Halmazelmélet és logika
|
|
- Borbála Dudásné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Halmazelmélet és logika Dr. Szilágyi Ibolya Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 1 / 58
2 Outline A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak A nyelv szemantikája, igaszságértékelés A kijelentéslogika nyelve A tiszta predikátumlogika nyelve Kijelentés és predikátumlogikai feladatok Logikai következmény Predikátumkalkulus Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 2 / 58
3 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Halmazelmélet Kialakulása a XIX. század második felére tehető. A matematikusok figyelme a halmazok elemeiről a halmazokra irányult. Kritikai szellem fejlődése. Felismerték, hogy a véges halmazok tulajdonságaival nem rendelkeznek törvényszerűen a végtelen halmazok is. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 3 / 58
4 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Halmazelmélet Kialakulása a XIX. század második felére tehető. A matematikusok figyelme a halmazok elemeiről a halmazokra irányult. Kritikai szellem fejlődése. Felismerték, hogy a véges halmazok tulajdonságaival nem rendelkeznek törvényszerűen a végtelen halmazok is. Georg Cantor: a naiv halmazelmélet megalkotója. Kontinuumhipotézis: nem létezik olyan halmaz, melynek számossága a megszámlálhatóan végtelen számosságánál nagyobb, de a kontinuumszámosságnál kisebb. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 3 / 58
5 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Halmazelmélet Kialakulása a XIX. század második felére tehető. A matematikusok figyelme a halmazok elemeiről a halmazokra irányult. Kritikai szellem fejlődése. Felismerték, hogy a véges halmazok tulajdonságaival nem rendelkeznek törvényszerűen a végtelen halmazok is. Georg Cantor: a naiv halmazelmélet megalkotója. Kontinuumhipotézis: nem létezik olyan halmaz, melynek számossága a megszámlálhatóan végtelen számosságánál nagyobb, de a kontinuumszámosságnál kisebb. A végtelen halmazok elmélete ellentmondásos elmélet. Russel-féle antinómia: (Játék a végtelennek 225 o.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 3 / 58
6 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Logicizmus és formalizmus Az ellentmondások kiküszöbölésének három fő irányzata: Logicizmus: Russel: a metamatika a logika része. Ellentmondás forrása: a fogalmak definiálásakor felhasználjuk magát azt a fogalmat is amit definiálni akarunk, azaz a definícióban olyan halmazt használunk, melynek a definiálandó dolog is eleme. (legnagyobb közös osztó) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 4 / 58
7 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Logicizmus és formalizmus Az ellentmondások kiküszöbölésének három fő irányzata: Logicizmus: Russel: a metamatika a logika része. Ellentmondás forrása: a fogalmak definiálásakor felhasználjuk magát azt a fogalmat is amit definiálni akarunk, azaz a definícióban olyan halmazt használunk, melynek a definiálandó dolog is eleme. (legnagyobb közös osztó) Formalizmus: Hilbert Ellentmondás forrása: az a kötetlenség, hogy a halmazelmélet bármikor bővíthető új fogalmakkal. Megoldás az axiomatikus módszer. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 4 / 58
8 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Logicizmus és formalizmus Az ellentmondások kiküszöbölésének három fő irányzata: Logicizmus: Russel: a metamatika a logika része. Ellentmondás forrása: a fogalmak definiálásakor felhasználjuk magát azt a fogalmat is amit definiálni akarunk, azaz a definícióban olyan halmazt használunk, melynek a definiálandó dolog is eleme. (legnagyobb közös osztó) Formalizmus: Hilbert Ellentmondás forrása: az a kötetlenség, hogy a halmazelmélet bármikor bővíthető új fogalmakkal. Megoldás az axiomatikus módszer. Zermelo: az első halmazelméleti axiomarendszer kidolgozója. Az ellentmondások kiküszöbölésének leghatékonyabb módja. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 4 / 58
9 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Intuicionizmus Intuicionizmus: Brouwer, Weyl, Poincaré Az ismeretszerzés módja a velünk született ősintuició. Tehát a matematika feladata az intuitív konstrukciós tevékenység. Az antinómiák oka, hogy a vizsgálatok kiterjednek az intuitíve nem konstruálható végtelen halmazokra. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 5 / 58
10 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Intuicionizmus Intuicionizmus: Brouwer, Weyl, Poincaré Az ismeretszerzés módja a velünk született ősintuició. Tehát a matematika feladata az intuitív konstrukciós tevékenység. Az antinómiák oka, hogy a vizsgálatok kiterjednek az intuitíve nem konstruálható végtelen halmazokra. potenciálisan végtelen: valamely folyamat korlátlan továbbfolytatásának a lehetősége. (természetes számok sorozata) aktuálisan végtelen: a halmaz készen tartalmaz végtelenül sok elemet, sem elvenni, sem hozzátenni nem lehet anélkül, hogy a halmaz megváltozna. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 5 / 58
11 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Intuicionizmus Intuicionizmus: Brouwer, Weyl, Poincaré Az ismeretszerzés módja a velünk született ősintuició. Tehát a matematika feladata az intuitív konstrukciós tevékenység. Az antinómiák oka, hogy a vizsgálatok kiterjednek az intuitíve nem konstruálható végtelen halmazokra. potenciálisan végtelen: valamely folyamat korlátlan továbbfolytatásának a lehetősége. (természetes számok sorozata) aktuálisan végtelen: a halmaz készen tartalmaz végtelenül sok elemet, sem elvenni, sem hozzátenni nem lehet anélkül, hogy a halmaz megváltozna. Az intuicionista álláspont az aktuálisan végtelen fogalmát nem ismeri el. Logikájukból hiányzik a harmadik kizárásának elve. (Arisztotelesz: Egy állítás ha nem igaz, akkor hamis, harmadik lehetőség nincs.) Valamely dolog létezik, ha megkonstruálható. (egzisztencia tételek) Az intuicionista logika lemond a hagyományos matematika nagy területeiről. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 5 / 58
12 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Logika Mi a logika? Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 6 / 58
13 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Logika Mi a logika? Az a tudományág, melynek tárgya maga a matematika. A vizsgált elméletre vonatkozó globális kérdésekkel foglalkozik. (teljesség, ellentmondásmentesség) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 6 / 58
14 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése A matematikai elméletek átfogó vizsgálata Pontosítás A vizsgált elmélet pontosítása egy logikai nyelv segítségével-formalizálás. szimbolikus nyelvek Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 7 / 58
15 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése A matematikai elméletek átfogó vizsgálata Pontosítás A vizsgált elmélet pontosítása egy logikai nyelv segítségével-formalizálás. szimbolikus nyelvek Az axiomatikus módszer 1. Definiálatlan alapfogalmak (pont, egyenes, halmaz) 2. Axiómák 3. Tételek: az axiómákból a logika következtetési szabályi segítségéve bizonyítható kijelentések. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 7 / 58
16 A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése A matematikai elméletek átfogó vizsgálata Pontosítás A vizsgált elmélet pontosítása egy logikai nyelv segítségével-formalizálás. szimbolikus nyelvek Az axiomatikus módszer 1. Definiálatlan alapfogalmak (pont, egyenes, halmaz) 2. Axiómák 3. Tételek: az axiómákból a logika következtetési szabályi segítségéve bizonyítható kijelentések. Követelmények: ellentmondásmentesség függetlenség Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 7 / 58
17 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Mi a logika? A logika érvelés az érvelésről. A matematikai logika a vizsgált elméletre vonatkozó globális kérdésekkel foglalkozik. A mat. log. nyelv funkciója a vizsgált matematikai elmélet tényanyagának pontos leírása. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 8 / 58
18 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Mi a logika? A logika érvelés az érvelésről. A matematikai logika a vizsgált elméletre vonatkozó globális kérdésekkel foglalkozik. A mat. log. nyelv funkciója a vizsgált matematikai elmélet tényanyagának pontos leírása. Motiváció: alapvető matematikai kérdések informatika praktikus szükségletei A vizsgált matematikai elmélethez egy precíz logikai nyelvet használunk elkerülve a pontatlanságot. Az elméletet formalizáljuk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 8 / 58
19 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Az állitás(kijelentés) olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 9 / 58
20 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Az állitás(kijelentés) olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Atomi kijelentés: logikai értékének eldöntése nem a logika feladata. Példa: Süt a nap. Összetett kijelentések: atomi formulák + logikai összekötőjelek, kvantorok Példa: Süt a nap és esik az eső. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 9 / 58
21 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Az állitás(kijelentés) olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Atomi kijelentés: logikai értékének eldöntése nem a logika feladata. Példa: Süt a nap. Összetett kijelentések: atomi formulák + logikai összekötőjelek, kvantorok Példa: Süt a nap és esik az eső. Melyek kijelentések? Minden rózsa fehér. Hogy vagy? y > 10 Ez a csendélet szebb, mint a másik. Az ikerprímek száma végtelen. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 9 / 58
22 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe A matematikai állítások leírása jelekből képzett jelsorozatok segítségével történik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
23 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe A matematikai állítások leírása jelekből képzett jelsorozatok segítségével történik. Jelsorozatok: kifejezések, termek : matematikai objektumok jelölése változók: x, y konstans: 0 f (x, y) formulák: matematikai érvelés leírása x = y Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
24 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe A matematikai állítások leírása jelekből képzett jelsorozatok segítségével történik. Jelsorozatok: kifejezések, termek : matematikai objektumok jelölése változók: x, y konstans: 0 f (x, y) formulák: matematikai érvelés leírása x = y A mat. log. nyelvekben megkülönböztetünk szintaxist (jelsorozat alakja, velük végezhető átalakítások) és szemantikát (jelentéstan: formulák, kifejezések értelmezése). Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
25 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe A matematikai állítások leírása jelekből képzett jelsorozatok segítségével történik. Jelsorozatok: kifejezések, termek : matematikai objektumok jelölése változók: x, y konstans: 0 f (x, y) formulák: matematikai érvelés leírása x = y A mat. log. nyelvekben megkülönböztetünk szintaxist (jelsorozat alakja, velük végezhető átalakítások) és szemantikát (jelentéstan: formulák, kifejezések értelmezése). Fontos a tárgynyelv és a metanyelv megkülönböztetése! A hazug antinómiája. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
26 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Logikai összekötőjelek, kvantorok negáció: tagadás konjunkció: és művelet, logikai szorzás. diszjunkció: vagy művelet. implikáció: ha..., akkor... ekvivalencia: akkor és csak akkor Kvantorok: univerzális kvantor: összes, bármely egzisztenciális kvantor: létezik Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
27 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Geom nyelv Elemi geometria leírására szolgál. változók pont A, B, C,... egyenes a, b, c,... sík α, β, γ,... atomi formulák (A = B) (A a) (A α) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
28 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Geom nyelv Elemi geometria leírására szolgál. változók pont A, B, C,... egyenes a, b, c,... sík α, β, γ,... atomi formulák (A = B) (A a) (A α) Feladatok: 1. Egyenes és vele párhuzamos sík definíciója. 2. Két kitérő egyenes definíciója. 3. A síkban egy ponton át csak egy olyan egyenes húzható, mely a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. 4. Az s egyenes az α síkban van. 5. Két különböző pontra egy és csak egy egyenes illeszkedik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
29 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Ar nyelv Természetes számokra vonatkozó állítások leírására szolgál. változók: x, y, z,... konstans: 0 függvényszimbólumok: S, +, termek: atomi formulák: t = z Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
30 Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Ar nyelv Természetes számokra vonatkozó állítások leírására szolgál. változók: x, y, z,... konstans: 0 függvényszimbólumok: S, +, termek: atomi formulák: t = z Feladatok: 1. xy, x y, x < y 2. x osztója y-nak 3. x prímszám 4. A prímszámok száma végtelen. 5. A 2x 2 + x + 1 = 0 egyenletnek létezik két különböző gyöke. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
31 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Nyelv megadása. Az elsőrendű Ω nyelvet egy négy halmazból álló rendszerrel adjuk meg: Ω = S, C, F, P. 1. S : nem üres halmaz, melynek elemeit tipusoknak nevezzük. Minden típushoz szimbólumok megszámlálható rendszere tartozik, melyeket bizonyos típusú változóknak (individuumváltozó) nevezünk. 2. C : konstansok (esetleg üres) halmaza. 3. F : függvényszimbólumok (esetleg üres) halmaza. Minden f F függvényjelhez hozzárendeljük a függvényjel alakját. (x 1,... x k x) egy k-változós függvényjel alakja. 4. P : nem üres halmaz, melynek elemei predikátumszimbólumok (relációjelek). Minden P P predikátumszibólumhoz hozzárendeljük az alakját. P(x 1,... x n ), ahol n 0 a predikátumszimbólum változóinak száma. Ha k = 0, akkor propozicionális betűről vagy propozicionális változóról beszélünk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
32 Term Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Ω nyelv alakzatai: szimbólumokból, logikai jelekből és segédjelekből (zárójel, vessző) képzett értelmes jelsorozatok. Az alakzatok két csoportra oszthatók: termek (kifejezések), formulák. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
33 Term Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Ω nyelv alakzatai: szimbólumokból, logikai jelekből és segédjelekből (zárójel, vessző) képzett értelmes jelsorozatok. Az alakzatok két csoportra oszthatók: termek (kifejezések), formulák. TERM Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
34 Term Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Ω nyelv alakzatai: szimbólumokból, logikai jelekből és segédjelekből (zárójel, vessző) képzett értelmes jelsorozatok. Az alakzatok két csoportra oszthatók: termek (kifejezések), formulák. TERM 1. Az Ω nyelv minden változója term. 2. Az Ω nyelv minden konstansa term. 3. Ha f egy k-változós függvényjel és t i (i = 1,..., k) term, akkor f (t 1,..., t k ) is term. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
35 Term Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Ω nyelv alakzatai: szimbólumokból, logikai jelekből és segédjelekből (zárójel, vessző) képzett értelmes jelsorozatok. Az alakzatok két csoportra oszthatók: termek (kifejezések), formulák. TERM 1. Az Ω nyelv minden változója term. 2. Az Ω nyelv minden konstansa term. 3. Ha f egy k-változós függvényjel és t i (i = 1,..., k) term, akkor f (t 1,..., t k ) is term. 1-2 az indukció alapja, 3 a generáló szabály. Egy termben a függvényjelek száma a term összetettségét mutatja. A term bármely változója a term paramétere. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
36 Formula Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak atomi formula: P(t 1,..., t k ) alakzat, ahol P az Ω nyelv predikátumbetűje, t 1,..., t k termek. Ha P egyváltozós, akkor prímformulának vagy elemi formulának is nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
37 Formula Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak atomi formula: P(t 1,..., t k ) alakzat, ahol P az Ω nyelv predikátumbetűje, t 1,..., t k termek. Ha P egyváltozós, akkor prímformulának vagy elemi formulának is nevezzük. Formula: 1. Minden atomi formula az Ω nyelv formulája. 2. Ha A és B az Ω nyelv formulái, akkor A B, A B, A B, A is formulák. 3. Ha A formula, x tetszőleges Ω-beli változó, akkor xa, xa is formulák. A logikai szimbólumok száma a formula összetettségét adja meg. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
38 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Definition (részformula) Egy A formula minden olyan részét, mely maga is formula, az A részformulájának nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
39 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Definition (részformula) Egy A formula minden olyan részét, mely maga is formula, az A részformulájának nevezzük. Definition A xa, xa formulákban a x, x jelkombinációt kvantoros előtagnak, az x változót a kvantoros előtag változójának, A-t a kvantoros előtag hatáskörének nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
40 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Definition (részformula) Egy A formula minden olyan részét, mely maga is formula, az A részformulájának nevezzük. Definition A xa, xa formulákban a x, x jelkombinációt kvantoros előtagnak, az x változót a kvantoros előtag változójának, A-t a kvantoros előtag hatáskörének nevezzük. Definition Azt mondjuk, hogy egy változó egy formulában kötött előfordulású, ha szerepel egy rajta ható kvantor hatáskörében. Egy változó szabad, ha nem kötött. A szabad előfordulású változó a formula paramétere. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
41 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Definition (részformula) Egy A formula minden olyan részét, mely maga is formula, az A részformulájának nevezzük. Definition A xa, xa formulákban a x, x jelkombinációt kvantoros előtagnak, az x változót a kvantoros előtag változójának, A-t a kvantoros előtag hatáskörének nevezzük. Definition Azt mondjuk, hogy egy változó egy formulában kötött előfordulású, ha szerepel egy rajta ható kvantor hatáskörében. Egy változó szabad, ha nem kötött. A szabad előfordulású változó a formula paramétere. Definition Az Ω nyelv egy formulája zárt formula (mondat), ha nincs benne szabad változó. A szabad változót is tartalmazó formula nyitott formula (predikátum). A nyitott formula n-változós, ha benne n paraméter fordul elő. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
42 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Kötött változó átjelölése. Bárhogyan átjelölhető a következő formula kötött változója? z(x + z = y) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
43 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Kötött változó átjelölése. Bárhogyan átjelölhető a következő formula kötött változója? z(x + z = y) Kötött változó átjelölésével a formula értelme nem változik, ha betartjuka következő szabályt: Szabályos átjelölés: az átjelölés után egyetlen részformula szabad változója sem válhat kötötté. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
44 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Kötött változó átjelölése. Bárhogyan átjelölhető a következő formula kötött változója? z(x + z = y) Kötött változó átjelölésével a formula értelme nem változik, ha betartjuka következő szabályt: Szabályos átjelölés: az átjelölés után egyetlen részformula szabad változója sem válhat kötötté. Definition A és A kongruens formulák (A az A variánsa), ha csak szabályosan végrehajtott kötött változó átjelölésben különböznek egymástól. Jele: A A. Két formula akkor és csak akkor kongruens, ha megegyező vázzal rendelkeznek. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
45 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Változók helyettesítése. Helyettesítsük z(x + z = y) formulában x-et az (x z) termmel! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
46 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Változók helyettesítése. Helyettesítsük z(x + z = y) formulában x-et az (x z) termmel! Szabad változók helyettesíthetők termekkel, ha betartjuk a következő szabályt: Megengedett helyettesítés: szabad változó helyettesítése termmel úgy, hogy szabad változóból nem lehet kötött változó (helyettesítő term változója nem kerülhet kvantor hatáskörébe). Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
47 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Változók helyettesítése. Helyettesítsük z(x + z = y) formulában x-et az (x z) termmel! Szabad változók helyettesíthetők termekkel, ha betartjuk a következő szabályt: Megengedett helyettesítés: szabad változó helyettesítése termmel úgy, hogy szabad változóból nem lehet kötött változó (helyettesítő term változója nem kerülhet kvantor hatáskörébe). Mit tegyünk, ha egy helyettesítés nem megengedett egy A formula számára? Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
48 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Változók helyettesítése. Helyettesítsük z(x + z = y) formulában x-et az (x z) termmel! Szabad változók helyettesíthetők termekkel, ha betartjuk a következő szabályt: Megengedett helyettesítés: szabad változó helyettesítése termmel úgy, hogy szabad változóból nem lehet kötött változó (helyettesítő term változója nem kerülhet kvantor hatáskörébe). Mit tegyünk, ha egy helyettesítés nem megengedett egy A formula számára? Keresünk egy A formulát, melyre A A, s melyre a helyettesítés megengedett. Ezt nevezzük szabályos helyettesítésnek. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
49 Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Változók helyettesítése. Helyettesítsük z(x + z = y) formulában x-et az (x z) termmel! Szabad változók helyettesíthetők termekkel, ha betartjuk a következő szabályt: Megengedett helyettesítés: szabad változó helyettesítése termmel úgy, hogy szabad változóból nem lehet kötött változó (helyettesítő term változója nem kerülhet kvantor hatáskörébe). Mit tegyünk, ha egy helyettesítés nem megengedett egy A formula számára? Keresünk egy A formulát, melyre A A, s melyre a helyettesítés megengedett. Ezt nevezzük szabályos helyettesítésnek. Változótisztaság tulajdonság: Egy formula rendelkezik ezen tulajdonsággal, ha benne a kötött változók különböznek a szabad változóktól, s bármely két kvantoros előtag két különböző előfordulása különböző változókat köt meg. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
50 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Objektumtartomány cél: meghatározni mit fejeznek ki a nyelv formulái. Először meg kell adnunk a nyelv változóinak halmazát. Adott egy elsőrendű nyelv: Ω = S, C, F, P. Minden S-beli típushoz hozzárendelünk egy nem üres halmazt. Ez a típus objektumtartománya, hordozója. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
51 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Objektumtartomány cél: meghatározni mit fejeznek ki a nyelv formulái. Először meg kell adnunk a nyelv változóinak halmazát. Adott egy elsőrendű nyelv: Ω = S, C, F, P. Minden S-beli típushoz hozzárendelünk egy nem üres halmazt. Ez a típus objektumtartománya, hordozója. A formulákban és termekben a paraméterek (szabad változók) helyére az objektumtartomány elemei kerülnek, így értékelt formulákat kapunk. x y = z 2 3 = 6 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
52 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Objektumtartomány cél: meghatározni mit fejeznek ki a nyelv formulái. Először meg kell adnunk a nyelv változóinak halmazát. Adott egy elsőrendű nyelv: Ω = S, C, F, P. Minden S-beli típushoz hozzárendelünk egy nem üres halmazt. Ez a típus objektumtartománya, hordozója. A formulákban és termekben a paraméterek (szabad változók) helyére az objektumtartomány elemei kerülnek, így értékelt formulákat kapunk. x y = z 2 3 = 6 Legyen adott egy D hordozó. Minden a D objektumhoz hozzárendelünk egy új szimbólumot aa-t. Ω-t kibővítjük az új szimbólumokkal, így egy új nyelvet kapunk: Ω(D) = S, C(D), F, P. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
53 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Objektumtartomány cél: meghatározni mit fejeznek ki a nyelv formulái. Először meg kell adnunk a nyelv változóinak halmazát. Adott egy elsőrendű nyelv: Ω = S, C, F, P. Minden S-beli típushoz hozzárendelünk egy nem üres halmazt. Ez a típus objektumtartománya, hordozója. A formulákban és termekben a paraméterek (szabad változók) helyére az objektumtartomány elemei kerülnek, így értékelt formulákat kapunk. x y = z 2 3 = 6 Legyen adott egy D hordozó. Minden a D objektumhoz hozzárendelünk egy új szimbólumot aa-t. Ω-t kibővítjük az új szimbólumokkal, így egy új nyelvet kapunk: Ω(D) = S, C(D), F, P. Az Ω(D) nyelv paramétert nem tartalmazó kifejezéseit az Ω nyelv értékelt kifejezésének nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
54 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Ω interpretációja 1. Megadjuk az Ω nyelv egy D hordozóját. Ez tekinthető a változóhalmazhoz D-t rendelő D függvénynek. 2. Minden konstansnak megfeleltetünk egy objektumot: C : c c (c C, c D). 3. Minden függvényszimbólumnak megfeleltetünk egy függvényt. F : f f (f F). f egy D-n értelmezett, D-beli értéket felvevő konkrét függvény, mely annyi változót tartalmaz, ahány változós az f függvényjel. 4. Minden predikátumszimbólumhoz hozzárendelünk egy konkrét predikátumot: P : P P (P P). Predikátum: k-változós függvény, mely a D halmazból vett a 1,..., a k elemrendszerekhez a 0 vagy 1 igazságértéket rendeli. (0 - hamis, 1 - igaz) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
55 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés az Ω nyelv M interpretációja. M = D, C, F, P Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
56 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés az Ω nyelv M interpretációja. M = D, C, F, P A D hordozót alaphalmaznak is nevezzük (pl. természetes számok halmaza). Ez az interpretáció meghatározza a klasszikus elsőrendű szemantikát. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
57 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Értékelt termek, formulák. Definition Az értékelt term értékét indukcióval határozzuk meg. A t term értékét jelölje t M D. 1. Ha a term c C konstans, akkor az M interpretációban hozzá van rendelve egy c objektum: c M = c. 2. Ha a term alakja a, ahol a D, akkor a M = ā. 3. Ha a term f (t 1,..., t k ), ahol t 1,..., t k kisebb bonyolultságú értékelt termek, akkor t 1 M,..., t k M értékek ismertek. f (t 1,..., t k ) M = f ( t 1 M,..., t k M ) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
58 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Értékelt termek, formulák. Definition Az értékelt term értékét indukcióval határozzuk meg. A t term értékét jelölje t M D. 1. Ha a term c C konstans, akkor az M interpretációban hozzá van rendelve egy c objektum: c M = c. 2. Ha a term alakja a, ahol a D, akkor a M = ā. 3. Ha a term f (t 1,..., t k ), ahol t 1,..., t k kisebb bonyolultságú értékelt termek, akkor t 1 M,..., t k M értékek ismertek. f (t 1,..., t k ) M = f ( t 1 M,..., t k M ) Az Ω nyelv M modelljében értékelt formulákat M-ben igaz és hamis formulákra osztjuk. Ha A az M-ben értékelt formula, akkor az A igaz M-ben jelölése: M = A. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
59 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Definition M = A definíciója. 1. Ha a formula atomi formula (P(t 1,..., t k )), a t 1,..., t k értékelt termek, tehát t 1 M,..., t k M objektumok M-ben. P-nek megfelel egy konkrét P. M = P(t 1,..., t k ) : P( t 1 M,..., t k M ) = 1 Ha a formula nem atomi, akkor igazságértékét kisebb bonyolultságú formulák segítségével határozzuk meg. 2. M = A B : M = A és M = B 3. M = A B : M = A vagy M = B 4. M = A B : ha M = A, akkor M = B 5. M = A : nem igaz, hogy M = A 6. M = A : minden a D esetén M = A x a 7. M = A : van olyan a D, hogy M = A x a Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
60 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés A logikai összekötőjelek jelentése. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
61 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés konjunkció és művelet, logikai szorzás A B A B Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
62 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés konjunkció és művelet, logikai szorzás A B A B Minden négyzet parallelogramma és minden négyzet deltoid. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
63 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés diszjunkció vagy művelet, megengedő értelmű vagy A B A B Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
64 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés diszjunkció vagy művelet, megengedő értelmű vagy 12 osztható 3-mal vagy 4-el. A B A B A síkban két egyenes vagy párhuzamos vagy metsző helyzetűek. Iszik vagy vezet. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
65 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés diszjunkció vagy művelet, megengedő értelmű vagy 12 osztható 3-mal vagy 4-el. A B A B A síkban két egyenes vagy párhuzamos vagy metsző helyzetűek. Iszik vagy vezet. megengedő vagy: a kijelentés igaz, ha legalább az egyik összetevője igaz. kizáró vagy: a két részállítás egyszerre nem lehet igaz. összeférhetetlenségi vagy: a két részállítás egyszerre nem teljesülhet, de az sem baj, ha egyik sem teljesül. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
66 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés negáció Tagadás, nem művelet. Egyváltozós művelet. A A Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
67 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés negáció Tagadás, nem művelet. Egyváltozós művelet. A A Van olyan viráv, mely rovarral táplálkozik. Van olyan virág, mely nem rovarral táplálkozik. Egy vrág sem táplálkozik rovarral. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
68 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés implikáció, kondicionális ha..., akkor... A: előtag, B utótag A B A B Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
69 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés implikáció, kondicionális ha..., akkor... A: előtag, B utótag A-nak szükséges feltétele a B. B-nek elégséges feltétele az A. A csak akkor ha B. A B A B Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
70 A nyelv szemantikája, igaszságértékelés ekvivalencia, bikondicionális A akkor és csak akkor, ha B. (A B) (B A) A B A B Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
71 A kijelentéslogika nyelve Logikai törvények Definition Az Ω nyelv A formulája logikai törvény (azonosan igaz formula, tautologia), ha A az Ω minden interpretációjában, minden értékelés esetén igaz. Jele: = A. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
72 A kijelentéslogika nyelve Logikai törvények Definition Az Ω nyelv A formulája logikai törvény (azonosan igaz formula, tautologia), ha A az Ω minden interpretációjában, minden értékelés esetén igaz. Jele: = A. Definition Az A formula logikailag ellentmondásos (kontradikció), ha minden interpretációban, minden értékeléskor hamis. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
73 A kijelentéslogika nyelve Logikai törvények Definition Az Ω nyelv A formulája logikai törvény (azonosan igaz formula, tautologia), ha A az Ω minden interpretációjában, minden értékelés esetén igaz. Jele: = A. Definition Az A formula logikailag ellentmondásos (kontradikció), ha minden interpretációban, minden értékeléskor hamis. Definition Az A formula kielégíthető, ha létezik olyan M modell és abban olyan értékelés, amelyre az A igaz. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
74 A kijelentéslogika nyelve Logikai törvények Definition Az Ω nyelv A formulája logikai törvény (azonosan igaz formula, tautologia), ha A az Ω minden interpretációjában, minden értékelés esetén igaz. Jele: = A. Definition Az A formula logikailag ellentmondásos (kontradikció), ha minden interpretációban, minden értékeléskor hamis. Definition Az A formula kielégíthető, ha létezik olyan M modell és abban olyan értékelés, amelyre az A igaz. Definition Valamely A és B formula logikailag ekvivalens, ha az A B formula logikai törvény. Jele: A B. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
75 A kijelentéslogika nyelve Quine-féle tábla Definition Az Ω nyelv A formulája az A 1,..., A k formulák Boole-kombinációja, ha az A formula az A 1,..., A k formulákból logikai összekötőjelek segítségével épül fel, kvantorok nélkül. Az A i -ket (i = 1,..., n) komponenseknek nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
76 A kijelentéslogika nyelve Quine-féle tábla Definition Az Ω nyelv A formulája az A 1,..., A k formulák Boole-kombinációja, ha az A formula az A 1,..., A k formulákból logikai összekötőjelek segítségével épül fel, kvantorok nélkül. Az A i -ket (i = 1,..., n) komponenseknek nevezzük. A komponensek logikai értéke meghatározza a formula értékét. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
77 A kijelentéslogika nyelve Quine-féle tábla Definition Az Ω nyelv A formulája az A 1,..., A k formulák Boole-kombinációja, ha az A formula az A 1,..., A k formulákból logikai összekötőjelek segítségével épül fel, kvantorok nélkül. Az A i -ket (i = 1,..., n) komponenseknek nevezzük. A komponensek logikai értéke meghatározza a formula értékét. Quine-féle tábla, Igazságtábla: A 0 és az 1 lehetséges 2 k kombinációja adja az oszlopokat az A 1,..., A k alatt. Elvégezve a logikai műveleteket megkapjuk a fő oszlopot. A fő oszlop a formula fő logikai összekötőjele alatt keletkezik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
78 A kijelentéslogika nyelve Quine-féle tábla Definition Az Ω nyelv A formulája az A 1,..., A k formulák Boole-kombinációja, ha az A formula az A 1,..., A k formulákból logikai összekötőjelek segítségével épül fel, kvantorok nélkül. Az A i -ket (i = 1,..., n) komponenseknek nevezzük. A komponensek logikai értéke meghatározza a formula értékét. Quine-féle tábla, Igazságtábla: A 0 és az 1 lehetséges 2 k kombinációja adja az oszlopokat az A 1,..., A k alatt. Elvégezve a logikai műveleteket megkapjuk a fő oszlopot. A fő oszlop a formula fő logikai összekötőjele alatt keletkezik. Definition Az olyan Boole-kombinációt, melyhez tartozó értéktáblázatban a főoszlop csupa 1-esből áll, propozicionális tautológiának nevezzük. Minden propozicionális tautológia logikai történy. (a megfordítás nem igaz) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
79 Értéktábla A kijelentéslogika nyelve (A B) (A B) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
80 Értéktábla A kijelentéslogika nyelve (A B) (A B) A (B C (C A)) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
81 Példák A kijelentéslogika nyelve A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) (A B) = A B, (A B) = A B (A B) = A B A B = ( A B) A = A A B = (A B) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
82 A kijelentéslogika nyelve A kijelentéslogika törvényei 1. A A A és A A A (idempotencia) 2. A B B A és A B B A (kommutativitás) 3. A (B C) (A B) C és A (B C) (A B) C (asszociativitás) 4. A (B C) (A B) (A C) és A (B C) (A B) (A C) (disztributivitás) 5. A A 1 és A A 0 6. A 1 1 és A 1 A 7. A 0 A és A A (A B) A, A (A B) A (beolvasztási törvény) 9. (A B) A B, (A B) A B (de Morgan-féle törvény) 10. (A B) ( (A B)) és (A B) ( A B) (kondicionálás) 11. (A B) ( B A) (konrtapozició) 12. A A (azonosság törvénye) 13. ((A B) (B C)) (A C) (láncszabály) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
83 A kijelentéslogika nyelve 14 ((A B) (A B)) A (Reductio ad absurdum) 15 (A (B C)) ((A B) (A C)) (kondicionális öndisztributivitása) 16 A A (kétszeres tagadás) 17 A A (kizárt harmadik) (A A) (ellentmondásmentesség) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
84 Példa A kijelentéslogika nyelve Egyenértékűek-e az alábbi formulák? P ( P Q), P Q P ( P Q), P Q ( P Q R) ( Q R), P Q R ( P (P Q)), P Q Igazoljuk, hogy az alábbi formulák logikai törvények! ((P Q) Q) P ((P R) ( P R)) R (P ( P Q)) P Q P (Q P) (P P) Q Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
85 A kijelentéslogika nyelve Definition A B 1 B k alakú formulát, ahol minden B i Boole-kombináció komponense vagy negáltja, elemi konjunkciónak nevezzük. Definition A B 1 B k alakú formulát, ahol minden B i Boole-kombináció komponense vagy negáltja, elemi diszjunkciónak nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
86 A kijelentéslogika nyelve Definition A B 1 B k alakú formulát, ahol minden B i Boole-kombináció komponense vagy negáltja, elemi konjunkciónak nevezzük. Definition A B 1 B k alakú formulát, ahol minden B i Boole-kombináció komponense vagy negáltja, elemi diszjunkciónak nevezzük. Definition A diszjunktív normál forma (d.nf.) D 1 D n alakú formula, ahol minden D l (l = 1,..., n) elemi konjunkció. Definition A konjunktív normál forma (k.nf.) D 1 D m alakú formula, ahol minden D s (l = 1,..., m) elemi diszjunkció. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
87 A kijelentéslogika nyelve Theorem Minden Boole-kombináció a komponenseiből képzett d.nf-ra és k.nf.-ra hozható. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
88 A kijelentéslogika nyelve Theorem Minden Boole-kombináció a komponenseiből képzett d.nf-ra és k.nf.-ra hozható. megszabadulunk a bikondicionális, kondicionális jelektől kétszeres tagadás, de-morgan törvények - tagadás csak a komponenseken disztributivitás Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
89 Példa A kijelentéslogika nyelve Irjuk át d.nf és k.nf-ra az alábbi formulákat! (P Q) ( P R) (P (Q R)) ((P Q) R) (R P) ( (Q R) P) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
90 A tiszta predikátumlogika nyelve Mire szolgál? Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
91 A tiszta predikátumlogika nyelve Mire szolgál? A formulák kvantoros struktúrájána tanulmányozására. Ebben a nyelvben feltárul az állítások finomszerkezete. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
92 A tiszta predikátumlogika nyelve Logikai törvények Jelölés: A(x) - az x változó felléphet A-beli paraméterként. Fiktív kvantorok esete 1 xa A xa Egynemű kvantorok cseréje 2 x ya(x, y) y xa(x, y) x ya(x, y) y xa(x, y) Kvantorcsere kondicionálisban 3 xa(x) xa(x) y xa(x, y) x ya(x, y) de Morgan-féle kvantoros törvény 4 xa(x) x A(x), xa(x) x A(x) Kvantorok egyoldali kiemelése 5 A xb(x) x(a B(x)) A xb(x) x(a B(x)) A xb(x) x(a B(x)) A xb(x) x(a B(x)) A xb(x) x(a B(x)) A xb(x) x(a B(x)) xb(x) A x(b(x) A) xb(x) A x(b(x) A) Kvantorok kétoldali kiemelése 6 xa(x) xb(x) x(a(x) B(x)) xa(x) xb(x) x(a(x) B(x)) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
93 Alkalmazás A tiszta predikátumlogika nyelve Definition Az Ω nyelv Q 1 x 1... Q n x n A alakú formuláját prenex formulának nevezzük, ha Q 1... Q n kvantorok és A kvantormentes formula. A kvantormentes formula is prenex formula. Valamely A formula prenex alakjának nevezünk minden olyan B prenex formulát, melyre A B Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
94 Alkalmazás A tiszta predikátumlogika nyelve Definition Az Ω nyelv Q 1 x 1... Q n x n A alakú formuláját prenex formulának nevezzük, ha Q 1... Q n kvantorok és A kvantormentes formula. A kvantormentes formula is prenex formula. Valamely A formula prenex alakjának nevezünk minden olyan B prenex formulát, melyre A B Theorem Minden formula prenex alakra hozható. Megadjuk a változók tisztaságának eleget tevő C formulát, melyre A C. Egyoldali kvantorkiemelés törvényeit alkalmazzuk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
95 Példa A tiszta predikátumlogika nyelve x yp(x, y) x(q(x) yp(x, y)) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
96 Példa A tiszta predikátumlogika nyelve x yp(x, y) x(q(x) yp(x, y)) x yp(x, y) u(q(u) vp(u, v)) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
97 Példa A tiszta predikátumlogika nyelve x yp(x, y) x(q(x) yp(x, y)) x yp(x, y) u(q(u) vp(u, v)) x y P(x, y) u(q(u) v P(u, v)) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
98 Példa A tiszta predikátumlogika nyelve x yp(x, y) x(q(x) yp(x, y)) x yp(x, y) u(q(u) vp(u, v)) x y P(x, y) u(q(u) v P(u, v)) x y P(x, y) u v(q(u) P(u, v)) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
99 Példa A tiszta predikátumlogika nyelve x yp(x, y) x(q(x) yp(x, y)) x yp(x, y) u(q(u) vp(u, v)) x y P(x, y) u(q(u) v P(u, v)) x y P(x, y) u v(q(u) P(u, v)) x y u v( P(x, y) (Q(u) P(u, v))) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
100 Megjegyzés A tiszta predikátumlogika nyelve A kapott prnex formula kvantormentes részében a logikai összekötőjelek sorrendje megegyezik az eredeti formulában levő sorrenddel. A prenex alak kvantoros előtagja függ az átalakítás módjától. A kijelentéslogika törvényei a predikátumlogikában is alkalmazhatók. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
101 Kijelentés és predikátumlogikai feladatok Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
102 Logikai következmény Definition Jelölje Γ az Ω nyelv véges sok formulájának halmazát, A pedig az Ω nyelv egy formuláját. A logikai következménye (szemantikai következmény) a Γ-beli formuláknak (Γ = A), haazω nyelv minden M interpretációja, valamint az A és Γ-beli formulák minden olyan értékelése esetén, amikor a Γ-beli formulák mindegyike igaz M-ben, A is igaz M-ben. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
103 Logikai következmény Definition Jelölje Γ az Ω nyelv véges sok formulájának halmazát, A pedig az Ω nyelv egy formuláját. A logikai következménye (szemantikai következmény) a Γ-beli formuláknak (Γ = A), haazω nyelv minden M interpretációja, valamint az A és Γ-beli formulák minden olyan értékelése esetén, amikor a Γ-beli formulák mindegyike igaz M-ben, A is igaz M-ben. A Γ-ban és A-ban fellépő paraméterek azonos értékkel helyettesítendők! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
104 Logikai következmény Definition Jelölje Γ az Ω nyelv véges sok formulájának halmazát, A pedig az Ω nyelv egy formuláját. A logikai következménye (szemantikai következmény) a Γ-beli formuláknak (Γ = A), haazω nyelv minden M interpretációja, valamint az A és Γ-beli formulák minden olyan értékelése esetén, amikor a Γ-beli formulák mindegyike igaz M-ben, A is igaz M-ben. A Γ-ban és A-ban fellépő paraméterek azonos értékkel helyettesítendők! Ha Γ a B 1... B n formulákból áll, akkor ezeket premisszáknak (feltételek), az A-t konklúziónak (zárótétel) nevezzük. Következtetési séma: a premisszák és konklúziók alábbi formációi B 1 B 2. B n A B 1,..., B n A Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
105 Logikai következmény Theorem Egy A formula akkor és csak akkor logikai következménye a B 1,..., B n formuláknak, ha a (B 1 B n ) A formula logikai törvény. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
106 Logikai következmény Theorem Egy A formula akkor és csak akkor logikai következménye a B 1,..., B n formuláknak, ha a (B 1 B n ) A formula logikai törvény. Következmény: 1. Több premissza helyett használható ezek konjunkciója. 2. Egy következtetés helyes, ha nincs olyan értékelés, amelyre a preisszák igazak, a konklúzió pedig hamis. 3. Szöveges következtetés vizsgálatához először formalizáljuk egy megfelelő nyelvben. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
107 Logikai következmény Következtetés helyessége P D P D Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
108 Logikai következmény Következtetés helyessége P D P D 1. Értéktáblázat P D P D P Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
109 Logikai következmény Következtetés helyessége 2. Megmutatjuk, hogy nem létezik olyan interpretáció, hogy a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis. Tegyük fel ennek az ellenkezőjét. ellentmondás P D P 1 0 D 0 0 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
110 Logikai következmény Következtetés helyessége 2. Megmutatjuk, hogy nem létezik olyan interpretáció, hogy a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis. Tegyük fel ennek az ellenkezőjét. ellentmondás 3. Tétel alapján P D P 1 0 D 0 0 = ((P D) P) D Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
111 Logikai következmény Következtetés helyessége 2. Megmutatjuk, hogy nem létezik olyan interpretáció, hogy a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis. Tegyük fel ennek az ellenkezőjét. ellentmondás 3. Tétel alapján P D P 1 0 D 0 0 = ((P D) P) D ((P D) P) D ((P D) P) D (P D) P D (P D) (P D) 1 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
112 Feladatok Logikai következmény Helyesek-e az alábbi következtetési sémák? (P Q) R P R (P Q) R Q (P Q) (Q V ) (S U) V U P R (P Q) (R S) P R (Q P) S R Q S P (R S) (P Q) R (P S) Q S P Q S Q R Q (S R) Q (R S) (P Q) R (P S) Q S Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
113 Logikai következmény Nevezetes következtetési sémák. 1. Modus ponens: 2. Indirekt sémák: P Q P Q P Q P Q P Q P Q P P Q Q P P Q P Q P Q P Q P P Q Q P Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
114 Logikai következmény 3. Kontrapozíció: P Q Q P 4. Láncszabály: P Q Q R P R 5. Diszjunktív szillogizmus: P Q P Q Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
115 Predikátumkalkulus Szemantika vizsgálata nem feltétlen szükséges. Bármely logikai törvény levezethető formális úton, kiinduló formulákból, levezetési szabályok segítségével. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
116 Predikátumkalkulus Szemantika vizsgálata nem feltétlen szükséges. Bármely logikai törvény levezethető formális úton, kiinduló formulákból, levezetési szabályok segítségével. Logikai kalkulus: szintaktikailag felépített logikai rendszer. kijelentéskalkulus: szintaktikailag felépített kijelentéslogika predikátumkalkulus: szintaktikailag felépített predikátumlogika Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
117 Predikátumkalkulus Szemantika vizsgálata nem feltétlen szükséges. Bármely logikai törvény levezethető formális úton, kiinduló formulákból, levezetési szabályok segítségével. Logikai kalkulus: szintaktikailag felépített logikai rendszer. kijelentéskalkulus: szintaktikailag felépített kijelentéslogika predikátumkalkulus: szintaktikailag felépített predikátumlogika kalkulus: szabályai pontosak, de a kalkuluson belül nincs magyarázat hozzájuk. (mint a sakkban) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
118 Predikátumkalkulus A predikátumkalkulus axiómái. 1. A (B A) 2. (A (B C)) ((A B) (A C)) 3. A (B (A B)) 4. (A B) A 5. (A B) B 6. (A C) ((B C) ((A B) C)) 7. A (A B) 8. B (A B) 9. (A B) ((A B) A) 10. A A 11. xa A(x t) 12. x(c A(x)) (C xa(x)) : x nem paraméter C-ben. 13. A(x t) xa 14. x(a(x) C) ( xa(x) C) : x nem paraméter C-ben. A fenti sorok axiómasémák. Mindegyikből végtelen sok axióma nyerhető. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
119 Predikátumkalkulus A predikátumkalkulus levezetési szabályai. modus ponens: A, A B B az általánosítás szabálya A xa Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
120 Predikátumkalkulus A predikátumkalkulus levezetési szabályai. modus ponens: A, A B B az általánosítás szabálya Definition A xa Legyen Γ formulák véges rendszere (B 1,..., B m ), A pedig egy formula. Azt mondjuk, hogy a Γ-beli formulákból A levezethető (Γ A) a predikátumkalkulusban, ha létezik olyan D 1,..., D n véges formulasorozat, ahol A = D n és a D 1,..., D n 1 sorozat tagjai vagy a predikátumkalkulus axiómái, vagy a megelőző tagokból adódnak a levezetési szabályok alkalmazásával, vagy Γ-beli formulák. A D 1,..., D n 1 sorozat azon tagját, mely Γ-beli elem, és nem valamely következtetési szabály alkalmazásával került a sorozatba, nyílt premisszának, vagy hipotézisnek nevezzük. Ha a xc formulát a C-ből nyertük általánosítás során, akkor x nem lehet paraméter egyik olyan hipotézisben sem, ami megelőzi C tekintett előfordulását. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
121 Predikátumkalkulus Levezetésfa: x(p Q(x)) x(p Q(x)) (P xq(x)) P xq(x) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
122 Predikátumkalkulus Levezetésfa: x(p Q(x)) x(p Q(x)) (P xq(x)) P xq(x) Definition 1. Ha az A formulának a Γ-ból való levezetése során vannak olyan Γ-beli elemek, melyek nem lépnek fel a levezetés során hipotézisként, akkor azt mondjuk, hogy az A formula ezen levezetése nem függ az említett formuláktól. 2. Ha Γ üres, akkor ez azt jelenti, hogy létezik A-nak hipotézismentes levezetése. Jele: A. A a predikátumkalkulus levezethető formulája, logikai tétel. 3. A Γ A alakzatot szekvenciának nevezzük. A Γ A szekvencia megalapozása alatt olyan levezetés megkonstruálását értjük, amelyben A alsó formula és minden hipotézis Γ-beli formula. 4. A A Γ A a nem levezethetőség jele. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
123 Predikátumkalkulus Levezethetőség - logikai következmény Ha Γ A, akkor Γ A is teljesül, akkor a kalkulus helyes a szemantikus rendszerre nézve. Ha Γ A, akkor Γ A is teljesül, akkor a kalkulus teljes a szemantikus rendszerre nézve. Ha helyes és teljes, akkor adekvát. A predikátumkalkulus helyes és teljes. (Gödel-féle teljességi tétel.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/ / 58
Logikai alapok a programozáshoz
Logikai alapok a programozáshoz Nagy Károly 2014 Nyíregyházi Főiskola Matematika és Informatika Intézet 1 Tartalomjegyzék 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 2 2. A kijelentés logika törvényei 5 3. Logikai
RészletesebbenLogikai alapok a programozáshoz. Nagy Károly 2014
Logikai alapok a programozáshoz előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről
RészletesebbenMatematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
RészletesebbenAz informatika logikai alapjai
Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. A logikai ekvivalencia Az A és a B elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek, ha
RészletesebbenMatematikai logika. Nagy Károly 2009
Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26
1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Negyedik előadás Tartalom 2/26 Az elsőrendű logika szemantikája Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Elsőrendű logikai nyelv interpretációja
Részletesebben3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő.
1. Bevezetés A logika a görög,,logosz szóból származik, melynek jelentése gondolkodás, beszéd, szó. A logika az emberi gondolkodás vizsgálatával foglalkozik, célja pedig a gondolkodás során használt helyes
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33
1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Hatodik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű rezolúciós kalkulus - előkészítő fogalmak Prenex formula, Skolem normálforma 3/33 Eldönthető formulaosztályok keresése
RészletesebbenPredikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák.
Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Nézzük meg a következ két kijelentést: Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett. Bármely
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33
1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Harmadik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű logika bevezetés Az elsőrendű logika szintaxisa 3/33 Nulladrendű állítás Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az álĺıtások
RészletesebbenElsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1
Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája Logika és számításelmélet, 3. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Az elsőrendű logika Elemek egy
RészletesebbenA logikai következmény
Logika 3 A logikai következmény A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces 1.Feltétel 2.Feltétel
RészletesebbenÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)
ÍTÉLETKALKULUS SZINTAXIS ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA) jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek: ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r,... ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. A halmazelmélet és a matematikai logika kialakulása, fejlődése... 5
Tartalomjegyzék Előszó.......................................................... 4 1. A halmazelmélet és a matematikai logika kialakulása, fejlődése...... 5 2. Bevezetés a különböző matematikai logikai
RészletesebbenA matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
RészletesebbenA matematika alapjai. Nagy Károly 2014
A matematika alapjai előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36
1/36 Logika és számításelmélet I. rész Logika 2/36 Elérhetőségek Tejfel Máté Déli épület, 2.606 matej@inf.elte.hu http://matej.web.elte.hu Tankönyv 3/36 Tartalom 4/36 Bevezető fogalmak Ítéletlogika Ítéletlogika
RészletesebbenAz informatika logikai alapjai
Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Az elsőrendű logikai nyelv interpretációja L interpretációja egy I-vel jelölt függvénynégyes,
RészletesebbenMatematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA
Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA Kijelentő mondatokhoz, melyeket nagy betűkkel jelölünk, interpretáció (egy függvény) segítségével igazságértéket rendelünk (I,H). Szintaxisból (nyelvtani szabályok,
RészletesebbenÍtéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus
Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,
RészletesebbenPredikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést.
Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést. Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett.
RészletesebbenMagyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László
MATEMATIKAI LOGIKA A gondolkodás tudománya Diszkrét matematika Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey,
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
RészletesebbenLOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László.
MATEMATIKAI A gondolkodás tudománya Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey, Tarski, Ramsey, Russel,
RészletesebbenA matematika nyelvéről bevezetés
A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések
RészletesebbenAZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI
AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 4. gyakorlat Interpretáció A ϱ függvényt az L (0) = LC, Con, Form nulladrendű nyelv egy
Részletesebben1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei
1. A matematikai logika alapfogalmai Megjegyzések: a) A logikában az állítás (kijelentés), valamint annak igaz vagy hamis voltát alapfogalomnak tekintjük, nem definiáljuk. b) Minden állítással kapcsolatban
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája?
,,Alap kiskérdések Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések 2012. február 19. 1. Hogy hívjuk a 0 aritású függvényjeleket? 2. Definiálja a termek halmazát. 3. Definiálja a formulák halmazát. 4. Definiálja,
RészletesebbenKijelentéslogika, ítéletkalkulus
Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Arisztotelész (ie 4. sz) Leibniz (1646-1716) oole (1815-1864) Gödel (1906-1978) Neumann János (1903-1957) Kalmár László (1905-1976) Péter Rózsa (1905-1977) Kijelentés,
RészletesebbenÍtéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus
Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,
RészletesebbenAz informatika logikai alapjai
Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Példák Az alábbi világokban állításokat akarunk megfogalmazni: A táblára színes karikákat
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 6. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika
Logika Indukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor a konkrét tapasztalatokra támaszkodva jutunk el az általános fogalomhoz, indukciónak nevezzük. Dedukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor
RészletesebbenAz informatika logikai alapjai
Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Formulahalmaz kielégíthetősége Ezen az előadáson Γ-val egy elsőrendű logikai nyelv
RészletesebbenLogikai ágensek. Mesterséges intelligencia március 21.
Logikai ágensek Mesterséges intelligencia 2014. március 21. Bevezetés Eddigi példák tudásra: állapotok halmaza, lehetséges operátorok, ezek költségei, heurisztikák Feltételezés: a világ (lehetséges állapotok
Részletesebben1. Az elsőrendű logika szintaxisa
1. Az elsőrendű logika szintaxisa 6.1 Alapelemek Nyelv=abc + szintaxis + szemantika. 6.1.1 Abc Logikai rész:,,,,,, Indivídum változók (X, Y, ) Elválasztó jelek ( ( ) ) (ítélet változók) Logikán kívüli
Részletesebben1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
RészletesebbenKijelentéslogika, ítéletkalkulus
Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentés, ítélet: olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis Logikai értékek: igaz, hamis zürke I: 52-53, 61-62, 88, 95 Logikai műveletek
RészletesebbenMatematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1
3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció
RészletesebbenLOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió
LOGIKA hétköznapi jelentése: a rendszeresség, következetesség szinonimája Ez logikus beszéd volt. Nincs benne logika. Más logika szerint gondolkodik. tudományszak elnevezése, melynek fő feladata a helyes
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika
Logika Indukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor a konkrét tapasztalatokra támaszkodva jutunk el az általános fogalomhoz, indukciónak nevezzük. Dedukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenAutomatikus tételbizonyítás
Automatikus tételbizonyítás előadások Várterz Magda Kádek Tamás Automatikus tételbizonyítás: előadások Várterz Magda Kádek Tamás Table of Contents 1 Előszó 1 2 Bevezet 2 1 Az elsőrendű nyelv szintaxisa
RészletesebbenElsőrendű logika. Mesterséges intelligencia március 28.
Elsőrendű logika Mesterséges intelligencia 2014. március 28. Bevezetés Ítéletkalkulus: deklaratív nyelv (mondatok és lehetséges világok közti igazságrelációk) Részinformációkat is kezel (diszjunkció, negáció)
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika M asodik el oad as 1/26
1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Második előadás Tartalom 2/26 Ítéletlogika - Szemantika (folytatás) Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Szemantikus következményfogalom Formalizálás
RészletesebbenLOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA
LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 3. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa
RészletesebbenLogika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László
Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,
RészletesebbenLogika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László
Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,
RészletesebbenAz informatika logikai alapjai előadások
VÁRTERÉSZ MAGDA Az informatika logikai alapjai előadások 2006/07-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Az ítéletlogika 18 2.1. Az ítéletlogika nyelve szintaxis...............................................
RészletesebbenLOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió
LOGIKA hétköznapi jelentése: a rendszeresség, következetesség szinonimája Ez logikus beszéd volt. Nincs benne logika. Más logika szerint gondolkodik. tudományszak elnevezése, melynek fő feladata a helyes
Részletesebben1. Tétel - Az ítéletkalkulus alapfogalmai
A tételhez hozzátartozik az elsőrendű nyelv szemantikája! 1. Tétel - Az ítéletkalkulus alapfogalmai Ítéletkalkulus - Az elsőrendű logika azon speciális este, amikor csak 0 ad rendű predikátumszimbólumok
RészletesebbenA matematikai logika alapjai
A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya
RészletesebbenIntelligens Rendszerek I. Tudásábrázolás formális logikával
Intelligens Rendszerek I. Tudásábrázolás formális logikával 2007/2008. tanév, I. félév Dr. Kovács Szilveszter E-mail: szkovacs@iit.uni-miskolc.hu Miskolci Egyetem Informatikai Intézet 106. sz. szoba Tel:
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai. Wednesday 17 th February, 2016, 09:03
Logika és informatikai alkalmazásai Wednesday 17 th February, 2016, 09:03 A logika rövid története 2 A logika rövid története Ókor Triviális: A trivium szóból származik trivium (tri+via = három út): nyelvtan,
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben2. Ítéletkalkulus szintaxisa
2. Ítéletkalkulus szintaxisa (4.1) 2.1 Az ítéletlogika abc-je: V 0 V 0 A következő szimbólumokat tartalmazza: ítélet- vagy állításváltozók (az állítások szimbolizálására). Esetenként logikai változónak
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
RészletesebbenMATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR
MATEMATIK A 9. évfolyam 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenDiszkrét matematika MATEMATIKAI LOGIKA
NULLADRENDŰ LOGIKA (ÍTÉLETKALKULUS) A logikát, mint a filozófia egy részét, már az ókori a görög tudósok is igen magas szinten művelték, pl. Platón (Kr. e. 427- Kr. e. 347), Arisztotelész (Kr.e. 384- Kr.
RészletesebbenMemo: Az alábbi, "természetes", Gentzen típusú dedukciós rendszer szerint készítjük el a levezetéseket.
Untitled 2 1 Theorema Predikátumlogika 1 3 Natural Deduction (Gentzen mag/alap kalkulus) Cél: a logikai (szematikai) következményfogalom helyett a (szintaktikai) levethetõség vizsgálata. A bizonyítási
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenAlapfogalmak-szemantika
Volt (a helyes következtetéseknél): ELSŐRENDŰ LOGIKA Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces. Feltétel1 Feltétel2 Következmény Érezzük, hogy a leírt következtetés helyes. Azonban
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 1. levelezős gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének
RészletesebbenA logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le "Analitika" című művében, Kr.e. IV. században.
LOGIKA A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezdődött. Maga a logika szó is görög eredetű, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Már az első tudósok, filozófusok, és politikusok
RészletesebbenLOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA
LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 1. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa
Részletesebben1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a
1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pragmatikai és logikai alapok. Első rész A könyv célja, használata 1.2 Elméleti keretek: pragmatika és logika
Tartalomjegyzék ELSŐ FEJEZET Bevezetés 1.1. A könyv célja, használata 1.2 Elméleti keretek: pragmatika és logika 15 15 17 Első rész Pragmatikai és logikai alapok MÁSODIK FEJEZET A vita 2.1 A vita: megközelítési
RészletesebbenFormális szemantika. Kifejezések szemantikája. Horpácsi Dániel ELTE Informatikai Kar
Formális szemantika Kifejezések szemantikája Horpácsi Dániel ELTE Informatikai Kar 2016-2017-2 Az előadás témája Egyszerű kifejezések formális szemantikája Az első lépés a programozási nyelvek szemantikájának
RészletesebbenBizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK
Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK Év eleji feladatok Szükséges eszközök: A4-es négyzetrácsos füzet Letölthető tananyag: Emelt szintű matematika érettségi témakörök (2016) Forrás: www.mozaik.info.hu
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenA TANTÁRGY ADATLAPJA
A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeş-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület
RészletesebbenMegoldások. 2001. augusztus 8.
Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt
RészletesebbenLogikai alapok a programozáshoz
Logikai alapok a programozáshoz Kidolgozott tételek Készítette: Chripkó Ágnes Felhasznált anyagok: előadásvázlat; gyakorlatok anyaga; Pásztorné Varga K., Várterész M.: A matematikai logika alkalmazásszemléletű
RészletesebbenAz informatika logikai alapjai 1
Az informatika logikai alapjai 1 1.1. Az alábbi idézetek 1 közül melyek fejeznek ki állítást? Miért, illetve miért nem? (a) Ez volt ám az ember, ha kellett, a gáton. (b) Szép öcsém, miért állsz ott a nap
RészletesebbenFelmentések. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21
Felmentések Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21 Felmentések Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat
RészletesebbenLevezetések klasszikus nulladrendű logikai kalkulusban
Levezetések klasszikus nulladrendű logikai kalkulusban Molnár Attila 2008. november 21. Ebben az óravázlatban a nulladrendű logikai kalkulusbeli tételek levezetéséről esik majd szó. Következzen egy gyors
RészletesebbenFelmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól.
Felmentések Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Az eredménye, ezek után a számításelélet részből elért eredmény
RészletesebbenHalmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
RészletesebbenKnoch László: Információelmélet LOGIKA
Mi az ítélet? Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis. Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük. Jelölése: i igaz h hamis A 2 páros és prím. Logikai értéke
RészletesebbenAz informatika logikai alapjai
Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. A logika szó hétköznapi jelentése: rendszeresség, következetesség Ez logikus beszéd
RészletesebbenHalmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
RészletesebbenÖsszefüggések. kondicionális jelentése
Összefüggések kondicionális jelentése p q ~pvq Ha esik az eső, vizes az út. p q Ha nem vizes az út, nem esik az eső. ~q ~p Ha esik az eső, vizes az út. p q Ha nem vizes az út, nem esik az eső. ~q ~p Kontrapozíció
RészletesebbenMatematikai logika. Jegyzet. Összeállította: Faludi Anita 2011.
Matematikai logika Jegyzet Összeállította: Faludi Anita 2011. Tartalomjegyzék Bevezetés... 3 Előzmények... 3 Augustus de Morgan (1806-1871)... 3 George Boole(1815-1864)... 3 Claude Elwood Shannon(1916-2001)...
Részletesebben1. Logikailag ekvivalens
Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 4. gyakorlat 1. Logikailag ekvivalens 1. Az alábbi formulák közül melyek logikailag ekvivalensek a ( p p) formulával? A. ((q p) q) B. (q q) C. ( p q) D.
RészletesebbenÉsik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport) Logika a számtastudományban Logika és informatikai alkalmazásai Varterész Magdolna, Uni-Deb
Logika, 5. Az előadásfóliák ÉsikZoltén (SZTE InformatikaiTanszékcsoport) Logikaa szamtastudomanyban Logikaes informatikaialkalmazasai Előadásai alapján készültek Ésik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport)
RészletesebbenDr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin
Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad
Részletesebben