Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Átírás

1 Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos ha q = diverges ha q < (e) ( + x ) e x ( (x R) ahol e := lim +. ).. Tétel. Legye a és b két valós számsorozat a b c R. Ha a a és b b akkor (a) a + b a + b a b a b (b) a b ab ca ca a (c) a (b 0) b b (b = 0 a 0). a b.3. Tétel. Legye a és b két valós számsorozat. Ha a korlátos és b 0 akkor a b Tétel. Legye a és b két valós számsorozat b R. Ha a és b b akkor (a) a + b a b (b) a b (b > 0) a b (b < 0)

2 (c) a b (b > 0) a b (b < 0) b a Tétel. (Redőr elv) Legye a b és c három valós számsorozat c R. Ha a c b c és va olya 0 N úgy hogy a c b mide > 0 eseté akkor c c. Feladatok.. Bizoyítsuk be az.. tétel c potjába található állítást b = 0 a 0 esetére! Elhagyható-e az abszolútérték jel? Mit lehet modai a = 0 b = 0 eseté?.. Hogya változik az.4. tétel a eseté? Mit lehet modai a c állításra b = 0 eseté?.3. Mit lehet modai az.4. tétel eseté ha a és b?.4. Adja meg a következő sorozatok határértékét!. a = a = a = a = a = a = ( + )( + )( + 3) 7. a = ( )( )( 3) 8. a = 9. a = a = a = a = a = a = a = + ( ) 6. a = + 7. a = a = a = + 0. a =

3 . a = a = + ( ) 3. a = a = a = a = a = 9. a = 3. a = 33. a = ( ) 8. a = + ( ) a = ( ) + ( ) ( ) 3+ ( a = ) ( ) a = a = a =! 37. a = a =! 3 ( ) a = ( ) 40. a = si(!) 4. a = a = a = ( + ) 44. a = ( + ). Valós számsorok.. Defiició. (a) S := a + a a N sorozatot az a sorozat -dik részletösszegéek evezzük. (b) A = a = a + a +... szimbolikus kifejezést az a sorozat végtele soráak vagy egyszerűe sorak evezzük. Ha az S sorozat koverges akkor azt modjuk hogy a sor koverges és = a = lim S. Ha az S sorozat diverges akkor azt modjuk hogy a sor diverges. 3

4 (c) Ha S illetve S akkor ezt = a = illetve = a = módo jelöljük... Tétel. Ha a = a sor koverges akkor a Megjegyzés. Az előző tétel megfordítása em igaz mert = =..4. Defiició. (a) A = a sor abszolút sora a = a. Ha a = a sor koverges akkor a = a sort abszolút kovergesek evezzük. (b) Azt modjuk hogy a = a sor feltételese koverges ha koverges de em abszolút koverges..5. Tétel. Ha egy sor abszolút koverges akkor koverges is..6. Megjegyzés. A ( ) + = sor feltételese koverges..7. Tétel. (Majorás- és miorás-kritérium) Legye a és b két pozitív számokból álló sorozat úgy hogy va olya 0 N amire a b mide > 0 eseté. Ekkor (a) ha = b < akkor = a < (b) ha = a = akkor = b =..8. Tétel. (Cauchy-féle gyökkritérium) Legye = a egy pozitív számokból álló sor. Ekkor (a) ha lim sup a < akkor = a < (b) ha lim sup a > akkor = a =..9. Tétel. (D Alembert-féle háyadoskritérium) Legye = a egy pozitív számokból álló sor. Ekkor (a) ha lim sup a + a (b) ha lim sup a + a < akkor = a < > akkor = a =..0. Tétel. (Leibiz-féle kritérium) Legye = a egy váltakozó előjelű számokból álló sor. Ha az a sorozat mooto csökkeőe tart ullához akkor a sor koverges. 4

5 .. Megjegyzés. = = π = ( ) + = l. Feladatok.. Bizoyítsuk be a.3. és.6. megjegyzésbe szereplő állítást!.. (Mértai sor összege) Bizoyítsuk be hogy ha q < akkor aq = aqr q! =r.3. Határozzuk meg a következő sorok összegét! = =4 = = = 3 3. ( ) = ( + 4) 8. = = =3 =5 ( )( + ) 9. =3 + ( + ). = ( 5) ( + )( + )..4. Milye racioális számot állítaak elő a következő tizedestörtek!

6 .5. Dötsük el hogy kovergesek-e az alábbi sorok! ( ). = = = = = = = = = l. = ( + ) =3 6. = = 3.! 3 4. ( ) =! 7.! 8. = = = = 3 + ( + ) 4! ( ) l 6