BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

Átírás

1 BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A (A B) A 4.b. H A H 5.b. A (B C) (A B) (A C) 6.b. A A H Halmazelméletben is hasonló azonosságok igazak: 1.a. A B=B A 1.b. A B=B A 2. a. (A B) C=A (B C) 2.b. (A B) C=A (B C) 3. a. A (A B)=A 3.b. A (A B)=A 4. a. U A=U 4.b. A= 5. a. A (B C)= (A B) (A C) 5.b. A (B C)= (A B) (A C) 6. a. A A= U 6.b. A A = További példa: a valószínűségszámításban Boole algebrát alkotnak az események.

2 HÁLÓ HÁLÓ: kétműveletes algebrai struktúra, a műveleteket leggyakrabban a (vagy ) és a (vagy ) jelekkel szokás jelölni. Ezen műveletekre a következők teljesülnek: 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A (A B) A /*elnyelési tulajdonság Példá: Nulladrendű logika: konjunkció, diszjunkció, halmazok: unió, metszet Halmazoknál szokásos jelöléssel a fenti tulajdonságok: 1.a. A B=B A 1.b. A B=B A 2. a. (A B) C=A (B C) 2.b. (A B) C=A (B C) 3. a. A (A B)=A 3.b. A (A B)=A /*elnyelési tulajdonság

3 Tétel: x x=x és x x=x Bizonyítás: A:=x, B:= x x az A (A B) A elnyelési tulajdonságba behelyettesítve: x =(x (x (x x)))= A (A B) A-t felhasználva: x =(x (x (x x)))= x x Hasonlóan bizonyítható, hogy x x=x. (Házi feladat!) Tétel: x y=x és x y=y kijelentések ekvivalensek Bizonyítás: Tfh. x y=x, akkor x y= behelyettesítés x-be=(x y) y = kommutatív=y ( x y)=elnyelés=y Tfh. x y=y, akkor x y=behelyettesítés y-ba= x (x y)=elnyelés=x DUALITÁS ELVE: A két műveletet megcserélve adott azonosságból egy másikat kapunk.

4 (Részben) rendezett halmazok H részben rendezett, ha rendezési reláció van megadva a H elemein: részhalmaza H x H-nak a következő tulajdonságokkal: - reflexív - antiszimmetrikus - tranzitív Elnevezés oka: Nem biztos, hogy mindegyik elem mindegyik elemmel összehasonlítható. Vannak olyan elemei a halmaznak, amelyek összehasonlíthatók e rendezés szerint, vagyis a belőlük képzett rendezett párok elemei a relációnak, de vannak, amelyek nem. Teljes a rendezési reláció, ha reláció adott H-n és x y és y x közül legalább egyik teljesül. (Bármely két elem összehasonlítható). Ekkor H teljesen rendezett halmaz.

5 Példák: 1. Tetszőleges H halmaz hatványhalmaza a halmaz-tartalmazás szerint részben rendezés: H:={1,2,3} Például: {1} {1,2,3} {1} {1,2} {1} {1,3} DE {1} és {2,3} nem összehasonlítható Hasse-diagram: x y, akkor y-t feljebb rajzolva összekötjük x-szel:

6 Példák (folyt.): 2. Valós számok és a szokásos teljes rendezés, minden szám öszehasonlítható. 3. Komplex számokra pl. a következő reláció definiálható: z 1 R z 2, ha abszolút értékük egyenlő (ki van messzebb a 0 számtól?). Ez nem részben rendezési reláció, mert nem szimmetrikus, viszont pl. a nem negatív számokra rendezést ad.

7 Legnagyobb és maximális, legkisebb és minimális elem fogalma Legnagyobb elem LN, ha minden h H-ra h (mindegyik elemmel összehasonlítható!) LN (és LN különbözik h-tól) Maximális elem M, ha nincsen olyan h H, hogy M h teljesülne. (Nem biztos, hogy mindegyik elemmel összehasonlítható) Legkisebb elem lk, ha minden h H-ra lk (mindegyik elemmel összehasonlítható!) h (és lk különbözik h-tól) Minimális elem m, ha nincsen olyan h H, hogy h m teljesülne. (Nem biztos, hogy mindegyik elemmel összehasonlítható) Tétel: Ha van legnagyobb (legkisebb elem), akkor az egyértelmű. Biz.: Tfh., M1 és M2 legnagyobb elemek. Akkor M1 M2 és M2 M1 a def. szerint. A rendezési relácó def. szerint ekkor M1=M2

8 Legnagyobb és maximális, legkisebb és minimális elem fogalma Példák: 1. H:= {2,3, 4, 5, 6}, és a b, ha a osztója b-nek. Ekkor Minimális elemek: 2,3,5 Maximális elemek: 4, 5, 6 (egyiknek sincsen többszöröse e halmazban) E rendezésben nincsen sem legkisebb, sem legnagyobb elem. 2. Hatványhalmaz és tartalmazás: legnagyobb elem H, legkisebb elem. 3. A természetes számok a szokásos rendezésre: 0 a legkisebb és egyben minimális elem, maximális és legnagyobb nincsen.

9 Korlátos halmazok A részben rendezett H halmaz valamely H1 részhalmazának a K H felső korlátja (az adott rendezés és H szerint!) ha minden h1 H1-re h1 K A részben rendezett H halmaz valamely H1 részhalmazának a k H alsó korlátja (az adott rendezés és H szerint!) ha minden h1 H1-re k h1. H1 korlátos, ha van alsó és felső korlátja. Ha van a korlátok között legkisebb felső korlát, akkor azt felső határnak (supremum-nak), ha van a korlátok között legnagyobb alsó korlát, akkor azt alsó határnak (infimum-nak), nevezzük.

10 Definíció 2: Hálónak nevezzük az olyan részben rendezett halmazokat, amelynek bármely véges részhalmazához van alsó és felső határa. (Definíció: Hálónak nevezzük az olyan részben rendezett halmazokat, amelynek bármely két eleméhez van alsó és felső határ.) Definíció 1: a háló olyan kétműveletes algebrai struktúra, amelyben: 1.a. A B=B A 1.b. A B=B A 2. a. (A B) C=A (B C) 2.b. (A B) C=A (B C) 3. a. A (A B)=A 3.b. A (A B)=A /*elnyelési tulajdonság Tétel: Def 1 és Def 2 ekvivalensek Biz.: (konstruktív) Def1 Def2: Megadunk egy relációt, és bizonyítjuk, hogy az rendezési reláció.legyen: x y akkor és csak akkor, ha x=x y (láttuk, hogy ezzel ekvivalens, hogy y=y x, így is lehetne). Reflexív, hiszen x=x x tétel volt (elnyelésből következik) Antiszimmetrikus, hiszen ha x y és y x, akkor x=x y illetve y=y x, tehát x=y Tranzitív: x y és y z, akkor x z, ugyanis: x=x y= x (y z)= (x y) z=x z A def.je miatt bármely két elemhez van alsó és felső határ.

11 Definíció 2: Hálónak nevezzük az olyan részben rendezett halmazokat, amelynek bármely véges részhalmazához van alsó és felső határa (infimuma, supremuma). (Definíció: Hálónak nevezzük az olyan részben rendezett halmazokat, amelynek bármely két eleméhez van alsó és felső határ.) Definíció 1: a háló olyan kétműveletes algebrai struktúra, amelyben: 1.a. A B=B A 1.b. A B=B A 2. a. (A B) C=A (B C) 2.b. (A B) C=A (B C) 3. a. A (A B)=A 3.b. A (A B)=A /*elnyelési tulajdonság Tétel: Def 1 és Def 2 ekvivalensek Biz.: (konstruktív) Def2 Def1: A műveleteket kell megadni, és bebizonyítani, hogy rendelkeznek az 1, 2, 3, Def1- ben szereplő tulajdonságokkal. Legyen := sup(x,y), és := inf(x,y). A reflexivitás és a kommutativitás az inf és sup def.ből azonnal következik. Az asszociativitás: (x y) z=sup(sup(x,y), z)=sup(x, sup(y,z))= x (y z), A másik műveletre hasonlóan (HF!). Elnyelési tulajdonság: ha x y, akkor sup(x,y)=y és inf(x,y)=x Ezért: x (x y)=x

12 inf(x,sup(x,y))=inf(x,y)=x. A másik azonosságot hasonlóan láthatjuk be (hf.)

13 Definíciók: Egységelemes háló: van legnagyobb és legkisebb eleme, ezeket 0-val és 1-gyel jelöljük Ezek a két művelet egységei: 0 x=x, 1 x=x. Komplementer elem, röviden komplementum: az a a a =1, és a a =0. H (áló) komplementer eleme a, ha Disztributív háló: a két művelet között az alábbi azonosságok fennállnak: a (b c) (a b) (a c) a (b c) (a b) (a c) A komplementumos disztributív hálókat BOOLE-HÁLÓknak nevezzük Boole-algebra: a komplementer képzés egyváltozósműveletként van értelmezve, így ebben a struktúrában nem kettő, hanem három művelet van.

14 Példák: 1. Ítéletváltozók halmaza, konjunkció, diszjunkció műveletekkel Boole-háló. Ue. +negáció, Boole-algebra. Tulajdonságok: 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A (A B) A 4.b. H A H 5.b. A (B C) (A B) (A C) 6.b. A A H 2. Halmazok, unió és metszet műveletekkel Boole-háló. Kivonással (komplementer kijelöléssel) Boole-algebra. Tulajdonságok: 1.a. A B=B A 1.b. A B=B A 2. a. (A B) C=A (B C) 2.b. (A B) C=A (B C) 3. a. A (A B)=A 3.b. A (A B)=A 4. a. U A=U 4.b. A= 5. a. A (B C)= (A B) (A C) 5.b. A (B C)= (A B) (A C) 6. a. A A= U 6.b A A =

15 Tétel: Boole-háló minden elemének pontosan egy komplementuma van. Biz.: tfh. a és a* az a elem komplementumai. a =a 1=a (a a*)= (a a) (a a*)= (a a*)=a a*, ezt felhasználva: a =a =a (a a*)= (a a) (a a*)=1 (a a*)= a a*= (a a*) a*=a* (3.b tul.) Tétel: Tetszőleges elempárra igazak az ún. De Morgan azonosságok: (a b) =a b, illetve (a b) =a b Biz.: Azt kell bizonyítani, hogy x=a b, akkor x = a b. Ez def. szerint akkor van, ha x x = ÉS x x =1. ((a b) =a b bizonyítása hf.) Behelyettesítve: (a b) (a b )=(a (a b )) (b (a b ))= ((a a ) b ) (a (b b ))=( b) (a )= (a b) (a b )= ((a b) a ) ((a b) b )= ((a a ) b) ((a (b b ))=(1 b) (a 1)=1 Tétel: a =a, 1 =0, 0 =1 Biz.: a a =1= (a a ) = a a = a a, és a a =0= (a a ) = a a =a a. a a =1 ennek komplementere: 1 = (a a ) = a a = a a=0. a a =0 ennek komplementere: 0 =(a a ) = a a = a a=1

16 Izomorfia: művelettartó egy-egyértelmű megfeleltetés: Azt mondjuk, hogy az S1 és S2 (azonos jellegű) struktúrák (pl. két csoport, két háló) izomorfak, ha létezik f, hogy minden x S1 hez létezik f(x)=y S2, és ha x1 akkor y1 y2, továbbá mindegyik műveletre S1-ben f( (x1, x2))= *(f(x1), f(x2)), ahol * a S2 beli megfelelője Reprezentációs tétel: Minden véges Boole-algebra izomorf egy alkalmas véges A halmaz hatványhalmazának Boole-algebrájával. Tarski fixpont tétele: Teljes hálón értelmezett monoton (rendezéstartó) f függvénynek van legkisebb és legnagyobb fixpontja. Biz.: Legyen G azon elemek halmaza, melyekre f(x) x. Ennek alsó határa, g= inf(g) lesz a legkisebb fixpont (először belátjuk, g G, majd hogy g=f(g) (fixpont), és végül hogy legkisebb fixpont) Teljes háló: BÁRMELY részhalmazának van inf és sup (végtelen elemű részhalmaznak is) Egy alkalmazás: