Analízis I. Vizsgatételsor
|
|
- Jázmin Lakatosné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR /2
2 . A Bernoulli-egyenlőtlenség. Def.: Ha és h, akkor ( + h) + h. Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha = vagy h = 0. Bizonyítás: Teljes indukcióval. =: +h=+h Tfh.: (+h) + h Bizonyítsuk +-re: ( + h) + ( + )h Mivel h +h 0: (+h) (+h) ( + h)(+h)=+h+h+h =+(+)h + h +(+)h Egyenlőség: ha = vagy h=0, akkor +h +h illetve + 0. Az ellenkező irány bizonyításához tegyük fel, hogy ( + h) + h valamely N és h [,+ ) esetén. Tegyük fel még azt is, hogy 2. Azt kell igazolnunk, hogy ekkor h csak 0-val lehet egyenlő. Mivel (+h) =+h h((+h) + (+h) + +)= h ezért h>0 nem lehet, mert ekkor (+h) + (+h) + +>. Viszont h<0 sem lehet, mert ebben az esetben 0 (+h) + +(+h) + +<. Ezzel az egyenlőtlenséget bizonyítottuk. 2. A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség. Def.: Minden N + -ra és a a n 0 valós számokra: a a Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a = a 2 =.= a n. Bizonyítás: Teljes indukcióval. = esetén egyenlőség. Tfh.: a a a Bizonyítás +-re:... = = (+) + + = + ( + ) = = + = + = + + = Ha =0 0= = = egyébként 0 ekkor: h = ( + )
3 ugyanis (+) Erre a h-ra alkalmazzuk a Bernoulli egyenlőtlenséget + (+) +(+) = (+) + =(az indukciós feltevés miatt) = = Ha = =, akkor egyenlőség van. Ha egyenlőség van az ( + )-dikben, akkor h=0, azaz (+) =0 = Feltehető, hogy max {,, }, ekkor: = max{,, }= = = = 3. A valós számok Dedekind-féle axiómarendszere (testaxiómák, rendezési axiómák, tel-jességi (vagy Dedekind-féle) axióma). A természetes számok halmaza (N). A teljes indukció elve 3.. Testaxiómák:. Összeadás R-en: - kommutatív +=+, R, - asszociatív ( +)+=+(+),, R, - létezik null elem, azaz 0 R: + 0 =, R, - létezik ellentett, azaz R-re: ( ) R: + ( ) = Szorzás R-en: - kommutatív =, R, - asszociatív () =(),, R, - létezik egység elem, azaz R ( 0): =, R, - létezik reciprok, azaz R-re ( 0): R: =. 3. Disztributivitás: -(+)=+,, R, 3.2. Rendezési axiómák:. Létezik lineáris rendezés (, R vagy ): é, akkor = Ha ezek teljesülnek akkor R test é,akkor 2. Műveletek és rendezés közötti összefüggés: + +,,, R, 0 Ha ezek teljesülnek akkor R rendezett test,,, R, Teljességi (Dedekind-féle) axióma: Ha, R, 0, 0és, :, ekkor: R:, -re. 2
4 3.4. Természetes számok: R összes induktív halmazainak metszetét természetes számok halmazának nevezzük. Jelölése: N és N ={ N:>0} Teljes indukció elve: Def.: Tegyük fel, hogy () N-re egy állítás úgy, hogy:. (0) igaz, 2. ha () igaz ( + ) is igaz. Ekkor () igaz N. Bizonyítás: Jelölje ={ N:() igaz} Így, mivel 0, és ha (+). Tehát S induktív halmaz. Mivel induktív halmazok metszete is induktív ezért N, de N, mivel N a legszűkebb induktív halmaz. Tehát = N. 4. A szuprémum elv: számhalmaz maximuma, minimuma, korlátossága, a szuprémum elv, a szuprémum definíciója, ekvivalens átfogalmazás, a teljességi axióma ekvivalens a szuprémum elvvel, infimum. 4. Maximum: R halmaznak maximuma van, ha létezik, minden -ra. 4.2 Minimum: R halmaznak minimuma van, ha létezik, minden -ra. 4.3 Szuprémum elv: Def.: Ha R halmaz felülről korlátos, ekkor min{ R: felsőkorlátja nak}. Bizonyítás: Legyen = { R: felsőkorlátja nak}, ekkor:, : A teljességi axióma miatt: R:, -re. Tehát felső korlátja A-nak, így,de,( ). Azaz = min. 4.4 Szuprémum: R halmaz felülről korlátos halmaz. A legkisebb felső korlátot a halmaz szuprémumának nevezzük. Jelölés: sup = min{ R: felső korlátja nak}. 4.5 Ekvivalens átfogalmazás: R halmaz felülről korlátos halmaz, ekkor:. =, és ha felső korlát 2. =, és ha < :>. 4.6 A teljességi axióma ekvivalens a szuprémum elvvel: Bizonyítás: A szuprémum elv következik a teljességi axiómából, hiszen így bizonyítottuk azt be. Így elegendő a visszafele irányt belátni. Legyen, R,,, hogy, :. Tehát felülről korlátos (és -ben felső korlátok vannak). Azaz: = sup :. De a szuprémum elv miatt a legkisebb felső korlát. Azaz: :. 3
5 4.7 Infimum: R halmaz alulról korlátos halmaz. A legnagyobb alsó korlátot a halmaz infimumának nevezzük. Jelölés: inf = max{ R: alsó korlátja nak}. 5. Az archimédeszi tulajdonság és a Cantor tulajdonság. 5.. Archimédeszi tulajdonság: Def.:, R : N: < Bizonyítás: Indirekt Tfh.:, R : N:. Legyen = {: N}. Ekkor felülről korlátos, és egy felső korlát. Tehát: = sup Így: ( N) De legkisebb felső korlát, tehát ( ) már nem felső korlát. Tehát N:> azaz N: ( + ) > ami ellentmond az indukciós feltevésnek Cantor tulajdonság: Def.: Tfh.: N: [, ] egy zárt intervallum ( ) úgy, hogy [, ] [, ]. Ekkor ezen intervallumok metszete nem üres azaz: [, ] 0 Bizonyítás: = { : N} és = { : N}. Ekkor, N: Ugyanis ha ha > A teljességi axióma miatt: R: (, N) ( N) [, ]( N) [, ] 6. Halmazok, relációk és függvények. 4
6 7. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdonságok. Konvergens és divergens sorozatok. Sorozat határértéke. A határérték definíciójának egyszerű következményei. 7. Számsorozat: Az : R függvényt valós sorozatnak nevezzük. Az sorozat () helyettesítési értéke a sorozat n-edik tagja ( N),n az sorozat indexe. 7.2 Korlátosság: : R sorozat, ekkor:. ha R: N:, akkor felülről korlátos 2. ha R: N:, akkor alulról korlátos 3. ha R: N:, akkor korlátos 7.3 Monotonitás : R sorozat, ekkor:. ha < : akkor monoton nő 2. ha < : akkor monoton fogy 3. ha < : < akkor szigorúan monoton nő 4. ha < : > akkor szigorúan monoton fogy 7.4 Környezet: () ={ R: 7.5 Konvergencia definíciója : R sorozat konvergens, ha létezik R, hogy -nak bármely környezetén kívül a sorozatnak legfeljebb véges tagja van. Azaz R: > 0:{: ()} legfeljebb véges. 7.6 Divergens sorozat Ha az ( ): N R sorozat nem konvergens, akkor divergens. Azaz R, > 0, N, :. 7.7 A határérték definíciójának egyszerű következményei. 8. A rendezés és a limesz kapcsolata. Monoton sorozat határértéke. 8.. A rendezés és limesz kapcsolata: Tegyük fel, hogy ( ) és ( ) konvergens és lim =lim =. Ha N: akkor ( ) is konvergens és lim = (rendőr elv) A feltétel alapján tudjuk, hogy 0 N Nyilvánvaló, hogy ( ) nullsorozat. Ekkor a nullsorozatok tulajdonságaiból adódik, hogy ( ) is nullsorozat. Végül a nullsorozatokra vonatkozó műveleti tételek alapján kapjuk, hogy a ( ) sorozat, amely az ( ) konvergens és ( ) nullsorozat összege, maga is konvergens és lim = lim( ) + 0 = lim( ) Monoton sorozat határértéke 5
7 8.2.. Tétel. Tegyük fel, hogy az ( ) sorozat monoton növekedő és felülről korlátos, ekkor konvergens, és lim = sup { N} R N: sup( ) és > 0: N: > sup( ) ( ) monoton nő, ekkor ha > 0: N: : sup( ) < sup( ) : sup( ) < lim = sup( ) Tétel Tegyük fel, hogy az ( ) sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, ekkor konvergens, és lim = inf { N} R N: inf ( ) és > 0: N: > inf ( ) + ( ) monoton csökken, ekkor ha > 0: N: : inf( ) + inf( ) : inf( ) < lim = inf( ) 9. Nullsorozatok. Műveletek nullsorozatokkal. Műveletek konvergens sorozatokkal. 9.. Nullsorozat Az ( ): N R sorozat nullsorozat, ha ( ) konvergens és lim =0. Azaz: > 0, N, : 0 < 9.2. Műveletek nullsorozatokkal (.) Ha ( ) és ( ) is nullsorozat, akkor ( + ) is nullsorozat. (2.) Ha ( ) nullsorozat és ( ) korlátos sorozat, akkor ( ) is nullsorozat Lemma: Ha ( ) nullsorozat, akkor ( ) is nullsorozat. A bizonyításhoz írjuk fel a nullsorozat definícióját: lim =0 >0, N, : 0 = < ami azt jelenti, hogy lim =0. (.): Tegyük fel, hogy lim =0. Ekkor: és legyen lim =0, ekkor: > 0, N, : < 2 > 0, N, : < 2 Legyen = max{, }, ekkor a háromszög-egyenlőtlenség miatt Tehát ( + ) sorozat konvergens. > : + + < = 6
8 (2.): A bizonyításhoz tegyük fel, hogy ( ) sorozat nullsorozat. Ekkor: > 0, N, : < Tegyük fel, hogy ( ) korlátos. Ekkor > 0: N: <. Ezért N: <. Tehát ( ) nullsorozat Műveletek konvergens sorozatokkal Ha ( ) és ( ) sorozatok konvergensek és lim = R, lim = R, akkor: (.) ( + ) sorozat is konvergens és lim ( + )=+ (2.) ( ) sorozat is konvergens és lim( )= (3.) ( ) sorozat is konvergens és lim ( )= (4.) ha ( ) 0( N) és 0 is teljesül, akkor az sorozat is konvergens és lim =. (.): A bizonyításához elegendő azt belátnunk, hogy ( + ) nullsorozat. Ekkor: ( + )=( )+( ) de ( ) nullsorozat, hiszen lim =, ugyanígy ( ) is nullsorozat, hiszen lim =. A es tétel miatt lim + = +. Ezzel beláttuk et. (2.): A bizonyításhoz azt kell belátnunk, hogy ( ) is nullsorozat. Ekkor ( ) =( ) nullsorozat mivel egy konstans és lim = ezért ( ) nullsorozat. Ebből követezik, hogy lim =. Ezzel a t beláttuk. (3.): A bizonyításához elegendő azt igazolni, hogy ( ) nullsorozat. Ekkor ( ) = ( + ) = ( ) + ( ) mivel ( ) konvergens, ezért korlátos is és ( ) nullsorozat. Mivel lim = ebből következik, hogy ( ) nullsorozat. Az ( ) szintén nullsorozat mivel ( ) nullsorozat és miatt ( ) szintén nullsorozat. Tehát ( ) nullsorozat, ezértlim ( ) =. (4.): Mielőtt a belátnánk, bizonyítsuk be, hogy lim =, 0, akkor korlátos. Bizonyítás: legyen = ekkor N: : < = + = ( ) > 2 = 2 Ha, akkor: N: : < 2 < max,,, 2 korlátos. 7
9 (4.)-es bizonyításához, elég belátnunk, hogy nullsorozat. Ekkor = + = ( )+ = = ( )+ ( ) korlátos az előbb bizonyított tétel miatt és ( ) nullsorozat, és ( ) is nullsorozatok. ( )+ ( ) nullsorozat a 9.2-es tétel miatt. Ezért lim =. 0. Rendezés és műveletek az R halmazon. A műveletek és a határérték kapcsolata. 0.. Műveletek Tegyük fel, hogy ( ) és ( ) sorozatok tágabb értelemben konvergensek és lim = R, lim = R, ekkor: (.) ( + ) tágabb értelemben konvergens és lim ( + )=+, ha + értelmes (2.) ( ) tágabb értelemben konvergens és lim ( )=, ha értelmes (3.) ha ( ) 0( N) és 0 is teljesül, akkor az tágabb értelemben konvergens és lim = ha értelmes. Ha, R, akkor a műveletek konvergens sorozatokra vonatkozó tétel miatt igaz. (.): A bizonyításhoz tegyük fel, hogy: = R vagy =0 Ha R: > 0: N: : < Mivel <+ és = < : N: : > Ha = : R: N: : > Mivel := : > 0: N: : > Összeadva az utolsó két egyenlőtlenséget, kapjuk: > 0: = max{, }: : + > Tehát lim ( + )=. Hasonlóan = -re. (2.): A bizonyításhoz szintén tegyük fel, hogy: = és >0. A határérték értelmezéséből következik, hogy < : N: : > továbbá > 0: N: : > Összeszorozva a két egyenlőtlenséget, kapjuk: > 0: = max{, }: : > Ez azt jelenti, hogy ( ) konvergens és l lim ( )=. A másik három állítást hasonlóan lehet belátni. 8
10 (3.): Az állítás a szorzatra és a reciprokra vonatkozó tétel következménye. Éppen ezért elég azt megmutatni, hogy ha {, + }, akkor 0. = Tegyük fel, hogy = : Ebből következik, hogy Másrészről >0, ha. Tehát > 0: N: : > : < > 0: =max{, }: < Tehát lim =0. Ezt akartuk megmutatni. A többi eset hasonlóan bizonyítható Műveletek és határérték kapcsolata. Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel... Részsorozat Ha : N R sorozat és : N N indexsorozat, akkor az : N R sorozatot az részsorozatának nevezzük..2. Minden sorozatnak van monoton részsorozat Minden : N R sorozatnak van monoton részsoroazata. A bizonyításhoz vezessük be a csúcs fogalmát. Csúcs: N az ( ) sorozat csúcsa, ha > -ra <.. eset: végtelen sok csúcsa van -nak: Legyen a csúcsok szigorúan monoton növekedő sorozata. Ekkor csúcs, hiszen > : > > ugyanis >, tehát is csúcs. Így > : > > ugyanis >. Ezt az eljárást folytatva: > > Tehát szigorúan monoton fogy. 2. eset: véges sok csúcsa van -nak: Ekkor legyen a legnagyobb csúcs. Ha nem csúcs, akkor :. Legyen =+= ez nem csúcs, tehát: >+= : Így nem csúcs, ekkor = : > és. Ezt az eljárást folytatva kapjuk : N N indexsorozat, hogy: 9
11 Tehát monoton nő..3. Monoton sorozatok konvergenciája.3..: Tegyük fel, hogy ( ) monoton nő és felülről korlátos, ekkor ( ) konvergens és lim =sup N: sup ( ) és > 0, N: > sup( ) ( ) monoton nő, ekkor: ha > 0: N: : sup( ) < sup( ) : sup( ) < lim = sup( ).3.2.: Tegyük fel, hogy ( ) monoton csökken és alulról korlátos, ekkor ( ) konvergens és lim = inf N: inf ( ) és > 0, N: > inf( ) ( ) monoton csökken, ekkor: ha > 0: N: : inf( ) + inf( ) : inf( ) < lim = inf( ).4. A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Ha ( ) korlátos akkor indexsorozat, hogy konvergens. indexsorozat, hogy ( ) monoton. De ( ) korlátos is (alulról és felülről), ezért a monoton sorozatok konvergenciájára vonatkozó tétel miatt ( ) is konvergens. 2. Cauchy-féle konvergencia kritérium Cauchy-sorozat: Az ( ): R sorozat Cauchy-sorozat, ha > 0, N és, <. Cauchy-féle konvergencia kritérium: Az ( ): R sorozat konvergens akkor és csak akkor ha Cauchy-sorozat. Ha ( ) konvergens és =lim, akkor ekkor, : Tehát > 0: N: > : < 2 = + + <
12 3. > 0: N:,> : < Ezzel az "oda" irányt beláttuk. Nézzük a vissza irányt. Ehhez tegyük fel, hogy ( ) Cauchy sorozat Igazoljuk, hogy ( ) korlátos! A Cauchy sorozat definíciójából = választás mellett azt kapjuk, hogy N:,> : < Ekkor legyen = esetén: = + + < + következik. Ekkor legyen = max {,,,,, + } Ekkor N indexre <, tehát ( ) korlátos. A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel szerint ( )-nek van egy konvergens részsorozata. Legyen =lim Igazoljuk, hogy lim =. A határérték értelmezése alapján: > 0: N: > : < 2 Továbbá, mivel ( ) Cauchy-sorozat: > 0: N: > : < 2 Ekkor a háromszög egyenlőtlenség miatt = + + Tehát = {, }, ekkor > 0: N: > : < = Más szóval az ( ) konvergens, és határértéke. 4. A geometriai sorozat határértéke. Az e szám bevezetése az + N sorozattal. 4.. Geometriai sorozat: 0, <, = lim =, >, Először igazoljuk a < esetet: Nyílván >, így =+ Alkalmazzuk 0<h = Ekkor -re a Bernoulli-egyenlőtlenséget: = (+h) + h 0 + h A rendőr elv alapján lim =0 lim =0. Ha >, akkor =+( )
13 Ismét alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlőtlenséget h = -re: = (+h) + h Ekkor lim =. Ha >, akkor lim =. Ha =, akkor a ( ) sorozatot kapjuk, ami divergens. Ha <, akkor a sorozat váltakozó előjelű, és nem korlátos sem alulról, sem felülről, tehát divergens Tétel: N:, ekkor: + <+ + Használjuk a számtani mértani közép közötti összefüggést a következő számokra +,+, +, összesen db + van. Ekkor + + < + + Egyenlőség nem lehet, mert a számok nem egyenlőek. + < +2 + = Tétel: N:, ekkor: 2 + <4 A Bernoulli-egyenlőtlenséget alkalmazzuk h = -re, így + + =2 Felső korlát bizonyításához alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti összefüggést a következő számokra: összesen db + van. Ekkor + +, +, 2, < = = Egyenlőség nem lehet, mert a számok nem egyenlőek. Így szorozzuk be 4-gyel, ekkor kapjuk, ami a bizonyítandó állítás. + < Az e szám bevezetése: Láttuk, hogy 2 + sorozat monoton nő és korlátos. Tehát a sorozat konvergens és létezik valós határértéke. Legyen ez a határérték az. Azaz:
14 = lim Az, N,, N,, N,(!, N),(!, N) sorozat határértéke. 5.., N határértéke = Először lássuk be >-re: A számtani és mértani közép közti összefüggést felhasználva adódik, hogy: A rendőr elv miatt lim Ha =, akkor triviális. Ha <, akkor = =. ( )+ = + >. Erre alkalmazva az előzőleg bebizonyított állítást kapjuk, hogy. 5.2., N határértéke = Alkalmazzuk itt is a számtani és mértani közép közti összefüggést, így: = a rendőrelv miatt itt is lim =. 5.3., N határértéke = Ha <, N és, rögzítettek, akkor: lim =0 + + ( 2) = Legyen =+h. Ekkor: = ( + h) =+ h+ 2 h + + h + h vegyük mindkét oldal reciprokát + h Szorozzuk be mindkét oldalt -nal: 0 ( +)!! =! h ( +)!( +)! h ( ) ( ) = (+)! h A nevezőben + tényező van. A rendőrelv miatt lim =0. 3
15 5.4. (!, N) határértéke!= R, lim! =0. 0 =! 2 2 ugyanis, N: :. Ilyen például a ( = [ ] +). Ekkor a rendőrelvet felhasználva, kapjuk, hogy lim! = (!, N) határértéke! = lim! =0.! = Végtelen sor fogalma, konvergenciája, összege. Cauchy-féle konvergenciakritérium. A konvergencia egy szükséges feltétele. 6.. Végtelen sor Def.: Az (, N) sorozat által meghatározott = sorozatot (az által generált) végtelen sornak nevezzük. Jelölés:. a sorozat n-edik részletösszege Végtelen sor konvergenciája Def.: sor konvergens, ha az sorozat konvergens. Ha -nek létezik határértéke, akkor a sor összege ez a határérték, azaz =lim Végtelen sor összege Def.: sor konvergens, ekkor a lim ( ) N = lim számot a végtelen sor összegének nevezzük. Jelölés: ( ) =lim 6.4. Cauchy-féle konvergenciakritérium Def.: akkor és csak akkor konvergens, ha > 0, N,,, > : <. konvergens, akkor és csak akkor, ha ( ) konvergens > 0: N,,, > : < De 6.5. A konvergencia egy szükséges feltétele Def.: Ha konvergens, akkor lim = 0. = <. 4
16 Tegyük fel, hogy konvergens, ekkor: > 0, N,,, > : < Legyen =+, így < Tehát > 0, N,, : < Ez az jelenti, hogy az sorozat a 0-hoz tat. 7. Nevezetes sorok: a geometriai sor, teleszkópikus sor, a sor, a harmonikus sor. 7.. Geometriai sor Def.: R, ekkor akkor és csak akkor konvergens, ha < és ekkor az összege. +, h = (. ) = =++ + =, éé (2. ) (.) eset: ekkor divergens (2.) eset: ekkor sorozat konvergens <, ekkor lim =0. Ekkor 7.2. Teleszkópikus sor Def.: konvergens és () =lim = =. () = ( + ) felírható parciális törtként: = () () Ekkor: = = + = ( + ) 7.3. sor Def.: konvergens és, ekkor: () 2. 5
17 = ( ) =+ = = Harmonikus sor Def.: sor divergens és = -hez válasszuk meg -t úgy, hogy: 2 2 = Minden zárójeles rész 2 2 ( ) 8. Az -re vonatkozó = előállítás. Az irracionális szám, < < 2,8.! 8.. Def.: = Tétel: (.) = (2.) (3.) Q!! <! (.): A bizonyításhoz alkalmazzuk a binomiális tételt, ekkor + = =! ( )!! = =! ( +)( +2) =! =! 2 < <!! mivel a hányados kritérium miatt! konvergens. Ha akkor a definíció miatt! De rögzített N-re : = +!! 2 6
18 Ekkor N! 2 Az előző kettő miatt =! = lim +! (2.): A bizonyításhoz bontsuk ki: ekkor:! = = =!!!! = ( +)! + (+2)! + (+3)! +..= (+)! (+2)(+3 + < < (+)! (+) + = (+)! + = Ezzel beláttok az állítást. = (+)! = (+)! + =! + (3.): Indirekt bizonyítjuk: tegyük fel, hogy Q, ekkor,,, N legyen =! 0< <! 0< <! 0<!!< De előző miatt!=( )! N! =!! N!! Z 0<!!< Viszont ez ellentmondás mivel < ( N ) azaz 0 és között találtunk egész számot, ami nem lehetséges. 7
19 9. Pozitív tagú sorok konvergenciája. Az összehasonlító kritérium. 9.. Pozitív tagú sorok konvergenciája Def.: A pozitív tagú sor konvergens, akkor és csak akkor,ha = sorozat konvergens ( N), hiszen = + és 0. Ekkor konvergens ( ) konvergens ( ) korlátos Összehasonlító kritérium Def.: Legyenek és nemnegatív tagú sorok és létezik N, hogy 0 minden -re. Ekkor: (.) ha konvergens, akkor is konvergens. (2.) ha divergens, akkor is divergens. Jelölje: = = ekkor ( ). A (.)-es bizonyításához tegyük fel, hogy konvergens, akkor is konvergens. Ekkor ( ) korlátos. De ekkor ( ) is korlátos. Az előző tétel miatt a konvergens. Mivel a sorozat nem függ az első "néhány" tagtól, ezért is konvergens. A (2.)-es bizonyításához induljunk ki abból, hogy divergens. Ekkor is divergens, azaz az ( ) nem korlátos. Ekkor azonban ( ) sem korlátos, így divergens, tehát is divergens. 20. A gyök- és hányadoskritérium 20.. Gyökkritérium Def.: Tegyük fel, hogy létezik lim. Ekkor: (.) Ha lim (2.) Ha lim <, akkor a sor abszolút konvergens. >, akkor a sor divergens. Legyen = lim. (.)-ben feltettük, hogy <. Ekkor R:<<. Ekkor N: : < < De konvergens, ha <. Az összehasonlító kritérium miatt konvergens, azaz abszolút konvergens. A (2.) bizonyítása hasonlóan történik. > R:<<. Tehát N: : > > 8
20 Ekkor ( ) divergens (hiszen <), így az összehasonlító kritérium miatt divergens Hányadoskritérium Def.: Tegyük fel, hogy 0 ( N) és létezik lim. (.) ha lim (2.) ha lim <, akkor a sor abszolút konvergens. >, akkor a sor divergens. Legyen = lim (.)-ben feltettük, hogy <. Ekkor R:<<. Ekkor: azaz ha N: N: : < Ha a kapott első egyenlőtlenséget összeszorozzuk, akkor: egyszerűsítés után < De konvergens, ha <. Az összehasonlító kritérium miatt konvergens, azaz abszolút konvergens. A (2.) bizonyítása hasonlóan történik. > R:<<. Tehát N: : >> Az előző részhez hasonlóan, most is szorozzuk össze az első egyenlőtlenséget, majd egyszerűsítés után kapjuk: > De divergens, így az összehasonlító kritérium miatt divergens Abszolút konvergens sorok Def.: A abszolút konvergens, ha konvergens Tétel Tegyük fel, hogy abszolút konvergens, ekkor konvergens is. abszolút konvergens, alkalmazzuk a Cauchy-kritériumot, azaz: 9
21 > 0: N: : > : < De a háromszög-egyenlőtlenséget felhasználva kapjuk, hogy Azaz Tehát konvergens. > 0: N: : > : < 23. Tizedes törtek 23.. Def.: : N {0,,2,,9}, akkor a sor konvergens és [0,] De = konvergens, mert geometriai sor. De ennek ki tudjuk számolni az összegét is 9 0 = = 9 0 = Tétel Def.: Ha [0,] akkor létezik ( ): N {0,,2,,9}, hogy = 20. Osszuk fel [0,]-et 0 egyenlő részre. Ekkor intervallum, hogy és = 0, + 0 Majd 0 egyenlő részre osztjuk -et is. Ekkor, : = 0 + 0, Ezt az eljárást folytatva : N {0,,2,,9}, hogy =
22 Ekkor =, + és Azaz Jelölés: =0, < 0 0 lim = 0 lim =0 0 = Egyértelműség Az előállítás nem egyértelmű, hiszen 0,=0,09999 ugyanis: 0,09999 = 9 0 = = 9 0 = Def.: A 0, véges tizedes tört, ha N: : = Állítás: Igazolható, hogy a véges tizedes törteknek nem egyértelmű a felbontása. A nem véges (végtelen) tizedes törtek egyértelműen írhatók fel Def.: A 0, tizedes törtet végtelen szakaszos tizedes törtnek nevezzük Állítás: Igazolható, hogy ha [0,] Q, akkor véges tizedes tört, vagy végtelen szakaszos tizedes tört Végtelen sorok szorzása 26.. Def.: és végtelen sorok. Akkor ezek: (.) téglányszorzata: = (2.) Cauchy-szorzata: = {,} = (3.) Sorösszeg-szorzata: = = 2
23 (4.) Oszlopösszeg-szorzata: = = = Tétel Tegyük fel, hogy és konvergens és = és =. Ekkor ezek: (.) téglányszorzata, (2.) sorösszeg-szorzata (3.) oszlopösszeg-szorzata is konvergensek és a sorösszeg AB. (.) Írjuk fel a téglányszorzat definícióját: = Ekkor a szorzat részletösszege {,} = = tehát konvergens és (2.) bizonyítása hasonlóan: (,) = = = = tehát konvergens és (3.) bizonyítása hasonlóan: = = = = tehát konvergens és = Def.: Ha és abszolút konvergens sorok és =, =, akkor ezek Cauchy szorzata, téglányszorzata, sorösszeg szorzata és oszlopösszeg szorzata is abszolút konvergens és összegük AB. 22
24 Legyen N =N N. Ha -ek diszjunktak, és =N. Tekintsük a sort. Legyen: (,) = (,) Nyilván sorozat monoton nő. Igazoljuk, hogy ( ) felülről korlátos. Jelölje az -ben lévő legnagyobb indexet. Ekkor: Tehát az felülről korlátos, ekkor ( ) konvergens. De ekkor (,) konvergens, azaz (,) abszolút konvergens. DE: minden átrendezésnek ugyanaz az összege. Tudjuk viszont, hogy = az előző tétel miatt. Tehát az összeg mindig AB. Azaz = (,) Ebből következik, hogy mind a négy szorzatsor abszolút konvergens
Analízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenA valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenAnalízis Gyakorlattámogató jegyzet
Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenAnalízis ZH konzultáció
Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?
RészletesebbenFritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenKiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenSzámsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező
RészletesebbenMATEMATIKAI ANALÍZIS I.
MATEMATIKAI ANALÍZIS I. Vágó Zsuzsanna 200. szeptember 2 Tartalomjegyzék. Valós számok 5.. Bevezetés............................. 6... Természetes számok, teljes indukció.......... 6.2. Valós számok értelmezése....................
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenValós függvénytan Elektronikus tananyag
Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenANALÍZIS TANÁROKNAK II.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar CSÖRGŐ ISTVÁN ANALÍZIS TANÁROKNAK II. az Informatika Minor Szak hallgatói számára nappali és levelező tagozat Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK
RészletesebbenSZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
Részletesebben= 1, azaz kijött, hogy 1 > 1, azaz ellentmondásra jutottunk. Így nem lehet, hogy nem igaz
Egyenlőtlenség : Tegyük fel, hogy valamilyen A,B,C számokra nem teljesül, azaz a bal oldal nagyobb. Mivel ABC =, ha az első szorzótényezőt B-vel, a másodikat C-vel, a harmadikat A-val szorozzuk, azaz az
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenFraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
RészletesebbenPécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK
Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenGazdasági Matematika I.
Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK
RészletesebbenMATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ
MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ KÉZI CSABA GÁBOR Date: today. 1 KÉZI CSABA GÁBOR 1. Logikai állítások, műveletek 1.1. Definíció. Matematikai értelemben állításnak nevezünk egy olyan kijelentést, melynek
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenEger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet
Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................
Részletesebben-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden
Analízis-lexikon abszolút maximumhelye Legyen hogy tetszőleges függvény, és része értelmezési tartományának Azt mondjuk, az -nek -ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden esetén
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Részletesebben