Tartalomjegyzék. 1. A halmazelmélet és a matematikai logika kialakulása, fejlődése... 5

Átírás

1 Tartalomjegyzék Előszó A halmazelmélet és a matematikai logika kialakulása, fejlődése Bevezetés a különböző matematikai logikai nyelvek elméletébe Az elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak A nyelv szemantikája, igazságértékelés Logikai törvények, Boole-kombinációk, a kijelentéslogika nyelve A tiszta predikátumlogika nyelve, a logikai törvények alkalmazása Logikai következmény Predikátumkalkulus, a természetes levezetés technikája Formális axiomatikus elméletek A naiv halmazelmélet nyelve, antinómiák a naiv halmazelméletben A Zermelo Fraenkel-féle axiomatikus elmélet Relációk és függvények, a természetes számok Rendszámok, számosságok A bizonyításelmélet fő problémái Irodalom Jelölések

2 4

3 Előszó Ez az összeállítás a harmadéves matematika szakos hallgatók számára előírt Halmazelmélet, matematikai logika című tárgy előadásainak anyagát tartalmazza. A főiskolán a matematika szakosok nem hallgatnak ún. filozófiai logikát, ezért röviden foglalkozunk a hagyományos logika néhány témakörével is. Felépítésünk alapvetően igazodik a Kossuth Lajos Tudományegyetemen oktatott Matematikai logika, illetve Halmazelmélet című tárgyak tematikájához, de a főiskolai viszonyokhoz, igényekhez igazítva. Részletesebben tárgyaljuk a kijelentés- és predikátumlogikát, alkalmazásaikat; az alaposabb elsajátításhoz szükséges lenne minél több feladat megoldása. Gyakorlati óra hiányában erre csak egyéni munka keretében van lehetőség, ehhez a megoldott mintapéldák, a gyakorlat címszó alatti kidolgozott feladatok adnak segítséget. (Feladatok találhatók az irodalomjegyzékben felsorolt könyvekben.) Terjedelmi okok miatt ez az anyag nem adja az egyes témakörök precíz kidolgozását. Sok esetben nem pontos, hanem szemléletes meghatározást közlünk, de a definíció szó után minden esetben precíz megfogalmazás következik, így jól elkülöníthető a pongyola és a szabatos rész. A tételek nagy részét nem bizonyítjuk, néhány esetben pedig csak a bizonyítás vázlatát közöljük. 5

4 6

5 1. A halmazelmélet és a matematikai logika kialakulása, fejlődése Nem célunk a két tudományág történetének részletes bemutatása, de néhány alapvető összefüggés megvilágításához szükséges a történeti háttér ismerete Halmazelmélet Fiatal tudományág, létrejötte a XIX. század második felére tehető, ami nem véletlen, hiszen a halmazok vizsgálatához nagyfokú absztrakció szükséges. Ekkorra értek el a matematikai kutatások olyan szintet, hogy az ilyen absztrakció szükségessé és lehetővé vált. Az előzmények közül a következő három a legfontosabb. 1. A matematikusok figyelme a halmazok elemeiről a halmazokra irányult. Olyan problémák vezettek ide, melyeket bizonyos halmazokra anélkül sikerült megoldani, hogy azokat az egyes halmazelemekre vonatkoztatták volna (pl. biztosítási matematika, kinetikus gázelmélet). 2. A kritikai szellem fejlődése, ami azt jelentette, hogy részletesen elemezték a korábban magától értetődőnek és ezért általános érvényűnek tekintett megállapításokat. (Ennek nagy szerepe volt a matematikai logika fejlődésében is.) 3. A legdöntőbb momentum az volt, amikor a végtelen sorok vizsgálata közben felismerték, hogy a véges halmazok tulajdonságaival nem rendelkeznek törvényszerűen a végtelen halmazok is. A ma naiv halmazelméletnek nevezett rendszer megalkotója Georg Cantor ( ) volt, akitől a halmaz fogalmának az alábbi körülírása származik:,,a halmaz meghatározott, különböző, képzeletünkben vagy gondolatainkban fölfogott dolgok összessége; a kérdéses dolgok a halmaz elemei. (A továbbiakban az alapvető halmazelméleti fogalmakat részhalmaz, halmazok egyenlősége, műveletek, számosság stb. ismertnek tételezzük fel, hiszen az analízis tárgyalásakor ezeket az olvasó megismerte ([9]). Részletes tárgyalásukra a 10. fejezetben kerül sor.) Cantor vetette fel a halmazelmélet egyik alapvető problémáját, az ún. kontinuumhipotézist, amely szerint nem létezik olyan halmaz, amelynek számossága a megszámlálhatóan végtelen halmazok számosságánál nagyobb, de a kontinuumszámosságnál kisebb. 7

6 A végtelen halmazok elméletének kezdettől fogva voltak bírálói, de addig szilárd elmélet volt, míg logikai ellentmondásokat nem fedeztek fel benne. Egyike ezeknek a Russell-féle antinómia, melynek népszerű változata a következő (pontos megfogalmazása a 10. fejezetben). A falu borbélyának a definíciója a következő: A falu borbélya az a férfi a faluban, aki azokat és csak azokat a férfiakat borotválja meg a faluban, akik nem maguk borotválkoznak. Kérdés: Borotválkozik-e a borbély? A többi (amelyeket később ismertetünk) antinómia fellépése is jelezte, hogy mennyire súlyos a probléma. Alátámasztotta ezt a matematikai logika azon tétele, hogy ha egy struktúrában egy tétel és tagadása is bizonyítható, akkor bármely benne megfogalmazható tétel és tagadása is igazolható. Mivel a halmazelmélet alkalmazását már a matematika majdnem minden ágában elkezdték, így alapvető fontosságú volt az ellentmondások kiküszöbölése. A megoldási módok alapján három fő irányzat különíthető el: 1. Logicizmus: Bertrand Russell a legjelentősebb képviselője, aki szerint a matematika a logika része. Hasonlóan vélekedett Gottlob Frege, a modern logika egyik megalkotója is:,,... az aritmetika csupán továbbfejlesztett logika, s minden aritmetikai tétel logikai törvény noha leszármaztatott... ([3]) 103. old. Ezen irányzat képviselői szerint az ellentmondások forrása az, hogy az antinómiákban szereplő fogalmak definiálásakor felhasználjuk magát azt a fogalmat is, amit definiálni akarunk, azaz valamely definícióban felhasználunk egy olyan halmazt, aminek a definiálandó dolog is eleme. Így a megoldás az ilyen definíciók eltiltása lenne, ami sok nehézséggel járna, hiszen számos ilyen jellegű, egyébként jól használható definíciója van a matematikának. (Pl. két egész szám legnagyobb közös osztója a két szám közös osztói halmazának azon eleme, amely e halmaz bármely elemével osztható stb.) 2. Intuicionizmus: L. E. J. Brouwer, H. Weyl és H. Poincaré voltak ezen irányzat legnevesebb képviselői. Szerintük az ismeretszerzés módja nem a tapasztalat vagy a logika, hanem valami megmagyarázhatatlan, velünk született ősintuició. Ebből a filozófiai álláspontból következik az, hogy a matematika feladata a logikától és a tapasztalattól független, intuitív konstrukciós tevékenység. Az antinómiák oka így abban rejlik, hogy a matematikusok vizsgálataikat kiterjesztették az intuitíve nem konstruálható végtelen halmazokra is. Elismerik a potenciálisan végtelen létezését, azaz a valós számok összességét nem mint halmazt engedik meg, hanem mint a szabad keletkezés közegét; a valós számok soha sincsenek készen, mindig keletkezőben vannak. Megjegyzés. Már Arisztotelész használta a kétféle végtelen megkülönböztetését. Az, amelyiket potenciálisan végtelennek nevez, nem 8

7 más, mint valamilyen folyamat korlátlan továbbfolytatásának a lehetősége. Ennek a legegyszerűbb matematikai megjelenése a természetes számok sorozatának végtelensége. Kiindulva abból, hogy bármely konkrétan megadott természetes számnál, egy hozzáadásával, tudunk eggyel nagyobb természetes számot képezni, kimondjuk, hogy bármely természetes számnál van nagyobb természetes szám. Ez utóbbi állítás tulajdonképpen azt jelenti, hogy a természetes számok sorozata végtelen, s itt a végtelen egészen pontosan meghatározott értelemben szerepel. A matematikában nagyobb szerepe van a másik, az aktuálisan végtelen fogalmának. Az ilyen halmaz készen, befejezetten tartalmaz végtelen sok elemet, már sem elvenni, sem hozzátenni nem lehet anélkül, hogy a halmaz meg ne változna. Az intuicionista álláspont az aktuálisan végtelen fogalmát nem ismeri el, s eszerint az ellentmondások megszüntetését az ilyen matematikai fogalmak kiiktatása jelenti. Ez a megoldás a matematika egyes területeinek megcsonkítását eredményezné. Az irányzat követői kidolgozták az úgynevezett intuicionista logikát, melyből hiányzik a harmadik kizárásának elve. (A hagyományos logikának még Arisztotelesztől származó ezen törvénye szerint egy állítás ha nem igaz, akkor hamis, harmadik lehetőség nincs.) Az antinómiák lényege szerintük abban keresendő, hogy a kizárt harmadik logikai elvét végtelen halmazokra is alkalmazták. Az intuicionista felfogás szerint valamely dolog létezését csak akkor fogadhatjuk el tényként, ha azt meg is tudjuk konstruálni. Így hívei nem ismerik el az ún. egzisztencia tételeket, melyek bizonyítása során valamilyen matematikai objektum létezését bizonyítjuk, de az előállítása nem történik meg. Az intuicionista álláspont alapján fölépített matematikában nem lépnek ugyan föl az antinómiák hiszen a bennük szereplő kritikus halmazok nem konstruálhatók, viszont kénytelenek lemondani a hagyományos matematika nagy területeiről. 3. Formalizmus: nem célunk ezen irányzat részletesebb elemzése, számunkra D. Hilbert programja az alapvető fontosságú. Álláspontjának lényege az, hogy mivel a halmazelmélet addigi formájában bármikor bővíthető új fogalmakkal, (bármi lehet halmaz) valószínű, hogy az ellentmondások oka ez a kötetlenség. Megoldás az elmélet szabatos felépítése, az axiomatikus módszer. A halmazelméletet és az egész matematikát jó axiómarendszerekkel kell megalapozni, és akkor az ellentmondások nem jelentkeznek. Az első halmazelméleti axiómarendszert E. Zermelo dolgozta ki, melyet később A. Fraenkel egészített ki. Mivel az ilyen felépítésben axiómák 9

8 rögzítik, hogy mi lehet halmaz, s a halmazok összességét nem eleve adott halmaznak, hanem folyton bővülő összességnek tekintik, a naiv halmazelmélet összes eredménye megkapható, s az eddig ismert antinómiák nem lépnek föl. Az ellentmondások kiküszöbölésének ezen, máig is a leghatékonyabb módjáról, az ezekkel kapcsolatos problémákról, a legújabb kutatási területekről az utolsó négy fejezetben lesz szó. A halmazelméleti kutatások, a halmazelmélet jelentőségét hangsúlyozza az az alapvető fontosságú szerep, amit ez az elmélet a matematika egészében játszik, hiszen a matematika minden ágának modellje elkészíthető benne Matematikai logika Az axiomatikus módszer nagy hatással volt a matematikai logika fejlődésére, de a logika egyes eredményei is befolyásolták az axiómarendszerek alkalmazását. Mi a logika? Leggyakrabban filozófiai logikát értenek alatta, ami röviden megfogalmazva a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány. Egyik ága a formális logika, melynek alapjai már Arisztotelész (i. e. 300 körül) Organon című munkájában megjelentek. A logikai törvények általánosságának kifejezésére betűparamétereket használt. Az alábbi következtetés szerkezetének leírása betűk használatával a következő volt: Minden négyzet rombusz Minden S M Minden rombusz deltoid Minden M P Minden négyzet deltoid Minden S P Kidolgozta a szillogizmusok elméletét, melyről részletesebben a 6. fejezetben lesz szó. Nevéhez fűződik két törvény, a már említett harmadik kizárásának elve és az ellentmondásmentesség törvénye, amely szerint egy állítás nem lehet egyszerre igaz is és hamis is. Az ezeket a törvényeket elfogadó logikát kétértékű, (alternáló) logikának nevezik. (Léteznek több lehetőséget megengedő logikák is, de mi ezekkel nem foglalkozunk.) A későbbiek során sokáig nem született jelentősebb eredmény, de amikor a matematika fejlődésével, elvontabbá válásával, felvetődött a helyes matematikai bizonyítás kritériumai meghatározásának szükségessége, akkor a matematikusok újították meg a logikát. G. W. Leibniz már a XVII XVIII. század fordulóján kísérletet tett egy nagyobb hatóerejű logika kidolgozására. Egy olyan univerzális nyelvet keresett, amely a gondolkodás minden elemi tevékenységét szimbólumokkal 10

9 fejezné ki, s a köztük levő kapcsolatokat a logika törvényei biztosítanák. Remélte, hogy a filozófusok is hosszas viták helyett kézbe veszik a papírt, ceruzát és kiszámítják, hogy kinek van igaza. Ez volt a matematikai logika gondolatának az első megjelenése. A megvalósulás a XIX. század közepéig váratott magára, amikor is G. Boole megkezdte az ún. logikai algebra kidolgozását. G. Frege, majd G. Peano munkássága nyomán kialakult a szimbólumrendszer, s ezzel lezárult a matematikai logika fejlődésének első szakasza. A második szakasz az axiomatikus vizsgálatokkal kapcsolatos; a halmazelméleti antinómiák kiküszöbölésére irányuló törekvések nagy lökést adtak a matematikai logika fejlődésének is. A XX. század harmincas éveiben születtek a bizonyításelmélet első nagy eredményei, melyek többek között K. Gödel, A. Church nevéhez fűződnek. Az ötvenes évektől kezdve egyre több tudományban alkalmazzák hasznos segédeszközként a modern logikát; ilyenek pl. a számítástechnika, a nyelvészet és a pszichológia egyes ágai. E rövid történeti áttekintés után fogalmazzuk meg pontosabban, hogy mi a logika, a matematikai logika tárgya. A logika tárgya lényegében a helyes következtetés fogalmának tisztázása, törvényeinek feltárása. Az elnevezések nem egységesek; a modern formális logikát nevezik matematikai logikának vagy szimbolikus logikának is. Az első elnevezés annyiban jogos, hogy a modern logika matematikai eszközöket használ egy-egy logikai elmélet pontos leírására. Mi a továbbiakban matematika logikának tekintjük azt a tudományágat, melynek tárgya maga a matematika, pontosabban az egyes matematikai elméletek, mint pl. az analízis, algebra, elemi geometria stb. Más matematikai tudományágaktól eltérően a vizsgált elméletre vonatkozó globális kérdésekkel foglalkozik, pl. ellentmondásos-e az elmélet stb. (Ezeket a problémákat a 9. fejezetben tárgyaljuk.) 1.3. A matematikai elméletek átfogó vizsgálata 1. Első lépésként a vizsgált elméletet pontosítani kell egy precíz matematikai logikai nyelv segítségével. A szimbolikus nyelvek lehetővé teszik számos pontatlanságnak az elkerülését, melyek a beszélt nyelv alkalmazásakor előfordulnak. A formális nyelvet azon túl, hogy értelemmel bíró szavak helyett pusztán jelkombinációk szerepelnek benne, elsősorban az különbözteti meg a természetes nyelvektől, hogy kifejezéseinek, az ún. formuláknak a képzési módját precíz szabályok rögzítik. 11

10 Azt is lehet mondani, hogy a matematika ott kezdődik, ahol megjelenik a pontos nyelvek alkalmazása. A tanulmányozott elmélet lefordítását a precíz matematikai logikai nyelvre az elmélet formalizálásának nevezzük. A matematika a formalizálás után kezdődik. Megjegyzés. a) Napjainkban lehetővé válik a formális logika már említett, Leibniz által is megfogalmazott alapvető célkitűzésének megvalósítása: leírva valamely speciális formalizált nyelv segítségével bármely gondolatmenet összes kezdő feltételét, a további logikai okfejtések számításokkal helyettesíthetők. b) A formalizálás következetes végigvitele a hétköznapi matematikai tevékenység során nem történik meg, mert mint látni fogjuk, a terjedelmes formulák alkalmazása nehézkessé tenné a velük való manipulálást. A gyakorlatban nem okoz gondot a matematikai formulák és a köznapi nyelv együttes használata. Az egyes matematikai elméletekre vonatkozó átfogó vizsgálatok azonban szükségessé teszik a mesterséges nyelv használatát, s ennek hiányában nem lenne mód a halmazelmélet logikailag kielégítő megalapozására sem. A precíz nyelvhasználat szükségességét indokolják az ún. Richard-féle paradoxonhoz hasonló problémák is. Az említett paradoxon a természetes számok halmazán belül lép föl, s lényege a következő: a természetes számok leírhatók véges számú olyan jelsorozatokkal, melyek magyar nyelven értelmes mondatok; pl. páros prím természetes szám egyértelműen a 2-t definiálja. Bizonyítható, hogy véges sok olyan természetes szám van, amely 100 írásjellel leírható; vannak tehát olyanok is, melyek 100 jellel nem definiálhatók, s létezik ezek között legkisebb. Az alábbi kiemelt mondat viszont azt bizonyítja, hogy ez a szám mégis leírható száz írásjellel: A legkisebb, magyar nyelven száz írásjellel (a szóközt beleértve) nem definiálható természetes szám. Ez a mondat pontosan száz jelet tartalmaz, s a száz jellel nem leírható legkisebb természetes számot definiálja, ami nyilvánvaló ellentmondás. Maga a formalizálás azonban nem véd meg az ellentmondások fellépésétől (ezt látni fogjuk a 10. fejezetben a naiv halmazelmélet tárgyalásakor), ezt az adott elmélet axiómarendszerének kell biztosítania. 2. Az axiomatikus módszer, az axiómarendszerekkel szembeni követelmények: Az eddigi tanulmányai során a hallgatóság találkozott már axiomatikusan felépített matematikai elméletekkel (pl. analízis, gometria), de úgy gondoljuk hogy nem lesz haszontalan, ha összefoglaljuk az axiomatikus módszer lényegét. 12

11 Valamely tudomány (nem csak a matematikára vonatkoznak az alábbiak) egy fejezetének axiomatikus fölépítésén a következőket értjük: 1. Az adott tudományágból kiragadunk néhány fogalmat, ezeket nem definiáljuk, hanem definiálatlan alapfogalomnak tekintjük. Ezek származhatnak a tapasztalati ismeretanyag absztrakt modellizálásából (természetes szám, pont, egyenes stb.) vagy a matematika más fejezeteiből (halmaz, struktúra stb.). 2. A tudományágból kiragadunk néhány, az alapfogalmak közötti összefüggésekről szóló állítást; ezeket nem bizonyítjuk, hanem bizonyítás nélküli kiinduló kijelentéseknek tekintjük, és axiómáknak nevezzük. Az axiómákban a tudományág alapfogalmain kívül csak logikai fogalmak szerepelhetnek. Egy axiómarendszer megadása tehát az alapfogalmak és az axiómák megadását jelenti. 3. Az axiómákból a logika következtetési szabályai segítségével bizonyítható kijelentéseket az axiómarendszer tételeinek nevezzük. A tételekben a rendszer alapfogalmain és logikai fogalmakon kívül csak az alapfogalmak segítségével definiálható fogalmak szerepelhetnek. Annak pontos tisztázása, hogy milyen logikai fogalmak és milyen következtetési szabályok szerepelhetnek egy axiomatikusan fölépített elméletben, a matematikai logika feladata. Szigorúbb axiomatikus tárgyalásban az alapfogalmak és axiómák mellett a megengedett következtetési szabályokat is felsorolják. Az axiómarendszerekkel szemben több követelményt fogalmaznak meg. A legfontosabb elvárás az, hogy ellentmondástalan legyen, azaz ne lehessen az axiómarendszerből egy állítást és annak a tagadását is levezetni. Annak a bizonyítása, hogy egy axiómarendszerben nincs ellentmondás, igen nehéz feladat, okairól később lesz szó. Szokásos, de nem feltétlen követelmény egy axiómarendszerrel szemben, hogy az axiómái legyenek függetlenek, azaz ne legyenek benne olyanok, amelyeket a többiből le lehet vezetni. Módszertani, egyszerűsítési szempontból a legtöbb axiómarendszer nem ilyen, hiszen a legtöbb esetben ennek a követelménynek nincs különösebb jelentősége. Vannak azonban olyan esetek, amikor lényeges annak eldöntése, hogy egy axióma független-e a többitől; gondoljunk csak a párhuzamossági axiómával kapcsolatos évszázadokon át tartó vizsgálatokra. Egy adott matematikai rendszernek többféle axiomatikus felépítése, azaz többféle axiómarendszere is lehetséges. Azt, hogy két axiómarendszer ugyanazt a matematikai struktúrát axiomatizálja, úgy bizonyítjuk, hogy az egyikben bizonyítjuk a másik axiómáit és fordítva. (Szigorúbb tárgyalásban 13

12 a használt következtetési szabályokról is bizonyítani kell, hogy kölcsönösen érvényesek.) A kölcsönös bizonyíthatóság esetén a két axiómarendszert egymással ekvivalensnek nevezzük. 3. A matematikai állítások igazságának kérdése: A modern matematikai logikában felvetődnek a következő kérdések: Milyen a matematikai gondolatmenet és a valóság viszonya? Milyen hasznos következmények kaphatók a matematikai bizonyítások segítségével? Hogyan definiálható az igaz fogalma? Ezek nagyon összetett, érdekes kérdések, s megválaszolásuk nagyrészt filozófiai alapállástól is függ. Nézzünk érdekességképpen néhány filozófiai eszmefuttatást, hogy azután visszatérve a tiszta matematikához, a további vitát meghagyjuk a filozófusoknak. Az igaz fogalma Arisztotelésznél a következőképpen jelenik meg:,,hamis az, amikor azt mondjuk arról, ami van, hogy nincs, vagy amikor arról, ami nincs, azt mondjuk, hogy van; igaz pedig az, amikor azt mondjuk arról, ami van, hogy van, vagy amikor arról, ami nincs, azt mondjuk, hogy nincs. Tarski megkísérelte matematikailag szabatosan megfogalmazni Arisztotelész igazságfelfogását, de ez a próbálkozása nem aratott sikert. Az axiómák igazságával kapcsolatos filozófiai vitákban alapvető az egyes irányzatoknak a halmazelmélet axiómáiról való vélekedése. Többféle eltérő álláspont ismeretes, itt csak két lényegesen eltérő nézetet ismertetünk. A platonizmus szerint objektíve létezik egy ideális világ, halmazelméleti univerzum, s erről a világról megfelelő matematikai logikai nyelven igaz vagy hamis állítások tehetők a fentebb ismertetett arisztotelészi értelemben. A halmazelméleti univerzum objektumai nem materiálisak, állandóak, s minden rájuk vonatkozó értelmes kérdésre létezik határozott válasz, még ha egy adott pillanatban nem is tudjuk azt a választ. Érdekes tény, hogy a halmazelmélet több negatív tételét felállító Gödel is platonista volt, nézeteit jellemzi a következő idézet:,,bár távol esik az érzékszervi tapasztalattól, igenis létezik valami ami érzékeli a halmazelmélet objektumait is. Ez abból a tényből is látható, ahogyan az axiómák ránk kényszerítik magukat, mint igazságokat. Ezen álláspont szerint annak az oka, hogy vannak állítások, amelyek a halmazelmélet illető axiómarendszerében nem dönthetők el, az, hogy valamilyen nyilvánvaló elvet nem vettek fel az axiómák listájára. Ez a jelenlegi eldönthetetlenség nem befolyásolja az állítás igaz vagy hamis voltát.,,... bármely adott pillanatban a matematikusoknak az ideák eme világáról csak egy nem teljes, töredékes képe lehet (R. Thom). 14

13 A formalista álláspont szerint az egész matematika nem más, mint előírt szabályok szerinti manipuláció puszta szimbólumokkal, amelyek nem képviselnek semmit, csupán önmagukat.,,a matematikát tehát úgy határozhatjuk meg, mint azt a tárgyat, amellyel kapcsolatban sem azt nem tudjuk, hogy miről beszélünk, sem pedig azt, hogy igaz-e az amit mondunk írta Russell, aki korábban platonista volt. Az ilyen filozófiai hozzáállás alapján jelentést csak akkor kapnak a formulák, ha pl. valamilyen fizikai értelmet tulajdonítunk nekik. Egy ilyen értelmezés esetén már lehet beszélni állítások igaz vagy hamis voltáról, maguknak a formuláknak azonban nincsen semmiféle igazságértéke. Felvetődhet a kérdés, hogy hogyan viszonyul mindezekhez az átlagos alkotó matematikus? Leggyakrabban a következőképpen:,,amikor matematizál, meg van győződve arról, hogy objektív realitással dolgozik, ha azonban a filozófusok rátámadnak a paradoxonjaikkal, visszavonul a formalizmus sáncai mögé amíg békén nem hagyják ([13]). 15

14 2. Bevezetés a különböző matematikai logikai nyelvek elméletébe Ebben a fejezetben általánosságban beszélünk a matematikai logikai (a továbbiakban röviden: mat. log.) nyelvek legfontosabb jellemzőiről, majd röviden ismertetünk néhány konkrét nyelvet, melyek előkészítik a azoknak a fogalmaknak a megértését, amelyeket később definiálunk. A mat. log. nyelv funkciója a vizsgált matematikai elmélet tényanyagának pontos leírása. Ehhez különböző jeleket használ, melyekből,,értelmes jelsorozatokat készítve a matematikai állítások szerkezete leírható. Két különböző jellegű jelsorozatot használunk: a kifejezéseket, termeket, melyek matematikai objektumok jelölésére szolgálnak, (pl. f(x, y), 0, x + y, ahol f függvényjel, x, y változójelek), és a formulákat, melyek a matematikai érvelés leírására szolgálnak (pl. x = y). Megjegyzés. A későbbiek során is fogunk még utalni arra, hogy a matematikai logikában nem egységes sem a terminológia, sem a jelölésrendszer. Van olyan felépítés, ahol a nyelv alapvető objektumait tekintik kifejezéseknek, s ezeket osztják formulákra és termekre ([2]). A természetes nyelvekből nem mindent használunk fel, de azon elemei, amelyekre a matematika épít, tükröződnek a mat.log. nyelvekben is: Természetes nyelv Változó: egy adott típushoz tartozó tetszőleges objektum jelölésére használják. Objektumnév: 4 pl. 0, 2, 2, 5 3, π itt öt név három objektumot jelöl, ugyanis a 2, 4 2, 5 3 ugyanazt az objektumot, a 2-t jelöli. Névforma: a névforma olyan jelkombináció, amelyből objektumnevet kapunk, ha paramétereit megfelelően választott objektumnevekkel helyettesítjük. Pl. (x 1) 2 1; ha az x helyére 2-nek a nevét írjuk, megkapjuk a 0 nevét, 3-at írva a 3-t stb. Pontos mat. log. nyelv Szintén változók: szerepük analóg. Konstansok (pl. 0) vagy paraméter nélküli kifejezések (pl. 3+5). Paramétert tartalmazó termek: precíz szabályok határozzák meg egy adott nyelv termeinek összességét. 16

15 Rögzített paramétertartomány esetén minden névforma meghatározza paramétereinek egy függvényét, de a névforma és a függvény nem egy és ugyanaz; az x 2 2x az előző példáétól különböző névforma, de a valós számok halmazán mindkettő ugyanazt a függvényt határozza meg. Kijelentés: kijelentő mondat alakjában megfogalmazott, esetleg matematikai szimbólumokat is használó szöveg, amely meghatározott gondolatot fejez ki, és melyről eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Pl. a nyolc páros szám; = 8. Paramétermentes formulák (zárt formulák vagy mondatok): igazságértékük a nyelv interpretációjától függ. Kijelentő forma (nyitott mondat): olyan szöveg, amelyből kijelentést kapunk, ha a benne szereplő változókat (paramétereket) megfelelően választott objektumnevekkel helyettesítjük. Pl. x páros; x < y. Paramétertől függő, ún. nyitott formulák. Megjegyzés. A továbbiakban főleg matematikai szövegeket fogunk formalizálni, de a bevezetőben említett ok miatt időnként utalunk, megjegyzés formájában, a hagyományos logika elemeire is. Néhány kiegészítés már itt is szükséges. Az objektumnevek (individuumnevek) a hétköznapi, nem matematikai szövegben vagy tulajdonnévként, vagy ún. körülírás formájában jelennek meg. Az utóbbiakkal szemben fennálló követelmény az, hogy pontosan egy fogalmat fejezzenek ki. Így nem tekinthető individuumnévnek a ma uralkodó német-római császár, ill. a Tisza jobb oldali mellékfolyója körülírás. Kijelentésen az általánosan alkalmazott kétértékű logikában olyan kijelentő mondatot értenek, amelyről az adott körülmények között eldönthető, hogy igaz vagy hamis. A legegyszerűbb, ún. atomi kijelentések logikai értékének eldöntése nem a logika feladata. Bizonyos esetekben a tapasztalat (pl. Esik az eső.) az arisztotelészi definíciónak megfelelően egyszerűen eldöntheti, míg bonyolultabb problémákban ez az illető szaktudományok feladata (pl. Az egri Szépasszony-völgyben talált sír honfoglaláskori.). Az olyan kijelentő mondatok, amelyekről nem lehet egyértelműen eldönteni, vagy amelyekről az adott körülmények között nem lehet eldönteni, 17

16 hogy igazak vagy hamisak, nem képezhetik logikai vizsgálatok tárgyát. (Pl. az,,ez a kép giccs. mondat logikai értékének megítélése a giccs fogalmának pontos definíciója hiányában szubjektív. A,,Napóleon a waterlooi csata reggelén tojást reggelizett. mondat jelenleg a logikai vizsgálatokban nem számít kijelentésnek, mert írásos bizonyíték hiányában nem lehet eldönteni igaz vagy hamis voltát.) Az atomi kijelentésekből ún. összetett kijelentések képezhetők, de az utóbbiak logikai értékét a komponensek logikai értékének egyértelműen meg kell határoznia. Pl. Laci jelesen érettségizett. Laci Görögországba utazott. Tegyük fel, hogy mindkét kijelentés igaz, s kapcsoljuk össze őket a következőképpen: Laci jelesen érettségizett és Görögországba utazott. Laci Görögországba utazott, mert jelesen érettségizett. Az első összetételt igaznak érezzük, de a másodikat, az okhatározói összetételt már nem. (Nem biztos, hogy azért utazott el, mert jelesen érettségizett.) A továbbiakban pontosan rögzíteni fogjuk, hogy melyek az atomi kijelentések, s melyek az összetett kijelentések. A mat. log. nyelvek pontosan meghatározott jelsorozatokból állnak, de meg kell különböztetni a nyelv szintaxisát és szemantikáját. A szintaxis a jelsorozatok alakját, és a velük végezhető átalakításokat vizsgálja, ekkor a formula önmagában csak bizonyos szimbólumok rendszere, semmit sem jelent, csak szintaktikai objektum. Az elnevezés magyarázata: szintaxisnak nevezik a nyelvtudomány azon ágát, amely kizárólag a jelek olyan kapcsolataival foglalkozik, amelyek a jelentésre való hivatkozás nélkül értelmezhetők. A szintaktikailag felépített logikai rendszereket szokás logikai kalkulusoknak is nevezni. A nyelv szemantikája a formulák és kifejezések értelmezésének kérdésével foglalkozik. (Szemantika magyarul: jelentéstan.) A továbbiakban látni fogjuk, hogy egy tiszta szintaktikai rendszer emlékeztet a társasjátékokra, pl. a sakkra. A sakkban a bábuk, alakjuk alapján, kategóriába soroltak (gyalogos, ló stb.). Pontosan rögzítettek a szabályok, melyekhez indoklás nem tartozik. Egy kalkulus hasonló jellegű: szabályai nagyon pontosak, de a kalkuluson belül nincs magyarázat hozzájuk. Ez érthető, a szabályok indoklása csak szemantikai lehet, de ennek már nincs helye a szintaxisban. Bármilyen kalkulus csak azzal a feltétellel tekinthető logikai rendszernek, ha szabályaihoz szemantikai indokolás csatolható. 18

17 Nagyon fontos, hogy megkülönböztessük azt a nyelvet amelyről beszélünk attól, amelyen beszélünk. Az előbbit tárgynyelvnek az utóbbit metanyelvnek nevezzük. A metanyelv nyilvánvalóan gazdagabb mint a tárgynyelv; nálunk nyilvánvalóan a magyar a metanyelv, s hogy ezt hogyan alkalmazzuk, arra még ebben a fejezetben látunk példát. Tarski a Richard-féle és az ún. hazug antinómiájának az alapvető okát abban látja, hogy nem különböztették meg a kétféle nyelvet. Egy nyelv szemantikáját is ugyanazon a nyelven művelték, és általánosságban véve úgy jártak el, mintha a világon csak egyetlenegy nyelv lenne. A hazug antinómiája igen régi eredetű, általában Eubulidesz (i. e. IV. sz.) görög logikusnak tulajdonítják és még most is elemzik és vitatják; nagy hatással volt a modern logika fejlődésére. Többféle megfogalmazása is ismert, nézzük a következőt ([13]): Képzeljünk el egy százoldalas könyvet, melynek valamennyi oldalán egyetlen mondat áll. Az első oldalon ez olvasható: E könyv 2. oldalán levő mondat igaz. A második oldalon ez: E könyv 3. oldalán levő mondat igaz. Ez így folytatódik a 99. oldalig, de az utolsó, a 100. oldalon ez áll: E könyv 1. oldalán levő mondat hamis. Végiggondolható, hogy akár azt tesszük föl, hogy az 1. oldalon levő mondat hamis, akár azt, hogy igaz, mindig ellentmondást kapunk. Mielőtt precízebben tárgyalnánk a nyelveket, nézzünk néhány konkrét példát: 1. A Geom nyelv: az elemi geometria tényanyagának leírására szolgál. Három fajta változó található ebben a nyelvben (a jelek mellett, a kettőspont után azok szemantikája, jelentése található): A, B, C,... (latin írott nagybetűk): a háromdimenziós euklideszi tér pontjai. a, b, c,... (latin írott kisbetűk): az előbbi tér egyenesei. α, β, γ,... (görög kisbetűk): a fenti tér síkjai. Konstans nincs. Atomi formulák: 1. (A = B): A egyenlő B-vel, olvasandó, s hogy igaz vagy hamis, az konkrét helyettesítéssel dönthető el: azaz igaz, ha A és B helyére a tér ugyanazon pontja kerül, hamis, ha különböző. 2. (A a): az A pont illeszkedik az a egyenesre a kiolvasása, ugyanis a szemantikája a következő: ha A helyére konkrét pontot, a helyére konkrét egyenest helyettesítünk, akkor a formula aszerint igaz vagy hamis, hogy a pont illeszkedik-e az egyenesre vagy sem. 19

18 3. (A α): az A pont illeszkedik az α síkra. Szemantikája hasonló az előzőkéhez. A felhasznált jelek a változókon kívül az =,, ( ). Az atomi formulák további felhasználása során a külső zárójelet elhagyhatjuk. Összetett formulák: atomi formulákból négy logikai összekötőjel és két kvantor segítségével kaphatók. Metanyelvi kiolvasásuk és megnevezésük az alábbi táblázatban található, szemantikai vizsgálatukra később kerül sor. Tárgynyelvi jel Metanyelvi kiolvasás Metanyelvi megnevezés nem, nem igaz negációjel (tagadásjel) és konjunkciójel vagy, legalább az egyik diszjunkciójel (alternációjel) ha... akkor kondicionálisjel (implikációjel) bármely/minden univerzális kvantor létezik/van olyan egzisztenciális kvantor Ha A és B formulák, akkor A B, A B, A B, A is formulák. Ha A egy formula, x tetszőleges (bármely fajtájú) változó, akkor az alábbiak is formulák: xa: minden x-re érvényes A, vagy rövidebben minden x-re A. xa: létezik olyan x, hogy A, vagy van olyan x, hogy A. Ezzel készen is van a Geom nyelv leírása: le tudunk írni olyan kijelentéseket, amelyek nem fejezhetők ki atomi formulákkal. Be lehet vezetni kényelmi szempontból új jeleket, de ezek tulajdonképpen az előzőek rövidítésére szolgálnak; szerepel még a : jel, amely a definíció szerint szófordulatot helyettesíti, azaz a jobb oldalon levő, már ismert formula helyett használhatjuk a bal oldalon levőt. (A : tehát mindig a meghatározandóhoz van közelebb). A definiáló egyenlőségjel, a :=, termek között használatos. Ezek alapján bevezetjük, és a többi nyelvben is alkalmazzuk az alábbi formulát: (A B) : ((A B) (B A)): A akkor és csak akkor, ha B (pontosan akkor), ahol A és B formulákat jelölnek, a pedig bikondicionálisjel (ekvivalenciajel). Az a és b egyenesek egybeesését kifejező, a = b alakú atomi formula nincs a nyelvben, de ugyanezt a gondolatot kifejezhetjük úgy is, ha azt mondjuk, hogy bármely pont akkor és csak akkor illeszkedik a-ra, ha illeszkedik b-re is. Bevezetve az új jelölést: 20 (a = b) : A(A a A b).

19 Hasonló módon az α egybeesik a β síkkal, így írható: (α = β) : A(A α A β). Bevezethetők a tagadás rövidítésére a következők: (A B) : (A = B), (a b) : (a = b), (α β) : (α = β). Nézzünk néhány példát arra, hogy hogyan lehet kijelentéseket lefordítani erre a nyelvre: Az a egyenes az α síkban van. Először átfogalmazzuk úgy, hogy az eddig bevezetett formulákkal le lehessen írni (s nyilván ugyanazt jelentse). Az a egyenes minden pontja az α síknak is pontja. Ez már leírható: (a α) : A(A a A α). Az a és b egyenes párhuzamos. Átfogalmazva: Az a és b egyenesek egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. (a b) : α(a α b α) A(A a A b). Gyakran előforduló állítások a matematikában az ún. egzisztenciaunicitás típusú kijelentések, azaz melyek azt fejezik ki, hogy egy és csak egy olyan x létezik, mely eleget tesz az A feltételnek. Az ilyeneket ki lehet fejezni két állítás konjunkciójaként: azaz le kell írni, hogy a szóban forgó x létezik, aztán pedig azt, hogy bármely két objektum, ami az A-t kielégíti, egybeesik.!xa : xa x y((a(x) A(y)) x = y). Itt A(x) és A ugyanazok a formulák, A(y) pedig A(x)-ből úgy keletkezik, hogy az x paramétert új változóval, y-nal helyettesítjük. (Erről később bővebben lesz szó.)!: létezik egy és csak egy; ez a kiolvasása, a megnevezése pedig egzisztencia-unicitás kvantor. Formalizáljuk az előző jel segítségével Hilbert első illeszkedési axiómáját: Két különböző pontra egy és csak egy egyenes illeszkedik. A B ((A = B)!a(A a B a)). 21

20 Az! jel alkalmazása nélkül jóval bonyolultabb a formula: A B((A = B) ( a(a a B a) a b(((a a B a) (A b B b)) a = b))). 2. Az Ar nyelv. A természetes számokra vonatkozó állítások leírására használják. Csak egyfajta változók szerepelnek, x, y, z,..., amelyek a természetes számok halmazából bármely értéket felvehetnek. Konstans a 0, mely a nulla természetes számot jelöli. Függvényszimbólumok: S: 1-nek a hozzáadását jelenti. +: összeadás a természetes számok körében. : szorzás a természetes számok körében. A változókból és a 0 konstansból a függvényszimbólumok segítségével kifejezések (termek) alkothatók. A termalkotás pontos szabályáról később lesz szó, itt csak konkrét példán tekintjük át. A termek hasonlóak az algebrai kifejezésekhez, és a bennük szereplő paraméterek értékeitől függően konkrét természetes számot határoznak meg. Pl. A 0 y + (SS0 + Sx) term képzési sorrendje az alábbi ábrán látható. Ezen term szemantikája a következő: ha az itt szereplő paraméterek, az x és y helyére konkrét természetes számot írunk, és elvégezzük a kijelölt műveleteket, megkapjuk a term értékét. Pl. legyen y = 5, x = 3, ekkor 0+(2+4)=6, de ha y = 2, x = 4, akkor az érték 7. 22

21 Vannak paramétermentes termek, ezek értéke eleve adott, nem függ az értékeléstől. Ebben a nyelvben például az (SS0 + S0) S0 term, értéke 9. Atomi formulák: (t = z) alakúak, ahol t és z tetszőleges term. Igazságértéke függ a paraméterei értékelésétől, ahol a t és z term paramétereinek összessége jelenti a formula paramétereit. Ha egy adott paraméterértékelés mellett a t és z értéke megegyezik, akkor a (t = z) formula igaz, ha nem, akkor hamis. Pl. x + y = Sy + y. Ez a formula x = 3, y = 2 esetén igaz, de az x = 6, y = 3 értékeléskor már nem. Összetett formulák: atomi formulákból épülnek fel, a Geom nyelvben leírt módon. Nézzük néhány aritmetikai összefüggés leírását ebben a nyelvben: x y : (x = y), x y : z(x + z = y), x < y : (x y) (x y). x osztója y-nak állítás a következő alakú: x prímszám: (x y) : z(z x = y). (x 0) (x S0) z ((z x) (z = S0 z = x)). A prímszámok száma végtelen. Formulája: x y ((x < y) (y prímszám)). Gyakorlat. 1. Az alábbi formuláknak mi a jelentése, és az alapján igaz vagy hamis értékűek? (a) x y(y < x) Minden természetes számnál van kisebb természetes szám; hamis. (b) x y(y < x). Létezik legnagyobb természetes szám; hamis. 2. Mi a formulája a következő állításnak? A 2x 2 +x+1 = 0 egyenletnek van két különböző gyöke. y z(((ss0 (y y)+s0 y+s0) = 0) ((SS0 (z z)+s0 z+s0) = 0) (z y)). Elvileg egy mat. log. nyelv minden elképzelhető interpretációját lehet vizsgálni. Ha az Ar nyelvben a változók a természetes számok halmazát 23

22 futják be, aritmetikai, vagy szokásos, közönséges interpretációról beszélünk. Ennek a nyelvnek ez az interpretációja alapvető, mégis több más interpretáció is megadható. Ha R a valós számok halmazát jelöli, és a változók értékei valós számok, akkor R-interpretációról beszélünk. (A függvények is a valós számok körében vannak értelmezve.) Az olyan formulát, amelyből az Ar nyelv adott interpretációjában változóinak minden értékelésekor igaz értékű formula keletkezik, az Ar nyelv aritmetikai törvényének nevezzük. Nyilvánvaló, hogy vannak olyan formulák, amelyek a természetes számok halmazában törvények, de R-beli interpretációban nem. Pl. x y(x + y = y + x) mindkét esetben törvény, míg x y ((x + y = 0) (x = 0 y = 0)) a természetes számok halmazán törvény, R-ben nem. Gyakorlat. 1. A x y(x + y = 0) formula aritmetikai törvény-e mindkét interpretációban? R-ben igen, de a természetes számok halmazában nem. 2. Mit fejez ki az alábbi formula és melyik interpretációban igaz? Létezik 2. R-ben igaz. x(x x) = SS0. Megjegyzés. A matematikában többféle nyelvet használnak. Részletesebben a halmazelmélet leírására szolgáló nyelvekkel foglalkozunk, de megemlítjük még a Vect nyelvet, amely a valós vektorterek leírására alkalmas. Kéttípusú változói vannak, a nullad fajtájúak a valós számokat jelölik, az első fajtájúak a vektorokat. Két konstans található benne, a 0 0, amely a 0 valós számot jelenti, és a 0 1, amely a nullvektort. A nyelv interpretációját egy konkrét n-dimenziós valós E n vektortér kijelölése meghatározza. (Részletes leírása a ([2])-ben.) 24

23 3. Az elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Ebben a fejezetben pontosítjuk a matematikai logikai nyelvek struktúráját. Megadjuk az egyik legelterjedtebbnek, az elsőrendű nyelvnek a felépítését, s néhány formulákkal végezhető manipulációt vizsgálunk meg Termek és formulák Az elsőrendű Ω nyelvet a következő négy halmazból álló rendszerrel adjuk meg: Ω = S, C, F, P. 1. S: egy nem üres halmaz, melynek elemeit típusoknak (fajtáknak, individuum- vagy objektumfajtáknak) nevezzük. Minden típushoz bizonyos szimbólumok megszámlálható rendszere tartozik, melyeket bizonyos típusú változóknak, individuumváltozóknak nevezünk. Pl. A Geom nyelv háromtípusú nyelv, a Vect nyelv két-, az Ar egytípusú nyelv. Legelterjedtebbek az ún. egytípusú nyelvek, melyekben az S egyelemű halmaz. A továbbiakban a halmazelmélet leírására mi is egytípusú nyelvet használunk, így a többtípusú nyelvekre csak rövid utalásokat teszünk. 2. C: az Ω nyelv konstansainak (esetleg üres) halmaza. (Használatos még az individuumszimbólum, individuumnév elnevezés is.) A nem egytípusú nyelvekben különböző típusú konstansok léteznek, és ezek különböznek egymástól. Pl. A Geom nyelvben a C üres halmaz, Ar-ben egyelemű, míg a Vect-ben kételemű halmaz. 3. F: elemei a nyelv függvényszimbólumai (függvényjelei); ez lehet üres halmaz is. Minden f F függvényjelhez egy bizonyos objektumot rendelünk hozzá, az adott függvényjel alakját. Az egytípusú nyelvek esetén a függvényjel alakját változói száma meghatározza: (x 1, x 2,..., x k x); ez egy k-változós (k > 0) függvényjel alakja. (Többtípusú nyelvek esetén az egyes változók típusát is jelölni kell.) 25

24 Pl. a Geom nyelvben az F is üres halmaz, az Ar-ben f egyváltozós, és g, h kétváltozós függvények szerepelnek az alábbi jelölések szerint: St := f(t), (t + z) := g(t, z), (t z) := h(t, z). 4. P: nem üres halmaz, elemei az Ω predikátumszimbólumai, predikátumbetűk. (Relációjeleknek is nevezik ezeket.) Minden P P predikátumszimbólumhoz hozzárendelünk egy bizonyos objektumot, az adott predikátumbetű alakját. Egytípusú nyelvben ez a következő lehet: P (x 1, x 2,..., x k ), ahol k 0, és a predikátumbetű változóinak a számát jelöli. Ha k = 0, akkor az ilyen predikátumbetűket propozicionális változóknak vagy propozicionális betűknek nevezzük. (Többtípusú nyelvben itt is külön jelöljük a változók típusát.) Pl. Az Ar nyelvben egyetlen predikátumszimbólum van, a P. (t = z) : P (t, z). Az adott Ω nyelvben definiálhatók bizonyos szabályos szövegek, értelmes jelsorozatok, melyek az Ω szimbólumai, logikai jelek és ún. segédjelek, azaz zárójelek, vesszők segítségével állíthatók elő. Ezek az Ω nyelv alakzatai, melyek két csoportra oszthatók: kifejezésekre (termekre) és formulákra. A term definíciója Ω-ban: A definíció induktív és három pontból áll. Az első kettő az indukció alapja: bennük közvetlenül meg vannak jelölve azok az objektumok, amelyeket termeknek kell tekinteni. A harmadik az indukciós lépés, vagyis a generáló szabály, amely szerint a már megkonstruált termekből újakat szabad képezni. 1. Az Ω nyelv minden változója (azonos típusú) term. 2. Az Ω nyelv minden konstansa (azonos típusú) term. 3. Ha f k-változós függvényjel és t i (i = 1, 2,..., k) term, úgy f(t 1,..., t k ) is term. (Többtípusú nyelvekben a változók és az f(t 1,..., t k ) term típusát is jelölni kell.) Minden term tehát vagy a nyelv változója, vagy konstansa, vagy a korábban megkonstruált termekből a generáló szabály alkalmazásával nyert alakzat. Pl. valamely nyelvben h(g(c, y), h(y, g(c, x))) term lehet, ahol g, h kétváltozós függvényjelek, c konstans, x, y változók. 26

25 A t termben a függvényjelek száma a term összetettségét mutatja meg, azaz azt, hogy hányszor alkalmazzuk a generáló szabályt. (Az előző példában ez 4.) A term bármely változója a term paramétere. Az Ω nyelv atomi formuláinak definíciója: A P (t 1,..., t k ) alakzat atomi formula, ahol P az Ω nyelv predikátumbetűje, t 1,..., t k termek. Speciálisan, ha P propozicionális betű, azaz nullváltozós predikátum, akkor P önmagában is atomi formula. Ezeket prímformuláknak vagy elemi formuláknak is nevezik, s az elnevezések is utalnak arra, hogy ezek a formulák építőkövei. A következő definícióban ez a szerep nyilvánvalóvá válik. Az Ω nyelv formuláinak definíciója: Induktív módon történik, az első pont az indukció alapja, a második és harmadik generáló szabály, melyek alapján új formulák képezhetők a már megkonstruáltakból. A felépítéshez logikai szimbólumokat logikai összekötőjeleket és kvantorokat alkalmazunk. Logikai összekötőjelek:,,,. Kvantorok:,. Elnevezésük, kiolvasásuk a Geom nyelvben már szerepelt. Az induktív definíció: 1. Minden atomi formula az Ω nyelv formulája. 2. Ha A és B az Ω nyelv formulái, akkor az is formulák. (A B), (A B), (A B), A 3. Ha A formula, x tetszőleges Ω-beli változó, akkor xa, xa is formulák. A definíció alapján minden formula a következő alakok közül pontosan az egyiket veszi föl: (a) az Ω nyelv atomi formulája. (b) (A B), (ahol az,, jelek egyike, A és B formulák) vagy A. (c) QxA, ahol A formula, x az Ω változója, Q pedig az vagy kvantor. Pl. x z (P (f(x, y)) xr(x, f(x, z))) egy megfelelő nyelvben formula. 27

26 A logikai szimbólumok száma a formula összetettségét adja meg. Az atomi formuláké nulla, az előző példa formulájáé négy. Definíció. Egy A formula minden olyan részét, amely maga is formula, az A részformulájának nevezzük. Pl. az előző példában xr (x, f(x, z)) részformula. Megjegyzés. A már korábban bevezetett rövidítő jelöléseket,,!, a bevezetésük alapján alkalmazni fogjuk. A zárójelek számának csökkentésére vannak különböző megállapodások, de didaktikai szempontból mi továbbra is csak a formulák, termek külső zárójeleinek elhagyását alkalmazzuk. Definíció. A xa, xa formulákban a x, x jelkombinációt kvantoros előtagnak, az x változót a kvantoros előtag változójának, A-t a kvantoros előtag hatáskörének nevezzük. Definíció. Azt mondjuk, hogy egy változó egy formulában kötött előfordulású, ha szerepel egy rajta ható kvantor hatáskörében. Egy változó előfordulása valamely formulában szabad, ha nem kötött, (azaz nem vonatkozik rá kvantor). A szabad előfordulású változó a formula paramétere. Pl. x(x y) y(y z). Egy változó ugyanabban a formulában előfordulhat többször, s lehet némelyik előfordulása kötött, némelyik szabad. A fenti példában y első előfordulása szabad, a második kötött. Az alábbi példában kiemeltük a szabad változókat: ( x(p f(x)) xq(x, z)) ( xr(x, x) Q(z, x)). Definíció. Az Ω nyelv egy formulája zárt formula vagy mondat, ha nincs benne szabad változó. A nyelv szabad változót tartalmazó formuláját nyitott formulának (predikátumnak) nevezzük, s ez n-változós, ha benne n különböző változónak van szabad előfordulása. Az előző példa formulája kétváltozós, paraméterei az x és a z is. Megjegyzés. Az elsőrendű nyelvben az atomi formulák változói nyilván szabad változók. Az elsőrendű nyelv elnevezésben az elsőrendű jelző arra utal, hogy ebben a nyelvben a kvantorok csak változójelekre vonatkozhatnak, predikátumbetűkre nem. Az eddig megismert nyelvek mind elsőrendű nyelvek, nem elsőrendűre a halmazelméletben látunk majd példát. 28

27 A formula definíciója alapján bármely jelsorozatról eldönthető, hogy formula-e vagy sem. Pl. 1. (A B) (C D). 2. x( P (a) x(q(x, y) R(x))). 3. x(q. 4. (A B (C D). 5. xq(x, y). Az jelsorozat formula, a nem formula. Az állítások egy elsőrendű nyelvben zárt formulákkal írhatók le. Nagyon fontos, hogy az alkalmazott nyelvre történő fordítás helyes legyen, hiszen a további manipulációk már a formulára vonatkoznak. A formalizálás gyakorlására, a helyes szerkezet feltárásának vizsgálatára a kijelentés- és predikátumlogika nyelvének tárgyalásakor kerül sor Kötött változók átjelölése, változók helyettesítése termekkel A formulákkal végzett manipulációk során gyakran alkalmazzuk ezt a két eljárást. Nem foglalkozunk velük részletesen, csak a leglényegesebb, a használat során előforduló legfontosabb tudnivalókat ismertetjük. (a) Kötött változó átjelölése A kötött változónak nincs önálló jelentése, át lehet jelölni más változóra, a formula értelme ettől nem változik, de amint a következő példában látni fogjuk, bizonyos esetekben ez bekövetkezhet. Tekintsük a már korábban szerepelt, az Ar nyelv közönséges interpetációjában az x y relációt kifejező z(x + z = y) formulát, ahol x és y szabad, z kötött. A z-t u-val helyettesítve, a u(x + u = y) ugyanazt fejezi ki. Ha azonban z helyére x-et írunk, a x(x + x = y) formula már mást jelent: y páros szám. Míg az eredeti formulában két szabad változó volt, az utóbbiban már csak egy, az y. A kötött változó átjelölésekor a következő fontos szabályt kell betartani: az átjelölés után egyetlen részformula szabad változója sem válhat kötötté. Ezen szabály betartásával történő átjelölést szabályos átjelölésnek nevezzük. Definíció. Ha az A és A formulák csak szabályosan végrehajtott kötött változó átjelölésében különböznek egymástól, akkor kongruens formuláknak nevezzük őket, vagy azt mondjuk, hogy az A az A variánsa. Jele: A A. 29

28 A következő formulában kiemeltük a szabad változókat: x ((P (f(x)) xq(x, z)) yr(x, y)) Q(z, y). Az egyes kvantorok hatáskörében álló, azaz kötött változókat hagyjuk ki, s jelöljük őket a,, szimbólumokkal. (Ezek nem tartoznak a nyelv jeleihez, csak a szerkezet feltárását segítik.) ( (P (f( )) Q(, z) R(, ) ) Q(z, y). Ez az eredeti formula váza. Két formula akkor és csak akkor kongruens, ha megegyező vázzal rendelkeznek. (b) Termek helyettesítése formulákba Tekintsük az a pontban szereplő z(x + z = y) formulát. Helyettesítsük x-et az (x z) termmel, hogy megkapjuk az x z y összefüggést. Jelölése: ( z(x + z = y)) x x z. Ekkor a z(x z + z = y) formulát kapjuk, ami mást fejez ki, és csak két paramétere van, míg az eredetinek három. Az eltérés oka az, hogy az (x z) termben z szabad, de a helyettesítés során bekerült a z kvantoros előtag hatáskörébe. Ez kiküszöbölhető, ha először átjelöljük a kötött változót: u(x + u = y), ezután helyettesítünk. ( u(x + u = y)) x x z ; a kapott u(x z + u = y) már a kívánt összefüggést fejezi ki. Fontos szabály, hogy csak szabad változót helyettesíthetünk termmel, és a helyettesítés után a szabad változóból nem lehet kötött változó, azaz a helyettesítő term változója nem kerülhet kvantor hatáskörébe. Ezen feltételnek elegettevő helyettesítést szabad vagy megengedett helyettesítésnek nevezzük. Ha egy helyettesítés nem szabad az A formula számára, akkor keresünk olyan A formulát, amelyre A A ; azaz megkeressük A egy variánsát, amelyre a helyettesítés már megengedhető, s az így nyert helyettesítést A szabályos helyettesítésének nevezzük. Igazolható, hogy a szabályos helyettesítés eredménye a kongruenciától eltekintve egyértelműen meghatározható, valamint az is, hogy minden formulához található alkalmas variáns, amely segítségével a szabályos helyettesítés elvégezhető. Ez utóbbi állítás bizonyításához szükséges a következő definíció: Azt mondjuk, hogy egy formula rendelkezik a változótisztaság tulajdonsággal, ha benne egyrészt a kötött változók különböznek a szabad változóktól, másrészt bármely két kvantoros előtag két különböző előfordulása különböző változókat köt meg. Nem bizonyítjuk, csak egy későbbi gyakorlatban mutatjuk meg, hogy minden A formulához létezik vele ekvivalens, változótisztasággal rendelkező B formula, azaz minden formula változótisztaságú alakra hozható. 30