Kijelentéslogika I szeptember 24.

Átírás

1 Kijelentéslogika I szeptember 24. Funktorok A természetesnyelvi mondatok gyakran összetettek: további mondatokból, végső soron pedig atomi mondatokból épülnek fel. Az összetevő mondatokat mondatkonnektívumok kapcsolják összetett mondattá. E konnektívumokat olyan nyelvi kifejezéseknek tekinthetjük, amelyeknek egy vagy több kitöltésre váró, mondattal kitöltendő üres helyük van. Pl. az (1) Ugat a kutya mert valaki jár a ház körül mondat két összetevőből áll: ugat a kutya és valaki jár a ház körül, amelyeket a mert elem kapcsol össze. Az ilyen, egyszerűbb mondatokból komplexebbeket képező nyelvi elemeket mondatfunktornak nevezzük. Azonban nemcsak olyan mondatfunktorok léteznek, amelyek két argumentumot kívánnak meg. A következő mondatban pl. a nem igaz, hogy mondatfunktor csak egy mondatot vár, és abból képez komplexebb mondatot: (2) Nem igaz, hogy János beteg Logikai szempontból azok a mondatfunktorok érdekesek, amelyek szisztematikusan működnek argumentumaikon. Ez a szisztematikusság azt jelenti, hogy az összetevők jelentéséből valamint az összetevés mikéntjéből kiszámítható az összetett kifejezés jelentése. Ezt szem előtt tartva ahhoz a hipotézishez jutunk, amelynek általános megfogalmazása a Gottlob Frege nevéhez fűződő kompozícionalitási elv: Egy összetett kifejezés jelentése valamilyen függvény segítségével előállítható az összetevők jelentésének és az összetétel módjának az ismeretében. Ennek az általános elvnek bizonyos szempontból elfajuló alesetét fogjuk most alkalmazni, ahol a kifejezést a mondattal, az atomi mondatok jelentését az igazságértékükkel, az összetétel módját pedig egy sajátos mondatfunktorosztály, az igazságfunktorok tagjainak alkalmazásával azonosítjuk. Később fokozatosan használatba vesszük az elv általános alakját is. Az igazságfunktorok igazságértékeken operáló igazságfüggvényeket denotálnak (jelölnek). Ugyanazt az igazságfüggvényt különböző funktorok is denotálhatják. 1

2 Kijelentéslogikai szerkezet Egy természetesnyelvi szöveg propozicionális-logikai szerkezetének előállítása két összefüggő lépést tartalmaz. Egyfelől a szövegben előforduló elemi propozíciók azonosítását, másfelől pedig az azokat összekapcsoló igazságfunktorok által kialakított hierarchikus struktúra meghatározását. Ezek a lépések a következő komplikációkkal járhatnak: 1. Az elemi propozíciók meghatározása: a szöveg mondatait gyakran át kell alakítani ahhoz, hogy eljussunk a legbelső propozíciókat kifejező mondatokhoz. Ez azt is jelenti, hogy explicitté kell tenni különböző odaértett információkat (névmások, stb.) 2. A hierarchikus szerkezet meghatározása: a propozíciókat kifejező mondatok csoportosítása gyakran nem teljesen egyértelmű az eredeti szövegben. Negáció (3) Nem igaz, hogy János katona. Itt a nem igaz, hogy a János katona mondatot módosítja, és azt mondjuk, hogy a tagadás hatóköre az egész mondat. Gyakran azonban a módosító nem mondatmódosítóként jelenik meg, hanem csak az állítmány módosítójaként: (4) János nem katona. Ebben az esetben a tagadás hatóköre nem az egész mondat, csak az állítmány. Mivel a negáció egy mondat igazságértékén operál, formalizáláskor gyakran meg kell tudnunk állapítani, hogy mi is a negáció hatókörében álló mondat. [feladatsor] A negáció egyargumentumú (unáris) igazságfüggvény, amely csak akkor ad kimenetül igaz-at, ha az argumentum igazságértéke a hamis. Konjunkció Ha két mondatot olyan konnektívummal kapcsolunk össze összetett mondattá, hogy a keletkező összetett mondat pontosan akkor igaz, amikor mindkét összetevője is az, akkor azt mondjuk, hogy a két mondatot konjugáltuk (vagy, hogy konjunkció kapcsolja őket össze). A konjunkciót a magyarban gyakran (de nem mindig) az és kötőszóval fejezzük ki. (Az is igaz viszont, hogy az és-nek más, nem konjunkciót kifejező funkciói is vannak.) [feladatsor] A konjunkció olyan kétargumentumú (bináris) igazságfunktor, amelynek igazságfüggvénye csak akkor adja az igaz-at kimenetül, ha mind a két argumentumának igazságértéke az igaz. 2

3 Diszjunkció (alternáció) A diszjunkció két tagmondatot oly módon kapcsol össze, hogy a kapott összetett mondat akkor igaz, ha legalább az egyik tagmondata igaz. Két fajtájával találkozunk gyakran. Megengedő vagy Ez a fajta lehetővé teszi azt is, hogy mindkét tagmondat igaz legyen. (5) Mari énekel vagy Hugó a macskát nyúzza. (6) A 8 osztható 2-vel vagy 4-gyel. (7) Elfogyott a benzin vagy tönkrement a gyertya. Kizáró vagy A kizáró vagy mint a neve is mutatja olyan diszjunkció, amely megtiltja a két tagmondatnak, hogy egyszerre igaz legyen. Ez a jelentés abban az esetben egy egyszerű vagy segítségével is kifejezhető, ha egyébként kizárt, hogy a két tagmondat egyszerre igaz legyen. (8) Ez a könyv vagy Jóskáé, vagy Lacié. (9) János éppen angolul vagy franciául beszél. (10) Vagy vihar van, vagy hétágra süt a Nap. A két típus közül a megengedő használat jár kevesebb elkötelezettséggel, ezért a diszjunkció denotálta igazságfüggvényt úgy szokták megfogalmazni, hogy ezt a használatot kodifikálja: a diszjunkció olyan bináris igazságfunktor, amelynek igazságfüggvénye csak akkor adja a hamis-at kimenetül, ha mind a két argumentumának értéke a hamis. Kondicionális (materiális implikáció) Az olyan igazságfunktorok, amelyek két mondatot úgy kötnek össze (leggyakrabban a ha... akkor... kifejezések segítségével), hogy az egyik mondat (az antecedens vagy előtag) igazsága kikényszerítse a másik mondat (a konzekvens vagy utótag) igazságát, a kondicionális típusába tartoznak. Ez a kikényszerítés sokféleképpen történhet. A kontrafaktuális kondicionálisok esetében például gyakran valamilyen fizikai törvényszerűség biztosítja, hogy az antecedens igazsága az utótag igazságát vonja maga után: (11) Ha ezt a fémrudat melegítenénk, akkor kitágulna. Sokszor azonban nem lehet ilyen törvényszerűséget megállapítani: (12) Ha te bejössz, akkor én kimegyek. 3

4 Azt azonban most is fel lehet tételezni, hogy a beszélő azt állítja, hogy az nem lehetséges, hogy te bejössz, én meg nem megyek ki, azaz a te bejössz mondat igazsága nem fér össze az én kimegyek mondat tagadásával. Ezt a minden kondicionálisban minimálisan közös jelentéselemet ragadja meg a materiális implikáció igazságfüggvénye, amely úgy fogalmazható meg, hogy a kondicionális előtagjának igazsága és az utótag hamissága hamissá teszi az egész kondicionálist. Mi a helyzet akkor, amikor a kondicionális előtagja hamis? Nézzünk egy példát. (13) Ha beteg vagyok, akkor elmegyek az orvoshoz. Tegyük fel, hogy nem vagyok beteg, és nem megyek el az orvoshoz. Hamis-e ekkor a fenti kondicionális? És ha nem vagyok beteg, de mégis elmegyek valamiért az orvoshoz? A kondicionális tehát csak akkor adja kimenetként a hamis-at, ha antecedensének értéke az igaz, konzekvenséé pedig a hamis. Szükséges feltétel, elégséges feltétel A kondicionális előtagja az utótag elégséges feltétele, míg az utótag az előtag szükséges feltétele. (14) Ha esik az eső, akkor vizes a járda. Az esik az eső mondat a vizes a járda mondat elégséges feltétele, míg a vizes a járda mondat az esik az eső mondat szükséges feltétele. A szükséges feltételt latinul sine qua non feltételnek is szokás nevezni. Ez az elnevezés jól tükrözi a szükséges feltétel lényegét: az, ami nélkül valami nem lehet igaz. Ha az (14) kondicionális igazságát elfogadjuk, akkor az esik az eső mondat valóban nem tud igaz lenni a vizes a járda mondat igazsága nélkül, hiszen a kondicionális éppen azt állítja, hogy az esik az eső mondat igazsága kikényszeríti a vizes a járda mondat igazságát. A fenti kondicionális tehát kifejezi, hogy a vizes a járda mondat az esik az eső mondat szükséges feltétele. Ha azt szeretnénk mondani, hogy az esik az eső kijelentés szükséges feltétele a vizes a járda kijelentésnek (ez a valóságban nem áll, hiszen a járda nemcsak esőtől lehet vizes), akkor a magyarban a (15) Csak akkor esik az eső, ha vizes a járda. formát használjuk. Bikondicionális Ha két kijelentés olyan viszonyban áll, hogy egymás szükséges és elégséges feltételei, akkor ezt az akkor és csakis akkor... ha... funktorral szoktuk kifejezni. Pl. (16) x akkor és csakis akkor páros, ha x osztható 2-vel. 4

5 Ez a jelentés úgy is kifejezhető, ha a csak-ot elhagyjuk, de az akkor-ra nyomatékot teszünk: (17) Akkor megyek, ha te is jössz. Ezt a funktort bikondicionálisnak szokták nevezni, és igazságfüggvénye pontosan azokban az esetekben ad igaz-at, amikor argumentumainak igazságértéke megegyezik (mindkettő az igaz, vagy mindkettő a hamis). Feladatok Frodó elviszi a Gyűrűt Mordorba, ha Gandalf és Aragorn segítenek neki, és senki nem hátráltatja. A Gyűrű nem pusztul el, kivéve ha beledobják Mordor tűzhányójába. Legolas és Gimli nem kedveli egymást, ám összefognak a küldetés érdekében. Ha Szauron vagy Szarumán birtokába kerül a Gyűrű, Középfölde elveszett. Nem mindenki segíti Frodót. Boromír vagy Gollam el fogja árulni Frodót. 5