IV. A HATÁROZOTT INTEGRÁL

Átírás

1 86 A htározott itegrál IV A HATÁROZOTT INTEGRÁL Bevezető feldto Feldt Számítsu i z f :, [ ], f függvéy grfius épe, z, és z O tegely áltl htárolt síidom területét Megoldás Árázolju függvéyt A XI y osztály tult lpjá f szigorú övevő és ove, tehát grfius ép 9 árá 7 láthtó és volázott síidom területét ell iszámítu A megoldás ötlete övetező: felosztju egyelő részre [, ] itervllumot + Az I +,+ lú 8, itervllumo (ezeet pju felosztás sorá) midegyiée z itervllumhoz trtozó síidom részt eírju egy tégllp és ugyor íru ele is egy tégllpot (lásd 9 ár árát) y TABCD [ ] t TABEF [ ] T egyelőtlesége F D A + + ár E C B + H z I itervllumo síidom írt tégllp területe t és öréje írt tégllp területe T, or területről lotott eddigi elépzelései lpjá elvárá, hogy síidomrész S területére teljesüljee t S T egyelőtlesége Így síidom S S területére teljesüle t S T Kiszámítju lim t és lim T htárértéeet Az elői (*) egyelőtleség és fogó tétel lpjá h ét htárérté egyelő, or özös értéü éppe S A mi feldtu eseté (*)

2 A htározott itegrál 87 és Tehát és T t + f f lim t ( + ) lim lim 8 + lim 6 lim lim lim T ( + + ) lim lim 8 + lim 6 lim lim (A htárértée iszámításár Cesro-Stolz ritériumot vgy z összege eplicit lját hszálhtju) Az előie lpjá vizsgált síidom területe 65 Vizsgálju meg z elői megoldást Az S területet özelíthettü vol ármilye ABGH tégllp területével (lásd árát), hol G [ CE] és H [ DF] H z ilye tégllpo AB lpját rögzítjü és mgsságát folytoos változttju z és AF özt, or tégllp területe is folytoos változi t és T AD

3 88 A htározott itegrál értée özt Világos, hogy tetszőleges ABGH tégllp területe felírhtó ( ) f ( ξ ) l, hol ξ, + + Eze szerit t és így t + ( + ) ( ) f ξ T ) Ez z egyelőtleség zt izoyítj, hogy tetszőleges ξ, özeeső értée ese- + ( té z R f ξ összeg + 65 htárértée szité Ez z észrevétel gyo hszos lehet z eredméy más l vló felírásá ) Az ( f ξ ifejezés megjelei +, Lgrge tétele h ezt z + F :, [ ] függvéyre, melyre F f ( ξ ) ( ) f F( ), tehát írhtju, hogy {,,,, } eseté létezi ξ, + úgy, hogy F( F ( ) + ) ( + ) f ( ξ) (*) Eszerit, h mide, itervllum úgy válsztju meg ξ potot, hogy + teljesüljö z elői (*) egyelőség, or z () F F() f ξ + egyelőséghez jutu Mivel l oldl -től függetle és jo oldl htárértée (mior ) S, írhtju, hogy S F() F() Vló Láthtó, hogy teleszópius összegezés ötlete tetszőleges < < < potredszer eseté is műödi Vizsgálju meg, hogy mi törtéi h megoldás elejé em egyelő részere osztju z itervllumot Teitsü [, ] itervllum egy tetszőleges < < < felotását A mi esetüe ( f övevő) írhtju, hogy y O T H D A F ξ ár E G C B + itervllumo llmzzu egy oly Egy ilye függvéy z

4 A htározott itegrál 89 tehát i ell számítu z htárértéeet Az egyelőtlesége lpjá Ugyor ( ) f S ( ) f ( ) lim ( ) és L + ( ) + + l < és > ( ) ( ) t < < T ( ) ( ) ( Tehát h m m { }, +, or ) + + ( T t ) m ( ) m ( ) + Eől láthtó, hogy h m (mior ) or T t, Másrészt 65 t < < T egyelőtleségől övetezi, hogy 65 t T t és 65 T T t, 65 tehát ( T ) és ( t ) sorozto htárértée egyrát Ez muttj, hogy ee z esete felosztás potjit és özeeső potot tetszőlegese megválszthtju z m (h ) feltétel mellett A fejezet továi prgrfusi z itt ismertetett godoltmeetet terjesztjü i, evezetjü z itt látott tuljdoságoól eredő áltláos foglmt A terület értelmezése Teitsü D hlmzt Értelmezés Azt modju, hogy D hlmz (síidom) területe T, h teljesül övetező három feltétel: * ármely eseté léteze oly t, t,, t pároét diszjut elsővel redelező tégllpo, melyere ξ,

5 9 A htározott itegrál t t t D * ármely eseté léteze oly T, T,, T diszjut elsővel redelező tégllpo (eze tégllpo lehete méretűe is), melyere T T T D ( h T és t -el jelöljü T ) ( illetve t ) területét, or lim T lim t T Megjegyzése H D hlmzr ármely ε > eseté létezi oly D -t lefedő tégllpredszer, melye területe ise, mit ε, or D -t ullmértéűe evezzü ( Hsoló értelmezzü D hlmz térfogtát is Ee z esete t ) és T t téglteste ell legyee és t, illetve T eze térfogt A D hlmzr ( és T ) zárt itervllumo és t, T eze hossz m Megoldott feldt Számítsu i z f :, [ ], f, m függvéy grfius épe, z O tegely és z egyeletű egyees áltl htárolt síidom területét y ár Megoldás Felosztju [, ] itervllumot egyelő részre z,, osztópoto segítségével A síidom z C C, + itervllumr illeszedő része trtlmzz z B A B + A + S AA B B + + C C + + tégllpot és ee v z AA tégllp, tehát z első ét feltétel teljesül H O + t és T z elői ét tégllp területe, or m t ( ) f ( + ) és m m + T ( ) f ( ) + + A Cesro-Stolz tétel lpjá lim m m lim, m + m+ m+

6 A htározott itegrál 9 tehát vizsgált idom területe m + Megjegyzés Az f :[, ] függvéy grfius épe, z O tegely és z illetve egyeletű egyeese áltl meghtározott síidomot grfius ép szugrfiojá evezzü A továi gyr említjü mjd grfius ép ltti területet, ez szugrfio területét jeleti Gyorlto és feldto Bizoyítsd e, hogy h D és D diszjut hlmzo és T D vlmit T( D) T T, or T D D T + T Bizoyítsd e, hogy h D, D, T D T és T D, or létezi D T D területe és T D D T D +T D ) T D D ( Számítsd i övetező függvéye grfius épe ltti síidom területét: ) f :, [ ], f si ; ) f :,, f cos ; c) f :[,], f 6 ; d) f :, [ ], f Bizoyítsd e, hogy hlmz ullmértéű 5 Bizoyítsd e, hogy ét ullmértéű hlmz ( -e vgy -e) metszete is és egyesítése is ullmértéű 6 Bizoyítsd e, hogy h ( A ) ullmértéű hlmzo, or z A hlmz i A i is ullmértéű i Az itegrálhtóság értelmezése Teitsü z f :[, ] függvéyt Értelmezés Az < < < < potredszert z [, ] itervllum egy ( részitervllumr vló) felotásá (vgy felosztásá) evezzü Ezt,,, szimólumml jelöljü H em vezet félreértéshez, { } [, ] helyett egyszerűe -t íru,,, felosztás ormájá evezzü és -vl jelöljü A { } { + } : m, számot H és ét felosztás z [, ] itervllum, zt modju, hogy fiom felosztás [, ] -e, mit, h i [, ]

7 9 A htározott itegrál Példá I itervllum {,,,} Az [,] egy felosztás és felosztás or- máj I itervllum {,,,,} Az [,] egy felosztás és felosztás ormáj A és özül egyire sem modhtju, hogy fiom másiál, mert és A, felosztás z I [,] itervllum fiom, mit h páros és fiom, mit h oszthtó -ml A ormáj Az elői felosztáso z itervllumot egyelő részere osztottu Áltlá z I [, ] itervllumot egyelő részre osztó potredszer z +,, Ee ormáj Az és példá látott jeleség áltlá is áll A ( ) +, és ( ) +, felosztáso em hsolíthtó össze (egyi sem fiom másiál), ezért gyori jeleség z egyre fiom felosztáso szeresztésére z, mior meglevő felosztás itervllumit felezzü (hrmdolju, st) Így z I [, ] itervllum redre övetező felotásit pju:,, { } + { } {, +, +, +, },,,, +, Ezere felosztásor

8 A htározott itegrál 9 Gyorlto és feldto Bizoyítsd e, hogy h és z itervllum felosztási, or I pothlmz is felosztás Mit állíthtu ormájáról? Bizoyítsd e, hogy h felosztás z [, ] itervllum és felosztás [ c, ] itervllum, or pothlmz felosztás z [ c, ] itervllum Megphtó-e z [ c, ] itervllum mide felosztás ilye úto? Jelöljü ( p) -vel [, ] itervllum, p felosztását Mi p * szüséges és elégséges feltétele, hogy ( p) ( q), h pq,? Bizoyítsd e, hogy ( p) ( q) ( pq) Idulju i z I [,] itervllum {, } felotásáól és reurzív szeresszü meg felosztássoroztot z lái szály szerit: : : : : : Áltlá h és ét egymás utái osztópotj és + +, or e + ét elem özé eittju z törtet (elleező esete ét tört -e is + + egymás utái elem lesz) Bizoyítsd e, hogy érvéyese övetező tuljdoságo: ) h és egymás utái osztópoto vlmelyi felosztás, or ; ) osztópotji [, ] itervllum -él em gyo evezőjű, irreduciilis l írt törtjei Értelmezés H {,,, } z I [, ] itervllum egy felosztás és ξ,, +,, or ξ, ξ, ξ,, ξ potredszert özeeső potredszere evezzü

9 9 Értelmezés H {,,, } { } ξ ξ, ξ,, ξ A htározott itegrál z I [, ] itervllum egy felosztás és egy özeeső potredszer, or f ξ + összeget z f :[, ] függvéyhez, felosztáshoz és ξ özeeső potredszerhez trtozó Riem-féle összege evezzü és σ ( f, ξ) -vel jelöljü Példá Az f :, [ ] függvéyhez,, felosztáshoz és ξ, özeeső potredszerhez trtozó Riem-féle összeg σ ( f, ξ) f H özeeső potredszere ξ, redszert válsztju, or megfelelő Riem összeg σ ( f, ξ) f Az f :, [ ] függvéyhez,, + ξ,, + felosztáshoz és özeeső potohoz trtozó Riem-féle összeg + σ ( f, ξ) f + A evezetőe tárgylthoz hsoló ülööző özeeső potredszer segítségével megszereszthetjü z f szugrfiojá területét lulról és felülről özelítő összegeét Folytoos függvéye eseté ξ, + özeeső potredszert megválszthtju úgy, hogy f ( ξ ) mi f és úgy is, hogy f ( ξ ) m f Láttu, [, ] + [, ] + hogy z így szereszthető ét özeeső potredszerhez trtozó összeg ülööse fotos lehet Eze z összege tuljdoéppe z dott felotáshoz (és függvéyhez) trtozó legise, illetve leggyo Riem összegét is felfoghtó H z f függvéy em folytoos, or em iztos, hogy Riem-féle összege özt ( felosztás és függvéy rögzített) v leggyo és legise Ahhoz, hogy hsoló godoltmeet lpjá tudju dolgozi, övetező összegeet értelmezzü:

10 A htározott itegrál 95 Értelmezés H :[, ] itervllum egy felosztás és or z f egy orlátos függvéy, {,,, } { } z [, ] m if f, +,,, M sup { f ( ), } +,,, ( + ) s f m ( + ) S f M összegeet lsó, illetve felső Drou összege evezzü Megjegyzés H f folytoos, or Drou összege vlmilye özeeső potredszerhez trtozó Riem összegeel egyelő Az értelmezés lpjá ármely ξ özeeső potredszer eseté Példá H f övevő, or és s ( f) σ ( f, ξ) S ( f) + ) ( ) ( s f f és ( ) + ( + ) S f f, Az f [,], f, \ függvéy eseté tetszőleges {,,, } felosztás eseté ( + ) s f és +, S f mert mide, itervllum trtlmz rcioális és irrcioális számot egyrát, tehát m és M, h, + Gyorlto Írd fel övetező függvéyehez trtozó Riem összegeet megdott felosztáso és özeeső potredszere eseté:

11 96 5, {,,, }, { } A htározott itegrál ) f :, [ ], f ξ,, ; ) f :,, f tg,, ( + ), ξ, ; 8 c) f :, [ ], f,,, ξ, Milye függvéyehez (milye felosztáshoz és özeeső potredszerhez) trtoz z lái Riem összege? ) ; ) ; + + p c) p ; d) + + ; e) ; f) e si Írd fel övetező függvéyehez trtozó Drou-féle összegeet megdott felosztásoo!, ) f :, [ ], f,,, \ ;,, (, ]\ ) f :, [ ], f p,,, (, ], ( p, q) q q Értelmezés Az f :[, ] függvéyt itegrálhtó evezzü z [, ] itervllumo, h létezi oly I szám, hogy ármely ε > -r tlálju δ( ε) > -t övetező tuljdosággl: H {,,, } z [, ] itervllum egy felosztás, melye ormáj ise, mit δ( ε), or σ ( f, ξ) I < ε, ármely ξ { ξ, ξ,, ξ } özeeső potredszer eseté Az I számot z f htározott itegráljá evezzü z [, ] itervllumo és f d szimólumml jelöljü Megjegyzés Ezt rövidee övetezőéppe foglmzhtju meg: A Riem összege özeeső potredszertől függetleül trt I -hez, mior felosztás ormáj trt -hoz

12 A htározott itegrál 97 Itegrálhtósági ritériumo Az értelmezés lpjá (mit evezető feldt láttu) eléggé ehézes iszámíti z itegrált Új jelölésü szerit evezető feldt megoldás sorá igzoltu, hogy 65 d Az ott ismertetett ötlete lpjá áltláos módszert szereté levezeti Azt fogju megvizsgáli, hogy milye muhipotézisere v szüségü hhoz, hogy z ott megjeleő ötlete áltláos esete is célhoz vezessee Elő próálju meg z itegrál értelmezésée szereplő feltételeet gyegítei, Drou összege segítségével H m if f,,, or [, ] + ( ) m < ( ) f ( ξ + + ), ármely özeeső potredszer eseté, tehát z s ( f) lsó Drou összeg lsó orlátj Riem összege hlmzá, h f, rögzített és ξ változi Ugyor ármely ε > -r létezi ξ, ε + úgy, hogy ε m + > f ( ξε ), tehát ε ( ) m > ( ) f ( ξ + + ε ), tehát ε ( ) m > ( ) f ( ξ ) ( ) + + ε és így z s ( f ) + ε szám már em lsó orlátj Riem összege hlmzá ( f, rögzített és ξ változó!) Eől övetezi, hogy s ( f) if σ ( f, ξ) Hsoló módo láthtó e, hogy S ( f) sup σ ( f, ξ) ξ ξ Eől ét tuljdoságól övetezi, hogy z itegrálhtóság szüséges és elégséges feltétele, hogy z s ( f) és S ( f) összege trts I -hez, mior A evezető feldt láttu, hogy egyetle lsó Drou összeg sem lehet gyo vlmely felső Drou összegél Ez áltlá is igz A izoyításhoz össze ell hsolítu z s ( f) és s ( f) összegeet, h Ehhez elég megvizs- gáli zt, hogy mi törtéi, h z, + itervllum felveszü egy osztó-

13 98 A htározott itegrál potot Jelöljü y -l ezt z új osztópotot és m -gyel és m -vel z, y illetve z y, + f ifimumát z y + y m y + m + y m + + itervllumoo Az ifimum tuljdosági lpjá m m és m m Tehát m m ( Eől övetezi, hogy eseté s ( f ) s ( f) Hsoló meggodoláso lpjá eseté S ( f ) S ( f) Ez lpjá, h és ét tetszőleges felosztás, or s ( f) s ( f) S ( f) S ( f), tehát egyetle lsó Drou összeg sem lehet gyo mit egy felső Drou összeg Jelöljü I( f) -el z lsó Drou összege felső htárát és I( f) -el felső Drou összege lsó htárát (z elői tuljdoság lpjá eze léteze) A Drou összege tuljdoságit övetező tétele foglltu össze: Tétel Teitsü z f :[, ] orlátos függvéyt ) s ( f ) σ ( f, ξ) S ( f), ξ özeeső potredszer lpjá ) H, or s ( f ) s ( f) és S ( f ) ( f S ) c) H és ét tetszőleges felosztás, or s ( f) I( f) I( f) S ( f) d) s ( f ) if σ ( f, ξ) e) S ( f ) sup σ ( f, ξ) ξ ξ f) ε > δ( ε ) > úgy, hogy I( f) s ( f) < ε és I( f) ( f) < ε, h < δ( ε) hol M m f [, ] Bizoyítás Az utolsó ét tuljdoságot izoyítju Tegyü fel, hogy felosztás z y, + potot trtlmzz -hoz viszoyítv plusz s ( f) s ( f) m ( y ) + m ( y) m ( + + ) De m mi { m, m }, tehát feltételezhetjü, hogy m m, p g) H potos p pottl trtlmz töet, mit or s ( f) s ( f) < pm p s ( f) s f y m m < M, ( + )( ) S )

14 A htározott itegrál 99 hol M m f [, ] Eől övetezi, hogy s p ( f) s ( f) < pm és így lim ( s ) p f s f, p hol -t -ól midig p pot hozzádásávl yerjü Eől övetezi, hogy ármely ε > eseté létezi δ( ε ) úgy, hogy h < δ( ε), or ε s p ( f) s ( f) < Ugyor I( f) sups ( f), tehát létezi oly felosztás, hogy ε ε I( f) < s ( f) H ε p potot trtlmz, or z elői tuljdoság lpjá ε s ( f) s ( f) és ε ε ε s ( f) s ( f) <, h < δ( ε) ε Ezeől z egyelőtleségeől övetezi, hogy I( f) < s ( f) + ε, h < δ( ε) Hsoló tuljdoságol redeleze felső Drou összege is Ezeől tuljdoságoól láthtó, hogy eseté Drou összege overgál z I( f ) és I( f ) számohoz, tehát z itegrálhtóság szüséges és elégséges feltétele z, hogy z S ( f) s ( f) ülöség trtso -hoz mior Az lsó és felső Drou összege mootoitási tuljdoság lpjá elégséges, h egyetle ( ) soroztr, melyre teljesül z S ( f ) s ( f) Midezt övetező tétele foglltu: Tétel Az f :[, ] függvéyre övetező állításo egyeértéűe: ) f itegrálhtó; ) ε > δ( ε ) > úgy, hogy S ( f) s ( f) < ε, h < δ( ε) ; c) ε > ε felosztás, melyre S ( f) s ( f) < ε ; ε d) I( f) I( f) Bizoyítás ) ) H f :[, ] itegrálhtó, or f orlátos Vló, h, + tetszőleges, or < δ( ε ) eseté σ ( f, ξ ) és σ ( f, ξ összege z I I ) ε, + ε itervllum v, hol ξ ξ -től ülöözi, hogy ξ, + helyett -et válsztottu Így ε

15 tehát A htározott itegrál f f f + f, σ (, ξ ) σ (, ξ ) ( ξ ) + + ( f ) ( f ) ( ) σ, ξ σ, ξ ε ( ξ) ( ξ) f + f + f + Eől z egyelőtleségől övetezi, hogy f orlátos Így léteze z lsó és felső Drou-féle összege és ármely ε > eseté eze tuljdosági lpjá létezi oly δ( ε ) > és oly ξ, ξ özeeső potredszere, hogy ε S ( f) σ ( f, ξ ) <, ε σ ( f, ξ) σ ( f, ξ) <, ε σ ( f, ξ ) s ( f) <, h < δ( ε) és így + S ( f) s ( f) < ε, h < δ( ε) ) c) Nyilvávló, mert tetszőleges < δ( ε) felosztást válszthtu c) d) A Drou összege tuljdoság lpjá s ( f) I( f) I( f) S ( f), tehát ε ε I( f) I( f) S ( f) s ( f) ε, ε ármely ε > eseté Ez cs or lehetséges, h I( f ) I( f) d) ) Az elői tétel f) lpotj lpjá ε > δ( ε) > úgy, hogy h < δ( ε), or ε I( f) s ( f) < ε S ( f) I( f) < ε Így tetszőleges özeeső potredszer eseté z I I ( f) I( f) szám redelezi z itegrálhtóság értelmezésée ért tuljdosággl, mert I ε < s ( f) σ ( f, ξ) S ( f) < I +ε, tehát σ ( f, ξ) I < ε, h < δ( ε) Az elői tétel segítségével izoyítsu e övetező tételt Tétel (Leesque) Az f :[, ] függvéy potos or itegrálhtó, h orlátos és szdási potji hlmz ullmértéű Bizoyítás Azt már láttu, hogy mide itegrálhtó függvéy orlátos, tehát elégséges igzoli, hogy szdási poto hlmz ullmértéű A függvéy -eli

16 A htározott itegrál oszcillációjá z if ω ( V ) ifejezést értjü, hol ω ( V) sup f ( V) if f ( V) f V V ( ) f függvéy oszcillációj V öryezete Világos, hogy potos or szdási pot, h ω ( ) > Tehát szdási poto hlmz z f A { [, ] ω > f } hlmzét értelmezhető Ez hlmz felírhtó z A [ ] ω p, > f hlmzo egyesítéseét A terület értelmezése utái 6 p * feldt lpjá elégséges igzoli, hogy A ullmértéű mide p eseté Mivel p f itegrálhtó, ármely ε > eseté létezi oly felosztás, hogy S ( f) s ( f) < ε Teitjü felosztás I, + itervllumit és jelöljü J -vel zo z I itervllumo hlmzát, melyre I A Az J p ( ) ( m ) ( + M + ) I J ( M m ) ( ) S ( I J f) s ( f) < ε + A p Tehát z hlmz tetszőleges ε > eseté lefödhető p ε összhosszúságú itervllumredszerrel Eől övetezi, hogy A ullmértéű és így A is z p H f orlátos és A ullmértéű, or szdási poto hlmz lefedhető egy ( I ) itervllumredszer lefödi z A hlmzt és így p, yílt itervllumredszerrel, melye összhossz em gyo, mit ε sup f M m if f, hol M és m Az [, ]\ I hlmzo z f [, ] [,] folytoos, tehát z f egyeletese is folytoos * (mivel z [, ]\ I hlmz véges p so zárt itervllum egyesítése) és így létezi ee hlmz egy oly ( ε felosztás, hogy felosztás tetszőleges I itervllumá M m < ( ) I ), Így megptu z [, ] itervllum I, I itervllumo áltl meghtározott felosztását, melyre írhtju, hogy s ( M m ) I ( + ) S f f M * lásd XI osztály számár írt töyvet j j j ε < j ( ) I + ( M m) I j m I <

17 A htározott itegrál ε ε + M m ε ( M m) Az itegrálhtóság Drou összegeel vló jellemzése lpjá eől övetezi, hogy f itegrálhtó [, ] - Az eddigi tétele lpjá öye igzolhtju z lái tuljdoságot (eze gy része hsoló htároztl itegrálo megfelelő tuljdoságához) H f :[, ] itegrálhtó, or f itegrálhtó ármely [ cd, ] [, ] itervllumo H f :[, ] itegrálhtó [ c, ]- és itegrálhtó [ c, ] - or itegrálhtó [, ] - is és c f d f d + f d c H fg, :[, ] itegrálhtó függvéye, or h :[,], h f + g is itegrálhtó és h d f d + g d H fg, :[, ] itegrálhtó, or h :[, ], h f g is itegrálhtó 5 H f :[, ] [ c, d] és g :[ c, d] [ e, f] folytoos itegrálhtó függvéy, or h :[, ] [ e, f] h( ) g ( f ), [,] függvéy is itegrálhtó 6 H f :[, ] [ c, d] itegrálhtó és c > vgy d <, or g :[,], g függvéy is itegrálhtó f Bizoyítás Midegyi tuljdoság esetée orlátosság megőrződi ( f, f, [ cd, ] f + g, f g, g f, f [, ] orlátos feltétele lpjá), tehát cs szdási poto hlmzát ell megvizsgáli Jelöljü Sz ( f, [, ])-vel z f :[, ] függvéy szdási potji hlmzát Világos, hogy z f [, cd] szdási potji hlmz z f szdási potji hlmzá részhlmz, ezért h Sz (f,[, ] ) ullmértéű, or Sz ( f, [ c, d ]) is z A potál Sz ( f, [, ] ) Sz ( f, [, c] ) Sz ( f, [ c, ] ) {} c efogllás lpjá Sz ( f, [, ]) is ullmértéű (mert ullmértéű hlmzo egyesítése is ullmértéű) Hsoló tuljdoságál Sz ( h, [, ] ) Sz ( f, [, ] ) Sz ( g, [, ] ) folytoosság tuljdosági lpjá

18 A htározott itegrál Ugyor Sz ( h, [, ] ) Sz ( f, [, ] ) Sz ( g, [, ] ) tuljdoságál is A 6 tuljdoság z 5 övetezméye, tehát elégséges igzoli z 5 tuljdoságot A g f függvéy szdási potji z f szdási potjiól vgy H { [, ] f szdási potj g-e } hlmzól szármz Mivel g -e ics szdási potj ezért H üres hlmz és így g f szdási potji hlmz ullmértéű Az elői értelmezésől itűi, hogy Leesque tétel lpjá öye tudju igzoli függvéy itegrálhtóságát, de semmi iformáció ics függvéy itegráljáról Vlháyszor z itegrálr votozó egyelőséget ell igzolu előyöse Drou összegeet vgy Riem összegeet hszáli Az elői tuljdoságo özül és eseté szüségü v z dott egyelősége izoyításár is, ár eze tuljdoságo ituitíve ( területtel vló pcsolt lpjá) természetese tűe Mivel f itegrálhtó [ c, ]- és [ c, ] - ármely ε > eseté létezi egy-egy ( és ) felotás ezee z itervllumo úgy, hogy S ( f ) s ( f ε ) <, S ( f ) s ( f ε ) < De z [, ] itervllum egy felosztás és S ( f ) + S ( f) S ( f), vlmit s ( f ) +s ( f) s ( f), tehát ármely ε > eseté létezi oly felosztás, melyre S ( f ) s ( f) < ε Így Ugyor tehát Eől övetezi, hogy f itegrálhtó [, ] - c s ( f) f d S ( f) és s ( f) f d S ( f), c s ( f) f d + f d S ( f) c c c f d f d + f d c A tuljdoság eseté hsoló járu el Bármely felosztás z [, ] -e úgy, hogy S ( f ) s ( f ε ) <, ε > eseté létezi és

19 Eől övetezi, hogy tehát Másrészt z S ( g ) s ( g ε ) < felosztás eseté ε S ( f) s ( f) < és ε S ( g) s ( g) <, A htározott itegrál S ( f) + S ( g) s ( f) + s ( g) < ε (*) if { f g } if f if g I I I + + és sup{ f + g } sup f + sup g I I I egyelőtlesége lpjá (lásd XI osztály számár írt töyvet) S ( h) S ( f) + S ( g) és s ( h) s ( f) + s ( g) (**) Tehát S ( h) s ( h) S ( f) S ( g) s ( f) s ( g) ε + + < A Riem itegrálhtóság Drou-féle ritérium lpjá övetezi, hogy h itegrálhtó H α f d + g d, or (*) és (**) egyelőtleségeől S ( h) és s ( h ) z ( α ε, α + ε) itervllum v H β h d α, or tlálu oly ε > számot, hogy ( β ε, β + ε) ( α ε, α + ε) és így elletmodáshoz jutá, tehát ( + ) + f g d f d g d Az eddigi tuljdoságo z itegrál létezésére votozt, cs gyo evés esete vezettü le vlmilye számolási szályt A evezetőe láttu, hogy h z itegráldó függvéye v primitív függvéye és itegrálhtó, or htározott itegrál összefüggése hozhtó primitívvel Ez áltlá is igz Tétel (Newto-Leiiz) H z f :[, ] függvéy itegrálhtó és v primitív függvéye, or hol F :[,] z f egy primitívje f d F F,

20 A htározott itegrál 5 Bizoyítás Teitsü z [, ] itervllum egy tetszőleges {,,, } felosztását és mide, itervllumo llmzzu Lgrge tételét z F + függvéyre Létezi tehát ξ, +, úgy, hogy F ( ) F ( ) f ( ξ)( + + ),, Ezeet z egyelőségeet összegezve z ( ξ)( + ) F F f egyelőséghez jutu A Drou összege tuljdosági lpjá s ( f) F F S ( f) és így mivel f itegrálhtó övetezi, hogy f d F F f övevő függvéy és { } Ez tétel gyo so htározott itegrál iszámítását lehetővé teszi, mert egyszerűe cs primitívet ell iszámíti Ahhoz, hogy tétel llmzását megöyítsü, jó vol éháy lpvető függvéyosztály itegrálhtóságát letárgyli A evezető feldt esetée láttu, hogy mootoitás jeletőse leegyszerűsítette prolém tárgylását Tételezzü fel, hogy :[, ],,, egy felosztás z [, ] itervllum A mootoitás lpjá tehát ( + ) ( + ) S f f, + ( ) s f f + ( + ) ( ) és S f s f f f f f ( f f ) + ε Eől övetezi, hogy h <, or S ( f ) s ( f) < ε Tehát f () f + Drou ritérium lpjá f itegrálhtó Hsoló igzolhtó, hogy csöeő függvéye is itegrálhtó, tehát érvéyes övetező tétel: Tétel H z f :[, ] függvéy mooto, or itegrálhtó Láttu, hogy izoyítás lpj z S ( f ) s ( f) ülöség megfelelő mjorálás H ee z összege szité z f megfelelő ehelyettesítési értéei jeleée meg és em z téyezőet mjorálá, hem mási téyezőt, or +

21 6 A htározott itegrál hsoló eredméyhez juthtá Ehhez z szüséges, hogy tetszőleges is itervllumo z f elérje z ifimumát és szuprémumát Ez legegyszerűe folytoos függvéyere teljesül Zárt itervllumo folytoos függvéyről tudju, hogy egyeletese folytoos *, tehát z f f ( y) mjorálhtó ε -l, h y < δ( ε) Ez lpjá z elői izoyításhoz hsoló igzolju, hogy h f :[,] folytoos, or itegrálhtó Tétel H z f :[, ] függvéy folytoos, or itegrálhtó,,, ] -el z [, itervllum egy felosztását Mivel f folytoos mide, ξ, lú itervllumo, létezi + és + ξ, úgy, hogy + Bizoyítás Jelöljü { } Tehát és így ( ξ ) if, [, ] + f ( S f s f f ξ ξ ) + eseté létezi δ ε > úgy, hogy y < δ ε eseté f ( y) < ε Tehát h < δ ( ε ), or f f ( ξ ) sup f [, ] + f ( + ) ( ) S f f ξ ( + ) ( ) s f f ξ Mivel f folytoos z [, ] - övetezi, hogy egyeletese folytoos és így ármely ε > f S ( f) s ( f) ε ( ) ε ( ) + ε Így z ε válsztássl igzoltu, hogy ármely ε > eseté létezi ε δ( ε ) δ > úgy, hogy < δ( ε) eseté S ( f) s ( f) < ε Eől övetezi Drou tétel lpjá, hogy f itegrálhtó Az eddigi tétele lpjá láthtó, hogy z áltlu tulmáyozott függvéye özül gyo so itegrálhtó A primitív függvéy létezésée tulmáyozás sorá zt is láttu, hogy z elői függvéye özül gyo so v primitív függvéye is A, ( ) * lásd XI osztály számár írt töyvet

22 A htározott itegrál 7 övetező tétel folytoos függvéye primitív függvéyeie létezésére votozi Tétel H z f :[, ] függvéy folytoos, or létezi F :[,] primitív függvéye f -e Bizoyítás H f folytoos [, ] -, or itegrálhtó [, ] - és így itegrálhtó mide [, ] lú itervllumo hol [, ] Így z F :[,] F f () t dt összefüggéssel értelmezett függvéy jól értelmezett Bizoyítju, hogy F folytoos, deriválhtó és F ( ) f ( ), [, ] H or () () () F F f t dt f t dt f t dt Mivel f folytoos, létezi M m f [, ] (, övetezi, hogy F F M ) és így F folytoos Az elői ecslésél potost is levezethetü, mert M helyettesíthető z f mimumávl z, itervllumo Így rögzített és, eseté F( < ) F( ) m f () t ( ) F F t [, ] t [, ] m f () t Ugyor fordított iráyú egyelőtleséget is felírhtu, h f miimumát hszálju, tehát: F F mi f () t t [, ] t [, ] m f () t (*) Mivel f folytoos, Drou tuljdoságú is, tehát létezi oly c,, hogy F F f ( c ) Eől övetezi, hogy eseté c és így F lim < > F( ) Hsoló izoyíthtó, hogy F lim f ( c ) f ( ) F( ) f f, tehát

23 8 A htározott itegrál A deriválhtóság értelmezése lpjá ez zt jeleti, hogy F deriválhtó - és F ( ) f ( ) Megjegyzés Az elői tétele lpjá folytoos függvéye itegrálhtó (zárt itervllumo) és v primitív függvéyü Ee elleére dhtu példát oly függvéyre, mely em itegrálhtó, de v primitív függvéye és olyr is, mely em redelezi primitív függvéyel, de itegrálhtó,, Az f :, [ ], f függvéy itegrálhtó, mert övevő,, Ugyor elsőfjú szdási potj v -e, tehát em Drou tuljdoságú és így em létezi primitív függvéye si cos, (,] Az f :, [ ], f függvéye létezi, primitív függvéye, de em itegrálhtó, mert z si, (,] F :, [ ], F, függvéy egy primitívje és f em orlátos, vgy (, ]\ Az f :, [ ], f p Riem-féle függvéy,, ( p, q) q q itegrálhtó és ics primitívje Az f ([,] ) lpjá f em Drou tuljdoságú (mert f em osts), tehát ics primitív függvéye Ugyor z [, ] \ pot eseté, h ( ) és or evezője trt - hez, tehát lim f ( ) f Eől övetezi, hogy Riem-féle függvéy folytoos mide [, ] \ pot, tehát szdási poto hlmz ullmértéű Így f itegrálhtó Megoldott gyorlto és feldto Számítsu i övetező htározott itegrálot: ) d; ) cos d ; c) e d Megoldás

24 A htározott itegrál 9 ) Az f :[, ], f F függvéy folytoos és egy primitívje F [ ] +, tehát Newto-Leiiz tétel lpjá d + ) Kiszámítju z cos d htároztl itegrált :, + cos d si cos d d cos d C, tehát Newto-Leiiz tétel lpjá si si cos d + A továi z F( ) F ülöséget z F( ) szimólumml jelöljü c) Az e d htároztl itegrált prciális itegrálás módszerével számítju i e d ( e ) d e e d e e d e e + C Tehát Newto-Leiiz tétel lpjá e d ( ) e Bizoyítsu e, hogy h f, g :[, ] itegrálhtó függvéye, és f g, ármely [, ] \ H, hol H egy ullmértéű hlmz, or Bizoyítás Rögzítsü z diszjut itervllumo véges f d g d ε > számot Mivel H ullmértéű, lefedhető yílt és I, m m, \ I redszerével úgy, hogy eze összhossz - él ise legye Az M [ ] hlmz véges so zárt itervllum egyesítése, tehát h M f d itegrálji összegét, or írhtju, hogy Hsoló -szel jelöljü z f -e ezee z itervllumoo számolt f d ε mi f f d f d + ε m f [, ] [, ] M M ε

25 A htározott itegrál g d ε mi g g d g d + ε m g [, ] [, ] M M, ezeől z egyelőtleségeől övetezi, hogy Mivel f d g d M M f d g d + ε m f g d + ε m f + mi g [, ] [, ] [, ] M ε Így ε m f ε + mi g [, ] [, ] eseté övetezi, hogy f d g d ε Hsoló igzolhtju (z f és g megcserélésével), hogy ε f d g d, tehát ε f d g d ε Mivel ezee z egyelőtleségee mide leiü, övetezi, hogy ε > f d g d eseté érvéyesee ell Megjegyzése A ét függvéy itegrálhtóság szüséges feltétel H H hlmz véges, or z egyi függvéy itegrálhtóság em szüséges Igz tehát z lái ijeletés: H z f, g :[, ] függvéyere teljesül z f g egyelőség mide [, ] \H eseté, hol H egy véges hlmz és f itegrálhtó, or g is itegrálhtó és f d g d Bizoyítás A izoyítást elégséges egyelemű H hlmz eseté elvégezi Az elői tuljdoság lpjá elégséges igzoli, hogy g itegrálhtó A Drou ritérium lpjá ármely ε eseté létezi δ ε úgy, hogy > ( ) > S ( f) s ( f) < ε, h δ ( ε ) Teitsü { } felosztást, hol { }, és így + < H Feltételezzü, hogy

26 A htározott itegrál hol S g S f M + M + M M + + S ( f) + m g, [, ], M m g, M m g m f ( ), +, Hsoló módo eláthtó, hogy s ( g ) s ( f ) m g ( ) [, ], + Így S ( g ) s ( g ) S ( f ) s ( f ) + 6 m g ( ) [, ] ε Tehát ármely ε > eseté válsztju z ε -t és δ( ε) mi δ( ε ), ε m g ( ) számot, ezere teljesül, hogy { } S ( g) s ( g) < ε és így Drou ritérium lpjá g itegrálhtó Bizoyítsu e övetező itegrálhtósági ritériumot: Az f :[, ] függvéy potos or itegrálhtó, h létezi oly I, melyre ármely {,,, } {,,, } felosztássorozt és tetszőleges ξ ξ ξ ξ özeeső potredszer eseté h lim, or lim σ ( f, ξ ) I Bizoyítás A feltétele lpjá ármely ε > eseté létezi ( ε) úgy, hogy I ε < σ ( f ξ ) <I + ε, h > ( ε) Bármely ξ özeeső potredszerre, Drou összege tuljdosági lpjá létezi oly ξ és ξ özeeső potredszer, hogy s f > σ, f ξ ε és Így Bármely S f < σ f, ξ + ε < ε + I + ε I ε < ε, h ε ε ε > eseté z ε válsztássl elérhető, hogy (, ) (, ε σ ξ σ ξ ) S f s f < + f f <

27 A htározott itegrál S ( f ) s ( f ) < ε, h ( ε), tehát Drou ritérium lpjá f itegrálhtó A fordított tuljdoság yilvávló, mert h or Drou összegeről igzoltu, hogy overgese, és f itegrálhtóság mitt ugyor z I -hez trt Ugyor fogó tétel lpjá lim σ ( f, ξ ) I Megjegyzés Az elői izoyításól z is látszi, hogy tuljdoság ijeletése módosíthtó övetezőéppe: Az f :[, ] függvéy potos or itegrálhtó, h létezi egy oly felosztássorozt, melyre lim és tetszőleges ξ { ξ, ξ,, ξ } öze- eső potredszer eseté σ ( f, ξ ) összeg ugyhhoz z I számhoz trt Megjegyzés Ee egy övetezméye z, hogy z itegrál értelmezésée elégséges cs z egyelő itervllumor vló felosztásot figyeleme vei A folytoos függvéye primitívjeie megszeresztése sorá már igzoltu övetező tuljdoságot: H f :[, ] folytoos, or létezi c [, ] úgy, hogy f d f c ( ) (*) Ezt tuljdoságot folytoos függvéye első özépértétételée evezzü Ez lpjá foglmzzu meg egy hsoló állítást itegrálhtó függvéyere! ( ) ( ) Megoldás A f ξ összege h f ξ -t helyettesítjü z + M sup f [, ], mjd z m if f értéel, or pju, hogy [, ] m ( ) σ ( f, ξ) M ( ), ármely Riem összegre Eől övetezi, hogy tehát létezi c [ m,m] úgy, hogy m ( ) f d M ( ), f d c ( ) Tehát ijeletés övetező: H f :[, ] itegrálhtó függvéy, or létezi c [ m,m], hol m if f és M sup f úgy, hogy [, ] [, ] f d c ( )

28 A htározott itegrál Megjegyzés Ahhoz, hogy c -t függvéy vlmilye pot felvegye, elégséges h f Drou tuljdoságú, tehát (*) állítás igz itegrálhtó és Drou tuljdoságú függvéyere 5 Bizoyítsu e, hogy h f, [, ] és z f :[, ] függvéy itegrálhtó, or f d Bizoyítás Mivel f, [, ] Riem összege értelmezése lpjá σ ( f, ξ), ármely, eseté Így z ξ f d em lehet egtív Követezméye H f g, [, ] és z f, g :[, ] függvéye itegrálhtó, or f d g d H f :[, ] itegrálhtó függvéy, or f d f d H z f :[, ] folytoos függvéy em idetius ull és f, [, ], or f d > Bizoyítás Az g f :[, ], g f g f függvéy itegrálhtó és ( g f)( ), tehát Ie övetezi, hogy g f d g d (midét oldlhoz hozzádtu f d -et) f d f f f, [, ], tehát z elői övetezméy lpjá

29 A htározott itegrál f d f d f d Eől övetezi ívát egyelőség Mivel f folytoos és em idetius ull, létezi [ ] és V V úgy, hogy ( ), f > és f ( ) >, V Legye m z f miimum V - (h V ε, + ε öryezetet válsztu, or ez miimum létezi) ε + ε f d f d + f d + f d ε + ε + ε + f d + m ε > ε 6 Bizoyítsu e, hogy h f :[, ] folytoos és f g d, ármely folytoos deriválhtó g :[,] függvéyre, mely teljesíti g g () feltételeet, or f idetius ull Bizoyítás A folytoosság lpjá elégséges igzoli, hogy f idetius ull z (, ) itervllumo Tegyü fel, hogy létezi ( ) úgy, hogy f Feltételezhetjü, hogy f >, A folytoosságól övetezi, hogy létezi oly V ( ε, + ε ) itervllum, melye f ( ) > Teitjü g : [, ] g ( + ε) ( ε), V, [, ] \ V függvéyt Ez folytoos deriválhtó és g ( ) h, \ ε, + ε Ugyor [ ] ε + ε + ε + ε ε + ε f g d f g d + f g d + f g d, f g d m g d > ε ε hol m mi f Ez z elletmodás muttj, hogy f ( ), (, ) és így V f folytoosságáól övetezi, hogy f ( ), [, ] 7 Számítsu i lim összeg htárértéét! +

30 A htározott itegrál 5 Megoldás Korá már láttu, hogy ez z f függvéy Riem + összege, felosztás és ξ, özeeső potredszer eseté ( ) f ξ + + Eől övetezi, hogy z összeg htárértée z d htározott itegrál (mert f + folytoos, tehát itegrálhtó) De z f egy primitívje z F :, [ ], F l + ) függvéy, tehát ( d F() F l + 8 Bizoyítsd e, hogy h f :, [ ] folytoos és f d oly c [,], melyre f ( c) + c Megoldás g Mivel, or létezi d rctg + ezért [ ] g :,, f függvéyre g d Az 5 megoldott feldt + övetezméye lpjá g em lehet előjeltrtó Így létezi gc, zz f ( c) + c 9 Bizoyítsu e, hogy e e l + d l + c [,] úgy, hogy e + Bizoyítás Az f :, [ ], f l függvéy szigorú övevő (mert f >, [,] ) és így f f f (), [,] Az 5 megoldott feldt övetezméye lpjá tehát, f d f d f () d

31 6 A htározott itegrál Bizoyítsu e, hogy e e l + d l + lim d + megoldás, (,], tehát z 5 megoldott feldt övetezméye lpjá + d d d + + De d, tehát z I + + d áltláos tgú soroztr érvéyese z I ( + ) + egyelőtlesége Eől és fogó tételől övetezi, hogy lim I megoldás Vizsgálju z ( I ) sorozt mootoitását [,] d d + +, tehát I Ugyor + I, [,], tehát I, Eze + lpjá z ( I ) sorozt csöeő és lulról orlátos, tehát overges Másrészt + + I + I d d + + +, tehát I, A fogó tétel lpjá lim I + Megjegyzés A itűzött feldto szereplő másodi özépértététel lpjá dhtu ezetől ülööző megoldást is Gyorlto Számítsd i övetező htározott itegrálot: d ) ( + 5) d ; ) d) d ; e) + ; c) ( + ) e d ; d e ; f) d l ; + e e

32 A htározott itegrál 7 g) d ; h) si d ; i) Számítsd i övetező függvéye deriváltját: + d t t ) l( sitdt ) ; ) dt ; c) e dt l( + t) Számítsd i övetező összege htárértéét: ) ( ) ; ) ; c) + ; d) e ; e) si ; f) Számítsd i övetező htárértéeet: t + dt t e ) lim ; ) lim dt + t ; c) lim dt + t ; t d) dt lim ; e) t t 5 Számítsd i övetező htárértéeet: si tdt < d t lim + ; f) lim te dt ) li m ; ) lim si 6 Tulmáyozd övetező függvéye mootoitását: ) f :, dt, f cos d t ; ) f :, f t t t + 7 Bizoyítsd e, hogy l l l e t dt l d + ) rctg d > l( + ) d ; ) l( + ) d ; c) e d ; d) < 9+ d< 8 Számítsd i övetező htározott itegrálot: ) mi, + d ; ) m(, ) d ; c) ; if ( t t) d t d) f d, hol f + e, h +, h >

33 8 A htározott itegrál 9 Tulmáyozd övetező sorozto overgeciáját és számítsd i htárértéüet: ) I d ; ) I l( + ) d ; + e c) I d ( l ) d ; d) I + + Az elői feldt d) lpotjá szereplő sorozt eseté számítsd i lim I htárértéet! Tulmáyozd övetező függvéye itegrálhtóságát: *,, ) f :, [ ], f * ;, [, ]\, [, ] ) f :, [ ], f, [, ]\ ;, [,] c) f :, [ ], f, [, ]\ ; *,, d) f :, [ ], f *, [, ]\ H lim Feldto rcsi d és + htárértéet + rctg d,, or számítsd i Bizoyítsd e, hogy: + ) + ( ) + ( ) + + ( ) C C + + ( ) C ; + ) C Itegrálszámítás segítségével számítsd i övetező összegeet: ) C + ; ) Az f : függvéyől iidulv megszeresztjü z ( f ):, függvéysoroztot övetező reurzió szerit

34 A htározott itegrál 9 f f t + dt () Htározd meg z f függvéy eplicit lját! Tulmáyozd övetező függvéye itegrálhtóságát: [ ], ) f :, f [ ] ; ) f :, f ;, * c) f :, f ( [ ] ) ; d) f :, [ ], f [ ] + 5 Bizoyítsd e, hogy h f :[, ] folytoos és g :[,] itegrálhtó, or létezi oly c [,], melyre f g d f ( c) g d ( özépértététel áltláos lj) 6 Bizoyítsd e, hogy h f :[, ] mooto és g :[,] itegrálhtó, or létezi c [,] úgy, hogy c f g d f g d + f g d (másodi özépértététel) 7 Bizoyítsd e, hogy h f, g :[, ] folytoos, or létezi c [, ] úgy, hogy c f d + ( c ) g( c) g d + ( c) f ( c) 8 Bizoyítsd e, hogy h z f : egy folytoos és periodius függvéy, melye T > főperiódus, or 9 Bizoyítsd e, hogy h f, g : + c t T f d f d lim t t T itegrálhtó függvéye, or f g d f d g d Bizoyítsd e, hogy h f :[, ] itegrálhtó függvéy, or lim f d Bizoyítsd e, hogy h f, g :[, ] folytoos függvéye és létezi [ ] úgy, hogy f ( ) g, or h :[,],, ( ) c

35 A htározott itegrál f, [, ] h g, [, ] \ függvéy em itegrálhtó! Az f :, [ ] itegrálhtó függvéyre f és +, [,] Számítsd i z f d értéét! f f f + * Bizoyítsd e, hogy h f :[, ] itegrálhtó függvéy, or + f ( d ) lim f + e + Bizoyítsd e, hogy h z f :[, ] függvéy ove, or y f + f ( y) f () t dt < y, y eseté! 5 Legye ϕ : egy ijeció és értelmezzü z f :, [ ] [,] függvéyt övetezőéppe: f, h, f ( ), ϕ, hol ), ϕ() ϕ() ( z vlós szám tízes számredszereli ( 9) periódust em trtlmzó lj Bizoyítsd e, hogy f itegrálhtó és számítsd i z f d itegrált

36 Htározott itegrálo iszámítás V HATÁROZOTT INTEGRÁLOK KISZÁMÍTÁSA Az elői fejezete láttu, hogy itegrálhtó és primitívvel redelező függvéye eseté z f d htározott itegrál iszámíthtó Newto-Leiiz tétel lpjá Ee fejezete megvizsgálju, hogy htároztl itegrálo eseté tult módszere llmzhtó-e htározott itegrálor és hogy v-e oly módszere, melye segítségével elerülhető primitív függvéy iszámítás 5 Prciális itegrálás htározott itegrálo eseté A szorzt deriválási szály lpjá h fg, :[, ] folytoos deriválhtó függvéye, or ( f g) f g + f g A Newto-Leiiz tétel lpjá tehát f g d f g f g f g, f g d + f g d f g f g (mert z elői egyelőség l oldlá megjeleő itegrálo léteze, mivel f g és f g folytoos függvéye) Ez lpjá f g d f g f g f g d Érvéyes tehát z lái tétel: Tétel H f, g :[, ] folytoos deriválhtó függvéye, or Allmzáso f g d f g f g f g d Számítsu i z ed htározott itegrált Megoldás ed ( e ) d e ed e e d e e d e e + e d

37 Htározott itegrálo iszámítás e e + e e + e e Bizoyítsu e, hogy z I si d itegrál teljesíti z I ( ) I reurziót, h Bizoyítás I si d si si d cos si d si d cos si d cos si ( si ) si I d I I Eől övetezi, hogy ( ) I ( ) I I és így I I Megjegyzés Az elői reurzió lpjá ( )!! ( )!! I I I I ( )!! ( )!! és ( ) ( )!! ( )!! I I I I + + ( + )( ) ( + )!! ( + )!! + Az ( I ) sorozt mootoitás si si,, lpjá + I I I I, + + tehát I + I és így lim I I Ugyor + + I ( )!! ( + )!!, tehát I ( )!! ( )!! + ( )!! lim ( )!! + Ezt z összefüggést Wllis éplet éve ismerjü Bizoyítsu e, hogy h P [ X] egy -ed foú vlós együtthtós poliom, or

38 Htározott itegrálo iszámítás t lim e P d P t ( ) Bizoyítás Prciális itegrálu egymásutá -szer: t t t t t e P d e P e P d e P e P t t t ( + ) + e P d e P ( ) + e P ( ) d ( + ) + + Mivel gr P, P, tehát z elői összefüggés utolsó tgj és + ( ) t t e P e P () t P t lime Q() t, ármely Q [ X] eseté, tehát t t lim e P d P t ( ) Bizoyítsu e, hogy h f :[, ] folytoos deriválhtó, or Bizoyítás lim f cos d si f cos d f si d f f si d Így f cos d m f + m f [, ] szerit htárértére térve övetezi, hogy lim f cos d 5 Számítsu i z P d htározott itegrált, h d ( ( ) ) P d Megoldás Az f ( ) függvéy egy -ed redű poliom és ( ) ( f f ) (), h, -szer prciális itegrálu övetezőéppe: ( ) ( ) ( + ) ( ) f f d f f ( ) f ( ) f ( ) d

39 Htározott itegrálo iszámítás Az i: ( + ) ( ) ( + ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) d + + ( ) f ( ) f ( ) d ( ) f f d I ( ) Tehát d ( ) ( )! ( ) d itegrált ismét -szeri prciális itegrálás útjá számítju + d ( ) + ( ) d ( ) + ( ) d ( ) d + ( + )( + ) +! ( ) [!] ( ) ( ) d ( + )( + ) ( )! + Gyorlto és feldto [!] ( + )! [ ]!! P d ( ) [! ] ( + )! + ) cos d ; ) Számítsd i övetező htározott itegrálot: d) tg d ; e) 5 9d l d ; c) ; e si d ; f) si d ; g) e si d ; h) rctg d ; i) l( + ) d Htározd meg z, értéét úgy, hogy teljesüljö z ( ) + cosd * egyelőség mide eseté Ee segítségével igzold, hogy

40 Htározott itegrálo iszámítás 5 lim 6 Vezess le reurziót övetező itegrálsoroztor: ) I e d ; ) I l d ; c) I cos d ; d) g) j) tg d ; e) si d ; f) e si d ; d ( + ) ; h) e d ; i) ( + + cos ) d ( ) d ; ) Számítsd i z editegrált! ( ) rctg e d ; ( + ) d ( ) 5 Bizoyítsd e, hogy h P, [,], or d ) P P d m, h m ; ) P poliom mide gyöe [, ] itervllum v 6 Bizoyítsd e, hogy h z f :, [ ] függvéy folytoos deriválhtó és f (), or f d f d ( ) 5 Változócsere htározott itegrál A htároztl itegrálhoz hsoló z összetett függvéy deriválási szályáól is le tudu vezeti egy itegrálási szályt H z f :[ c, d] folytoos függvéy egy primitívje F :[ c, d] és g :[, ] [ c, d] egy folytoos deriválhtó függvéy, or z ( F g) F ( g ) g f ( g ) g, [, ] egyelőség lpjá z f ( g ) g függvéy egy primitívje z F g függvéy Így Newto-Leiiz tétel lpjá Másrészt ( ) ( ) ( f g g d F g F g F g )

41 6 Htározott itegrálo iszámítás tehát írhtju, hogy v f d F v F u, u g () ( ) f g g d f d Ezt z összefüggést evezzü változócsere épletée Érvéyes tehát övetező tétel: Tétel (változócsere htározott itegrál) H f :[ c, d] folytoos függvéy és g :[, ] [ c, d] folytoos deriválhtó, or Példá Számítsu i z e g g () ( ) f g g d f d d itegrált l Megoldás Az f :, [ ], f és g : e, e [,], g l függvéyere Tehát Számítsu i z Megoldás e g ( l ) f ( g ) g ( ) l l e d d l l l l l e d itegrált ( ) Tehát g és f ( + ), hol g :, [ ] és f : \{,} Láthtó, hogy Im g [,6], tehát llmzhtó változócsere tétele z [, ] [, ] és [ cd, ] [,6] itervllumor Így 6 6 d ( ) f g g d f d ( + ) ( + ) d

42 Htározott itegrálo iszámítás l l l l d Megjegyzés Az tétele, mert z ( d + ( + ) itegrál iszámításár em llms változócsere f ) függvéy em értelmezett -e és - Ee z esete eláthtó, hogy z itegrál em is létezi, de előfordulht, hogy z itegrál létezi, cs változócserét értelmező g függvéy em folytoos deriválhtó Ilye esete z itegrált felotju tö itervllumr Ezt muttj e péld + Számítsu i z d itegrált + Megoldás Tehát g( ) változócserét vol érdemes elvégezi A prolém z, hogy z ifejezéssel [, ] itervllumo em tudu folytoos függvéyt értelmezi A prolémát úgy tudju iüszööli, hogy meghtározzu h :, + h folytoos függvéy primitívjét A (,) és (, ) itervllumo + + z d htároztl itegrál iszámításár hszálhtó z u változócsere, tehát z + du u rctg + C egyelőség lpjá h primitív u + függvéye H :, rctg + c, < H c, rctg + c, > lú A c, c és c ostsot H folytoosságáól htározzu meg lim H + c,

43 8 Htározott itegrálo iszámítás lim H + c, tehát rctg + c, < H + c, rctg + + c, > Így h d H () H ( ) H ezt primitív iszámítás élül (htározott) itegrálo segítségével rju leíri, or övetezőéppe járhtu el: mert z d d + d ε + + lim d + lim d + + ε ε ε< ε> ε ε lim rctg + lim rctg ε + d és + ε ε ε< ε> ε, + d itegrálo iszámításár hszálhtju válto- + ε zócsere tételét Megjegyzés Eől példáól látszi, hogy meyire fotos z itervllumo rögzítése és feltétele teljesülésée megvizsgálás Ngyo so esete változócserée megjeleő g függvéyt öyű észrevei, de z f meghtározás eheze Ezért változócsere tételét fordítv hszálju H ugyis g ijetív is, or változócsere tételée megjeleő loldli itegrál h g Tehát segítségével övetezőéppe írhtó g hg ( ()) ( ) ( ) h g f g g d f h h d α és g β jelöléssel β h( β) f d f ( h )( h ) ( ) d (*) α h α Gyorltilg ezt övetezőéppe hjtju végre:

44 Htározott itegrálo iszámítás 9 e Az l u d itegrál l u helyettesítést szereté elvégezi Így e, e u tehát d e d és u u l d u e du Így öye (formális) elvégezi változócserét hisz függvéyeet em is ell ülö-ülö zoosíti Világos, hogy ez változócsere h :, [ e ] [,], h( ) l és f :, [ e] [,], f l függvéyere felírt (*) egyelőség, mert Gyorlto és feldto ( )( ) l ( ) ( ) f h h e e e Számítsd i övetező htározott itegrálot: ) e) i) 9 si d si d ; ) d ; c) + si ; d) d ; f) d g) ; h) + 5 d + d cos d + d ; j) e ; ) d ; l) + si + 5 d ; ) d d ; o) + 5 m) + d ; si d ; cos ; ; p) d 5 Htározott itegrálo iszámítás primitív függvéy iszámítás élül 5 Segéditegrálo módszere si Számítsu i I d itegrált A tg si + cos t helyettesítéssel rcioális törtfüggvéye itegráljár vezethető vissz, de sol egyszerű, h teitjü J cos d itegrált is, és ét itegrált egyszerre próálju iszámí- si + cos ti Az si + cos I + J d d si + cos és

45 Htározott itegrálo iszámítás cos si ( si + cos ) I J d d si + cos si + cos l( si + cos ) l egyelősége lpjá I l l Előfordul, hogy z eredeti itegrál és segéditegrál özt vlmilye összefüggést si tudu teremtei Például, h z elői itegrál helyett z I d itegrált ell iszámíti, or z y helyettesítés segítségével írhtju, hogy si + cos si y si I d si + cos dy si y + cos y cosy dy si y + cosy I + J d, iszá- cos Tehát I J, hol J d Mivel si + cos mítdó itegrál I Allmzáso Számítsd i övetező itegrálot: 5 d ; e cos ( si ) cos d ; si si + cos si d ; si + cos si * d, ; si + cos e + cos p+ d ; 6 l( + ) e + si + cos d

46 Htározott itegrálo iszámítás 5 A grfius ép szimmetriájá felhszálás H z f :[, + ] függvéy grfius épe szimmetrius z (, f ) potr ézve, or árá megfelelőe szugrfio területe z ABCD tégllp területével egyelő A grfius ép potos or y szimmetrius z ( ) ( ), f potr ézve, h f + f + f, [, ] Tehát érvéyes övetező tétel: Tétel H z f :, + folytoos függvéyre teljesül z f + f + f ( ) egyelőség ármely [, ] eseté, or Bizoyítás f A D O f d f + + f d f d + f d ár ( ) ( ) ( ) f + y dy + f + y dy f d f Az + C B f d itegrál z + y és z f d itegrál z + y változócserét hjtottu végre Követezméy H z f :[, ] folytoos függvéy pártl, or Bizoyítás f d hogy függvéy pártl Ee z esete eseté grfius ép origó szeriti szimmetriáj zt jeleti, f f d f, tehát

47 Htározott itegrálo iszámítás Megjegyzés A szimmetri feltételét z [, ] itervllumo f + f ( + ) f +, [, ] l is írhtju és itt jo oldlo állht más álldó is Példá Mivel z f :[,], f folytoos függvéy pártl, írhtju, hogy si l ( + ) si d l ( + ) Számítsu i z l( + tg ) d itegrált Megoldás Az f :,, f l( + tg ) függvéyre f + f l( + tg ) + l + tg tg l( + tg) + l + l ( tg) l tg tg Eől övetezi, hogy Tehát Allmzáso y l( + tg ) d l tg y + ( dy) l tg y + dy l l( + tgy) dy l l( + tg ) d l( + tg ) d l 8 Bizoyítsd e, hogy h z f :, [ ] folytoos függvéyre f f ( ), (, ), or

48 Htározott itegrálo iszámítás f d f d Bizoyítsd e, hogy h z f :[, ] függvéy folytoos, or ármely t eseté f ( ) d f t ( ) d e + Bizoyítsd e, hogy loldli tört evezőjée t helyett tetszőleges g :[, ] folytoos és pártl függvéy is írhtó Bizoyítsd e, hogy h f :[,] páros és folytoos, or f ( si ) d f ( si ) d Bizoyítsd e, hogy h f :[,] pártl és folytoos, or f ( si ) d f ( si ) d 5 Bizoyítsd e, hogy h f :[, ] [ c, d] ijetív és folytoos, or 6 Számítsd i z d f d + f ( y) dy d c f d f c itegrált, h z f : függvéy folytoos, pártl és periodius (T > főperiódus) 7 Bizoyítsd e, hogy rctg( si ) d + rcsi( tg ) 8 8 Számítsd i övetező itegrálot: ) e) + l si d ; ) + + cos d ; c) si ; d) d l( + ) d ; f) si( si ) d ; g) + Gyorlto és feldto Bizoyítsd e, hogy si + si tg d + rctg d d l( + ) d ; +

49 Htározott itegrálo iszámítás Számítsd i z itegrált! Bizoyítsd e, hogy z I ( e + e ) tg d cos d, itegrálsorozt teljesíti z + cos ( ) I + I + I si reurziót Bizoyítsd e, hogy lim tg d 5 Bizoyítsd e, hogy h z f :[, ] függvéy övevő ( < ), or ( ) f d f + f d 6 Htározd meg z összes f :, [ ] folytoos függvéyt, melyre f d + f ( ) d 7 Jelöljü B f-el z f :, [ ] folytoos függvéyhez redelt Berstei-féle poliomot ( Bf) C ( ) f ) Bizoyítsd e, hogy z f :, [ ], f, függvéyere f,, ( Bf) +, ) Bizoyítsd e, hogy ármely ε > eseté létezi δ > úgy, hogy f ( B f) < ε, [,] c) Bizoyítsd e, hogy h f d ármely eseté, or f 8 Legye > egy vlós szám és f :, [ ] egy itegrálhtó függvéy +, \ eseté z (, f ) poto át ) Bizoyítsd e, hogy ármely [ ] { } húzhtó oly d egyees, melyre grfius ép, d egyees, z

50 Htározott itegrálo iszámítás 5 egyeletű egyees és z Oy tegely áltl htárolt sírésze ugyor területű drj v d ltt, mit fölött ) Bizoyítsd e, hogy d egyeese összefutó h [, ]\ hlmz változi és htározd meg z összefutási pot oordiátáit 9 Számítsd i lim e e [ ] d htárértéet, hol [ ] z vlós szám egész része rctg Számítsd i z d itegrált + + { } (Felvételi, 99)

51 6 A htározott itegrál llmzási VI A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI 6 Területszámítás A htározott itegrál értelmezése előtt már értelmeztü egy tetszőleges síidom területét Azt is láttu, hogy itegrálhtó függvéye eseté z lsó és felső Drou összegehez trtozó tégllpredszere teljesíti szugrfio értelmezésée szereplő tégllpredszere tuljdoságit, tehát h f :[, ] itegrálhtó, + or f szugrfiojá területe f d Ezt tétel formájá is megfoglmzzu: Tétel H f :[, ] itegrálhtó függvéy, or f szugrfiojá területe + T( D) f d H függvéy cs egtív értéeet vesz fel, or f függvéy szugrfioj z f szugrfiojá O szeriti szimmetrius, tehát írhtju, hogy y T D T D f d f d y yf y-f D D O B O B D yf ár 5 ár H z f függvéy tetszőleges értéeet felvehet, or z elői ét tuljdoság lpjá szugrfioj területe T( D) f d Ezt is megfoglmzzu tétel formájá: Tétel H z f :[, ] előjeltrtó függvéy itegrálhtó, or szugrfiojá létezi területe és egyelő

52 A htározott itegrál llmzási 7 T( D) f d -szel Követezméy H fg, :[, ] itegrálhtó függvéye és f g, [, ], or z f és g grfius épei vlmit z és egyeletű egyeese áltl htárolt síidom területe Bizoyítás Mivel f és g itegrálhtó függvéye, orlátos is Eől övetezi, hogy létezi oly m, melyre f + m >, [, ] Így g g + m és f f +m grfius épei vlmit z és egyeletű egyeese áltl htárolt síidom egyevágó ijeletése szereplő síidomml Eől övetezi, hogy D területe g és f szugrfioj területée ülösége Így T( D) ( g f ) d y O yg() D f y 6 ár T ( D) g d f d g f d ( g f ) d Megjegyzés H f és g ét tetszőleges itegrálhtó függvéy z [, ] itervllumo, or grfius épe özti síidom területe f g d Példá Számítsu i z f :, [ ], f ( ) p prolív ltti D síidom területét (7 ár) y y O D O yg D yf 7 ár 8 ár

53 8 A htározott itegrál llmzási Megoldás T ( D) pd p p Számítsu i z f :, [ ], f és g :, [ ], g l( ( e ) + ) függvéye grfius épei áltl htárolt (orlátos) síidom területét! Megoldás Mivel f g, f () g() és f ove, g oáv állíthtju, hogy g( ) f, [,] Így vizsgált síidom területe: T( D) ( g f ) d l( ( e ) + ) d d ( e ) l( ( e ) + ) d ( e ) + + l( ( e ) + ) e e + e e ( e ) ( e ) y y Számítsu i z + (, > ) egyeletű ellipszis területét! Az ellipszis területe z f : [, ], O f és f : [, ], f függvéye grfius 9 ár épe özötti területe, tehát T( D) d d d si ϕϕ (z cosϕ, ϕ [,] változócserét hszáltu) Számítsu i z y, y és y egyeletű göré áltl htárolt 6 (orlátos) első egyedeli síidom területét Az elői göré grfius árázolás árá láthtó

54 A htározott itegrál llmzási 9 A egyelet pozitív gyöei és, egyelet pozitív gyöe y míg egyelet em egtív gyöe 6 Az árá megfelelőe 9 O y y ár y T( D) d+ ( ) d d d d l 6 l 8 Megjegyzés H z egyeest változttju, elérhető, hogy vizsgált síidom területe csöeje H z (, ) és (,) potoo áthldó egyees egyeletét felírju, z y ( ) egyelethez jutu Így síidom területe + d + ( ) d 8 d + d d l 6 Tehát 8 > + +, [, m ], l 6 hol m grfius épéhez (,) -e húzott éritő és y grfius épe metszéspotjá szcisszáj, vgyis Ez lpjá egyelőtleséghez jutu m l + + l + > l l 8 6 l l l l ( + )

55 A htározott itegrál llmzási Gyorlto I Számítsd i övetező függvéye grfius épei áltl meghtározott síidom területét: f +, g +,, [ ] ; f, g, f f f 5 [,] ;, g, [, ] ; 8, g +,, [ ] ;, g e, [, 5] ; 6 f e, g ( ) e, 7 f +, g + [,] ; e e 8 f p, g +, [, ] ; p, [, p ]; 9 f l, g l, [, e ]; f ( ) + + e, g( ), [,] II Számítsd i övetező függvéye grfius épei áltl meghtározott orlátos síidomo területét ( metszéspoto szcisszái djá z itervllumot): f l, g l ; f, g ; f, f g g ;,, h ; 5 f, g III Egy R sugrú, ör lú legelő egyi potjá egy ecsét ötü r hosszúságú pórázr Meor területet legelhet le ecse? Megöthetjü-e úgy, hogy potos felét legelje le? Bizoyítsd e, hogy h D síidomot z és folytoos függvéye grfius épe htárolj, or egy tetszőleges O,y (rögzített) poto f f f : [, ], T ( α) átmeő y y α( egyeesseregre ) ráy z α folytoos függvéye vlmilye α ( α itervllum, hol T α ) és T ( α ) mi T ( α), α ) ( m D síidom egyees ltti, illetve fölötti részée területe Bizoyítsd e, hogy h D síidomot z f és f ( f :[, ] ) folytoos, függvéye grfius épe htárolj és D -e z y α +y egyees fölé, illetve lá

56 A htározott itegrál llmzási eső része D ( y ) és D ( y ) or D ( y ) és D y területe z y folytoos függvéye Vezesd le eől, hogy tetszőleges (előre rögzített) iráyú egyees segítségével f f ét zoos területű részre oszthtju D területét A D síidomól mide y α vgy y egyeessel párhuzmos α egyees -él ise hosszúságú húrt metsz i Bizoyítsd e, hogy D területe (h létezi) em gyo, mit Az f :[, ] függvéy grfius épé vegyü fel z A +, +, f potot, ( ár) Vizsgálju meg, hogy AA összege v-e htárértée + y 6 Ívhossz iszámítás A A A + A - A A O ( ) ( y y ) + + f hol + és y f ( ),, Tehát AA ( + + ) ( ) f f + + ár + Ituitíve elvárju, hogy h z elői összege v htárértée, or ez htárérté z AA göreív hossz legye De + f ξ +, ξ, +, + AA f + h f deriválhtó (mert ee z esete llmzhtju, itervllumo,