Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis Gyakorlattámogató jegyzet"

Átírás

1 Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március.

2

3 Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Számsorozatok alaptulajdonságai 9.. Gyakorlat Mértani (geometriai) sorozatok Házi Feladatok Megoldások Nevezetes sorozatok 49.. Gyakorlat Nevezetes sorozatok Házi Feladatok Megoldások Határérték számítás I Gyakorlat Divergens sorozatok Határérték számítás a műveleti tulajdonságok alapján Házi Feladatok Megoldások Határérték számítás II Gyakorlat Határérték számítás a műveleti tulajdonságok alapján Sorozatok alsó- és felső határértéke Házi Feladatok Megoldások Végtelen sorok összege Gyakorlat Házi Feladatok

4 4 TARTALOMJEGYZÉK 6.. Megoldások Konvergencia kritériumok, hatványsorok 7.. Gyakorlat Hatványsorok Házi Feladatok Megoldások Nevezetes függvények 8.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Függvények határértéke 9.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Folytonosság, invertálás 47.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások II. Analízis II. 67.Differenciálszámítás 69.. Gyakorlat Műveleti szabályok Házi Feladatok Megoldások Deriválás 8.. Gyakorlat Logaritmikus deriválás Házi Feladatok Megoldások Differenciálszámítás alkalmazásai I Gyakorlat Érintő egyenlete L Hospital szabály Házi Feladatok Megoldások Differenciálszámítás alkalmazásai II Gyakorlat Taylor-formula és alkalmazásai Szöveges szélsőérték feladatok Házi Feladatok

5 TARTALOMJEGYZÉK Megoldások Teljes függvényvizsgálat Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Integrálási módszerek Gyakorlat Műveleti tulajdonságok Elemi módszerekkel integrálható függvények Helyettesítéses integrálás Parciális integrálás Házi Feladatok Megoldások Speciális függvényosztályok integrálása I Gyakorlat Racionális függvények integrálása Trigonometrikus függvények integrálása I Házi Feladatok Megoldások Speciális függvényosztályok integrálása II Gyakorlat Trigonometrikus függvények integrálása II Irracionális függvények integrálása Házi Feladatok Megoldások Határozott integrál, improprius integrál Gyakorlat Határozott integrál Improprius integrál Házi Feladatok Megoldások Differenciálegyenletek.. Gyakorlat Elsőrendű differenciálegyenletek Másodrendű differenciálegyenletek Házi Feladatok Megoldások Kétváltozós függvények.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások

6 6 TARTALOMJEGYZÉK III. Analízis III. 49.Integrálszámítás alkalmazásai I. 5.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Integrálszámítás alkalmazásai II. 7.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Integrálszámítás alkalmazásai III Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Kétváltozós szélsőérték feladatok Gyakorlat Szabad szélsőérték Feltételes szélsőérték Szöveges szélsőérték feladatok Házi Feladatok Megoldások Vonalintegrál és alkalmazásai Gyakorlat Vonalintegrál Primitív függvény (potenciál) keresés Egzakt és egzakttá tehető differenciálegyenletek Házi Feladatok Megoldások Kettősintegrál Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások

7 Előszó Én már láttam a Végtelent. mondta az idegen. Nincs benne semmi különleges. Terry Pratchett Jelen jegyzet a TÁMOP-4..-8//A Tananyagfejlesztés című pályázat keretében készült első sorban a Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Karának Programtervező Informatikus hallgatói számára, de könnyen adaptálható A Gazdasági Informatikus, Fizika BSc képzések Kalkulus gyakorlataihoz. A jegyzet minden fejezete megfelel egy-egy 9 perces gyakorlat anyagának és tartalmazza a témakörhöz tartozó, egyéni feldolgozásra szánt feladatokat. Az Analízis I. és Analízis II. rész esetében ez illeszkedik a heti óraszámhoz, Analízis III. rész esetén egy fejezet feladatait két hét alatt dolgozzuk fel. A feladatok megoldásainak végét szimbólummal, a bizonyítások végét pedig szimbólummal jelöltük. Az egyéni feldolgozásra szánt feladatok (Házi Feladatok) megoldásait külön alfejezetben közöltük, hogy lehetőséget nyújtsunk az önálló megoldásra. A jegyzet két formátumban készült. Az elektronikus publikálásra alkalmas böngészhető pdf formátum mellett elérhető egy a hiperlinkektől megfosztott formátumban is, melyet nyomtatásra alkalmasabb, átláthatóbb, a hagyomásnyos könyvformátumokhoz jobban illeszkedő tagolással készítettünk. A jegyzethez a közeljövőben készül továbbá egy java nyelven írt program, melynek segítségével ellenőrző dolgozatok feladatsorait generálhatjuk. A próba feladatsorok a Programtervező Informatikus képzés analízis zárthelyi dolgozataihoz illeszkednek. Ezek időpontjai a képzés keretén belül: Analízis I.. dolgozat 7. gyakorlati héten -6. fejezet anyagából 9 perc. dolgozat. gyakorlati héten 7-. fejezet anyagából 9 perc Analízis II.. dolgozat 7. gyakorlati héten -6 fejezet anyagából 9 perc. dolgozat. gyakorlati héten 7-. fejezet anyagából 9 perc Analízis III. dolgozat. gyakorlati héten -7 fejezet anyagából 9 perc Ez úton szeretném megköszönni Dr. Eisner Tímeának a tananyag összeállítása és rendszerezése során nyújtott segítségét. Az idézet Terry Pratchett Soul Music című regényéből való. Az eredeti: I VE SEEN THE INFINITE, said the stranger. IT S NOTHING SPECIAL. 7

8 8 TARTALOMJEGYZÉK

9 Első rész Analízis I. 9

10

11 . fejezet Számhalmazok tulajdonságai, bizonyítási módszerek.. Gyakorlat Teljes indukció elve:.. Tétel. Ha a természetes számokra vonatkozó valamely állítás a) igaz a számra, b) abból, hogy az n természetes számra igaz az állítás, következik, hogy az n+ számra is igaz, akkor az állítás igaz minden természetes számra... Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az első n+ természetes szám összege n (n+), azaz n k ++ +n n (n+). k i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (+). ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: n k iii) Igazoljuk az állítást n+-re! k n (n+). (indukciós feltétel) (.) n+ k (n+)+ k n k (n+)+n(n+) k (.) (n+)+ n(n+) (n+)(n+) (n+)((n+)+). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.

12 . FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI.. Feladat. Bizonyítsuk be a Bernoulli-féle egyenlőtlenséget, azaz, hogy minden n N és h R esetén a) +nh (+h) n, ha h >, b) (+h) n +nh, ha < h < n. a) i) n esetén +h (+h) +h. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás igaz: iii) Igazoljuk n+-re (+h) n+ (+h) n +nh (+h) n. (.) > (+h) > (.) (+nh)(+h) +nh+h+nh +(n+)h+ }{{} nh +(n+)h. Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra. b) Segédegyenlőtlenségek: > h, (h > ; h ) (.) +h nh > +nh. ( < h < n ) (.4) Mivel + h >, ezért (.) ekvivalens a következő, nyilvánvalóan igaz egyenlőtlenséggel > ( h)(+h) }{{} h. Mivel + nh >, ezért (.4) ekvivalens a következő összefüggéssel Felbontva a zárójelet kapjuk, hogy ( nh)(+nh) >. +nh nh n h + nh( nh > ) >. Az igazolandó állítás bal oldalának reciprokát a következőképpen becsülhetjük: (.) ( h) n (a) nh > (+h) n +nh >. Kihasználva, hogy pozitív számok között éppen fordított reláció áll fent, mint reciprokaik között kapható az állítás: (+h) n +nh. >

13 .. GYAKORLAT.. Feladat. Mutassuk meg, hogy x, x,... x n R, n N számokra (Általánosított háromszög-egyenlőtlenség.). Megoldás: x +x + +x n x + x + + x n. i) n és n esetben az állítás semmitmondó. n esetén x +x x + x. Az abszolútérték előadáson igazolt tulajdonságai alapján a fenti állítás egyszerűen igazolható: } x x x ( x x x x + x ) x +x x + x. Innen szintén az abszolútérték tulajdonságai alapján következik az állítás x +x x + x. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N értékre az állítás igaz, azaz iii) Igazoljuk n+-re x +x + +x n x + x + + x n. (x +x + +x n ) X +x n+ Y x +x + +x n + x n+ (i) X + Y (ii) x + x + + x n + x n+. Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N indexre.. Megoldás: A teljes indukciót az indukciós elv másik megfogalmazása alapján végezzük:.. Tétel. Ha a természetes számokra vonatkozó valamely állítás a) igaz a számra, b) abból, hogy minden az n természetes számnál kisebb természetes szám esetén igaz az állítás, következik, hogy az n számra is igaz, akkor az állítás igaz minden természetes számra. i) n esetén az állítás érdektelen, n esetben pedig nyílvánvaló. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N értékre és minden n <n esetére bizonyítottuk az állítást.

14 4. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI iii) Igazoljuk n+-re: Legyen k n (x +x + +x k ) X +(x k+ +x k+ + +x n +x n+ ) Y x +x + +x k + x k+ +x k+ + +x n +x n+ (ii) X + Y (ii) x + x + + x n + x n+. Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N indexre... Megjegyzés. A számok abszolútértékének előadáson megismert tulajdonságai közül még nem bizonyítottuk az alábbi összefüggést: Bizonyítás. x y x y (x, y R). x y +(x y) (.i) y + x y x y x y x és y szerepét felcserélve a fenti gondolatmenet alapján adódik: ( x y ) y x y x x y x y x y A két becslést összevetve kapható az állítás..4. Definíció. A K R szám a H halmaz felső korlátja, ha minden h H esetén h K teljesül. Egy halmaz felső korlátjai közül a legkisebbet felső határnak, vagy szuprémumnak nevezzük. (Alsó korlát és alsó határ vagy infimum hasonlóan értelmezhető.).4. Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmazok alsó- és felső határát! { } A n : n N, n > B {x Q : < x < } A) Sejtés: sup A. Bizonyítás. i) Az egy jó felső korlát, hiszen ii) Az a legkisebb felső korlát, vagyis a A minden K-ra ilyen. a A a, mivel n n K < esetén a A : a > K. Azaz K valóban a legkisebb felső korlát. (Az állítás indokolható lett volna azzal is, hogy A így a halmaz maximuma és szuprémuma is egyben.)

15 .. GYAKORLAT 5 Sejtés: inf A. Bizonyítás. i) A egy jó alsó korlát, mivel a A a. nyilvánvaló, hiszen, n a n. ii) A a legnagyobb alsó korlát, vagyis k > esetén a A : a < k. Legyen b k R+. Az archimédeszi axióma alapján, b R + számokhoz n N b < n. Ekkor a : n < b k. Azaz k valóban a legnagyobb alsó korlát. B) Sejtés: sup B. Bizonyítás. i) Az egy jó felső korlát, ami B definíciójából nyilvánvaló. ii) Az a legkisebb felső korlát, azaz K < esetén b B : b > K. Ha K <, akkor nyilvánvalóan létezik ilyen b. Vizsgáljuk a < K < esetet. Ekkor legyen c. Az archimédeszi axióma értelmében, (vagy mert N felülről K nem korlátos) n N, amelyre c < n K c > n K < n n n Továbbá b B is igaz, hiszen b Q és < b < is teljesül. : b Q. A bizonyítás során használhattuk volna azt a tételt, mely szerint minden intervallum tartalmaz racionális számot, így a (K,) intervallum is. Az inf B sejtés hasonlóan igazolható..5. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy inf { x : x X} sup X. Legyen α : sup X és legyen Y : { x : x X}. Ekkor i) Az α az Y egy jó alsó korlátja, mivel α sup X x X α x α x x X α y y Y.

16 6. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI ii) Az α az Y infimuma, azaz k > α esetén y Y : y < k. Mivel α az X szuprémuma ezért bármely K < α esetén létezik x X elem, hogy x > K. Legyen K k < α és legyen x a fentiek alapján K -hoz talált X-beli elem, azaz x > K k K > α y x Y y x < K k. Azaz α valóban az Y halmaz infimuma..6. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy sup {x+y : x X, y Y } sup X + sup Y. } {{ } } {{ } } {{ } :A α β i) α+β egy jó felső korlát, hiszen x α ( x X) és y β ( y Y ). A két egyenlőtlenséget összeadva: x+y α+β x X, y Y. ii) α+β a legkisebb felső korlát, azaz K < α+β esetén a A, amelyre a > K. Mivel K < α+β ezért létezik k < α és létezik k < β, hogy K k +k. (Megjegyeznénk, hogy K felbontásai közül nem mind teljesíti egyszerre mindkét feltételt, de garantálható, hogy létezik olyan felbontás, amely igen.) Ekkor k < α sup X x X, x > k, k < β sup Y y Y, y > k. Így a : x +y A esetén a > K k +k teljesül..7. Feladat. Írjuk fel és igazoljuk a számtani- és mértani közép közötti összefüggést n esetben. Legyen x, x, ekkor x x x +x, vagyis nem-negatív számok mértani közepe kisebb egyenlő, mint a számtani közepük. Bizonyítás. x x x +x x x x +x x +x 4 4x x x +x x +x x x x +x (x x ), ami nyilvánvalóan minden x, x számra igaz. / ( )

17 .. GYAKORLAT 7.5. Megjegyzés.. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x x, ez a fenti bizonyítás alapján is nyilvánvaló.. A geometriai bizonyítás elegáns, de az algebrai megoldás könnyebben általánosítható. x +x R x x m m R mindig igaz.. Az általánosított összefüggés bizonyításától eltekintünk, de elolvasása tanulságos. Lásd: [5].o. 4. Az összefüggés ismerete szükséges, csak bizonyítani nem kell. A számtani- és mértani közép közötti összefüggés: Legyen n >, n N és x, x,..., x n R +. Ekkor n x x... x n x +x + +x n. n

18 8. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k n (n+) (n+). 6.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k n (n+). 4 k k.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy megoldás megoldás + + +n (n+) n (n+) (n+). megoldás.4. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy vagyis + + +(n ) n (n ), n (k ) n (n ). k.5. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy vagyis!+!+ +n n! (n+)!, n k k! (n+)!. k.6. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy vagyis n (n+) n n+, n k megoldás megoldás k (k +) n n+. megoldás.7. Házi Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmazok alsó- és felső határát. { } { } ( ) n A : n N, n > B n n +( )n n : n N, n > { } x C y : < x < ; < y < x.8. Házi Feladat. Legyenek X R és Y R valós számhalmazok. Igazoljuk, hogy a) sup{ x : x X} inf X b) inf{x+y : x X y Y } inf X +inf Y c) sup{x y : x X y Y } sup X inf Y megoldás d) inf{x y : x X y Y } inf X sup Y megoldás

19 .. MEGOLDÁSOK 9.. Megoldások.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k k n (n+) (n+). 6 Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (+) (+) 6 ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n+ k (n+) + k n k n k (n+) (n +n+6n+6) 6 (n+) (n+) (n+) 6. k n (n+) (n+). (.5) 6 k (.5) (n+) + n (n+) (n+) 6 (n+) (n +7n+6) 6 (n+) ((n+)+) ((n+)+). 6 Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra... Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k k n (n+). 4 Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (+) ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: n k k n (n+). (.6) 4

20 . FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n+ k (n+) + k n k (n+) (n +4 (n+)) 4 (n+) (n+) 4 k (.6) (n+) + n (n+) 4 (n+) (n +4n+4) 4 (n+) ((n+)+). 4 Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra... Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy + + +n (n+) n (n+) (n+). Bizonyítás. A fenti összefüggés az alábbi zárt alakban írható: n k k (k +) n (n+) (n+). A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (k +) (+) (+) ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n k 6. k (k +) n (n+) (n+). (.7) n+ k (k +) (n+) (n+)+ k (n+) (n+)+ n (n+) (n+) (n+) ((n+)+) ((n+)+). n k k (k +) (.7) (n+) (n+) (n+) Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.

21 .. MEGOLDÁSOK. Megoldás: Az állítás igazolható teljes indukció nélkül is. Jelen esetben ráadásul ez a módszer az egyszerűbb. A későbbiekben a sorozatok tulajdonságainál is visszatérünk a problémára n (n+) n (n+) (n+) 6 + n (n+) n k (k +) k.4. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n (n+) 6 n k +k k + + +(n ) n (n ), n k + k n k k (n++) n (n+) (n+). vagyis n (k ) n (n ). k Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen ( ) ( ). ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: n (k ) n (n ). (.8) iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n+ n (k ) ((n+) ) + (k ) (.8) k k k (n+) +n (n ) n 4 n +8n +n +6n+ n 4 +8n +n +6n+ n 4 +6n +5n +n+n +6n +5n+ (n +6n +5n+)(n+) (n +4n +n+n +4n+)(n+) ( (n +4n+) (n+) ) (n+) (n+) ((n +n+) ) (n+) ((n+) ). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.. Megoldás: Ez az állítás is igazolható teljes indukció nélkül (n ) (n) ( (n) ) (n) ( + + +n ) n k 8 n k k k (n) (n+) 8 n (n+) n (n+) n (n+) 4 4 n (4n +4n+ (n +n+) ) n (n ).

22 . FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI.5. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy!+!+ +n n! (n+)!, vagyis n k k! (n+)!. k Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen!!. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n k k! (n+)!. (.9) k n+ k k! (n+) (n+)!+ k n k k k! (.9) (n+) (n+)!+(n+)! (n+)! ((n+)+). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra. Így. Megoldás: Az állítás közvetlen igazolása is tanulságos és elegáns.!+!+ +n n! n k k! k k k! (k + ) k! (k +)! k! n (k+)! k!(/!!)+(/! /!)+ +((n+)! /n!)(n+)!. k.6. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n (n+) n n+, vagyis n k k (k +) n n+. Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük.

23 .. MEGOLDÁSOK i) n esetén az állítás igaz, hiszen +. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n k k (k +) n n+. (*) n+ k k (k +) n (n+)(n+) + ( ) k (k +) k (n+)(n+) + n n+ n(n+)+ (n+)(n+) n +n+ (n+)(n+) (n+) (n+)(n+) (n+) (n+). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.. Megoldás: Ez az állítás is igazolható közvetlenül. A módszert a végtelen sorok témakörnél fogjuk sokszor alkalmazni. Visszaírva a zárt alakba: (k +) k k (k +) k (k +) k k n n (n+) k ( /) ( / /) ( / n k (k +) n n+ ) k k k + n+ n n+..7. Házi Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmazok alsó- és felső határát. { } { } ( ) n A : n N, n > B n n +( )n n : n N, n > C { } x y : < x < ; < y < x A) Sejtés inf A és sup A Észrevétel: Ha n páros, akkor ( )n >, ha n páratlan, akkor ( )n <. Így a halmaz elemei n n két osztályra bonthatók aszerint, hogy n páros vagy páratlan. (Osztály: olyan részhalmazok

24 4. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI összessége, melyek páronként diszjunktak és egyesítésük visszaadja az eredeti halmazt.) Legyen tehát { } { } ( ) k+ ( ) k A : k + : k N és A : : k N. k Ekkor igaz, hogy a < < a a A, a A. Így sup A sup A és inf A inf A. sup A sup A. Bizonyítás. { ( ) k A : k : k N } { } k : k N. i) Az egy jó felső korlát, hiszen k k ii) Az a legkisebb felső korlát, hiszen A, így bármely K < esetén létezik az A halmaznak olyan a eleme, amelyre a > K. (Ha más nem, akkor az a ilyen elem.) Az infimum bizonyítását hasonlóan lehet elvégezni. B) Sejtés: B nem korlátos sem alulról, sem felülről. A páros n-ekhez tartozó elemek halmaza legyen B, a páratlanoké B : { } { } B : k +( )k : k N B : k + +( )k+ : k N Ekkor b < < b minden b B és minden b B esetén. Így Sejtés: inf B inf B. Bizonyítás. sup B sup B, és inf B inf B. K R esetén b B, amelyre b < K. Legyen c : K. Ekkor az archimédeszi axióma értelmében k N c < k. Erre a k-ra igaz a következő K c > k ( ) k+ k k + +( )k+ (k +) : b. A fenti levezetés lépései közül (**)-gal jelölt becslés magyarázata: k + < ( )k+ k > k + +( )k+ k k + +( )k+ (k +). Azaz megadtuk a képletet, amellyel tetszőleges K R szám esetén találhatunk egy b B elemet amely a kérdéses K-nál kisebb. Tehát K nem lehet alsó korlát.

25 .. MEGOLDÁSOK 5 A sup B sejtés hasonlóan igazolható. C) Sejtés: sup C és inf C. a) A C felülről nem korlátos halmaz, azaz K R esetén c C hogy c > K. Ekkor az archimédeszi axióma alapján K, R számokhoz létezik egy n N természetes szám, hogy K < n, így K < n n n n C n n Valóban, hiszen b) Sejtés: inf C. < x <, < y n <. i) Az valóban egy jó alsó korlát, hiszen < y < x minden c x C esetén, így c olyan y törtként írható fel, melynek számlálója nagyobb, mint a nevezője, vagyis c > minden c C esetén. ii) Az a legnagyobb alsó korlát, azaz k R, k > esetén c C hogy c < k. Legyen b :, ekkor mivel N felülről nem korlátos n N, hogy b < n, így k >. k n Legyen ekkor c : + < +k k. c C, hiszen n c + n n+ n+ n n+ n, ahol < x n+ n+ < és < y n n+ < x n+ n+. n+.8. Házi Feladat. Legyenek X R és Y R valós számhalmazok. Igazoljuk, hogy a) sup{ x : x X} inf X b) inf{x+y : x X y Y } inf X +inf Y c) sup{x y : x X y Y } sup X inf Y d) inf{x y : x X y Y } inf X sup Y Megoldás: a) Legyen A : { x : x X} és α : inf X. i) α egy jó felső korlát, hiszen mivel α inf X, ezért α x x X α x x X.

26 6. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI ii) α a legkisebb felső korlát, hiszen mivel α inf X, ezért k > α x X x < k. K k < α y x A y > k K, ami az állítással ekvivalens. b) Legyen B : {x+y : x X y Y } és α : inf X, továbbá β : inf Y. i) α+β egy jó alsó korlát, hiszen α x, β y, x X, mert α az X egy alsó korlátja, y Y, mert β az Y egy alsó korlátja. A két egyenlőtlenséget összeadva: ii) α+β a legnagyobb alsó korlát, vagyis α+β x+y x X, y Y. k > α+β esetén b B, amelyre b < k. k > α+β k > α, k > β, hogy k +k k. Ekkor mivel k > α inf X x X, x < k és mivel k > β inf Y y Y, y < k. Így b : x +y B esetén b < k k +k. Megjegyzés: A c és d feladat igazolható lenne a korábbiakra való hivatkozással is, de a teljesség kedvéért nézzük a részletes bizonyítást! c) Legyen C : {x y : x X y Y }, α : sup X és β : inf Y i) α β egy jó felső korlát, hiszen α x x X és β y y Y β y y Y α β x y : c C x X és y Y ii) α β a legkisebb felső korlát, azaz K < α β esetén c C c > K. K < α β k < α, k > β, hogy k k K. Mivel k < α sup X x X, x > k. Mivel k > β inf Y y Y, y < k y > k. A fenti két egyenlőtlenséget összeadva kapjuk: ami az állítással ekvivalens. x y > k k K, d) Legyen C az előző feladatban definiált halmaz és γ : inf X, továbbá δ : sup Y

27 .. MEGOLDÁSOK 7 i) γ δ egy jó alsó korlát, hiszen γ x x X és β y y Y β y y Y γ δ x y x X, y Y. ii) γ δ a legnagyobb alsó korlát, azaz k > γ δ esetén c C C < k. k > γ δ k > γ és k < δ, hogy k k k. Mivel k > γ inf X x X x < k. Mivel k < δ sup Y y Y y > k y < k. C c : x y < k k k, ami az állítással ekvivalens.

28 8. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI

29 . fejezet Számsorozatok alaptulajdonságai.. Gyakorlat.. Feladat. Írjuk fel a sorozat.,.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Fogalmazzunk meg sejtést a sorozat monotonitásáról, majd igazoljuk azt. a ( ) n +n, n N a a + 4 a a a a + 9 Sejtés: szigorúan monoton csökken. Monotonitás vizsgálat: a n+ a n? a n n +n a n+ (n+) +(n+) n +n+ n n+4 9

30 . FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Ezeket felhasználva: a n+ a n n n+4 n +n ( n )(+n) ( n)(n+4) (n+4)(n+) 4n 4n n ( 4n +n 8n+4) 6 (n+4)(n+) < a n+ a n < n N a n+ < a n n N (n+4)(n+) n N Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő... Feladat. Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából a következő sorozatokat! ( ) n a) a +n, n N n+ a n+ a n? Ezeket felhasználva: a n n +n n+ a n+ (n+) +(n+) (n+)+ a n+ a n n +4n+ n+ n +n++n+ n+ n +4n+ n+ n +n n+ (n +4n+)(n+) (n +n)(n+) (n+)(n+) n +4n +n+n +4n+ (n +n +n +4n) (n+)(n+) n +n+ (n+)(n+) > n N a n+ a n > n N a n+ > a n n N Tehát a sorozat szigorúan monoton növő. b) b ( n n 7, n N) i) b > b 5 > b > b < b 4 4. A fenti néhány elem felírásából is látszik, hogy a sorozat nem monoton, mert b > b < b 4.

31 .. GYAKORLAT.. Megjegyzés.. Nem monoton sorozat esetén elegendő három egymás utáni elemet mutatni, amelyek úgy viselkednek, hogy a sorozat sem monoton növő, sem monoton csökkenő nem lehet.. A sorozat általános tagjának értelmezhetőségét vizsgálva a következő megállapítás tehető: n ; n 7 n,5. n 7 Ezt a kritikus értéket a sorozat elemeinek indexe a kikötéstől függetlenül sem venné fel (,5 / N), de a vizsgálat azért hasznos, mert a sorozat a kritikus pont környezetében vált monotonitást, vagyis most a b, b, b 4, vagy a b, b 4, b 5 elemhármas felírásával megmutatható, hogy a sorozat nem monoton.. Az előző megjegyzésekben vázolt módszer előnye, hogy kevés számolással választ tudunk adni a sorozat monotonitására. A hátránya abban rejlik, hogy csupán annyit lehet megállapítani, hogy a sorozat nem monoton. A következő módszerrel ennél többet is megállapíthatunk. ii) b n+ b n? Ezeket felhasználva: b n b n+ n n 7 (n+) (n+) 7 n+ n 5 b n+ b n n+ n 5 n n 7 (n 7)(n+) (n 5)n (n 5)(n 7) n 7n+n 7 (n 7n) (n 5)(n 7) 7 (n 5)(n 7) < ha n > ha n < ha n 4 Legyen A : n 5 és B : n 7. Ekkor a b n+ b n különbség egy olyan tört alakban írható, amelynek számlálója 7, nevezője pedig az A B szorzat, így az előjele leolvasható az alábbi táblázatból: n n n 4 n A + + B + b n+ b n + Tehát a b sorozat egy bizonyos indextől kezdve szigorúan monoton csökken. Megjegyzés. A dolgozatban a feladat megoldását a részletesebb módszerrel kérjük.

32 . FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI c) c (( 5 ) n, n N ) i) A sorozat nem monoton, hiszen például: ii) c n+ c n c > c 5 < c 5. ( 5) n+ ( ) n ( 5 5 n ( 5) ) n 5 ( 5) n ( 5 ) 6 5 Tehát a sorozat nem monoton. ( 5 ) n < ha n páros > ha n páratlan... Megjegyzés. A második, részletesebb megoldás során válik láthatóvá, hogy nincs olyan index, amelytől kezdve a sorozat monoton lenne. Érdemes megjegyezni, hogy a monoton és a bizonyos indextől kezdve monoton sorozatok viselkedése hasonlít egymásra és nem a nem monoton sorozatoké. Ezért érdemes a részletesebb vizsgálatot végigszámolni... Feladat. Vizsgáljuk meg az a ( n +n, n N) sorozatot korlátosság szempontjából! i) sejtés a n.. Megjegyzés. A sejtés felső becslése rossz. A sorozat első néhány elemét felírtuk az.. feladatban. Azok alapján látható, hogy a sorozatnak van -nél nagyobb eleme. Azért választottuk a nyilvánvalóan hibás felső korlátot, hogy lássuk, mi történik, ha rossz a sejtés. Bizonyítás. Megvizsgáljuk, hogy a n n+ reláció mely n-ekre teljesül. n n+ n n+n+ + n+ n+ 98n+ n+ A tört akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. Legyen A:98n+ és B : n+. Ekkor felhasználva, hogy n+ n n 98n+ 98n n 98

33 .. GYAKORLAT a tört előjele leolvasható az alábbi táblázatból. n n < n < n < n < n A B + A + NA + B I. II. III. IV. V. Az I.-es és a II.-es tartomány a feltételnek megfelelne, de nincs ilyen n N. A III.- as és a IV.-es tartomány nem felel meg a feltételnek, úgysincs ilyen n N. n N tehát az V. tartományba esik. Ebben a tartományban pedig a fenti táblázat alapján minden pont kielégíti a feltételt. Ezzel az állítást igazoltuk, vagyis k egy jó alsó korlát..4. Megjegyzés. Fordítva is indokolhattunk volna: Ha n N, akkor 98n+ > és n+ >. Vizsgáljuk most a felső korlátra vonatkozó sejtést! Bizonyítás. a n n n+ n n+ + (n+) n+n+ n n+ A baloldalon szereplő tört nevezője minden n N esetén pozitív, így a tört előjelét a számláló határozza meg. Tehát a tört pontosan akkor nem-pozitív, ha n. A feltétel nem teljesül minden természetes index esetén, ebből látszik, hogy a becslés nem volt helyes. Szerencsére csak véges sok n N esetén nem igaz az állítás (n, n ). Ilyenkor új korlátot választunk. Ha lehetséges, akkor érdemes felírni a problémás elemeket és meghatározni a maximumukat. (Hiszen véges sok elem esetén mindig van ilyen tulajdonságú.) a, a. A következő sejtés K lesz, ami 4 már nyilvánvalóan jó lesz. a n n n+ n n+ (n+) n n n n+ Ami nyilvánvalóan minden szóbajöhető n-re teljesül.

34 4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI ii) Mivel monotonitás szempontjából már megvizsgáltuk a sorozatot, használhatók a monoton sorozatok korlátaira vonatkozó tételek. Ezek előnye, hogy rögtön a határokat adják meg, míg az első módszernél a határokat tovább kell keresni. a szigorúan monoton csökkenő, vagyis a > a > a > > a n > a n+ >... n N Így a a n n N. K a max{a n : n N} sup{a n : n N} sup a. Szigorúan monoton csökkenő sorozat alsó határa (infimuma) a határérték: k inf a lim a lim n a n. Ha az első módszerrel vizsgáljuk, a szuprémum illetve infimum tulajdonság bizonyítása a halmazoknál használt módon történik..4. Feladat. Vizsgáljuk meg az a ( n n 7, n N) sorozatot korlátosság szempontjából! i) A sorozatot a b feladatban megvizsgáltuk monotonitás szempontjából. A sorozat egy bizonyos indextől kezdve szigorúan monoton csökken. a n n n 7 ( ) n n,5+,5 n,5 n,5 +,5 n,5 7 4 n,5 +. Mivel a sorozatok N-en értelmezett függvények, így az n a n leképezés az x f(x) 7 + függvény leszűkítése N-re. 4 x,5

35 .. GYAKORLAT 5 A függvény menetéből nyilvánvaló, hogy a sorozat határait a szinguláris hely körül kell keresni. Jelen esetben min a inf a a max a sup a a 4 4. A dolgozatban ilyen esetben vagy a fenti részletes magyarázatot kell leírni az ábrával együtt, vagy a következő bizonyítást az sejtésekre. ii) Sejtés: inf a Bizonyítás. inf a és sup a 4. ) A egy jó alsó korlát, hiszen a n n N, mert Ha n 4, akkor a n n n 7 n n 7 + n+6n n 7 7n n 7 n n 7 Ha n < 4, akkor n és n 7 n n 7 n és n 7 < n n 7 ) A a legnagyobb alsó korlát, hiszen a sorozat elemei közt szerepel, így inf a min a a..5. Megjegyzés. A sup a4 bizonyítása hasonlóan történik. Ez házi feladatként elvégzendő!.5. Feladat. a) Definíció alapján igazoljuk az a ( n n+, n N) sorozat konvergenciáját! b) Adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε, sugarú környezetébe!

36 6. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI a) Sejtés: lim n a n A. Az (a n, n N) sorozat konvergens és a határértéke a A szám, ha ε > N N(ε) N n > N a n A < ε. (.) n n+ ( ) < ε n+(n+) n+ < ε n+ < ε Az abszolútértékben szereplő kifejezés n N esetén pozitív, így az abszolútértéke önmaga: Ekkor legyen N(ε) : max {[ ε n+ < ε < ε(n+) < n+ ε < n ε ], ε }. < n Nyilvánvaló, hogy ez jó küszöbindex és bármely ε > esetén a fenti formula alapján kiszámítható, így a sorozat valóban konvergens és a határértéke. [ ] [ ] [ ] 98 b) N(,) 49. Vagyis a sorozat 49. eleme még kívül van a (,;,99) környezeten, de az 5. elemtől kezdve az összes elem a fenti intervallumba esik.... Mértani (geometriai) sorozatok.6. Definíció. Legyen x (q n, q R rögzített, n N). Az ilyen alakban írható sorozatokat mértani sorozatoknak nevezzük..7. Tétel. Legyen x egy mértani sorozat, ekkor a) ha q >, akkor x divergens és lim x, b) ha q, akkor x divergens, c) ha < q <, akkor x konvergens és lim x, d) ha q, akkor x konvergens és lim x.

37 .. GYAKORLAT 7 Bizonyítás. a) q > lim x R R, N N(R) N n > N, x n > R. (.) Vizsgáljuk meg, hogy mely n-ekre teljesül, hogy q n > R. Mivel q > q n (+(q ) ) n B +n(q ) > R } {{ } > n > R q {[ ] } R N(R) : max ; q A fenti küszöbindex választása mellett (.) valóban teljesül..8. Megjegyzés.. A B -val jelölt becslés során az első gyakorlaton bizonyított Bernoulli-egyenlőtlenséget használtuk. A továbbiakban is ezt a jelölést alkalmazzuk.. A bizonyítás során az x n elemet alulról becsültük, majd beláttuk, hogy még a becslés is nagyobb R-nél. A bizonyításaink során gyakran használjuk a becslést, ezért fontos megértenünk az elvét. Egy A < B egyenlőtlenség igazolása során A-t felülről (B-t alulról) becsülhetjük, de csak úgy, hogy az egyenlőtlenség iránya ne változzon. b) Ha q, akkor x (( ) n, n N). A sorozat páros illetve páratlan indexű elemeiből álló részsorozatait vizsgálva megállapítható, hogy ezek határértéke nem egyenlő ( lim x n, lim x n+,). Ez ellentmond a határérték n n definíciójának harmadik következményének. ( Konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergens és határértéke az eredeti sorozat határértékével egyenlő. ) Ha q <, akkor legyen ν (n, n N) x ν (q n, n N) ((q ) n, n N) q > lim(x ν) + µ (n+, n N) x µ (q n+, n N) (( ) q n+, n N) q > lim(x µ) Ez ellentmond a határérték definíciójának harmadik következményének, így x divergens. c) < q < lim x n ε > N N(ε) N n > N x n < ε. (.) n Ha q N N jó küszöbindex. q n < ε

38 8. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Ha q, akkor q n < ε > A fenti egyenlőtlenséget rendezve kapjuk: q n > ε { }} { (+( q )) n B +n( q ) >? ε }{{} > n > ε. q d) Legyen { [ ε N(ε) : max, ]}. N(ε) esetén (.) teljesül. x valóban null-sorozat. q q x (, n N), konstans sorozat lim x.

39 .. HÁZI FELADATOK 9.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából, adjuk meg alsóés felső határaikat! ( ) 4n+ a 5n+4, n N b (7 n, n N) ( c sin(n π ) ), n N d ( n, n N) megoldás.. Házi Feladat. Definíció alapján igazoljuk a következő sorozatok konvergenciáját és adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε, sugarú környezetébe! ( ) n+ a n+ ; n N ( ) 7n b n ; n N ( ) 6n c n ; n N megoldás További gyakorló feladatok ) [5] 7.o.:.,.,.a) feladatok ) Írjuk fel a következő sorozatok.,.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk őket. Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és a felső határaikat! a (5n, n N) b ( n n n+, n N) c (( 4) n, n N) d (cos n π 4, n N) e ( 4n+ n, n N)

40 4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.. Megoldások.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából, adjuk meg alsóés felső határaikat! ( ) 4n+ a 5n+4, n N b (7 n, n N) ( c sin(n π ) ), n N d ( n, n N) a) a 4, a 7 9, a 4, a 5 9, a Sejtés a szigorúan monoton növő. a n+ 4(n+)+ 5(n+)+4 4n+7 5n+9 a n+ a n 4n+7 5n+9 4n+ 5n+4 (4n+7)(5n+4) (4n+)(5n+9) (5n+9)(5n+4) n +5n+6n+8 (n +6n+5n+7) (5n+9)(5n+4) > n N. (5n+9)(5n+4) A sorozat szigorúan monoton növő. a n+ a n > n N a n+ > a n n N

41 .. MEGOLDÁSOK 4 Mivel a sorozat szigorúan monoton növő inf a min a a 4, sup a lim a n 4 n 5. Ezeket a fenti tétel ismerete nélkül is igazolhatjuk. (Így nem kell a monotonitás ismerete.) Sejtés: inf a a 4 Bizonyítás. i) A 4 egy jó alsó korlát, hiszen a n 4 n N : 4n+ 5n+4 4 4n+ 5n+4 4 6n+ (5n+) n+6 Ami valóban minden n N esetén teljesül. n n+6 ii) A 4 a legnagyobb alsó korlát, hiszen a sorozat felveszi ezt az értéket. (a 4 ) Sejtés: sup a 4 5 Bizonyítás. i) A 4 5 egy jó felső korlát, hiszen a n < 4 5 n N : 4n+ 5n+4 < 4 5 4n+ 5n < n+5 (n+6) < 5n+ Ami valóban minden n N esetén teljesül. ii) A 4 5 a legkisebb felső korlát, azaz 5n+ < K < 4 5 n N a n > K 4n+ 5n+4 > K 4n+ > K(5n+4) 4n+ > 5Kn+4K 4K > (5K 4)n

42 4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Mivel K < 4, 5K 4 <, így a reláció iránya megfordul. 5 4K 5K 4 < n, vagyis bármely K < 4 5 nál. 4K esetén a -nél nagyobb indexű elemek nagyobbak K- 5K 4 b) b 7 b 5 b b 5 b Sejtés a b sorozat szigorúan monoton csökkenő. b n+ 7 (n+) 7 n 5 n b n+ b n 5 n (7 n) < n N b n+ b n < n N b n+ < b n n N Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő. Mivel a sorozat szigorúan monoton csökkenő sup b max b b 7, inf b lim n b n. Ezeket a következőképpen is igazolhatjuk: Sejtés: sup b 7 Bizonyítás. i) A 7 egy jó felső korlát, mert b n 7 n N: 7 n 7 n, ami valóban minden szóbajövő n-re igaz. ii) A 7 a legkisebb felső korlát, hiszen a sorozat elemei között szerepel. Sejtés: inf b, vagyis a sorozat alulról nem korlátos.

43 .. MEGOLDÁSOK 4 Bizonyítás. R R n N b n < R. 7 n < R 7 R < n, Vagyis bármely R R esetén a sorozat 7 R -nél nagyobb indexű elemei kisebbek, mint R. c) c c c c c 5 c A sorozat nem monoton, hiszen például c < c < c, sőt egy adott indextől kezdve sem monoton, hiszen ( c n+ c n sin (n+) π ) ( sin n π ) Korlátosság: Sejtés: sup c max c Bizonyítás. i) Az egy jó felső korlát, hiszen x R esetén sin x. ha n 4k +, k Z ha n 4k +, k Z ( ) ha n 4k +, k Z ha n 4k, k Z. ii) Az a legkisebb felső korlát, mivel szerepel a sorozat elemei közt. Az inf c min c állítás hasonlóan igazolható. d) Mivel a sorozat elemeinek abszolútértéke nagyon gyorsan nő, ábrázolásuk még megfelelő egységválasztás mellett is nehézkes. Hogy használható ábrát kapjunk, a megadott elemek helyett a.,.,.,., 4. elemeket ábrázoltuk. Természetesen kiszámoltuk a kívánt elemeket is.

44 44. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI d d 6 d d 4 d 4 48 d 5 96 d 7 Sejtés: Szigorúan monoton csökkenő. d n+ n+ 6 n d n+ d n 6 n ( n ) n ( ) < n N d n+ d n < n N d n+ < d n n N Vagyis a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő. Mivel d szigorúan monoton csökkenő: sup d max d d, inf d lim n d n. Ezek, az előzőekhez hasonlóan a monotonitás ismerete nélkül is igazolhatók. Sejtés: sup d. Bizonyítás. i) A egy jó felső korlát, hiszen d n n N. n n n Mivel a x függvény szigorúan monoton növő, ezért a függvényértékek között fennálló reláció fennáll az argumentumok között is. Így a fenti egyenlőtlenség ekvivalens az alábbival: n, amely minden természetes n esetén automatikusan teljesül. ii) Ez a legkisebb felső korlát, hiszen a sorozat egyik eleme felveszi ezt az értéket.

45 .. MEGOLDÁSOK 45.. Házi Feladat. Definíció alapján igazoljuk a következő sorozatok konvergenciáját és adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε, sugarú környezetébe! ( ) n+ a n+ ; n N ( ) 7n b n ; n N ( ) 6n c n ; n N a) Sejtés lim n a n ε > N N(ε) N n > N a n < ε. n+ n+ < ε n+ (n+) n+ < ε n+ < ε n+ <, n+ n+. n+ < ε ε < n+ ε < n N(ε) : max {[ ] } ε ; Tehát bármely ε > számhoz előállítható a definíciónak megfelelő küszöbszám, így az a sorozat konvergens és határértéke. {[ ] } N(,) : max ; max {[5 ] ; } 49. Tehát a sorozat 49. eleme még kívül van, de az 5-től kezdve a sorozat minden eleme a szám, sugarú környezetébe esik. b) Sejtés lim n b n 7 ε > N N(ε) N n > N b n + 7 < ε.

46 46. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI 7n n + 7 < ε 4+4 6n (n ) < ε 5 (n ) < ε 5 (n ) <, 5 (n ) 5 (n ). 5 < ε (n ) 5 < n ε 5 + < n ε 5 + ε < n {[ 5 ε N(ε) : max + ] } ; Tehát bármely ε > számhoz előállítható a definíciónak megfelelő küszöbszám, így a b sorozat konvergens és határértéke 7. {[ 5 ε N(,) : max + ] } {[ 5 ; max 4 + ] } ; max {[ 6 ] } ; 6. Tehát a sorozat 6. eleme még kívül van, de a 64.-től kezdve a sorozat minden eleme a hatérérték ε sugarú környezetébe esik. c) Sejtés lim n c n. ε > N N(ε) N n > N c n + < ε. 6n n + < ε 6n +4 6n n < ε n < ε

47 .. MEGOLDÁSOK 47 n > n< n Ez végessok eset, ezért a konvergenciát nem befolyásolja. Ha n, akkor n < n n n < ε < n ε + < n ε + ε < n {[ ε N(ε) : max + ] } ; Tehát bármely ε > számhoz előállítható a definíciónak megfelelő küszöbszám, így a c sorozat konvergens és határértéke. {[ ] } + N(,) : max ; {[ max + ] } ; 5. Vagyis a sorozat elemei az 5.-től kezdve mind bent vannak a [,,,98] intervallumban.

48 48. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI

49 . fejezet Nevezetes sorozatok.. Gyakorlat.. Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján! ( ) n+ a n+, n N. I) Monotonitás: a n+ a n (n+)+ (n+)+ n+ n+ n+5 n+4 n+ n+ (n+5) (n+) (n+) (n+4) (n+) (n+4) 7 (n+) (n+4) < n N a n+ a n < n N a n+ < a n n N Így a sorozat szigorúan monoton csökkenő. II) Konvergencia Sejtés: A sorozat konvergens és lim a n A, azaz n ε > N(ε) N n > N a n A < ε (6n +7n+5) (6n +7n+) (n+) (n+4) a n A < ε n+ n+ < ε 6n+9 (6n+) (n+) < ε 7 (n+) < ε, 7 >, ezért (n+) 49

50 5. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK Így 7 < ε, (n+) >, ezért (n+) 7 < n+ ε 7 9 ε < n {[ 7 N(ε) : max ] }, 9 ε választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határérétéke lim a. III) Korlátosság Mivel a sorozat konvergens és a konvergencia szükséges feltétele a korlátosság, ezért a sorozat korlátos is. Ha a sorozat alsó- illetve felső határát is kérdezné a feladat, akkor arra a tételre hivatkozhatnánk, melyszerint monoton csökkenő sorozat szuprémuma a kezdőelem és infimuma a határérték, azaz sup a a inf a lim a... Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és felső határát. Adjuk meg a határértékét, ha létezik. (Nem kell definíció alapján vizsgálni.) a (+( ) n n ), n N I. monotonitás: A ( ) n -es tényező miatt a sorozat felváltva tartalmaz -nál kisebb illetve -nál nagyobb elemeket. Így a sorozat nem monoton. (Indokolható lenne egymásutáni elem felsorolásával, például a < a 4 > a 7, ebből viszont még nem látszana, hogy a sorozat egy bizonyos indextől kezdve sem monoton. Vizsgálható lenne a szokásos módon az a n+ a n különbség előjele alapján is, de a ( ) n sorozat tulajdonságaira hivatkozni lényegesen egyszerűbb.) II. korlátosság, határok: Legyen Ekkor és ν (n, n N ) a ν (+( ) n n, n N ) µ (n+, n N) a µ (+( ) n+ n+, n N). Így sup a sup(a ν) és inf a inf(a µ). Sejtés: sup a sup(a ν) 4 (a ν) k > > (a µ) l, k N, l N, (a ν) fésűs (a µ) a.

51 .. GYAKORLAT 5 Bizonyítás. i) A 4 valóban jó felső korlát, hiszen (a ν) n 4 n N + n 4 n N ( <) n n N n n N, ami valóban mindig teljesül. ii) A 4 valóban a legkisebb felső korlát, hiszen (a ν) 4, ezért max(a ν) (a ν) 4. Az inf a inf(a µ) sejtés hasonlóan igazolható. Otthon egyénileg befejezendő. III. konvergencia lim (a ν) n lim + n n n lim (a µ) n lim n n n+ A fenti két állítás a definíció szerint igazolható és házi feladatként igazolni is kell. Mivel ezért (a ν) fésűs (a µ) a és lim(a ν) lim(a µ), lim a n. n... Nevezetes sorozatok A következő nevezetes sorozatok határértékeit definíció alapján fogjuk igazolni. A mértani sorozatok konvergenciáját és határértékét az előző fejezetben már vizsgáltuk. A gyakorlaton részletes magyarázattal csak az a(a n n α, n N, α R + ), a(a n n n, n N ) és az a(a n n n!, n N ) sorozatok szerepelnek. a (a n C, n N, C R + ) konvergenciája Sejtés: lim a C. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n C < ε. Mivel a n C minden n N index esetén, ezért az a n C < ε reláció bármely n N esetén fennáll, így N minden ε > esetén jó küszöbindex.

52 5. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK a (a n n, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. Mivel > minden n n N esetén, ezért a n n, így a definícióban szereplő relációval n ekvivalens az alábbi összefüggés: n ε < ε (n >, ε > ) < n. Legyen tehát N(ε): [ ε]. A kapott küszöbindex választása mellett a definíció teljesül, azaz (an, n N) sorozat valóban konvergens és határértéke. a (a n n p, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R N(R) N n > N n p > R. Ha R, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > esetet. Mivel R >, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalából p-edik gyököt vonunk: [ ] Így N(R) p R jó küszöbszám. n > p R. a (a n p n, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R N(R) N n > N p n > R. Ha R, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > esetet. Mivel R >, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát p-edik hatványra emeljük: Így N(R) [R p ] jó küszöbszám. n > R p.

53 .. GYAKORLAT 5 a (a n αn, n N, α R) konvergenciája n! Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. Legyen β : α, ekkor a fenti reláció a következő alakban írható βn < ε, melyre igaz az alábbi n! becslés: β n β β β... β β... β β n!... [β] ([β]+)... (n ) n β[β] [β]! β n < ε Ahonnan n > β[β]+ [β]! ε, így N(ε) : [ β [β]+ [β]! ε ] jó küszöbindex. a (a n n α, n N, α R + ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. < α : n α n n α n α A definícióban szereplő reláció helyett vizsgáljuk tehát a következő összefüggést: n α < ε ε < n α Ha ε, akkor minden N N jó küszöbszám, ha ε >, akkor az egyenlőtlenség mindkét oldalát n-edik hatványra emelhetjük: ( ε) n < α ( ) n > ε a Az egyenlőtlenség bal oldalát becsüljük a Bernoulli-egyenlőtlenség (.) alapján: ( ) n ( ( )) n ) B + +n ( ε ε ε > α A kapott összefüggésből n-et kifejezve: α n > [ > N(ε) : ] α ε ε A fenti N(ε) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határértéke. α > : n a > n n a n a

54 54. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK n a < ε < n a < +ε a < (+ε) n (+ε) n B +n ε > a n > a [ ] a > N(ε) :. ε ε A fenti N(ε) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határértéke. a (a n n n, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. Mivel n n n n n n n, ezért a definícióban szereplő reláció helyett vizsgáljuk a következő összefüggést: n n < ε n < (+ε) n Hatványozás azonosságait és ismét a Bernoulli-egyenlőtlenséget (.) használhatjuk a becslésre: (+ε) n ( +ε) n (+( +ε ) ) n B (+n ( +ε )) > ( +ε ) n > n, } {{ } > ahonnan [ ] n > ( > N(ε) : +ε ) (. +ε ) A fenti N(ε) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határértéke. a (a n n n!, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R N(R) N n > N n n! > R. Ha R, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > esetet. Mivel R >, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát n-edik hatványra emeljük: R n n! n! > R n Rn n! <. R R R... R R... R R... [R] ([R]+)... (n ) n R[R] [R]! R n < n > R[R]+ [R]! [ ] [ R [R]+ N(R) : [R]! R [R] ([R] )! A fenti N(R) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban divergens és a határértéke. ],

55 .. HÁZI FELADATOK 55.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és felső határát. Adjuk meg a határértékét, ha létezik. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján. ) a) a (+ ( )n n+ ; n N b) a ( ) n 5 n+7 ; n N megoldás megoldás

56 56. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK.. Megoldások.. Házi Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és felső határát. Adjuk meg a határértékét, ha létezik. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján. a) a ) (+ ( )n n+ ; n N I. Monotonitás: a nem monoton, hiszen elemei felváltva nagyobbak, illetve kisebbek mint. II. Korlátosság, határok: Legyen ) ( (ν n, n N) a ν (+ ( )n n+, n N + ) n+, n N ) (µ n+, n N) a µ (+ ( )n+ n+, n N ( + n+, n N ). Ekkor (a ν) k > > (a µ) l, k N, l N, és Így sup a sup(a ν) és inf a inf(a µ). Sejtés: sup a sup(a ν) Bizonyítás. i) A (a ν) fésűs (a µ) a. valóban egy jó felső korlát, hiszen (a ν) n + n+ ( <) n+ n+ n n, ami valóban minden n N esetén teljesül. ii) A a legkisebb felső korlát, hiszen (a ν). Az inf a inf(a µ) sejtés hasonlóan igazolható. Egyénileg befejezendő.

57 .. MEGOLDÁSOK 57 III. Konvergencia: sejtés: lim a ε > N N(ε) N n > N a n A < ε. ( )n + n+ < ε ( ) n n+ < ε n+ < ε < n+ ε ε < n {[ ] } N(ε) : max ε ; b) a ( ) n 5 n+7 ; n N I) Monotonitás: a n+ (n+) 5 (n+)+7 n n+9 a n+ a n n n+9 n 5 n+7 (n )(n+7) (n 5)(n+9) (n+9)(n+7) 6n +n 4n 4 (6n +7n n 45) (n+9)(n+7) >, n N. (n+9)(n+7) tehát a sorozat szigorúan monoton növő. II) Konvergencia Sejtés: lim a a n+ > a n, n N, ε > N N(ε) N n > N a n A < ε.

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK

Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR

MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR Budapest, 2018 Szerző: SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA főiskolai docens 978-963-638-542-2 Kiadja a SALDO Pénzügyi

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Gazdasági Matematika I.

Gazdasági Matematika I. Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben