NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

Átírás

1 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán sornak) nevezzük, és a i= a i (esetleg csak simán a a i ) szimbólummal jelöljük. Vizsgálataink csak a részletösszegek sorozatának határértékére, vagyis magának a sornak a konvergenciájára, illetve összegére terjednek ki. Előbbire tárgyalunk majd egy szükséges, illetve néhány elégséges feltételt, utóbbit csak néhány speciális esetben fogjuk meghatározni, mivel erre általános módszer nincs.. PÉLDA Írjuk fel valódi tört alakban az A = 0, 2 = 0,222 számot! A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása. 0,222 = Világos, hogy ez egy olyan mértani sorozat, amelyre a = 2, és q =. Az ismert összegképlet szerint az első n tag összege kiszámítható. n s n = a qn q = 2 00 ( 00 ) 00 Értelemszerűen, ha most a végtelen sok tag összegét keressük, akkor ennek a kifejezésnek a határértékét kell vennünk, mégpedig n esetén. n 2 S n = lim s n = lim n n 00 ( 00 ) 2 = = = 7 33 A = 7 33 Az eredmény helyességéről az osztás elvégzésével meggyőződhetünk.

2 2. PÉLDA = 4 5 n n+ Tegyük fel azt a kérdést, hogy konvergens-e ez a numerikus sor, és hogy ha az, akkor mi az összege. Használjuk fel a hatványozás azonosságait, és alakítsuk át az ún. általános tagot. Így az egyik nevezetes sorhoz, a mértani sorhoz fogjunk eljutni. Ennél a fenti két alaptulajdonság viszonylag könnyen meghatározható. A q n = + q + q 2 +, illetve aq n = a + aq + aq 2 + (a R) mértani sor csak < q < esetén konvergens, és ekkor összege S n = illetve S n = a q. 4 5 n n+ = 4 ( n 5 ) ( 3 ) = 4 ( n 5 ) + 2 n 3 ( 3 ) q, A fenti tétel értelmében az összeg mindkét tagja egy-egy konvergens mértani sor. Mivel a sorozatok összegénél tárgyalt tétel egy az egyben igaz itt is, ezért a kitűzésben szereplő sor is konvergens lesz. S n = = 5 + = PÉLDA = 23n+ 5 7 n Azonos átalakításokkal a következőt kapjuk. 2 23n 5 = n ( 23 n 7 ) q = 8 ] ; [ 7 = 4 n 5 (8 7 ) Tekintettel erre a megállapításra, ez a sor divergens. Ilyenkor nincs értelme összegről beszélni, hiszen az egy nem véges érték.

3 4. PÉLDA = ( ) n 2 3n 3 2n+ Ismét az átalakítással kezdjük a feladat megoldását. ( ) n 2 3 3n 3 3 2n = 2 ( 3 n 9 3 2) = 2 9 ( n 3 ) Mivel < q < teljesül, ezért a sor konvergens. Az összeg kiszámítása során vegyük észre, hogy az összegző index n = 2-től indul. S n = 2 9 ( 2 3 ) ( 3 ) = = 54 Megjegyezzük, hogy természetesen a sima képlettel is megkapható ugyanez a helyes eredmény, csak akkor abból az összegből két tagot (n = 0, n = ) le kell vonnunk. 2 9 ( n 3 ) = 2 9 ( n 3 ) 2 9 ( 3 ) ( 3 ) n= = 2 9 ( 2 3 ) = = = 5. PÉLDA = 4 n 2 + 2n A kérdés most csak a sor összege. A megoldás kulcsa az, hogy a sor általános tagja résztörtek összegére bontva is felírható. Ez pontosan ugyanaz a technika, amit a racionális törtfüggvények integráláskor már tárgyaltunk, ezért ezt most itt már nem részletezzük. Az ilyen típusú sorösszegzést, hamarosan látni fogjuk miért, teleszkopikus összegzésnek is szokás nevezni.

4 4 = A n(n + 2) n + B = 2 n + 2 n n + 2 Hiszen 4 A(n + 2) + Bn alapján A = 2, és B = 2. Próbáljunk meg zárt alakot felírni az első N, tehát csak véges sok tag összegére. A zárójeleket felbontva látható lesz, hogy sok tag ki fog esni, mivel +, illetve előjellel is szerepelnek (a megmaradó tagok szimmetrikusan helyezkednek el). N 2 n n ( N 3 N ) n=n 3 = 2 [( 2 4 ) + ( N 2 N ) n=n 2 + ( 3 5 ) + ( 4 6 ) n=4 + ( 5 7 ) n=5 + + ( N N + ) + ( N N + 2 ) ] = n=n = 2 ( N + N + 2 ) Az eredeti sor összege ennek a zárt alaknak a határértéke lesz, hiszen az eredeti sor végtelen sok tagból áll, amelyet a fenti kifejezésből N esetén kapunk meg. n=n S n = lim N 2 ( N + N + 2 ) = 2 ( ) = PÉLDA = n 2 3n + 2 Elsőként határozzuk meg a résztörteket, majd írjuk fel az első N elem összegét zárt alakban. = A (n )(n 2) n + B n 2 = n 2 n Mivel most A(n 2) + B(n ) alapján A =, B = adódik.

5 N n 2 n = [( 2 ) + ( 2 3 ) n=4 + ( 3 4 ) n=5 + + ( N 4 N 3 ) + ( N 3 N 2 ) + ( N 2 N ) ] = N n=n 2 n=n n=n S n = lim N N = 0 = Ezzel befejeztük az olyan sorok vizsgálatát, ahol az azok összegét is számítottuk. A függvénysorok tárgyalása során még visszatérünk erre, ha egy-egy nevezetes sor összege (például az e azám, vagy a π ) következik a megfontolásokból. 4 A továbbiakban tehát csak a sorok konvergenciáját vizsgáljuk. Nagyon fontos már most különbséget tenni a szükséges, és az elégséges feltétel között. Ezzel az anyagrésszel részletesen foglalkozik a NUM_SOR2.pdf összeállítás. GYAKORLÓ FELADATOK Adjuk meg valódi tört alakban a B = 0, 08 = 0,0808 számot! (Megoldás: B = 4 37 ) Adjuk meg valódi tört alakban a C = 0,38 = 0,38888 számot! (Megoldás: C = 5 36 ) = 2 3n + 5 n (Megoldás: konvergens, S n = 25 4 )

6 = 32n+ 6 5 n 2 (Megoldás: divergens) = ( ) n e 3 n 2 π n+ (Megoldás: divergens) n= = ( ) n 4 3n 5 2 2n+2 n= (Megoldás: konvergens, S n = 35 ) = 4 n 2 + 6n + 8 (Megoldás: S n = 5 ) n= 2 = n 3 + 3n 2 + 2n n= (Megoldás: S n = 2 )