1. Primitív függvények (határozatlan integrálok)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Primitív függvények (határozatlan integrálok)"

Átírás

1 . Primitív függvéyekhtároztl itegrálok 7. Primitív függvéyek htároztl itegrálok.. A defiíciók egyszerű következméyei F. Htározz meg z lábbi függvéyek összes primitív függvéyét: f :, + ; b f :, ; c f :, π ; d f : R. si + F. Htározz meg z f : I R függvéy I potb eltűő primitív függvéyét, h f : cos R, : π 4 ; b f : R +, : 8. F. Keresse meg zt f függvéyt, melyre f R+, f4 ; b f >, f ; + c f R, f, f ; d f R +, f, f ; e f e + 5 si R, f, f ; f f si, R, f, f, f. F4. Igzolj, hogy sig függvéyek ics primitív függvéye. F5. Bizoyíts be, hogy h z I R itervllumo értelmezett f : I R függvéyek z F, F : I R primitív függvéyei, kkor c R, hogy F F c I.

2 8. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok b Mutss meg, hogy z előző állításb z feltétel, hogy D f itervllum legye, léyeges: Adjo meg oly emüres H R yílt hlmzt, oly F, F : H R differeciálhtó függvéyeket, melyre F F teljesül mide H eseté, ugykkor F és F em kostsb külöbözek egymástól... Primitív függvéyek meghtározásár votkozó módszerek... Alpitegrálok F6. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: d, I : R; c d, I : R + ; b + d, I : R + ; + d d, I : R + ; f f e + 5 d, I :,.... Alpitegrálokr vezető típusok lkú itegrálok F7. Mutss meg, hogy h f : I R pozitív és differeciálhtó z I itervllumo, kkor f f d l f + c I. F8. Az előző feldt segítségével számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: d, I : R; + b d, I : R; c tg d, I : π, π e ; d d, I : R; e + 5 d e, I :, ; l f d, I :, + ; l

3 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 9 f α f lkú itegrálok F9. Tegyük fel, hogy z f : I R függvéy pozitív és differeciálhtó z I itervllumo és α vlós szám. Mutss meg, hogy f α f d f α+ α + + c I. F. Az előző feldt eredméyéek felhszálásávl számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: +4 4 d, I : R; b d, I : R + ; c e e d, I : R; d si cos d, I : R; l 5 rsh e d, I : R+ ; f + d, I : R+ ; g d, I : 5, + ; 5 h 4 cos tg d, I :, π ; f + b d lkú itegrálok F. Legye I R egy itervllum és F : I R f : I R függvéyek egy primitív függvéye. Mutss meg, hogy ekkor bármely R \ {}, b R eseté F + b f + b d + c I. F. Az előző feldt eredméyéek felhszálásávl számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt: d > ; b d < ;

4 . Primitív függvéyekhtároztl itegrálok c d R; d + d > ; e d < ; f d >. F. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt: d d R; b d c R; + + d d 5 < < f g g d lkú itegrálok F4. Tegyük fel következőket: i g : I R függvéy deriválhtó z I itervllumo, ii J R egy itervllum és R g J, iii z f : J R függvéyek létezik primitív függvéye. Ekkor z f g g függvéyek is létezik primitív függvéye és f g g d F g + c J, R; hol F f egy primitív függvéye. Godolj meg, hogy ez z állítás speciális esetkét trtlmzz z F7., F9. és F. feldtok eredméyeit! F5. Az előző feldt segítségével számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: si d, I : R; sh b d, I : R + ; c 6 + si + d, I : R; d + l d, I : R+ ;

5 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek e cos + tg d, I : π, π ; e tg f cos d, I : π, π.... Itegrálás ügyese F6. Az itegrdus lklms átlkítás utá számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott I itervllumoko: + d, I : R; b d, I :, + ; + c d, I : R; d d, I : R; 4 e tg d, I : π, π ; f tg d, I : π, π ; g si d, I : R; h cos d, I : R; i si cos 7 d, I : R; j cos cos d, I : R; k si d, I :, π; cos 5 l + cos d, I : π, π; m d, I :, π; si o si cos d, I : R; p cos d, I : π, π ; si cos 4 d, I : R. q + tg tg d, I : π 4, π Prciális itegrálás F7. A prciális itegrálás szbályát lklmzv számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott I itervllumoko:

6 . Primitív függvéyekhtároztl itegrálok e d, I : R; b si d, I : R; c e si d, I : R; d e ch d, I : R; e l d, I : R + ; f rctg d, I : R; g l d, I : R + ; h 5 e d, I : R. F8. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott I itervllumoko: cos + e + d, I : R; b d, I : R; c 4 + rcsi d, I :, ; d cosl d, I : R + ; e l d, I : R + ; f cos lsi d, I :, π; l g d, I : R+ ; h l d, I : R +. F9. Legye N, és tegyük fel, hogy z f, g :, b R függvéyek -szer deriválhtók és f, g folytoosk. Mutss meg, hogy fg fg f g + + f g. F. Igzolj, hogy tetszőleges,,... eseté si d cos si + cos d si cos + si d cos d.

7 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek..5. Itegrálás helyettesítéssel F. Állíts elő helyettesítéses itegrálássl következő htároztl itegrálokt: d, ; b + d R; c d > ; d d < ; e + d R; f + 5 d R; g + b + c d, b, c R...6. Rcioális függvéyek itegrálás F. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott itervllumoko: d, > ; b d, < ; + + c d, I : R; d d, I : R; e d, I : R; f d, I : R; g d, I : R; h d, I : R; F. Igzolj, hogy tetszőleges,,... eseté d d. F4. Prciális törtekre botássl számíts ki következő htároztl itegrálokt megdott itervllumoko: d, I :, 4; 4 b d, I :, + ; c d, I :, ;

8 4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok 4 d 5 d, I :, 5 ; e + 4 d, I : R+ ; f + d, I :, + ; 4 8 g + d, I :, ; 4 8 h d, I :, + ; + i d, I : R; Rcioális függvéyek itegrálásár vezető helyettesítések F5. Alklms helyettesítéssel vezesse vissz z lábbi itegrálokt rcioális függvéyek itegráljár: + d > ; b d > ; + c + 4 d > ; / d d > ; + /7 + e d < ; f d < < ; g d > ; h d < ; i d < <. + F6. Alklms helyettesítéssel számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt úgy, hogy visszvezeti rcioális függvéyek itegráljár: + si d < < π; cos

9 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 5 cos b d π < < π; + cos c + tg d < < π. F7. Oldj meg z előző feldtot ügyese is. Alklmzz következő zoosságokt: + si cos cos + si cos si + si cos ; cos b + cos + cos cos ; c + tg cos cos + si si + cos +. 5 cos + si A végeredméyeket hsolíts össze z előző feldtb kpott végeredméyekkel. F8. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt: + si + cos d π < < π; b + si + cos d π < < π; c + 5 cos d < < π; d L-Sch 64. oldl 8. feldt. F9. Alklms helyettesítéssel számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt úgy, hogy visszvezeti rcioális függvéyek itegráljár: 4 d > l ; e 4 b e d R; e + e + 4 c d R; e + 4e + Elemi függvéyek

10 6. A htározott itegrál. A htározott itegrál.. A htározott itegrál értelmezése F. Mutss meg, hogy Dirichlet-függvéy em Riem-itegrálhtó [, ] itervllumo. F. Adjo meg oly f : [, b] R függvéyt, melyik em Riem-itegrálhtó [, b]-, de f már Riem-itegrálhtó [, b]-. F. A defiíció lpjá számíts ki következő htározott itegrálokt: d, b d. F. Mutss meg, hogy z f : [, b] R korlátos függvéy kkor és csk kkor Riem-itegrálhtó kompkt [, b] itervllumo, és z itegrál értéke z I vlós szám, h z [, b] itervllumk v oly felosztássorozt, melyhez trtozó lsó- és felső közelítő összegek sorozt koverges, és midkettőek z I szám htárértéke. Jelekkel: { b h [, b]-ek τ felosztássorozt, melyre f R[, b] és f I F4. Az előző feldt állítását felhszálv igzolj, hogy b b b b e d e b e α d bα+ α+ α + < b; lim sf, τ lim Sf, τ I. + + < < b, α vlós szám; c d l b l < b. F5. Mutss meg, hogy h f kkor és csk kkor Riem-itegrálhtó kompkt [, b] itervllumo és z itegrál értéke I, h bármely mide htáro túl fiomodó τ felosztássorozt eseté lim s f, τ lim S f, τ I. + +

11 .. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 7 F6. Bizoyíts be, hogy l. F7. Láss be, hogy z, h R \ Q f : q, h p Q \ {}, p, q q, h Riem-függvéy Riem-itegrálhtó [, ]-e és f... A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás F8. Adjo meg oly Riem-itegrálhtó függvéyt, melyikek ics primitív függvéye. F9. Mutss meg, hogy h f folytoos z [, b] itervllumo és itt f, kkor b f f z [, b]-. F4. A Newto Leibiz-tétel felhszálásávl számíts ki z lábbi htározott itegrálokt: c e g 5 4 π 5 d ; d + ; e si d; d + + ; b e d f h e l sil d; d ; l d; e d.

12 8. A htározott itegrál F4. Alklms megválsztott függvéyek htározott itegrálják felhszálásávl számíts ki z lábbi htárértékeket: lim + k + k ; b k 9 ; c d lim + lim + lim + k ; + ; α + α + + α e lim α >. + α+ F4. Cuchy Buykovszkij Schwrz-egyelőtleség: Tetszőleges f, g R[, b] függvéyek eseté b b b fg d f d g d. F4. Számíts ki z I : d,,,... itegrálokt. Keresse I -re rekurziós formulát. F44. Bizoyíts be, hogy h f folytoos [, ] itervllumo, kkor f d f d. F45. Láss be, hogy m d m d m, N.

13 .. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 9 F46. Bizoyíts be, hogy Bm, : m d m!! m + +! m, N. F47. Igzolj, hogy h f : [, ] R egy folytoos függvéy, kkor fu u du u ft dt du. F48. Bizoyíts be z lábbi egyelőtleségeket: b c e π d 4, e r si d π r e r, si + d, 7, d π π 4 si d 6. F49. Htározz meg z lábbi miimumokt: mi { c d : c R } ; b mi { π/ π/ si b d :.b R }. hol r > vlós szám, + 4 d 6 5, F5. Keresse meg zokt z < b vlós számokt, melyekre z b + d itegrál értéke mimális. F5. Igzolj, hogy f D[, ], f > eseté { mi } f c : c R f f.

14 . A htározott itegrál F5. Keresse meg következő htárértékeket: +h lim + t dt, h h b lim si t t dt. F5. Mutss meg, hogy z f : sit dt R függvéy deriválhtó, és számíts ki deriváltfüggvéyt. F54. Tegyük fel, hogy f : R R oly folytoos függvéy, melyre si π ft dt R teljesül. Meyi z f értéke 4 potb? F55. Bizoyíts be következő állításokt: H f mooto övekedő, kkor f d k f k f f N. b H f differeciálhtó és f korlátos [, ] itervllumo, kkor v oly -től függetle c > vlós szám, mellyel z f d k f c k egyelőtleség mide N számr teljesül. Síkidom terülte.. A htározott itegrál lklmzási A H korlátos f : [, b] R függvéy Riem-itegrálhtó z [, b] itervllumo és f [, b], kkor z f grfikoj ltti A : {, y R b, y f}

15 .. A htározott itegrál lklmzási síkidom területét így értelmezzük: ta : b f d. H f z [, b] itervllumo, kkor B : {, y R b, f y } síkidom területe: B Legye tb : b f d. ϕ t y ϕ t t [α, β], t [α, β] sim elemi Γ R görbe egy prméteres előállítás. Tegyük még fel zt is, hogy ϕ szigorú mooto övő és ϕ t t [α, β]. Ekkor C : {, y R ϕ t, y ϕ t, t [α, β]} síkidom területe: C Az tc r ϱϕ, β α ϕ tϕ t dt. α ϕ β polárkoordiátás lkb megdott görbe áltl meghtározott E : {, y R r cos ϕ, y r si ϕ; r ϱϕ, α ϕ β} szektorszerű trtomáy területe, h ϱ itegrálhtó: T E β α ϱ ϕ dϕ. F56. Számolj ki z y egyeletű egyees és z y + 6 egyeletű prbol áltl közrezárt síkidom területét.

16 . A htározott itegrál F57. Htározz meg z y 4 és z y 4 görbék áltl meghtározott síkidom területét. F58. Htározz meg z y 4 és z y görbék áltl meghtározott síkidom területét. F59. Számíts ki z lábbi síkbeli hlmzok területét: {, y R 4, y 4 4 }, b {, y R e, y l }, c {, y R + y,, b > }. b F6. Htározz meg z f ás g függvéyek grfikoj áltl htárolt síkrész területét: f : p >, p >, g : p R, p > ; b f : R, g : 4 R. F6. Szemléltesse z lábbi prméteres lkb megdott síkbeli görbéket: ϕ t : cos t t [, π, y ϕ t : si t t [, π sztrois; b ϕ t : cos t cos t t [, π, y ϕ t : si t si t t [, π krdiodid; Számíts ki görbék áltl meghtározott síkidomok területét. F6. Szemléltesse z lábbi polárkoordiátákb megdott síkbeli görbéket: r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π, π ] kör; b r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π 4, π 4 ] lemiszkát. Számíts ki görbék áltl meghtározott síkidomok területét. Síkbeli görbe ívhossz B Legye Γ R egy sim elemi görbe és ϕ ϕ, ϕ : [α, β] R Γ egy prméterezése. Ekkor Γ görbe rektifikálhtó, és Γ ívhossz: lγ β α [ϕ t ] + [ ϕ t ] dt.

17 .. A htározott itegrál lklmzási A Legye Γ z f : [, b] R folytoos differeciálhtó függvéy grfikoj. Ekkor Γ görbe rektifikálhtó, és ívhossz: lγ b + [ f t ] dt. C H ϱ : [α, β] R folytoos differeciálhtó, kkor z r ϱϕ α ϕ β polárkoordiátás lkb megdott Γ görbe rektifikálhtó és z ívhossz: lγ β α ϱ ϕ + [ ϱ ϕ ] dϕ. F6. Htározz meg z lábbi függvéyek grfikoják hosszát: f, b f / 5, c f l 8 4, d f 6 +. F64. Számíts ki z lábbi prméteres lkb megdott görbék ívhosszát: ϕ t : e t si t, y ϕ t : e t cos t t [, π/; b ϕ t : cos t, y ϕ t : si t t [, π/. F65. Htározz meg z lábbi polárkoordiátás lkb megdott görbék ívhosszát: Forgástest térfogt r ϱϕ : si ϕ ϕ [, π]; b r ϱϕ : ϕ [π/, π]. ϕ Legye f : [, b] R folytoos függvéy és tegyük fel, hogy f z [, b] itervllumo. Az f grfikoják z -tegely körüli forgtásávl dódó H : {, y, z R b, y + z f}

18 4. A htározott itegrál forgástest térfogt: V H : π b f d. F66. Htározz meg z f : [, b] R függvéy grfikoják z -tegely körüli megforgtásávl dódó forgástest térfogtát: f : [, ]; 4 Forgástest felszíe b f : si [, π]; c f : e [, ]. Legye f : [, b] R egy folytoos differeciálhtó függvéy és tegyük fel, hogy f z [, b] itervllumo. Az f grfikoják z -tegely körüli forgtásávl dódó H : {, y, z R b, y + z f} forgásfelület felszíe: F H : π b f + [ f ] d. F67. Htározz meg z f : [, b] R függvéy grfikoják z -tegely körüli megforgtásávl dódó forgástest felszíét: f : [, ]; b f : si [, π]; c f : [, 4]..4. Improprius itegrálok D. Tegyük fel, hogy z f függvéy Riem-itegrálhtó tetszőleges, b R itervllum lehet és b lehet + is mide kompkt [α, β], b részitervllumá, és legye c, b egy tetszőleges, de rögzített pot. Az f függvéyt improprius itegrálhtók evezzük z, b itervllumo

19 .4. Improprius itegrálok 5 vgy zt modjuk, hogy f improprius itegrálj koverges, b-, h létezek és végesek z lábbi htárértékek: lim t + c t f d és lim s b s és f improprius itegráljá ezek összegét értjük: b f d : lim t + c t f d + lim s b c f d, s c f d. T. H f improprius itegrálhtó z, b itervllumo, kkor z improprius itegrálják z értéke függetle defiíciójáb szereplő c, b pot megválsztásától. T. Tegyük fel, hogy korlátos f függvéy Riem-itegrálhtó kompkt [, b] R itervllumo. Ekkor f improprius is itegrálhtó, b- és eze z itervllumo z improprius itegrálj megegyezik z f függvéy [, b]- vett Riem-itegráljávl. F68. Vizsgálj meg z lábbi improprius itegrálok kovergeciáját. H koverges, kkor htározz meg z értékét: c e + + d α R, b α d α R, d α + d, f d α R, α + d, d. F69. Dötse el, hogy z lábbi improprius itegrálok közül melyek kovergesek. A kovergesek eseté számolj ki z itegrál értékét. c e e d, l, d, l d, b d f e d, l d, l p d p R.

20 6. A htározott itegrál T. Az összehsolító kritérium: Legye, b R hol lehet és lehet b +, és tegyük fel, hogy f is és g is Riem-itegrálhtó, b-ek mide kompkt részitervllumá, továbbá f g, b. H z b g d improprius itegrál koverges, kkor z b f d improprius itegrál is koverges mjoráskritérium. H z b f d improprius itegrál diverges, kkor z b g d improprius itegrál is diverges mioráskritérium. F7. Dötse el, hogy z lábbi improprius itegrálok kovergesek-e: c e + e d , b cos + d, D. Akkor modjuk, hogy z f d improprius itegrál bszolút koverges, h z T4. H z is. b b d, d b f + + d , + d, 5 + d. f d improprius itegrál koverges. f d improprius itegrál bszolút koverges, kkor koverges F7. Mutss meg, hogy z lábbi improprius itegrálok kovergesek: cos d, F7. Bizoyíts be, hogy + si b d koverges, b + + si d. si d diverges.

21 .4. Improprius itegrálok 7 T5. Tegyük fel, hogy z f : [, + R + függvéy folytoos, mooto csökkeő. Mutss meg, hogy f számsor koverges vgy diverges szerit, hogy z + f d improprius itegrál koverges vgy diverges. A tétel érvéybe mrd bb z esetbe is, mikor f feti tuljdoságokkl [k, + itervllumo k N redelkezik. Ebbe z esetbe + f, illetve f d helyébe + f, illetve f d értedő. k F7. Az előző tétel felhszálásávl vizsgálj meg kovergeci szempotjából z lábbi számsorokt: α R; b α l. k F74. Mutss meg, hogy z + e d improprius itegrál koverges. Később mjd meg fogjuk mutti zt, hogy + e d π. F75. Bizoyíts be, hogy mide > vlós számr z + t e t dt improprius itegrál koverges. A Γ : + függvéyt gmmfüggvéyek evezzük. t e t dt R + b Igzolj, hogy i Γ + Γ R +, ii h,,,..., kkor Γ +!.

22 8. A htározott itegrál.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz F76. A biomiális sor. Tetszőleges α R eseté z α αα α k + : k,,,... k k! biomiális együtthtókkl képzett k α k k htváysor ezt evezzük biomiális sork mide < eseté koverges, és z összegfüggvéye z + α, függvéy: + k α k + α,. k F77. A Wllis-formul: lim π. F78. A Stirlig-formul: lim +! e π, zz! közelítésére z lábbi formul érvéyes:!, π h +. e F79. Mutss meg, hogy π irrcioális szám.

23 II. rész Megoldások 9

24

25 . Primitív függvéyekhtároztl itegrálok. Primitív függvéyek htároztl itegrálok.. A defiíciók egyszerű következméyei M. d l + c, + ; b d l + c, ; c si d ctg + c; d d rctg + c. + M. cos d si + c és si π + c c ; 4 cos d si. 4 π b d + c. M. f d f + c és f4 4 + c + c c, zz f. b f + d f l + + c és f + l + + c + c c, zz f l + +. c f d f + c és f + c c és f + + d f + + c és f c c és f 6 +.

26 . Primitív függvéyekhtároztl itegrálok d f d f + c és f + c c és f + + d f l + + c és f l + + c c és f l +. e f e + 5 si e + 5 si d f e 5 cos + c és f e 5 cos + c c 4 és f e 5 cos + 4 e 5 cos + 4 d f e 5 si c és f e 5 si c c és f e 5 si + 4. f f si si d f cos + c és f cos + c c és f cos + cos d f si + c és f si + c c és f si + si + d f + cos + + c és f + cos + + c c és f + cos +... Primitív függvéyek meghtározásár votkozó módszerek... Alpitegrálok M d c, b + d c, 4 c d 7 8 d c, 8

27 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek + d d + + d c, 5 f f e + 5 d d+5 d +5 rcsi +c.... Alpitegrálokr vezető típusok lkú itegrálok M7. Az f függvéy egy primitív függvéye l f, mert l f f. Mivel f f f f itervllumo értelmezett, ezért mide primitív függvéye l f-től egy kostsb külöbözik. M8. + d + d l + + c, b d d l 6 + 7, si si c tg d cos d d lcos + c, cos e d e + 5 d e e + 5 d le c, d e l d l l + c, l d f l d l l + c. l f α f lkú itegrálok M9. M7-hez hsoló. M d 6 b d 8 c e e d, c, d e e d e 4 + c, 4 + c,

28 4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok d si cos d si cos d si4 + c, 4 l 5 e d l5 d l6 + c, 6 rsh f + d, rsh rsh d + + c rsh + c, g d d h c, cos tg d f + b d lkú itegrálok M. M7-hez hsoló. M. d b d c + d rctg + c, d d rth + + cos tg d + c d c, + d d tg + c. + c, +c 4 4 +c, d + d

29 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 5 e d d rcsi +c, f M. d d rctg 5 + d 5 + c, 5 d b [ + 4 ] + c d d [ + 8 ] + d [ 5 ] f g g d lkú itegrálok d rch + c. 6 + d [ 5 ] d + 5 d d rctg + + c, d d d d rsh c, + 5 d d rcsi 5 + c. M4. M7-hez hsoló. M5. si d si cos d + c,

30 6. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok sh b d sh d ch + c, c 6 + si + d cos + + c, d + l d d rctgl + c, + l e d rshtg + c, cos + tg f e tg cos d cos etg d e tg + c.... Itegrálás ügyese M6. + d + d d rctg+c, b d d + 7 d d + 7 d + 7 l + c, c 4 + d rctg + c, d + d [ + ] + d + + d + d + 4 d + d c, si si e tg d cos d d l cos + c, cos si f tg cos d cos d d cos cos d tg + c, cos cos g si d d d d si +c, 4

31 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 7 h cos d cos cos d cos si d cos d cos si d si si + c, siα + β + siα β i si α cos β zoosság lpjá si + si 4 si cos 7 d d si si4 d si d si 4 d cos cos 4 + c, 4 cosα + β + cosα β j most cos α cos β zoosságot lklmzzuk: cos cos d [cos + + cos ] d 5 si si 6 + c, k si d si cos d cos + si si cos d si cos d si { cos cos si, h π d 4 si cos, h π π ; { 4 si + cos, h π 4 z f : cos si +, h π π 4 függvéy egy primitív függvéy. cos 5 l + cos d cos 5 cos + si + cos si d cos 5 cos d cos cos d 5 cos d 5 tg + c, m si d si cos d d cos tg d ltg + c. si cos cos

32 8. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok..4. Prciális itegrálás M7. e d f f, g e g e e e e d 4 e + c. b si d f f, g si g cos + cos d f f, g cos g cos + [ si ] si d cos + 9 si + cos + c. 9 c e si d cos si f e f e, g si g cos e cos + e cos d f e f e, g cos g si e cos + e si e si d; redezés utá kpjuk, hogy e si d e cos + e si + c. d e ch d prciális itegrálássl is meghtározhtó, de egyszerűbb következő: e ch d e5 e + c; e e + e e 5 d + e d

33 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 9 e l d l d g, g ; f l, f l d l + c; f rctg d rctg d g, g, f rctg, f + rctg + d rctg d rctg l c; g l d g, g ; f l, f l d l 9 + c; h 5 e d e d g e, g e ; f, f e d e e d e + c. M8. cos + e + d f e +, f e + ; g si + cos +, g e+ si + e + si + d f e +, f e + ; g cos + si +, g + si + e [ e + cos + e + cos + d ] + si + e + 4 e+ cos + 9 e + cos + d, 4

34 4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok redezés utá zt kpjuk, hogy cos + e + d e+ si + + e + cos + + c; b + 4 4, c rcsi d rcsi d g, g ; f rcsi, f rcsi d rcsi + d rcsi + + c; d cosl d cosl d g cosl, g sil ; f, f sil sil d sil + sil d g sil, g cosl ; f, f sil + cosl cosl d cosl d sil + cosl + c; e l d l d l d l +c F 7/e; f cos lsi d g cos, g si ; f lsi, f cos si si lsi si cos d si lsi cos d si si lsi si + c; g l d l d l + c;

35 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 4 h l d ; l l d l l d g, g f l, f l g, g l l d l l c...5. Itegrálás helyettesítéssel M. Az elkövetkező feldtok megoldásához z lábbi összefüggés yújt segítséget: f d fgtg t dt tg Itt f egy I itervllumo dott pl. folytoos függvéy, g : J I pedig egy szigorú mooto övekedő vgy csökkeő differeciálhtó függvéy J itervllumo. Ilyekor zt modjuk, hogy z gt helyettesítést lklmzzuk. Figyeljük mjd g helyettesítő függvéy szigorú mootoitásák z elleőrzésére! Most z si t : gt helyettesítést lklmzzuk. Mivel, ezért, h g-t π, π itervllumo tekitjük, kkor itt g szigorú mooto övekedő, ezért feti képlet lklmzhtó: d si t cos t dt cos t trcsi trcsi t rcsi si t 4 + c rci sircsi cosrcsi + c trcsi b Itt z + c sh t : gt t R; g, g t ch t t R helyetesítést lklmzzuk:

36 4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok ch + d + sh t ch t dt t ch t dt trsh trsh ch t + dt sh t trsh 4 + t ch t sh t +c + t trsh +c trsh ch rsh + rsh + c + + rsh + c; c Az d > itegrál kiszámításához lklmzz z ch t : gt t > helyettesítést. f Alklmzhtjuk z sh : gt t R helyettesítést. A feldtot megoldhtjuk z 5 4 [ ] zoosság felhszálásávl is...6. Rcioális függvéyek itegrálás M. d l + c, h, +, b d l + c, h,, + c + + d d l c, + + d + + d d + + l d l [ + ] + d l rctg + + c, e + + d + + d 4 [ ] d [ rctg + ] + c, + 5 f + 5 d d [ d d] [l + 5 +

37 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek d] [l [ 9 ] + d] l rct[ 9 9 ] + c, 6 + g + 7 d + 7 d [ + 7 d d] [l [ 6 ] + d M.... l rct[ 6 ] + c. M4. Az itegrdus felbotás kis próbálkozássl is meghtározhtó: , 4 de biztos módszert is lklmzhtjuk: z 4 A + B A 4 + B 4 4 A + B 4A + B 4 lpjá A + B, 4A + B dódik, miből A, B következik. Ezért 4 d d + 4 d l + l4 + c, h < < 4. e Az itegrdus így bothtó fel:

38 44. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok Ezt felbotást biztos módszerükkel így htározhtjuk meg: z + 4 A + B + C + 4 A B + C + 4 A + B + C + 4A + 4 lpjá A + B, C, 4A, zz A, B. Ezért d 4 d d 4 l 8 l c, h >. h Az itegrdus felbotás: A + A + B + C + + B + C +. Közös evezőre hozás, mjd számlálób változó együtthtóik összehsolítás utá egy 6 ismeretlees egyeletredszert kpuk z A i, B i, C i ismeretleekre. A szób forgó felbotást zob így is meghtározhtjuk: [ ] Az egyes tgok primitív függvéyei ie már szokásos módo htározhtók meg.

39 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 45 i Először evezőt kell felboti tovább már em bothtó vlós téyezők szorztár. A felbotásb elsőfokú téyezők yilvá em leszek z + 4 egyeletek ui. ics vlós gyöke, ezért + 4 összeget két másodfokú téyező szorztár kell felbotuk. Ezt émi ügyeskedéssel így tehetjük meg: Így miből szokásos módszerrel dódik. Ezért + d A + B C + D + +, A, B, C, D + + d d d + d 4 l d+ + 4 l d 4 l d d 4 l rctg + rctg + + c.

40 46. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok M5. b..7. Rcioális függvéyek itegrálásár vezető helyettesítések d d t : 6 ; t 6 : gt t > ; g t 6t 5 t >, g t t + t 6t5 dt 6 t 6 + t dt t 6 t + 6 dt t + t 6 t t + dt 6 t + t 6 6 t 6 t + 6t 6 l + t + c t l c; c + 4 d d t : 4 ; t 4 : gt t > ; g t 4t t > ; g t t + t 4t dt + t 4 t dt 4 t + t 4 4 t + t dt t 4 t t dt 4 t + t 4 4 t 4 t t + dt 4 t 4 t 4 lt + + c t l c g Tudjuk, hogy t helyettesítés rcioális törtfüggvéy itegrálásár vezet. H >, kkor yilvá < t <, mi zt jeleti, hogy z t : gt t,

41 .. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 47 helyettesítő függvéyt lklmzzuk. Mivel g t 6t t > t,, ezért g szigorú mooto övekedő, így htároztl itegrálokr votkozó második helyettesítési szbályuk vlób lklmzhtó: t d 6t t t dt t. Mivel t ezért 6t t t dt t + 4 t t dt + + dt t + l t + t 4 t dt + t + t + c, t d + l + + c >.

42 48. A htározott itegrál M..... A htározott itegrál.. A htározott itegrál értelmezése M. Legye f, h [, b] Q és f, h [, b] Q. M. A feldt részébe tekitse z [, ] itervllum egyeletes felosztásit. A b részbe mide N eseté vegye z [, ] itervllumk zt felosztását, melyet z i i,,,..., potok htározk meg. b megoldás: Legye f : [, ], q :, és tekitsük z [, ] itervllum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez trtozó lsó közelítő összeg: sf, τ q q i f i i i i q i q i, q i q i q i Hsoló τ felosztáshoz trtozó felső közelítő összeg: Sf, τ q i f i i i i i h +. q i q i q i i q q, h +. Mivel lim sf, τ I f I f lim Sf, τ + +, ezért I f I f. Az f függvéy tehát itegrálhtó z [, ] itervllumo, és f.

43 .. A htározott itegrál értelmezése 49 M. H f R[, b] és b f I, kkor I f I f I, ezért mide N számhoz létezik [, b]-ek oly τ felosztás, melyre I sf, τ I f I f Sf, τ I +. A τ felosztássoroztr tehát lim sf, τ lim Sf, τ I teljesül. + + H [, b]-ek v oly τ felosztássorozt, melyre teljesül, kkor z I lim sf, τ lim Sf, τ I + + lim sf, τ I f I f lim Sf, τ I + + egyelőtleségekből következik, hogy I f I f I, zz f Riemitegrálhtó z [, b] itervllumo és b f I. M4. A feldt részébe tekitse z [, b] itervllum egyeletes felosztásit. A b és c részbe mide N eseté vegye z [, b] itervllumk zt felosztását, melyet z b i i,,,..., potok htározk meg. c megoldás: Legye f : [, b], q : b, és tekitsük z [, b] itervllum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez trtozó lsó közelítő összeg: sf, τ f i i i i i q i q i. q i q b A sorozt htárértékéek meghtározásához vegyük észre, hogy b b, és eek htárértéke g : b R epoeciális függvéy potbeli deriváltjávl hozhtó kpcsoltb. Mivel g D{} és g l b, ezért lim sf, τ lim g l + + b b l b.

44 5. A htározott itegrál M5.... A τ felosztáshoz trtozó felső közelítő összeg: Sf, τ f i i i i i q i q i q b q i. Mivel h : b R függvéy deriválhtó, és h l b, ezért lim Sf, τ lim b / lim h l b + + b + /. Azt kptuk tehát, hogy z [, b] itervllumk v oly felosztássorozt, - melyhez trtozó lsó- és felső közelítő összegek sorozt ugyhhoz számhoz trt. Alklmzzuk most z előző feldt állítását. M6. A sor Leibiz-típusú sor, tehát koverges. Itt hgsúly z összeg meghtározásá v. Ehhez tekitse következő cseles átlkításokt: Ez utóbbi z R+ függvéyek z [, ] itervllum egyelő részre vló felosztásávl vett lsó közelítő összege. Az F4. feldt c része lpjá ez függvéy itegrálhtó, és d l. Az előző feldt állítását felhszálv kpjuk bizoyítdó egyelőséget. M7. Mivel mide itervllumb v irrcioális szám és így oly, hol f értéke, ezért [, ] itervllum tetszőleges τ felosztás eseté sf, τ, tehát I f sup{sf, τ τ F[, b]}. Azt kell megmutti, hogy is igz. I f zt jeleti, hogy I f if{sf, τ τ F[, b]} ε > -hoz τ F[, ] : Sf, τ < ε..

45 .. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 5 Adott ε > számhoz egy ilye τ felosztást következőképpe dhtuk meg. Vegyük egy oly N számot, melyre < ε teljesül. Vegyük észre, hogy függvéy -él gyobb értéket -él kevesebb helye veszi fel. Ugyis, h f, kkor p és q kell, hogy legye, márpedig q mide q -hez -él kevesebb p v, melyre < p < és p, q. q Ezért tekitsük [, ]-ek z egyelő részre vló τ felosztását. Mutss meg, hogy Sf, τ <... A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás M8.... M9.... M4. d d rcsi + c, 9 d [ rcsi ] rcsi rcsi π. b sil d cosl + c, e sil d cos. g Először z itegrdus primitív függvéyeit htározzuk meg. Alklmzzuk t +, 5, t 4 helyettesítést, zz tekitsük z t : gt t 4 helyettesítő függvéyt. A g függvéy szigorú mooto övekedő z [, 4] itervllumo, deriválhtó és g t t t [, 4], ezért htároztl itegrálokr votkozó második helyettesítési szbályt lklmzhtjuk: d + + t + t t dt. t +

46 5. A htározott itegrál Mivel ezért t + t t dt t t + t dt [ A t + B t + t dt ] dt t t t + dt t + dt 5 lt + 4 lt + + C, 5 d + + d 5 l l C. A Newto Leibiz-tétel lpjá tehát 5 d + + d [l l + + ] 5 5 h Először z itegrdus primitív függvéyeit htározzuk meg. Most t e, l, t helyettesítéssel próbálkozuk, zz vesszük z l + t : gt t l. 5 helyettesítő függvéyt. A g függvéy deriválhtó és g t t t [, ], g +t tehát szigorú mooto övekedő. A htároztl itegrálokr votkozó második helyettesítési szbály tehát lklmzhtó: e t d t + t dt dt t e + t t e t rctg t t e rctg e + C. e A Newto Leibiz-tétel lpjá tehát l e d [ e rctg ] l e π.

47 .. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 5 M4. megoldás: Mivel , ezért ezt z összeget felfoghtjuk úgy is, mit z f : + > függvéyek [, ] itervllum egyeletes felosztásához trtozó közelítő összege. Sőt ez f mooto csökkeése mitt egy lsó közelítő összeg. Az f függvéy folytoos, tehát itegrálhtó, és + d. Az F5. feldt állítását felhszálv kpjuk, hogy kérdezett sorozt htárértéke. e megoldás: Mivel ezért : α + α + + α α+ i α, lim α d + + α. Megjegyzés. Ez z eredméy zt jeleti, hogy mide ε > vlós számhoz létezik oly N ide, hogy mide természetes számr feállk z ε α+ α + α + α + + α + ε α+ α + egyelőtleségek. Ngy -ekre tehát z α + α + + α összeg z α+ α+ számml jól közelíthető. Ezt úgy is ki szoktuk fejezi, hogy α + α + + α szimptotikus egyelő α+ α+ -gyel, h +, és ezt rövide így szokás jelöli: α + α + + α α + α+ i +.

48 54. A htározott itegrál Vgy zt modjuk, hogy z α + α + + α összeg α+ gyságredű. Figyelje meg, hogy h α, vgy, kkor szób forgó összegeket zárt lkb is fel tudjuk íri, és ebből kphtuk iformációt rról, hogy z összeg gy -ekre mekkor. Más α-kr pl. α zárt lk vgy ics vgy pedig eheze dhtó meg. A feldtb muttott egyszerű eszközökkel tehát mide α > vlós szám eseté zárt lk ismerete élkül kptuk iformációt z összeg gy -ekre vló viselkedéséről. M4. H b f b g, kkor z fg f + g [, b] egyelőtleségből b b fg d fg d [ b f d+ következik, tehát ekkor igz z állítás. b ] g d Tegyük fel, hogy b f és b g közül leglább z egyik -tól külöböző, például b f >. Mide λ vlós prméter eseté z F : λf + g függvéy itegrálhtó [, b]-, és z itegrálj emegtív, zz b b λf + g λ f + λ b fg + b g λ R. A jobb oldl λ-k egy másodfokú poliomj, és ez poliom mide λ R eseté emegtív, mi csk úgy lehetséges, h diszkrimiás, zz b b b fg 4 f g, miből már következik z állítás. M4. I d. H, kkor I I + d I I + [ ] d d d I I,

49 .. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 55 zz Ezért I I + I,,.... +,,.... M44. Végezze el z t gt t [, ] helyettesítést. M M46. Prciális itegrálv zt kpjuk, hogy [ m+ m + Ezért Bm, ] Bm, + m + Bm +, m +! m + m + m d m+ d Bm +,. m + m + m + Bm +, m + m+!m! d m + +!. M47. Itegráljo prciális. M48. d + 6 d 4. b Mivel si [, π ], ezért π π e r si d π d er si π e r π d π r [ ] e r π π π r e r. c Az itegrálszámítás középértéktétele szerit létezik oly ξ [, ], mellyel si d si ξ + + d si ξ[ rctg ] π 4 si ξ π si <, 7. 4

50 56. A htározott itegrál d A Cuchy Buykovszkij-Schwrz-egyelőtleség lpjá d + 4 d d 5. e Legye f : si, π. Mivel f cos tg, π és tg mide, π potb tg függvéy ui. kove, π/- e és grfikoják z éritője potb z y egyees, ezért f mooto csökkeő, π/-e, ezért 8 f π π π 4 π π 4 si M5. Az itegrdus folytoos, ezért z F : d f π π 4 π 4 + t dt R 6. itegrálfüggvéye mide R potb differeciálhtó és F + R, következésképpe F lim h F + h F h h lim h h +h + t dt. M55. b Jelölje M z f egy felső korlátját: f M [, ]. Legye egy rögzített természetes szám, és tekitsük [, ] itervllum k k,,,..., osztópotokkl vett egyeletes felosztását. Ekkor ezért : f d k k k [ k f d f k k k f f k ] d k k k k k f d, f d k k k k k f f k f k d d.

51 .. A htározott itegrál lklmzási 57 Alklmzzuk most z f függvéyre [ k, k ] itervllumo Lgrge-féle középértéktételt: v oly ξ [ k, k ], melyre Az f korlátosság mitt k k f f k f ξ k. k f f d M k k Ezért M M egyelőtleség mide N eseté teljesül. k t dt M... A htározott itegrál lklmzási.4. Improprius itegrálok.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz M76. H α emegtív egész szám, kkor tgok bizoyos idetől kezdve -vl egyelők, így sor koverges. H α em ilye, kkor egyik együtthtó sem, ezért D Alembert-féle háydoskritérium és α α k α k + k + k lpjá α k+ α k k+ k α α k k α kk+ α k k +, h k +, ezért sor vlób koverges mide, eseté. Jelöljük f-fel sor összegét: f : + k α k,. k

52 58. A htározott itegrál Megmuttjuk, hogy f hsoló deriválási szbály érvéyes, mit z + α < függvéyre. Erre függvéyre ugyis + α α + α, zz + + α α + α teljesül mide, potb. Ehhez hsoló feáll z + f αf, egyelőség. Ez htváysor deriválásár votkozó állítás és felhszálásávl így igzolhtó: + α + α + f + k k k k k k k + [ α α ] k + + k k α k + k k + k + α k + k k k α k αf. k k Ebből most már z f + α egyelőség köye bizoyíthtó. Legye ugyis g : f,. + α A g függvéy deriválhtó és mitt g f + α fα + α + α + f αf + α, ezért g álldó, -e. Az potb g, ezért vlób feáll z f + α, egyelőség. M77. Az állítást z I : π si d,,,... itegrálok kiszámításá keresztül látjuk be. Világos, hogy I π d π és I π si d [ ] π cos.

53 .5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz 59 h >, kkor prciális itegrálv zt kpjuk, hogy I miből dódik. π cos si d I [ si ] π I cos π π cos si cos d si si d I I, I I,,... I I I π, I + + I I. Mivel mide természetes számr si + si + si, π/, ezért zz I + I + I N, + + π + π. Ebből + + π 4 + π M78. Az lpötlet z, hogy z l d itegrált, zz z l függvéy [, ] itervllumo vett grfikoj ltti területet beírt trpézok területéek összegével közelítjük. A szób forgó itegrál köye meghtározhtó: l d [ l ] l + l l e +l e l e e.

54 6. A htározott itegrál Tekitsük most z l kokáv! függvéy grfikojáb beírt zo töröttvolt, melyek szögpotji görbe,,..., bszcisszákhoz trtozó potji. Az e töröttvol ltti síkidom területe egy háromszögek és trpézk területéből tevődik össze, és z értéke: l + l + l + + l + l l + l + + l l l!, ezért területek külöbsége: : l e! e e l l > N. e! zért pozitív, mert z l függvéy kokáv z egész R + -o. A geometrii trtlomból yilvávló, hogy sorozt mooto övekedő. Egy szellemes geometrii megfotolásból z is következik, hogy sorozt felülről korlátos és l mide N eseté. Ezért sorozt koverges. Az ep függvéy szigorú mooto övekedő, ezért z e e e! sorozt is koverges, és htárértéke pozitív. A sorozt reciprok, tehát z! : N e sorozt is koverges. Feldtuk htárértékéek kiszámolás. Ehhez két észrevételt érdemes megjegyezi: egyrészt zt, hogy < lim lim, mi z és lim lim yilvávló következméye. A másik észrevétel z, hogy Wllis-formulávl hozhtó kpcsoltb: [! ] [ 4 6 ] [! ] e e!!

55 .5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz 6 A Wllis-formul lpjá ezért lim + lim lim lim π +,! e lim + + π π, mi zt jeleti, hogy lim +! e π. M79. Elég igzoli zt, hogy π irrcioális. Ezt idirekt módo látjuk be. H π rcioális lee, kkor létezéek oly p, q N számok, melyre π p q teljesüle. Vegyük most egy oly N számot, melyre ilye v, miért?, és tekitsük z πp <! f :! R függvéyt. Az iderekt feltételt felhszálv prciális itegrálássl mutss meg, hogy A : πp f si π d egy egész szám. Ez viszot elletmodás, mert < A πp! d πp! <.

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gykorló feldtok Progrmtervező mtemtikus szkos hllgtókk z Alízis. című tárgyhoz Összeállított Bese Atl, Csillg Dávid, Kiss Blázs, Mátyás Gergely, Szili László 4. október Trtlomjegyzék I.

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk.

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Sorozatok határértéke

Sorozatok határértéke I. Becsüljük kifejezéseket! Kidolgozott feldtok: Soroztok htárértéke. Számológép hszált élkül djuk becslést z lábbi kifejezések értékére h = 000 000! Hszáljuk közbe gyságredi becsléseket számláló és evező

Részletesebben

Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra

Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra Közelítő és szimolikus számítások hldókk 9. elődás Numerikus itegrálás, Guss-kvdrtúr Numerikus itegrálás Numerikus itegrálás Newto-Leiiz szály def I f f d F F Htározott Riem-itegrálok umerikus módszerekkel

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései Mtemtik A2 - Vektorfüggvéyek elméleti kérdései (műszki meedzser szk, 2018. tvsz) Első típusú improprius itegrál: Végtele trtomáyo korlátos függvéy Legye f itegrálhtó mide β > eseté z [, β]-. H β β és véges,

Részletesebben

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Az integrálszámítás néhány alkalmazása Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak ábr: Ábr Bodó Be, Simoé Szbó Klár Mtemtik. közgzdászokk IV. modul: Számsoroztok 8. lecke: Számsorozt foglm és tuljdosági Tulási cél: A számsorozt foglmák és elemi tuljdoságik megismerése. A mootoitás,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

A határozott integrál fogalma és tulajdonságai

A határozott integrál fogalma és tulajdonságai . fejezet Htározott integrál A htározott integrál foglm és tuljdonsági D. Legyen f z [, b] intervllumon legfeljebb véges számú pont kivételével mindenütt értelmezett korlátos vlós függvény, továbbá legyen

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Bevezetés az integrálásba

Bevezetés az integrálásba Bevezetés z itegrálásb Horváth Árpád. ovember. Megjegyzés Ez jegyzet összefogllj z itegrálszámításk zokt leglpvetőbb foglmit, mely élkül z itegrálszámítási feldtok megoldás csk képletek mipulációj lee.

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték

Részletesebben

Matematika II. Műszaki informatikai mérnökasszisztens. Galambos Gábor JGYPK

Matematika II. Műszaki informatikai mérnökasszisztens. Galambos Gábor JGYPK ..7. Mtemtik II. Műszki iformtiki méröksszisztes http://jgypk.u-szeged.hu/tszek/szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmos Gáor JGYPK - Mtemtik II. A Mtemtik II. fő témái: Itervllum, távolság, köryezet Vlós függvéyek

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26. Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

1. Halmazok, relációk és függvények.

1. Halmazok, relációk és függvények. . Hlmzok, relációk és függvéyek. - redezett pár (,b) = { {}, {,b} } hlmzelméleti defiíció; Tuljdoság: (,b) = (c,d) =c és b=d - hlmzok Descrtes-szorztt A x B := {(,b) A, b B} - r hlmzok közötti reláció

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Kardos Montágh verseny Feladatok

Kardos Montágh verseny Feladatok Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,

Részletesebben

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás LP LP 2 Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek egységár és z, hogy z egyes termékek egy egységéek előállításához

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Analízis. Glashütter Andrea

Analízis. Glashütter Andrea Alízis Glshütter Adre Alízis Hlmzok I. Hlmzok Deiíció (hlmz) elemek összessége. Megdás. elemek elsorolásávl (z összes elemet elsorolom, vgy leglá yit, hogy z lpjá következteti lehesse töi elemre); pl A{,,4,7,4,8}..

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné

WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA Gzdságmtemtik Alízis Okttási segédyg Készítette: Pór Adrásé 203 Trtlomjegyzék HALMAZOK... 3 FÜGGVÉNYEK... 0 SOROZATOK... 24 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA... 29

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra . Adott z =, =,3, + 3 soozt. Számíts ki lim 3 htáétéket. Megoldás: Előszö lkítsuk át z k kifejezést: k = + k 3 = k3 k 3 + = (k (k + k + (k + (k k + = k k + k + k + k k +, k =,3, Ez lpjá z szozt átíhtó

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. útmutatások. x arányt, vagy

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. útmutatások. x arányt, vagy Elem lgebr. útmuttások A.. Négyzetre emeléssel szmmetrkussá tehetjük törtet. Más megoldás lehetőségek: A homogé másodfokú egyeletből megkphtjuk z y ráyt, vgy lklmzhtuk prméterezést: + y y = p prméterezéssel

Részletesebben

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10. Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0. Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................

Részletesebben

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra

Részletesebben

IV. A HATÁROZOTT INTEGRÁL

IV. A HATÁROZOTT INTEGRÁL 86 A htározott itegrál IV A HATÁROZOTT INTEGRÁL Bevezető feldto Feldt Számítsu i z f :, [ ], f függvéy grfius épe, z, és z O tegely áltl htárolt síidom területét Megoldás Árázolju függvéyt A XI y osztály

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

ANALÍZIS II. Bártfai Pál

ANALÍZIS II. Bártfai Pál ANALÍZIS II. Bártfi Pál. Kétváltozós függvéyek.. Deriválás A z = f(x, y) kétváltozós függvéyél z függő változó értékét z x és z y függetle változók értékéől számoljuk ki. A függvéyt háromdimeziós koordiátredszere

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

5.1. A határozatlan integrál fogalma

5.1. A határozatlan integrál fogalma 9 5. Egyváltozós vlós függvények integrálszámítás 5.. A htároztln integrál foglm Az eddigiekben megismertük differenciálás műveletét, melynek lpfeldt: dott f függvényhez megkeresni z f derivált függvényt.

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + +

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + + LINEÁRIS ALGEBRA Mit evezük másodredő determiásk? Másodredő determiásk evezzük égy elem, két sor és két oszlop redezett táláztát, melyhez z lái módo redelük értéket: = d c c d Mit evezük egy determiás,

Részletesebben

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum

Részletesebben

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá. Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

Draft version. Use at your own risk!

Draft version. Use at your own risk! BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Tekintsük az I (I R) intervallumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben a

Tekintsük az I (I R) intervallumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben a . . Egyváltozós függvények htároztln integrálj. Egyváltozós függvények htároztln integrálj PAP MARGIT. A primitív függvény foglm Tekintsük z I (I R) intervllumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben prgrfusbn

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok

Részletesebben

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat

Többváltozós analízis gyakorlat Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete

Részletesebben

Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmzák

Részletesebben