Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései

Átírás

1 Mtemtik A2 - Vektorfüggvéyek elméleti kérdései (műszki meedzser szk, tvsz) Első típusú improprius itegrál: Végtele trtomáyo korlátos függvéy Legye f itegrálhtó mide β > eseté z [, β]-. H β β és véges, kkor zt modjuk, hogy z f függvéy impropius itegrálj létezik, és β β f(x) dx. f(x) dx htárérték létezik f(x) dx = Második típusú improprius itegrál: Véges trtomáyo em korlátos függvéy Legye f itegrálhtó [α, b]- mide α (, b) eseté, és f em korlátos z [, b]- H létezik és véges α + b α f(x) dx htárérték, kkor b f(x) dx = α + b α f(x) dx Skláris szorzt Az és b vektorok skláris szorzt z b cos ϕ szám, hol ϕ jelöli z áltluk bezárt szöget. H z koordiátái ( 1, 2, 3 ), míg b koordiátái (b 1, b 2, b 3 ), kkor skláris szorztuk 1 b b b 3. Jelölés: b, b vgy, b. Vektoriális szorzt Az, b háromdimeziós vektorok vektoriális szorzt z c vektor, melyre következők teljesülek: 1. c = b si ϕ, hol ϕ jelöli z és b áltl bezárt szöget; 2. c merőleges z -r és b-re; 3. z, b, c vektorok jobbredszert lkotk. Jelölése: b. H z = ( 1, 2, 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ), kkor b = ( 2 b 3 3 b 2, 3 b 1 1 b 3, 1 b 2 2 b 1 ). Vegyes szorzt Az, b, c háromdimeziós vektorok vegyes szorzt z ( b)c (vektoriális, mjd skláris) szorzt. Jelölés: bc. Geometrii jeletése: z, b, c vektorok áltl kifeszített prlelepipedo előjeles térfogt. Sík Hesse-féle ormálegyelete Az = (, b, c) ormálvektorú sík Hesse-féle ormálegyelete: x + by + cz d 2 + b 2 + c 2 = 0. Pot és sík távolság A P (x 0, y 0, z 0 ) pot távolság z x + by + cz = d egyeletű síktól: x 0 + by 0 + cz 0 d. 2 + b 2 + c 2 Egyees prméteres megdás Az v = (, b, c) iráyvektorú P (x 0, y 0, z 0 ) poto átmeő egyees prméteres egyelete {P + λv = (x 0 + λ, y 0 + λb, z 0 + λc) λ R}. Egyees egyeletredszere térbe Az (, b, c) iráyvektorú P (x 0, y 0, z 0 ) poto átmeő egyees egyeletredszere x x 0 = y y 0 b = z z 0. c 1

2 Lieáris összefüggőség A v 1,..., v k dimeziós vektorok lieáris összefüggeek, h vk oly λ 1,..., λ k számok úgy, hogy λ 1 v λ k v k = 0 és λ 1,..., λ k számok em midegyike 0. Lieáris függetleség A v 1,..., v k dimeziós vektorok lieáris függetleek, h λ 1 v λ k v k = 0 egyelőségből következik, hogy λ 1 = = λ k = 0. Altér Az R tér egy V részhlmz ltér, h teljesül következő két feltétel: v 1, v 2 V eseté v 1 + v 2 V és v V, λ R eseté λv V. Mátix rgj Egy mátrix rgj bee tlálhtó lieáris függetle oszlopvektorok mximális szám. Ez ugyyi, mit bee tlálhtó lieáris függetle sorvektorok mximális szám. A leggyobb méretű emull ldetermiás mérete szité mátrix rgjávl egyezik meg. Lieáris egyeletredszerek megoldásák mátrixrgos vizsgált Az Ax = b egyeletredszer potos kkor oldhtó meg (hol A m -es mátrix, x R, b R m ), h z egyeletredszer mátrixák és kibővített mátrixk rgj megegyezik (r(a) = r(a b)). A lieáris egyeletredszer potos kkor oldhtó meg egyértelműe, h z egyeletredszer mátrixák és kibővített mátrixk rgj egymássl és z ismeretleek számávl is megyegyezik (r(a) = r(a b) = ). H r(a) = r(a b) <, kkor r(a) változó tetszőlegese megválszthtó (szbd prméter). Kifejtési tétel Az -es A mátrix determiását kiszámíthtjuk következő formulák segítségével (sor, illetve oszlop szeriti kifejtés): det(a) = det(a) = ( 1) i+j ij A i,j, j=1 ( 1) i+j ij A i,j, i=1 hol A i,j jelöli z A mátrix i-edik sorák és j-edik oszlopák elhgyásávl kpott ( 1) ( 1)-es mátrix determiását. Iverz mátrix A égyzetes A mátrix iverze z A 1 -gyel jelölt mátrix, melyre AA 1 = E és A 1 A = E. Iverz mátrix létezéséek feltétele A égyzetes A mátrixk potos kkor létezik iverze, h determiás em 0. Iverz mátrix kiszámítás H z -es A mátrix ivertálhtó, kkor z iverzéek i-edik sorák j-edik eleme: (A 1 ) i,j = ( 1) i+j A j,i /det(a), hol A j,i jelöli z A mátrix j-edik sorák és i-edik oszlopák elhgyásávl kpott ( 1) ( 1)-es mátrix determiását. Az iverz kiszámolásár másik módszer Guss-eiáció. Mátrix sjátértéke, sjátvektor Egy -es A mátrix sjátértéke λ R, h v oly v R emull vektor, hogy Av = λ v. Ekkor v-t λ-hoz trtozó sjátvektork evezzük. Digoális mátrix Egy égyzetes mátrixot digoálisk evezük, h főátló kívül z összes eleme 0. 2

3 Digolizálhtó mátrix Egy A mátrixot digolizálhtók evezük, h létezik oly ivertálhtó C mátrix, hogy C 1 AC mátrix digoális. Digolizálhtóság feltétele Egy -es mátrix potos kkor digolizálhtó, h v drb lieáris függetle sjátvektor. Áttérés lgebri lkról trigoometrikus lkr A z = + bi komplex szám trigoometrikus lkj r(cos ϕ + i si ϕ), hol r = z = 2 + b 2, és rctg( b ), h > 0, π + rctg( ϕ = b ), h < 0, π 2, h = 0 és b > 0,, h = 0 és b < 0. π 2 Komplex számok -edik htváy A z = r(cos ϕ + i si ϕ) komplex szám -edik htváy: z = r (cos(ϕ) + i si(ϕ)). Komplex számok -edik gyökéek meghtározás A z = r(cos ϕ + i si ϕ) komplex szám -edik gyökei ( ( ) ( )) z k = ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ r cos + i si komplex számok k = 0, 1,..., 1-re. Algebr lptétele Egy poliomk komplex számok körébe midig v gyöke. Vlós számsorozt Mide N természetes számhoz hozzáredelük egy vlós számot. Vlós számsorozt véges htárértéke Az ( ) sorozt htárértéke z A R szám, h mide ε > 0-hoz létezik N N küszöbidex, hogy > N eseté A < ε. Jelölés: = A. Vlós számsorozt végtele htárértéke H z ( ) sorozthoz mide K R számhoz létezik N N küszöbidex, hogy > N eseté K <, kkor z ( ) sorozt végtelebe trt, ezt így jelöljük: = +. Vlós számsorozt míusz végtele htárértéke H z ( ) sorozthoz mide K R számhoz létezik N N küszöbidex, hogy > N eseté < K, kkor z ( ) sorozt míusz végtelebe trt, ezt így jelöljük: =. Numerikus sor Tetszőleges ( ) soroztból képezett formális összeget (umerikus) sork evezük, melyet áltláb =1 lkb íruk. Numerikus sor kovergeciáj Egy =1 sort kovergesek moduk, h z S = k=1 k részletösszegsorozt koverges. Leibiz-sor Oly =1 sor, melybe z tgok váltkozó előjelűek, bszolút értékbe mooto csökkeek és 0-hoz trtk. Leibiz-sorok kovergeciáj Mide Leibiz-sor koverges. Hibbecslés Leibiz-sorokál =1 Leibiz-sorr és tetszőleges N N-re N N+1. =1 =1 3

4 Hrmoikus és hiperhrmoikus sorok kovergeciáj =1 1 sor potos kkor koverges, h 1 <. Mjorás kritérium H z ( ) és (b ) számsoroztokhoz tlálhtó oly N N, hogy > N eseté 0 b és =1 b sor koverges, kkor =1 sor is koverges. Miorás kritérium H z ( ) és (b ) számsoroztokhoz tlálhtó oly N N, hogy > N eseté 0 b és =1 sor diverges, kkor =1 b sor is diverges. Gyökkritérium A pozitív tgú =1 sor koverges, h < 1, és diverges, h > 1. Háydos kritérium A pozitív tgú =1 sor koverges, h +1 < 1, és diverges, h +1 > 1. Htváysor =1 (x x 0 ) lkú sort x 0 középpotú htváysork modjuk. Kovergecitrtomáy Egy =1 (x x 0 ) htváysor kovergecitrtomáyák zt hlmzt evezzük, melyek x elemeire =1 (x x 0 ) sor koverges. Cuchy Hdmrd-tétel =1 (x ) 1 htváysor kovergecisugr: r = míg h =, kkor r = 0.. H = 0, kkor r =, A htváysor z ( r, +r) itervllumb koverges, z [ r, +r] itervllumo kívül diverges. A htváysorok tgokéti deriválásár votkozó tétel Az f(x) = =0 x htváysor kovergeci itervllumák belsejébe tgokéti deriválássl kpott =1 x 1 htváysor is koverges, és egyelő f (x)-szel. A htváysorok tgokéti itegrálásár votkozó tétel Az f(x) = =0 x htváysor kovergeci itervllumák belső részitervllumib tgokét itegrálhtó, zz b f(x) dx = =0 +1 [x+1 ] b, h és b kovergeciitervllum belsejébe esik. Tylor-sor Az f : R R függvéy x 0 R körüli Tylor-sor következő htváysor: =0 f () (x 0 )! (x x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) Tylor-poliom Az f : R R függvéy x 0 R körüli N-edfokú Tylor-poliomj következő poliom: N =0 f () (x 0 )! (x x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2 (x x 0 ) f (N) (x 0 ) (x x 0 ) N. N! Prciális derivált Az f : D f R, D f R m függvéy z = ( 1,..., m ) D f potb x i szerit prciális deriválhtó, h z egyváltozós x i f( 1,..., i 1, x i, i+1,..., m ) függvéy z i helye differeciálhtó. A f i (x i ) f i ( i ) x i i x i i differeciálháydost z f függvéy x i szeriti prciális deriváltják evezzük. Jelölése: f x i () vgy f() i. 4

5 Iráymeti derivált Az f : D f R, D f R függvéy P 0 D f potbeli e R iráymeti deriváltjá ( e = 1) f(p ) f(p 0 ) P P 0, P 0 P htárértéket értjük, hol P úgy trt P 0 -hoz, hogy P 0 P vektor z e-vel párhuzmos és egyelő állású. A htárértéket így is felírhtjuk: Jelölés: f e(p 0 ) vgy f(p 0) e. f(p 0 + te) f(p 0 ) t 0+ t Grdies H z változós f(x 1, x 2,..., x ) függvéyek vlmely P 0 R potb midegyik prciális deriváltj létezik, kkor z f függvéy P 0 -beli grdiesé P 0 -beli prciális deriváltkból álló dimeziós vektort értjük: grdf(p 0 ) = (f x 1 (P 0 ), f x 2 (P 0 ),..., f x (P 0 )). Jcobi-mátrix H f : R R m függvéy mide kompoeséek midegyik prciális deriváltj létezik vlmely P R potb, kkor z f függvéy P -beli Jcobi-mátrixá kompoes függvéyek prciális deriváltjiból álló mátrixok értjük: z i-edik sorák j-edik eleme z i-edik kompoes függvéy j-edik változój szeriti prciális deriváltj. Többváltozós vlós függvéy differeciálhtóság Az f : R R m többváltozós vlós függvéyről kkor modjuk, hogy z x 0 R potb differeciálhtó, h mide változój szerit prciális deriválhtó x 0 -b és teljesül z f(x) = f(x 0 ) + A(x x 0 ) + ε(x x 0 ) egyelőség, hol A z f Jcobi-mátrix x 0 -b és x x 0 eseté ε(x x 0 ) 0. Többváltozós függvéy lokális miimum Az f : R R többváltozós függvéyek z x 0 R potb lokális miimum v, h z x 0 potk v oly D köryezete, hogy f(x 0 ) f(x) mide x D eseté. Többváltozós függvéy lokális mximum Az f : R R többváltozós függvéyek z x 0 R potb lokális mximum v, h z x 0 potk v oly D köryezete, hogy f(x 0 ) f(x) mide x D eseté. Kétváltozós függvéy lokális szélsőértékeire votkozó szükséges feltétel H kétváltozós vlós függvéyek vlmely potb szélsőértéke v, kkor bb potb létező prciális deriváltji 0-k. Kétváltozós függvéy lokális szélsőértékeire votkozó elégséges feltétel H z (x 0, y 0 ) pot vlmely köryezetébe z f(x, y) függvéy második prciális deriváltji létezek és folytoosk, továbbá f x(x 0, y 0 ) = f y(x 0, y 0 ) = 0 és f xx(x 0, y 0 )f yy(x 0, y 0 ) (f xy(x 0, y 0 )) 2 > 0, kkor z f(x, y) függvéyek szélsőértéke v z (x 0, y 0 ) potb. Ez szélsőérték miimum, h f xx(x 0, y 0 ) > 0, és mximum, h f xx(x 0, y 0 ) < 0. Kétváltozós függvéy yeregpotr votkozó elégséges feltétel H z (x 0, y 0 ) pot vlmely köryezetébe z f(x, y) függvéy második prciális deriváltji létezek és folytoosk, továbbá f x(x 0, y 0 ) = f y(x 0, y 0 ) = 0 és f xx(x 0, y 0 )f yy(x 0, y 0 ) (f xy(x 0, y 0 )) 2 < 0, kkor z f(x, y) függvéyek ics szélsőértéke z (x 0, y 0 ) potb (yeregpot). 5

6 Kettős itegrál trszformációjár votkozó tétel Legye f(x, y) síkbeli V trtomáyo itegrálhtó függvéy. H x = x(u, v) és y = y(u, v) z u és v szerit prciális deriválhtó oly függvéyek, melyek V trtomáy potji és z (u, v) számpárok bizoyos W hlmz között (z x, y legfeljebb véges számú értékéek kivételével) kölcsööse egyértelmű megfeleltetést létesíteek, kkor f(x, y) dx dy = f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) du dv, V W hol Jcobi-determiás (x, y) (u, v) =. Hárms itegrál trszformációjár votkozó tétel Legye f(x, y, z) térbeli V trtomáyo itegrálhtó függvéy. Az x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) és z = z(u, v, w) z u, v és w szerit prciális deriválhtó oly függvéyek, melyek V trtomáy potji és z (u, v, w) számhármsok bizoyos W hlmz között (z x, y, z legfeljebb véges számú értékéek kivételével) kölcsööse egyértelmű megfeleltetést létesíteek. Ekkor z f függvéy hárms itegrálj kifejezhető következőképpe f(x, y, z) dx dy dz = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) (x, y, z) (u, v, w) du dv dw, V W hol Jcobi-determiás (x, y, z) (u, v, w) = z z w w z w. Tömegközéppot kiszámítás A térbeli V trtomáy tömegközéppotj ( m x m, my m, ) mz m, hol m = ϱ(x, y, z) dx dy dz V m x = xϱ(x, y, z) dx dy dz V m y = yϱ(x, y, z) dx dy dz V m z = zϱ(x, y, z) dx dy dz, hol ϱ(x, y, z) jelöli sűrűségfüggvéyt. V 6