,..., A n W akkor és csak akkor, ha (A 1... A n ) W tautológia Logikai következmény fogalmának értelmezése a kontradikció fogalmával: A1,..., An W akkor és csak akkor, ha A1... An W kontradikció Elnevezések: (A1... An) W tétel A1... An tétel axiómái, feltételei W következmény, konklúzió Az interpretációk száma: 2 változó esetén 4 - ok 3 változó esetén 8 - ok 4 változó esetén 16 nem annyira ok, elveszítjük a fonalat n változó esetén 2 n Mekkora szám a 2 n? LOGIKA 10 3

4 TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL Elég kilátástalannak tűnik nagy számú ítéletváltozó esetén az igazságtáblával történő tételbizonyítás Robinson, 1965: REZOLÚCIÓ Rezolúcióval kapcsolatos következtetési sémák Mire is lesz jó? a b c b Ezt a sémát hívjuk a rez. alap következtetési szabályának a v c Másfajta értelmezések ugyanarra: a b a b c a c a c b c b Rezolúció, Robinson, 1965 (fénykép 2012-ből) Alapelv: - Mind a feltételeket, mind a következmény negáltját (ld. köv. pont) konjunktív normálformára hozzuk - A feltételek következményeit kontradikcióval bizonyítjuk: Feltétel_1 Feltétel_2 Feltétel_k Következmény A kialakított formula kontradikció - Alkalmazzuk a rezolúció alap következtetési sémáját mindaddig, amíg üres klózt nem kapunk: a b d c b d a v c (NIL) Rezolúciós eljárás: cáfoló eljárás (ellentmondással történő bizonyítás), mellyel egy konjunktív normálforma ill. egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét bizonyítjuk. Konjunktív normálforma: ( p q) ( q r) ( s r) p s K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 speciális részformulák=klózok konjunkciója klóz (K): literálok diszjunkciója ill. egy literál literál: egy ítéletváltozó vagy annak negáltja Implikációs normálforma: NEM KELL TUDNI! speciális részformulák (klózok) konjunkciója klóz: implikáció bal oldalon atomok konjunkciója, jobb oldalon atomok diszjukciója (p q) (q r) (s r F) (T p) (T s) LOGIKA 16 4

5 KONJUNKTÍV NORMÁLFORMA Literál: negált vagy negálatlan atom Pozitv: A KNF: Klózok (diszjunkciók) konjunkciója K K K Negatív, ha A Tétel: Minden formulához létezik vele ekvivalens konjunktív normálforma. Biz.: De Morgan ( ) ( ) 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Def.: DNF (diszjunktív normálforma): konjunkciók diszjunkciója Megjegyzés: A KNF és DNF duális: ua. mindkettő, csak helyett, helyett. 1 2 n ÍTÉLETKALKULUS PÉLDA állítások: A1: Ha süt a nap, akkor Péter strandra megy. A2: Ha Péter strandra megy, akkor úszik. A3: Péternek nincs lehetősége otthon úszni. A4: Ha süt a nap, akkor Péter nem marad otthon. A1, A2, A3 állításokból következik-e A4? atomok (atomi formulák): p: süt a nap q: Péter strandra megy r: Péter úszik s: Péter otthon marad formulák: F1: p q= p q F2: q r= q r F3: (s r)= s r F4: p s= p s F4: p s KLÓZOK: p és s 2 db! eredeti állítások szerkezetét tükrözi LOGIKA 19 minden formula átalakítható normálformára Transzformációs szabályok: A B = (A B) (B A) ( kiküszöbölése) a) A B = A B ( kiküszöbölése) b) c) (A B) = A B ( hatáskörének redukálása) d) (A B) = A B ( hatáskörének redukálása) A = A ( hatáskörének redukálása) e) A (B C) = (A B) (A C) (klózok konjunkciójának f) létrehozása) (((p q) (q r) (s r)) (p s)) ( (( p q) ( q r) (s r)) ( p s)) ( ( p q) ( q r) (s r) ( p s)) ( p q) ( q r) (s r) ( p s) ( p q) ( q r) ( s r) p s b.) d.) c.) e.) c.) d.) e.) LOGIKA 18 ( p q) ( q r) ( s r) p s formula klóz alak, klóz halmaz: C1: p q C2: q r C3: s r C4: p C5: s Lássuk be, hogy C1... C5 klózhalmaz kontradikció indirekt bizonyítás: tfh létezik modellje (minden klóz igaz) C4 igaz, ha p = T C5 igaz, ha s = T C1 igaz, ha q = T (mivel p = F, C4-ből) C3 igaz, ha r = F (mivel s = F, C5-ből) ellentmondás! C2 igaz, ha q = F (mivel r = F, C3- és C5-ből) LOGIKA 20 5

6 A bizonyítási eljárás szemléltetése: C1: p q C2: q r q C3: s r C4: p C5: s r q rezolúciós gráf, cáfolati gráf új klóz előállítása: rezolúcióval p q s r q r q p s r q q r q NIL NIL LOGIKA 21 rezolválható klózok: ún. komplemens literálpárt tartalmaznak komplemens literálpár: egy logikai változó és a negáltja együtt rezolvens klóz: komplemens literálok elhagyása után maradó részek diszjunkcióval összekapcsolva üres klóz: NIL, minden reprezentációban hamis rezolúció tulajdonságai: algoritmusa nemdeterminisztikus C1: p q p r C2: q r p s C3: s r s C4: p NIL C5: s helyes (logikai következmény) teljes (minden logikai következmény belátható rezolúcióval) LOGIKA 23 A 1, A 2,, A n B?? A 1 A 2 A n B kontrdikció igazolása rezolúciós eljárással A rezolúciós eljárás lépései: Cél tagadása, KNF-RE hozása az axiómákhoz való hozzáadása nem ettől indirekt! Az A 1 A 2 A n B formula klóz formára hozása (kiindulási klózhalmaz) Az üres klóz (NIL) előállításáig: a klózhalmazból két rezolválható klóz választása, a kiválasztott klózok rezolvensének képzése, a rezolvens klóz hozzáadása a klózhalmazba. LOGIKA 22 6