LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

Átírás

1 LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

2

3

4 ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 3. Készítette: Szakmai felel s: február

5 Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa ImreMáté András: Bevezetés a modern logikába. Osiris, 1997.

6 De Morgan- 1. konjunkció tagadása Nem igaz, hogy esik az es, és süt a nap. Vagy nem esik az es, vagy nem süt a nap. A&B igaz, ha mindkét tagja igaz, tagadása (kétérték logikában): legalább az egyik hamis (de lehet, hogy mindkett ), azaz A B formalizálva: (A & B) A B igazolás igazságfüggvényekkel: A B A & B (A & B) A B ( A) ( B)

7 De Morgan- 2. alternáció tagadása Nem igaz, hogy Géza vagy Jen a gyilkos. Sem Géza, sem Jen nem gyilkos. A B hamis, ha mindkét tagja hamis tagadásával pont ezt állítjuk: sem A, sem B nem igaz, tehát A & B formalizálva: (A B) A & B igazolás igazságfüggvényekkel: A B A B (A B) A B ( A) & ( B)

8 Kondícionális átalakítása kondícionális Ha elkapom a gyilkost, el léptetnek. Nem igaz, hogy elkapom a gyilkost, és nem léptetnek el. Vagy nem kapom el a gyilkost, vagy el léptetnek. deníció szerint A B (A & B) alkalmazva a De Morgan-azonosságot: (A & B) (A) ( B) tehát A B A B igazságfüggvények: A B B A & B (A & B) A A B

9 Bikondícionális átalakítása megfordítható kondícionális: A B (A B) & (B A) a kizáró vagy tagadása: A B ( (A & B) ( A & B) ) másképp (fontos lesz): A B (A & B) ( A & B) utóbbi igazolása igazságfüggvénnyel: A B A B A & B A & B (A & B) ( A & B)

10 Egybemenet igazságfüggvények Négy egybemenet igazságfüggvény lehetséges: A minden bemenetre igaz kimenetet ad (pl. A A) 2. a kimenet megegyezik a bemenettel (= A identikus) 3. a kimenet ellentettje a bemenetnek (negáció) 4. minden bemenetre hamis kimenetet ad (pl. A & A)

11 Kétbemenet igazságfüggvények Tizenhat kétbemenet igazságfüggvény lehetséges: A B Ezekb l már ismert: 2. alternáció 5. kondícionális 8. bikondícionális 12. konjunkció Több mondatfunktor bevezetésére nincs szükség: bármely kétbemenet igazságfüggvény el állítható a negáció és valamelyik már ismert kétbemenet igazságfüggvény (&, ) felhasználásával.

12 ek ellen rzése 1. feltételezett következtetés Ha Géza kapál, Jen vagy Janka csinálja az ebédet. Géza kapál. Nem Jen csinálja az ebédet. Janka csinálja az ebédet. szótár p 1 : Géza kapál p 2 : Jen csinálja az ebédet p 3 : Janka csinálja az ebédet formalizálva: {p 1 (p 2 p 3 ), p 1, p 2 } p 3 p, q, r stb. vagy p 1, p 2, p 3 stb.: mondatparaméterek, konkrét mondatokat neveznek meg A, B, C stb.: mondatsémák (változók)

13 ek ellen rzése 2. El ször alkalmazzuk a modus ponens következtetési sémát: {p 1 (p 2 p 3 ), p 1 } p 2 p 3 Ezután az alternációs következtetési séma felhasználásával: {p 2 p 3, p 2 } p 3 Probélmák: a következtetési sémákat emlékezetben kell tartani az alkalmazható sémák felismerése az egyéni leleményességen múlik ha nem jutunk el a premisszáktól a konklúzióig, nem tudhatjuk, hogy a konklúzió tényleg nem következik, vagy csak mi nem találtuk a megfelel sémát hozzá Nulladrendben van olyan (szemantikai alapú) eljárás, amivel véges lépésben el lehet dönteni, hogy a következtetés helyes-e.

14 deníció interpretáció: a felbontatlan kifejezéshez szemantikai értéket rendelünk extenzionális logikában: faktuális értéket nulladrendben: elemi mondatokhoz faktuális érték ket (igazságérték) ezáltal az összetett mondatok is igazságértéket kapnak kielégíthet ség 1.: a mondatok egy osztálya kielégíthet, ha van olyan interpretáció, amelyik minden mondatot igazra értékel modell: egy mondatosztály modellje az az interpretáció, amelyik az osztály minden mondatát igazra értékeli kielégíthet ség 2.: mondatok egy osztálya kielégíthet, ha van modellje

15 példák kielégíthet mondatosztályok {p, q, r} {(p 1 & p 2 ) p 3, p 1 p 4 } kielégíthetetlen mondatosztályok {p, p} ; {p & p} {p 1, p 2 p 3, p 1 ( p 2 & p 3 )} logikai igazságok {p p} { (q & q)} {r r}

16 Analitikus tábla bevezetés Következmény reláció: Γ A, ahol Γ premisszák egy adott halmaza, A pedig a konklúzió a premisszák igazsága esetén a konklúzió is mindig igaz a Γ minden modellje A-nak is modellje nincs olyan modell, amely Γ-t igazra, A-t pedig hamisra értékeli Γ { A} kielégíthetetlen (hiszen a premisszák igazsága esetén a konklúziónak is igazra kell kiértékel dnie) Ez utóbbit használja ki az analitikus táblázatmódszere: ha a premisszákhoz hozzávesszük a feltételezett konklúzió tagadását, ellentmondásra kell jutnunk. Ha nem jutunk ellentmondásra, a premisszákból nem következik az állítás.

17 Analitikus tábla példa Ellen rizzük a bevezetés következtetését {p 1 (p 2 p 3 ), p 1, p 2 } p 3 1. p 1 (p 2 p 3 ) 2. p 1 3. p 2 4. p 3 5. p 1 (p 2 p 3 ) [1] 6. p 1 [5] p 2 p 3 [5] 7. * (2,6) p 2 [6] p 3 [6] * (3,7) * (4,7) A táblázat minden ágán ellentmondásra jutottunk a következtetés helyes.

18 Analitikus tábla szabályok 1. 1 felírjuk egymás alá a premisszákat 2 hozzávesszük a (feltételezett) konklúzió negáltját 3 az összetettebb formulákat átalakítjuk egyszer konjunkciókká és alternációkká és fölvesszük ket a táblázatba (származékok) 4 a konjunkciók tagjait egymás alá írjuk 5 az alternációknál elágaztatjuk a táblázatot, a tagokat külön oszlopokba vesszük fel 6 ha elágazás után veszünk fel egy származékot, akkor azt minden (nyitott) ágra fel kell venni 7 az eljárást addig folytatjuk, amíg a táblázat nem befejezett

19 Analitikus tábla szabályok 2. ágak lezárása: ha egy ágon egy formula és annak tagadása is szerepel, akkor az ágat egy *-gal lezárjuk és megadjuk az ellentmondó formulák sorszámát ezután csak a nyitott ágakat kell folytatni a táblázat befejezett, ha minden ága zárt, vagy ha a nyitott ágakon szerepel a konjunktív formulák összes származéka és az alternációs formulák valamely származéka tétel: a formulák egy osztálya kielégíthet, ha analitikus táblázatuknak van (legalább egy) nyitott ága. Ha minden ág zárt, a formulaosztály kielégíthetetlen

20 Analitikus tábla származékok alap formulák konjunkció alternáció kondícionális bikondícionális A & B A B A B A B A A B A B A A B B B és tagadásaik konjunkció alternáció kondícionális bikondícionális (A & B) (A B) (A B) (A B) A B A A A A B B B B

21 Feladat Helyes-e az alábbi következtetés? Ellen rizzünk analitikus táblázattal! Ha a titkár nem beszél, a visszaélés nem derül ki. Ha a visszaélés kiderül, a jegyz t kirugják. Ha a titkár beszél, a jegyz t kirugják. p: A titkár beszél q: A visszaélés kiderül r : A jegyz t kirúgják Formalizálva: { p q, q r} p r Mi volt a hiba? Lehetséges, hogy a titkár (mellé)beszél, és a visszaélés nem derül ki. p q p q

22 A következményreláció törvényei Ha Γ -vel jelöljük Γ egy b vítését, és Γ A, akkor Γ A is teljesül. Többpremisszás következtetések egypremisszássá alakíthtók: {C 1, C 2,..., C n } {C 1 & C 2 &... & C n } Egypremisszás következtetés logikai igazsággá alakítható: A B akkor, és csak akkor teljesül, ha: A B

23 Feladatok 1. Fejezd ki az ismert mondatfunktorok felhasználásával az alábbi igazságfüggvényeket: A B

24 Feladatok 2. Ellen rizd az alábbi következtetés helyességét analitikus táblázat segítségével: 1. Ha a gyilkost elkapják, a nyomozás véget ér. 2. Ha bels ellen rzés lesz, a tárgyalás elmarad. 3. A nyomozás nem ér véget, pedig vagy elkapják a gyilkost, vagy bels ellen rzés lesz. 4. A tárgyalás elmarad.

25 Feladatok 3. Ellen rizd az alábbi következtetés helyességét analitikus táblázat segítségével: 1. Ha a szemtanú megbízható, a tettes magas fér volt. 2. Ha a tettes külföldi volt és magas, akkor csak Moriarti lehetett. 3. A szemtanú megbízható. 4. A tettes külföldi. 5. A tettes Moriarti.