VI. FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK. VI.1. A polinom fogalma. Alapvető tulajdonságok

Átírás

1 Poliomo és lgeri egyelete VI FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK VI A oliom foglm Alvető tuljdoságo Eddigi tulmáyito sorá ülööző lgeri ifejezéseel tláloztto (l z, c,,, lú ifejezéseel), műveleteet végeztete velü, függvéyeet éeztete előlü, és tuljdoságit vizsgáltáto E fejezet eretei elül oly ifejezéseel fogllozu, melyee változól végzett műveleteét cs összedás, ivoás, szorzás, htváyozás, jelei meg Ilye ifejezése éldául:,, 5 y, 6y VI Moomo Értelmezés Az, hol C, i N i, lú lgeri ifejezést -változós omle együtthtójú moom evezzü Az omle szám moom együtthtój,,,, edig moom változói Megjegyzés Beszélhetü vlós, rcioális vgy egész együtthtójú moomoról szerit, hogy moom együtthtój melyi számhlmzhoz trtozi Nyilvávló z egész együtthtós moomo egye rcioális, vlós és omle együtthtós moomoét is felfoghtó A változót áltlá -szel, Y-l vgy Z-vel jelöljü Példá 5 Y Z háromváltozós, egész együtthtós moom; 7 5 Y étváltozós, rcioális együtthtós moom; ( 5 ) egyváltozós, vlós együtthtós moom; i egyváltozós, omle együtthtós moom Értelmezés Az természetes számot z moom foszámá evezzü Az éldá megdott moomo foszám redre 6, 7, és Vló, 5 Y Z moom itevőie összege 6, tehát moom 7 5 htodfoú; Y moom együtthtói összege 5 7, tehát moom hetedfoú, és így tová 5 Megjegyzés Mide omle szám moom, vgyis: C szám felírhtó l H, or z moom foszám

2 Poliomo és lgeri egyelete A moomot zérusmoom evezzü A zérusmoom ics foszám (Egyes mtemtiuso zérusmoom foszámá -t teiti) 6 Értelmezés Két moom egyelő, h együtthtói egyelő, ugyzo változó szereele eü és megfelelő változó htváyitevői egyelő Például Y és Y moomo egyelő 7 Feldt Htározzu meg z R és m, N értéeit úgy, hogy 5 Z m π Y moom z i Y Z moomml legye egyelő! Megoldás Az értelmezése megfelelőe ét moom or egyelő, h π és i együtthtó egyelő, illetve h megfelelő változó htváyitevői egyelő, vgyis h 5 és m Eől dódi, hogy π i, 5 és m VI Moomo összedás Tulmáyito sorá láttáto, hogy oly ifejezéseet, mit z 5 és vgy 7 és úgy dhtju össze, hogy hszálju szorzás disztriutivitását z összedásr ézve: 5 ( 5 ) 8 és 7 7 Ugyor zt is láthttáto, hogy em dhtju össze éldáúl z 5 -et és Y -t vgy z 5 -et és -et Ahhoz, hogy eldöthessü, mely moomo dhtó össze, szüségü v övetező értelmezésre: Értelmezés Két vgy tö moomot egyevűe evezü, h ugyzo változó szereele eü és h megfelelő változó htváyitevői egyelő Egyevű éldául z 5 Z és Z moom; z ( i) Y 5 és 5 Y vgy, és z i moom Az egyevű moomot (és cs ezeet) összedhtju Például: 5 Z Z ( i) 5 Y ; ( ) i ( i ) Z ; ( i) 5 Y Y Értelmezés Az és egyevű moomo összege z ( ) moom, ülöségü edig z ( ) moom VI Moomo szorzás Eddigi ismeretei ljá ármely ét moom szorztát iszámíthtju Végezd el övetező szorzásot: ) 8 ; ) ; c) 5 7 ( )( ) 7 d) ( )( ); e) 7 ( )( 5 ) ; 5

3 Poliomo és lgeri egyelete 5 Értelmezés m Az Y Y Y j és Z Z Z r moom szorzt z m i i m i m Y m Y Y m i Z j i Z j i Z j j r r j r moom Példá Az 5 Y és YZ moom szorzt 5 Y Z moom A YZ és 5 7 Z moom szorzt moom szorzt 6 VI Moomo osztás moom YZ moom A, és Értelmezés Az és moom háydos (hol és, i m i moom, hol i i mi, i, eseté m m i,, vlmit, ) z Példá A Y Z és,5yz moom háydos Y moom A 5 5π Y és Y 7 5 moom háydos π Y moom A és 6 6 moom háydos moom VI5 Moomo htváyozás ( ) 5 Értelmezés Az ( N ), z moom 5 Példá, Y, Y ; 5 ( ) 5 i ( i) 5 i m moom -edi htváy 6 8 ( ) ( YZ ) 9 Y Z 5 VI6 Egyváltozós moomo formális deriváltj ; 6 Értelmezés Az moomot z moom formális deriváltjá evezzü z Ezt z 6 Példá 6 ; VI7 A oliom foglm ( ) ( 5 ) ( ) egyelőséggel jelöljü ; Értelmezés Az, i C lú lgeri ifejezéseet omle együtthtós, egyváltozós oliomo evezzü Az,,, számo oliom együtthtói 9

4 6 Poliomo és lgeri egyelete A oliom tö moom összege A oliomot lotó moomo oliom tgji A oliom együtthtói z őt lotó moomo együtthtóivl egyeze meg Az együtthtó oliom szdtgj Töváltozós oliomo is léteze, de eze em éezi vizsgáltu tárgyát Beszélhetü omle, vlós, rcioális, egész st együtthtójú oliomoról, szerit, hogy z együtthtó melyi számhlmzhoz trtoz 7 Megjegyzés C[]-szel jelöljü omle együtthtójú oliomo hlmzát, R[]-szel vlós, Q[]-szel rcioális és Z[]-szel z egész együtthtójú oliomo hlmzát Fotos tudu, hogy oliom együtthtói milye számhlmzhoz trtoz, mivel v oly tuljdoságo, melye függe z együtthtó természetétől (ezeet ésőiee vizsgáli fogju) A feti oliomhlmzo özt feáll övetező efoglláso: Z[] Q[] R[] C[] 7 Példá ( ) 5 ( ), 5 ( ) 5 P egész együtthtójú oliom; P, rcioális együtthtójú oliom; P vlós együtthtójú oliom VI8 Egy oliom foszám Ezt ( ) 8 Értelmezés A P oliom foszám (vgy egyszerűe fo) z természetes szám, h gr P vgy grp szimólumml jelöljü Az szám oliom főegyütthtój (vgy domiás tg együtthtój) A 77 éldá szerelő oliomo eseté: másod-, hrmd- és P egyedfoú oliom P P 8 Megjegyzése Mide, ullától ülööző omle szám ullfoú oliom A omle szám oly oliom, melye ics foszám ( és st) Mide -ed foú oliomot egyértelműe meghtároz z együtthtói sorozt Tehát P ( ) -ed foú oliomhoz egyértelműe hozzáredelhető z (,,, ) véges számsorozt, és fordítv,,,,, végtele számsoroztot, A P-hez hozzáredelhetjü z is Ee sorozt i, i > eseté Így egy -ed foú oliom eseté eszélhetü, st együtthtóról is, eze mid ullávl egyelő 8 Értelmezés A zérusoliom z oliom, melye mide együtthtój ull

5 Poliomo és lgeri egyelete 7 Tehát z oliom or és cs or zérusoliom, h A zérusoliom ics foszám 8 Értelmezés Két oliomot egyelőe evezü, h foszámu egyelő és együtthtói sorozt megegyezi 5 85 Péld A P ( ) és Q ( ) c i d oliomo or és cs or egyelő, h (így P és Q foszám egyrát ), és, c, i, d, vlmit 86 Megoldott feldto Az m, omle rmétere, mely értéeire P ( ) 5 7 oliom egyelő ( ) ( m ) ( m ) R ( ) 5 ( ) 7 ( ) oliomml? Megoldás Ahhoz, hogy Q ( ) oliom z ( ) Q, illetve z R oliomml legye egyelő, megfelelő együtthtó egyelőe ell leiü, zz m 5 m 6 m 7 m 6 Tehát m 6 -r ét oliom egyelő Hsolóée z R ( ) és P( ) oliom egyelőségée feltétele: ( ) Mivel z em lehet egyszerre 5 és, em létezi oly, melyre ét oliom egyelő ) H R oliom foszámát!, állítsd meg P ( ) ( ) ( ) ( ) ) H N, állítsd meg Q( ) oliom foszámát! Megoldás A P oliom fo egyelő -ml mide oly vlós szám 5 eseté, melyre Tehát, h R \,, or gr P Vizsgálju meg, meyi lesz oliom fo, h Ee z esete { } Egyes mtemtiuso -t teiti zérusoliom foszámá

6 8 Poliomo és lgeri egyelete ( ) P ( ), tehát P másodfoú Összefogllv: h R \ {, }, or grp h, or grp ( ) ; P, tehát P elsőfoú oliom H, or h, or grp ( ) ) Ahhoz, hogy oliom foszámát meghtározhssu, zt ell megvizsgálu, hogy melyi gyo szám: z vgy H >, zz >, or gr Q( ) H, zz, or Q ( ) 5,, és grq, é H <, or Q( ) 5 s gr Q VI9 Poliom helyettesítési értée 9 Értelmezés H P( ) oliom, or P oliom z α ot számolt helyettesítési értéé z α α összeg értéét értjü Ezt P(α szimólumml jelöljü Az előie ljá P oliom z α ot számolt helyettesítési értée ( α) P α α α 9 Megjegyzés A továi, h oliom helyettesítési értéét számolju, or vgy orét érté (szám) szereel zárójele, vgy P() -et íru Nem tévesztedő össze tehát P egyváltozós ( változójú) oliom ee oliom z ot számolt P helyettesítési értéével 9 Példá Számítsu i P oliom helyettesítési értéét z, ;,, és i oto! Megoldás ) P, P, P ( ) ( ) ( ) 8 P( i) ( i) ( i) 6 i Bizoyítsd e, hogy h P( ) R[ ] és C Bizoyítás H P z z z z ojugáltjár votozó tétele értelmée írhtju: α és z, or ( z) P(z) P, or omle számo

7 Poliomo és lgeri egyelete 9 z P () () z z z z z z ) ( z P z z z Bizoyítsd e: h Q,, Q és ] Q[ P, or létezi oly és A B rcioális szám, melyere B A P és B A P Megoldás Newto iomiális tétele ljá, h N, or: j j j j C v j j v v v C B A C v j j v v v, hol és A Q v v C v j j v B Q C v j j v v v H, or P P, tehát B A B A B A P, hol Q A A és Q B B Hsoló módo j j j j C v j j v v v C B A C v j j v v v, tehát B A B A B A P, hol Q A A és Q B B Megjegyzés H s Z, é, or Z A és Z B Q VI Poliomo formális deriváltj Értelmezés A oliom formális deriváltj oliomot lotó moomo formális deriváltji z összege A P oliom formális deriváltj P ) ( P, tehát P ) ( Példá H i P 5 ) (, or 5 9 P ) ( H, or P ) ( P ) ( ) (

8 Poliomo és lgeri egyelete VI Poliomo összedás VI Művelete oliomol Két oliomot úgy du össze, hogy z egyelő foszámú tgot 5 összedju egymássl Például P( ), és Q( ) 5,5 oliomo összege (, ), 5 oliom, tehát 5 ( P Q )( ) ( ) (, ), 5 Értelmezés Az, m m, m oliomo összege oliom, hol m{, m} és c, i eseté i i i, Beláthtó, hogy gr (( P ) Q( )) m { grp( ), grq( )} és (ee izoyítását végezzéte el) Megjegyzés A P ( ) és Q ( ) oliomo ülösége P ( ) és Q( ) oliomo összege Például ( ) oliomo összege P ( ) ( ) P P 5 7 és Q 5 Q 5, ülöségü Q 5 7 ( 5) 5 A oliomo összedásá tuljdosági A oliomo összedás ommuttív művelet: ármely ( ) eseté P és Q ( ) C[ ] P ( ) Q( ) Q( ) P( ) m H P ( ) és Q ( ) m, or P ( ), hol m{ m, }, c i i i, r i, és Q ( ) P( ) d d d d r, hol r m {, m }, d i i i, i, r Amit látju r m{ m,}, tehát P ( ) Q( ) és Q( ) P( ) oliomo foszámi zoos, ugyor c i i i i i di, i,, tehát ét oliom megfelelő együtthtói is egyelő, övetezésé ét oliom egyelő Megjegyzés A ét oliom összedás megfelelő együtthtó összedás áltl törtéi Mivel számo összedás ommuttív művelet, omle együtthtójú oliomo összedás is ommuttív

9 Poliomo és lgeri egyelete A oliomo összedás sszocitív művelet, zz ármely P, Q, R( ) C[ ] eseté ( P ( ) Q( )) R( ) P( ) ( Q( ) R( )) Mivel oliomo összedás megfelelő együtthtó összedás áltl törtéi, számo összedás edig sszocitív művelet, omle együtthtós oliomo összedás is sszocitív A hlmz redelezi semleges elemmel oliomo összedásár ézve C[ ] Vló, h zérusoliomot ( -t) hozzádju egy tetszőleges P feáll P P P egyelőség Mide P( ) C[ ] oliomhoz hozzáredelhetjü P( ) oliomot, melyet úgy u, hogy ( ) oliomhoz, -szel jelölt P együtthtóit redre ( )-gyel szorozzu Ezt oliomot P elletett oliomjá evezzü Ez oliom redelezi övetező tuljdosággl: P P P P Vló, h ( ) P ( ), or P ( ) ( ) ( ) ( ) és ( ) ( P ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) P VI Poliom szorzás omle számml Értelmezés H P ( ), omle együtthtós oliom és c omle szám, or Q( ) c P( ) oliom: Q ) c c c ( Például, h P ( ) 5 i, or z i P( ) 5i i H c, or P ( ), zz: h vlmely oliomot -vl szorzu, or szorzt zérusoliomml egyelő VI Poliomo szorzás A vlós és omle számol végzett művelete tuljdosági ljá végezzéte el övetező szorzásot! ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( 6 ) A művelete elvégzéseor szorzás összedásr votozó disztriutivitását hszálju, és övetező eredméyehez jutu: 6 ; 6 6 ; 6 6 ;

10 Poliomo és lgeri egyelete 6 6 ( 6 ) 6 Figyeljü meg szorztoliom együtthtóit, és fejezzü i ezeet szorzótéyező együtthtói függvéyée! Észrevehetjü hrmdi éld eseté, hogy szorzt -et trtlmzó tgot u, h z -szel, szorozzu A egyedi éld esetée -et -tel, vgy h -t trtlmzó tgj edig eze összege lesz Értelmezés -et -ml, illetve, h z -et -t trtlmzó tgot u, h 6 -el szorozzu; szorzt -t A P ) és Q ) m ( és m ( ) omle együtthtós oliom szorzt P ) Q( ) c c c ( m ( oliom, hol m és ci i i i, i, Eől övetezi, hogy ét oliom szorztá foszám egyelő oliomo foszámi összegével, zz gr( P ( ) Q( )) grp( ) grq( ) Feldt Végezzü el z ) ( )( ) ( * N, i C Megoldás Végezzü el szorzást, illetve eseté! eseté: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Az foglmzhtju meg: ( ) ( szorzást, hol szorzt ljár votozó övetező sejtést )( ) ( ) ( ) Sejtésü {,,, } eseté igz Feltételezzü, hogy -re igz, és izoyítju, hogy ( )-re is igz Szorozzu össze z oliomot z ( iomml! A övetező eredméyhez jutu: )

11 Poliomo és lgeri egyelete ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ) H feti eredméyt és z iduciós feltevést figyeleme vesszü, or ( ) ( )( )( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) [( ) ] [( ) ( )] ( ) * Tehát mtemtii idució elve ljá állításu igz ármely N eseté A szorzt értelmezése ljá igzolhtó övetező tuljdoságo (Eze izoyítását em részletezzü) A szorzt tuljdosági H P, Q, R C[ ] tetszőleges oliomo, or P( ) Q( ) Q( ) P( ) (ommuttivitás); P ( ) és P ( ) P( ) ; P( Q R P Q R (sszocitivitás); ) ( ) ( ) P( ) ( Q( ) R( )) P( ) Q( ) P( ) R( ) (disztriutivitás) A művelete és formális derivált értelmezése ljá eláthtó övetező tuljdoságo is: Tuljdoságo H P és Q tetszőleges omle együtthtójú oliom, or P ( ) Q ( ) ( P Q) ( ) (z összeg formális deriváltj formális derivált összege); ( c P) ( ) c P ( ) (hol c C ); ( P Q) ( ) P ( ) Q( ) P( ) Q ( ) ( szorzt deriválási szály) VI Poliomo osztás Adott P és Q rcioális, vlós vgy omle együtthtós oliom és Q em zérus oliom A P oliomot Q oliomml eloszti zt jeleti, hogy eresü ét oly q és r oliomot, melyere feáll P( ) Q( ) q r( ) egyelőség, és r ise foú, mit Q, vgy r zérusoliom A P oliom z osztdó, Q z osztó, q( ) háydos és z r mrdé Két érdésre ell válszt dju: ) léteze-e q és r oliomo ármely P és Q eseté; ) egyértelműe meghtározott-e q és r oliomo?

12 Poliomo és lgeri egyelete A érdésere úgy róálu válszoli, hogy eresü egy lgoritmust, mely segítségével meghtározhtju dott P és Q eseté háydost, illetve mrdéot H éldául P( ) 7 és Q ( ), or háydos oliom yilvávló elsőfoú ell leie (mert Q ( ) q( ) fo Q és q foszámi összege, és mrdé foszám ise, mit ettő) Így q() oliom lú (, C ), mrdé oliom edig legfelje elsőfoú Tehát r( ) c d, hol c és d ull is lehet Ezért P ( ) Q q r összefüggés 7 ( )( 6) c d l írhtó, zz 7 ( ) ( c ) d Mivel ét zoos foszámú oliom egyelősége megfelelő együtthtó egyelőségére reduálódi, övetező összefüggéseet ju: c 7 d Eől övetezi, hogy,, c 7 5 és d Tehát q és r oliom egyértelműe meghtározott: q ( ) és r ( ) 5 A háydos és mrdé oliomo meghtározásá e módját z egyelő együtthtó módszerée evezzü Láttu, hogy egy hrmdfoú oliom osztási háydosá és mrdéá meghtározás égy egyeletől álló égyismeretlees redszer megoldását igéyelte (függetleül z osztó foszámától) Egy -ed foú oliom osztási háydosá és mrdéá meghtározás ezzel módszerrel z egyeletől álló ismeretlees redszer megoldását teszi szüségessé Ez oyolulttá válht, ezért háydost tgoét róálju megeresi 5 Teitsü P ( ) 7 6 és Q oliomot Első léése eressü oly q moomot, melyre ( Q ( ) q oliom legfelje egyedfoú ( háydos domiás tgj ez P ) 5 moom) A P Q ( ) q ( ) oliom ötödfoú tgjá együtthtóját úgy ju, hogy P oliom ötödfoú együtthtójáól ivoju Q oliom ötödfoú tgjá és q moom együtthtójá szorztát Ez or ull, h q ( ) moom együtthtój P és Q ( ) oliomo ötödfoú tgji háydos, vgyis q ( ) 5 Eől övetezi: P ( ) Q ( ) q ( ) ( 7 6) ( Jelöljü P -szel z így ott oliomot Keressü oly q moomot, melyre P ( ) q ( ) oliom legfelje hrmdfoú ( foszámát Q ismét csöetjü leglá eggyel) Ilye moom q ( ) ( 5 ) : P ), tehát

13 Poliomo és lgeri egyelete 5 P ( ) Q ( ) q ( ) 5 6 ( 5 ) P ( ) Most oly q ( ) moomot eresü, melyre P ( ) Q ( ) q( ) oliom legfelje másodfoú Ilye moom ( Az így ott ) :, tehát P ( ) Q ( ) q ( ) oliom ötödfoú, tehát z eljárást em tudju tová folytti (z 5 -et em tudju eloszti -el) Az oliomot jelöljü r -szel A P ( ) oliom övetezőée írhtó fel: P ) Q ( ) q ( ) P ( ) Q ( ) q ( ) Q ( ) q ( ) P ( Q ( ) q ( ) Q ( ) q ( ) Q ( ) q ( ) r( ) Q ( ) [ q( ) q( ) q( )] r ( ) Q ( ) q( ) r( ), ( ) q( ) q ( ) q( ) gr( r ( )) < gr( Q ( )) hol q és Tehát feti eljárássl meghtározhtju ét oliom háydosát és z osztás mrdéát is Az elvégzett lgoritmus egy egyszerű leírásmódját muttj z lái ár: A mrdéos osztás tétele Bármely P és Q, Q( ) omle együtthtós oliom eseté létezi és egyértelműe meghtározott q és r omle együtthtós oliom, melyre P Q( ) q( ) r és gr( r ) < gr( Q( )) A létezés izoyítás Legye gr P ( ) és gr Q ( ) m H < m, or q( ) és r ( ) P( ) oliomo teljesíti tétele szerelő egyelőséget H m, P( és Q ( ) m, és m ), or z elő ismertetett eljárássl megeressü zt moomot, q m

14 6 Poliomo és lgeri egyelete melyre P ) Q( ) q ( ) P oliom fo leglá eggyel ise, mit ( m z eredetileg dott oliom fo Ez moom q ( ) m m Így P Q( ) P ( ) Az eljárást megismételjü P ( ) oliom eseté, h hol P m ' ' P ise, mit Kju, hogy P ( ) Q( ) m P ( ), m '' '' '' P ' m oliom fo már leglá ettővel oliom fo Ezt z eljárást töször megismételve megszeresztjü P, P,, P oliomsoroztot, melye tgo foszámi szigorú csöeő természetes számsoroztot szármztt De természetes számo hlmzá em létezi végtele hosszú, szigorú csöeő számsorozt, tehát létezi oly N szám, melyre P ( ) oliom foszám ise, mit m (egy ilye foszámot legtö m léés utá u) j j m H Pj ( ) Q( ) Pj ( ) egyelősége megfelelő oldlit m összedju, övetező összefüggéshez jutu: m m m P Q P ( ) m m m Eől övetezi, hogy h zárójele levő ifejezést q -szel, P ( ) -et r -szel jelöljü, or P ( ) Q( ) q( ) r( ), hol gr r < m gr( q( )), tehát igzoltu q és z r oliomo létezését Az egyértelműség izoyítás Feltételezzü, hogy létezi q( ), q és r, r ( ) oliom úgy, hogy m P ( ) Q( ) q( ) r ( ), gr( r ( )) < grq( ) és P ( ) Q( ) q ( ) r ( ), gr( r ( )) < grq( ) Az elői ét egyelőség ljá Q ( ) q ( ) r ( ) Q( ) q ( ) r, tehát Q( ) ( q ( ) q ( )) r ( ) r ( ) H q ( ) q ( ), or grq( ) ( q ( ) q ( )) grq( ) Ugyor gr( r ) r ( )) m (grq ( ),grq ( )) < grq( ), ( tehát Q( ) ( q ( ) q ( )) oliom em lehet egyelő z r ( ) r ( ) oliomml Ezért q ) q és ( P( ) Q( ) q( r ) P ( ) Q( ) q ( ) r ( ) Megjegyzés Az osztás sorá P és Q ( ) együtthtóivl összedást, ivoást, szorzást és osztást ell végezü Tehát h P( ), Q( ) R[ ], or

15 Poliomo és lgeri egyelete 7 q( ), r( ) R[ ] H P( ), Q( ) Q[ ], or q( ), r( ) Q[ ] H P( ), Q( ) Z[ ], or q( ), r( ) em feltétleül egész együtthtós oliom, de h z osztó főegyütthtój vgy, or q( ), r( ) Z[ ] VI5 Poliomo osztás lú iomml H P oliomot z ( ) iomml osztju, mrdé vgy ullfoú (zz álldó oliom), vgy zérusoliom Tehát z osztás mrdé r ( ) r, hol r C Írju fel mrdéos osztás tételét: P( ) ( ) q( ) r Két egyelő oliom z ot számolt ehelyettesítési értéei egyelő ármely α C eseté A P ( ) ( ) q( ) r egyelőségől z -r számolt helyettesítési érté eseté P( ) ( ) q( ) r egyelőséghez jutu, ho r P() 5 Tétel A P C [ ] oliom ( ) iomml vló osztásor mrdé egyelő P oliom -r számolt helyettesítési értéével 5 Példá A P ( ) oliom ( ) -gyel vló osztási mrdé P A Q( ) i i oliom ( i) -vel vló osztási mrdé P( i) 8i 8i 8i i 5i A 5 tétel segítségével z osztás elvégzése élül meghtározhtju z ( ) -vl vló osztás mrdéát, de em tudju meghtározi z osztás háydosát Keressü egy oly eljárást, mely segítségével mrdéot is, háydost is meghtározhtju! H P( ) oliomot ( ) -vl osztju, háydos egy ( )-ed foú q( ) oliom, mrdé egy r C szám A mrdéos osztás tétele ljá: ( )( ( ) ( ) ( r ) ) r, zz ( ) A ét oliom egyelősége z együtthtó egyelőségét teszi szüségessé, így,,,, r Az egyelőségeet z lái tálázt fogllhtju: r A tálázt első sorá P( ) oliom együtthtóit írju e, másodi sor edig iszámolju háydosoliom együtthtóit és mrdéot ( hrmdi sor

16 8 Poliomo és lgeri egyelete leírtu, hogy melyi helye mit tu meg) Észrevehető, hogy másodo sor első eleme ée z első sor első elemével egyelő, míg mide más elemét úgy ju, hogy z előtte álló elemet szorozzu -vl, és hozzádju z első sor megfelelő eleméhez H ezt hszálju, redre iszámíthtju háydos együtthtóit és mrdéot H ezt z észrevételt hszálju (és z dtot tálázt fogllju) háydos és mrdé iszámításár, or zt modju, hogy háydost és mrdéot Horer-sém segítségével számoltu i 5 Példá ( ) Htározzu meg z i i oliom z háydosát és mrdéát! A Horer-sém: -vel vló osztási i i i 6i 8 6i 6 i i 5 i A háydos ( ) ( i ) 8 6i Q, mrdé r 5 i ( A P ) 5 6 oliom i -vel vló osztási háydosát és mrdéát övetező sémávl számíthtju i: i 7 7i i i i 5 i 5 i A háydos: 7 ( 7i ) ( i) ( i) i 5 i, mrdé 5 i 8 VI6 Megoldott feldto Htározzu meg z,, c R számot úgy, hogy feálljo övetező egyelőség: c ( )( )( ) Megoldás A jo oldlo elvégezzü műveleteet: c ( )( ) ( )( ) c( )( ) ( )( )( ) ( c) ( ) ( c) ( )( )( ) A feldt áltl ért egyelőség ( c) ( ) ( c) ( )( )( ) ( )( )( ) egyelőséghez vezet, mely yilvávló cs or teljesül, h számláló egyelő, zz h oliom egyelő z ( c) ( ) ( c) oliomml Ez cs or áll fe, h

17 Poliomo és lgeri egyelete 9 P ( ), P ( ) és H megoldju z egyeletredszert, övetezi, hogy, és c Megjegyzés A feti eljárássl törtet egyszerű törtere ( )( )( ) otottu Az ilyeszerű felotásot ésői tulmáyi sorá gyr hszálju Írju fel z 5 oliomot ( ) ( )( ) ( )( )( )!! l! ( ) ( )( ) Megoldás 6 ( )( )( ) A ét oliom or egyelő, h megfelelő együtthtói redre egyelő, így, 8 6 6,,, 5 Az utolsó egyelőség ljá, z utolsó előtti ljá 7, így 6, mjd 56, 96 és Megjegyzés Bármely P( ) oliom egyértelműe felírhtó ( ) ( )( ) P( )! l Htározzu meg P( ) C[ ], leglá hrmdfoú oliom ( ) -vel vló osztási mrdéát, h ( ) -gyel vló osztási mrdé és ( ) -vel vló osztási mrdé Megoldás ( )( ) Felírju mrdéos osztás tételét: P ( ) q ( ) r( ), hol r legfelje elsőfoú oliom, tehát r ( ) Így P( ) ( ) ( ) q( ) A ét oliom egyelőségéől övetezi z, illetve ot számolt helyettesítési értée egyelősége: P és P De P() em más, mit P oliom ( )-gyel vló osztási mrdé, P () edig z ( )-vel vló

18 Poliomo és lgeri egyelete osztási mrdé A feltétele ljá P és P Eől dódi, hogy 5 5 és, tehát és Követezésé r ( ) Htározzu meg z A Z Z hlmz elemeit! Megoldás H z oliomot elosztju ( )-vel és felírju mrdéos osztás tételét, z ( )( ), egyelőséghez jutu Tehát Az ifejezés értée egész szám mide Z eseté De tört értée or és cs or egész szám, h osztój -e, zz h D, hol D {,,, } Az egyelőségől 9, z -ől, z -ől, z -ől, tehát A { 9,,,} 5 Htározzu meg z ( ) oliom ( ) -gyel vló osztási mrdéát! Megoldás Észrevehetjü, hogy ( ) H z Tehát P( ) oszthtó ( )-gyel A P( ) -et úgy osztju -el, hogy elő elosztju ( )-gyel (ez z osztás mrdé élüli), mjd háydost ismét osztju ( )-gyel Az osztásot Horer-sém segítségével végezzü el oliomot P( ) -szel jelöljü, P() Tehát ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] Figyeljü meg, hogy Horer-sémá z egymás utái együtthtó sorozt:, ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( )( ) szer Tehát z osztás háydos: ( ) ( ) ( ), és mrdé:

19 Poliomo és lgeri egyelete VI7 Gyorlto és feldto A övetező ifejezése özül melye moomo? Háy változós, háyd foú, és meyi z együtthtóju?,, 7 5,, i πyz,, π 7 Végezd el! i 5 ) i ; ) Y Y ; c) [( 7 ) ] [( 7 ) ] ; d) 5, 6 YZ ;, 7 Y 9 e) ( i) : [( i) ]; f) ( ) g) ( ) YZ ] ; h) ( ) [ ( εz ) 7 i), hol ε hrmdredű egységgyö; j) 9 5 ; i ; 5i Y : 5 Y Htározd meg oliomo foát rmétere függvéyée: ) ( ) P ( 5m ) ( m ) ( m ) ) ( ) m, m C; P ( 9) ( m 8) i 5 c) ( ) m, m C; P 5 5 i ( i) d) P( ) i i, N Számítsd i oliomo együtthtói összegét: ) ( ) ( ) 5 P ; P, N; ) ; c) P ( ) ( ) ( ) d) P ; ; P 5 e) ε ε ε ε i 5 ) A P( ) 5 oliom eseté számítsd i P(), P, P, P( ), P, P ( ), P ( i), P( i), P ( ), P ( ) értéét! ) Számítsd i P( ) 5 oliom ot számolt helyettesítési értéét!

20 Poliomo és lgeri egyelete 6 Htározd meg z,, c rméter értéeit úgy, hogy ( )( ) ( )( c) ( ) c oliom egyelő legye z oliomml! 7 Számítsd i oliomo összegét: 5 ) P( ) és ( ) ) P ( ) ( i ) i 5 és Q( ) i ( i), 5 ; P ( ) ( i) 5 ( 7 ) Q ( ) ( ) ( i ) ( 7) ; c) ( ), és Q ; d) P ( ) ( i) i i és Q ( ) ( ) ( i ) i 8 Számítsd i övetező oliomo szorztát! ) ( ) 5 és ( ) 5 ; P ) P( ) Q és ( ) c) P( ) d) P ( ) ( i) i és e) ( ) Q ; és ( ) Q ; Q ( ) i ( i) i P ( i ) ( i ) és ( ) Q i 9 Bizoyítsd e, hogy h P( ), R oliom teljesíti P ( α) P ( α) egyelőséget ármely α C eseté, or P ( ) egy iom égyzete! Htározd meg P ( ) oliom Q( )-szel vló osztási háydosát és mrdéát! ) ( ) 5 5 P 6, Q( ) ; ) ( ) P 6 8 c) P( ) d) ( ), ( ) Q ; 5, ( ) 9 7 P , ( ) e) P ( ) ( 7 i) 7 i, Q( ) ; Q ; Q ; i; f) P ( ) ( i) ( i) ( i) i Q( ) i és Htározd meg z -t és -t úgy, hogy oliom oszthtó legye z oliomml

21 Poliomo és lgeri egyelete Végezd el Horer-sémávl z osztásot: 5 ) ( ) ( ) ) ( ) :( ) ; : ; 5 : ; c) 5 d) ( 5 6 ) ( ) e) ( ( i) i ( 7i 9) i ) ( i) : ; 5 : Htározd meg P ( ) m ( m ) m oliom ( i) -vel vló osztási mrdéát és háydosát, h tudod, hogy P ( ) ( ) -gyel vló osztási mrdé 7 Htározd meg zt legise foú oliomot, mely ( ) mrdé, z ( ) mrdé -vel vló osztási -vel vló osztási mrdé és z -szel vló osztási 5 Bizoyítsd e, hogy P ( ) oliom ( ) ( ) mrdé ( ) P( ) ( ) P r 6 Bizoyítsd e, hogy h P( ) oliom eseté P és ( ) P( α) ártl 7 Bizoyítsd e, hogy h P( ) oliom, or ármely, hol, C, -vel vló osztási egész együtthtós P ártl szám, or ármely α Z eseté, Z egész együtthtós P P eseté ( ) ] 8 ) Bizoyítsd e, hogy h P C [ és gr P, or Q ( ) P( ) P( ) oliom foszám ) Bizoyítsd e, hogy h P C [ és gr P, or léteze oly ε ε,, ε {, } számo, melyere ε P( ),, ] C 9 Bizoyítsd e, hogy tizeét egymás utái teljes égyzet feloszthtó ét htos csoortr úgy, hogy z egyes csoorto elemeie égyzetösszegét egymásól ivov ) 8 -cl oszthtó számot ju; ) 8 -gyel oszthtó számot ju Bizoyítsd e, hogy h ( ) ármely [, ] P eseté, or 7 és P,

22 Poliomo és lgeri egyelete VI8 Poliomo oszthtóság Az egész számo tulmáyozásor megismeredtü z egész számo oszthtósági relációjávl Megtultu, hogy z Z szám or oszthtó Z * számml, h létezi oly c Z szám, melyre c (l 8, mert 8 7 ) Vizsgáltu reláció tuljdoságit, megállítottu, hogy z oszthtósági reláció refleív, trzitív és természetes számo hlmzá tiszimmetrius Megvizsgáltu műveleteel szemei viseledését, és z ezzel csoltos tuljdoságot (l h c, c, or ( ) c ; h c, or ( ) c ) Hsoló tulmáyozás ell lávetü oliomo hlmzát is 8 Értelmezés H P ( ) és Q ( ) ét oliom, melye együtthtói egy rögzített M számhlmz elemei, or zt modju, hogy P ( ) oliom oszthtó Q ( ) oliomml z M hlmz fölött (vgy Q ( ) osztj P( )-et), h létezi oly R oliom, melye mide együtthtój M-ől v és teljesül P ( ) Q( ) R( ) egyelőség Ezt ( ) P( ) jelöljü Q vgy P( ) Q szimólumml oliom oszthtó z ( ) 8 Példá Az -gyel Z fölött, mivel ( )( ) Az oliom oszthtó ( i) -vel C fölött, mivel i i) Az 6 oliom oszthtó z 6 ( ( ) oliomml Z fölött, mivel 6 6 Megjegyezzü, hogy z oliom em oszthtó oliomml Z fölött, de oszthtó oliomml mide oly számhlmz fölött, melye z eleme 8 Megjegyzés H Q ( ) P, or gr P( ) gr Q ( ) gr P( ) gr Q ( ) gr R( ) gr Q ( ), mivel Vizsgálju meg z oszthtósági reláció z egész számo eseté tulmáyozott tuljdoságit, mjd térjü i zor tuljdoságor, melye oliomo oszthtóságá sjátos jellemzői 8 A oliomo oszthtóságá tuljdosági ] A P C[ oliom or és cs or oszthtó Q ( ) C[ ] oliomml ( C fölött ), h z osztás mrdé ull A mrdéos osztás tétele értelmée P ( ) Q ( ) q( ) r( ), és gr ( r( ))< < gr q ( ) De Q( ) P R ( ) úgy, hogy P ( ) Q( ) R( ) Mivel mrdéos osztás tételée megjeleő háydos- és mrdéoliomo egyértelműe meghtározott, r ( ) és R ( ) q( ) Tehát Q P r A továi, h vlmely oszthtóságról em modju, hogy milye számhlmz fölött érvéyes, or zt C fölött teitjü

23 Poliomo és lgeri egyelete 5 Bézout-tétele A ( ) iomml, h P Bizoyítás Az elői tuljdoság ljá ( ) P oliom or és cs or oszthtó z Q or és cs or oszthtó P -szel h z osztás mrdé A 5 tétel értelmée z ( ) -vl vló osztás mrdé r P, így Q( ) P P A zérusoliomtól ülööző ostsoliomo mide oliom osztói * Bármely C és ármely P C [ ] eseté létezi z R ( ) P( ) oliom úgy, hogy P ( ) P( ) legye, tehát P( ) * Bármely P( ) C [ ] oliom z összes P ( ) P( ), C oliom osztój Vló, P ( ) [ P( )], tehát P ( ) P( ) Az P( ) lú oliomot P( )-szel sszociált oliomo evezzü Megjegyzés A és tuljdoság zt muttj, hogy tetszőleges P C [ ] oliom végtele so osztój v: z összes C * ostsoliom és z összes P( oliom Eze P oliom em vlódi osztói, z ezetől ülööző ) osztó ( ) P vlódi osztói Például z oliom,, 5 5 és z i i em vlódi osztói Az 5 és z i z 5 i ( ) oliomo, ugyor z 5 és z i i is sszociált oliomo 5 -gyel sszociált 5 A oliomo oszthtósági relációj refleív, vgyis ármely oliom osztój ömgá: ármely P C[ eseté P P P ] P, és így ( ), Q( oliom eseté, h Q ( ) P( ) és R ( ) Q( ), or R ( ) P( ) Q( ) P( ) q ( ) úgy, hogy P ( ) Q( ) q( ) R ( ) Q( ) ( ) úgy, hogy Q( ) ( ) q ( ) 6 A oliomo oszthtósági relációj trzitív, vgyis ármely P ), R( q A feti ét egyelőségől övetezi, hogy q q R P Q ( R ) q R( ) ( q ( ) q( )) R ( ) P( ), tehát 7 Ee ot zt vizsgálju, hogy milye összefüggése ell feálli P ( ) és Q ( ) em ull oliomo özött hhoz, hogy P ( ) osztój legye P -e (Természetes számo eseté z Q -e és Q osztój legye és cs or áll fe, h ; egész számo eseté edig or, h ) )

24 6 Poliomo és lgeri egyelete H Q ( ) P( ), or létezi oly q ( ), melyre P ( ) Q( ) q( ) legye H P ( ) Q( ), or létezi oly q ( ), melyre Q ( ) P( ) q ( ) legye Eől dódi, hogy P ( ) q ( ) q ( ) P( ) és gr P( ) gr q ( ) gr q ( ) gr P ( ), zz gr q ( ) gr q ( ) Mivel gr q ( ) és gr q ( ), gr q ( ) és gr q ( ) is ull Eől övetezi, * hogy midét oliom osts: q c q ( ) c C * Így ( ) P( ) c P c c, zz és C és c ( ) c Q ( ), vlmit ( ) P( ) P P ( ) Q( ) és Q ( ) P( ), or P ( ) és ( ) Q c Tehát P és Q oliomo sszociált oliomo Követezésé h Q sszociált oliomo 8 Vizsgálju z oszthtósági reláció műveleteel vló csoltát! P Q P R ) H Q, or ármely R C[ ] eseté Vló, h Q ( ) P( ), or létezi oly ( ) [ ] P ( ) Q( ) q ( ) legye, tehát P ( ) R( ) ( Q( ) q( )) R ( ) ( q R( )) Eől övetezi, hogy Q ( ) P( ) R( ) ) H R ( ) P( ) és R ( ) Q( ), or R ( ) ( P( ) Q( )) Vló, h R ( ) P( ), or létezi oly ( ) ] P ( ) q ( ) R( ), és h ( ) Q( ) ( ) melyre Q ( ) q ( ) R( ) P ( ) Q( ) q ( ) R( ) q ( ) R( ) dódi, hogy P ( ) Q( ) ( q ( ) q ( )) R( ), tehát R ( ) ( P( ) Q( )) 9 H ( ) ] q C, hogy q C[, melyre R, or létezi oly q C[ ], H ét egyelőséget összedju, egyelőséghez jutu Eől P C[ oliom z,,, és ülööző omle számo gyöei, or P() oszthtó ( )( ) ( )-vl A tuljdoság izoyítását mtemtii iducióvl végezzü eseté Bézouttétele értelmée, h gyöe oliom, or P Továá ( ) izoyítju, hogy h z állítás -r igz, or ( ),,,, ( )( ) ( ) P A Bézout-tétel értelmée ( ) P( ) tehát P ( ) ( )( ) ( ) Q ( ) és P ( ) ( ) R( ) miől dódi, hogy -re is igz Tehát, h P oliom gyöei, or z iduciós feltevés szerit ( )( ) ( ) Q ( ) ( ) R( ),,

25 Poliomo és lgeri egyelete 7 Q( ( ) Q Q( H felírju midét oldl -e vett helyettesítési értéét övetezi, hogy ( )( ) ( ) Q( ) Q, és Bézout-, ho tétel ljá ( ) ), zz Q ( ) Q P ( ), tehát ( ) ) 85 Követezméye Egy -ed foú P oliom legtö ülööző gyöe v Vló, h feltételezzü, hogy P( )-e v ülööző gyöe, or P ( ) -ed foú oliom oszthtó z ( )( ) ( ) ()-ed foú oliomml, mi 8 megjegyzés ljá lehetetle Tehát legtö ülööző gyöe lehet H z,,, C számo z -ed foú P( ) Így -e P ( ) P ( ) ( )( ) ( ) P ( ) oszthtó z ( )( ) ( ) P ( )( ) ( ) q ( ), gr P ( ) gr q( ) q ( ), zz q ( ) c, c C ( ) ( )( ) ( ) A ( ) ( )( ) ( ) oliom gyöei, or Az övetezméy ljá el, zz ( ) övetezi, hogy gr Tehát P c együtthtój, míg c oliom egyelőségéől övetezi, hogy c, így -, eől P oliom z P ( ) ( )( ) ( ) ( ) eze gyöö ároét ülööző számo, or ( ) or oszthtó Q( )-szel, h,,, P( )-e is gyöei Bizoyítás Legyee,,, Q( ) oliom gyöei H P -e is gyöei, or Bézout tétel ljá P ( ) oszthtó ( ) P( ) ( ) P Mivel gyöe P( ) P( ) ( ) P ( ) Bézout-tétele ljá P ( ) ( ) P ( ) A P( ) ( ) P ( ) ( )( ) P ( ) P( ) ( ) P ( ), tehát ( ) P -e, és Bézout tétele ljá ( ) ( ) P ( ) -e c, tehát ét Jelöljü -gyel, -vel,, -gyel és -el Q oliom gyöeit H P oliom or és cs,,, -gyel, zz -e, övetezi, hogy, mi zt jeleti, hogy z gyöe P -e, és egyelőség ljá P Eől övetezi, hogy z gyöe P Iducióvl izoyíthtó, hogy létezi oly P oliom, melyre P( ) ( )( ) ( ) P ( ), ármely eseté, tehát P( ) ( )( ) ( ) Eől övetezi, hogy P oszthtó Q ( ) -szel is (mivel Q( ) ( ) ( ) )

26 8 Poliomo és lgeri egyelete VI9 Megoldott feldto Bizoyítsu e, hogy ) z oszthtó ( ) ( ) ( ) ) z oszthtó c) z em oszthtó d) z oszthtó e) z -gyel; -el; 6 6 oszthtó ( ) -gyel; oszthtó -el, h ; -gyel; f) z ( ) -ml P ( ) (), és Bézout tétele ljá P ( ) oszthtó ( ) ( ) Megoldás ) Jelöljü -szel z oliomot P ) A Horer-sém segítségével osszu el z oliomot -gyel -gyel! Az osztás háydos Q ( ) Q () Q ( ) -gyel Tehát P( ) ( ) Q ( ) ( )( ) Q ( ) ( ) Q ( mi zt jeleti, hogy P( ) oszthtó ( ) -el c) H Horer-sém segítségével Q ( ) -et elosztju ( ) -gyel, háydos Q ( ) ( ), tehát () ( ) Q, h, tehát Így Bézout-tétel értelmée oszthtó ), Eől övetezi, hogy Q ( ) em oszthtó P( ) ( ) Q oliom em oszthtó ( ) -el 6 d) Jelöljü P ( )-szel z oliomot ezért P ( ) oszthtó ( ) -gyel Mivel P értelmée P ( ) oszthtó ( ) -gyel is, tehát ( ) -gyel -gyel, tehát P, P oszthtó e) Az oliom gyöei hrmdredű egységgyöö, tehát 6 P ε ε ε ε ε Eől övetezi, hogy () P oszthtó z oliomml, Bézout-tétel

27 Poliomo és lgeri egyelete 9 f) Az oliom ( ) ( ) l írhtó, és ee oliom gyöeit így ju meg: ε, ε, tehát ε és ε H z ( ) oliomot P ( ) P ( ε ) ( ε ) ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε oliom gyöei P ( ) P, tehát z oszthtó z ( ) -ml Htározzu meg z összes oly vlós együtthtós ( ) P ( ) ( ) P( ) -szel jelöljü, írhtju:, és -e is gyöei Ezért P oliomot, melyre P ( ) Megoldás H ét oliom egyelő, or ármely α C eseté z α helye vett értéü is egyelő, így eseté P P, tehát P, miől Bézout-tétel ljá P oszthtó ( ) -gyel eseté P P, tehát P (), övetezésé P ( ) oszthtó ( ) -ml eseté P P, tehát P, ezért P ( ) oszthtó ( ) -vel Így P ( ) ( )( )( ) P, és z dott oliomegyelőség z ( )( ) ( ) P ( ) ( )( )( ) P ( ) l írhtó Eől övetezi, hogy P ( ) P( ), zz P ( ) P ( ) H P -ed foú, or P ( )-ed foú, ezért P ( ) P ( ) cs or áll P ( ) c ) ( fe, h P, c C Teitsü övetező zoosságot: ( ) ) Bizoyítsu e, hogy ) Számítsu i -t Megoldás ) A oliomegyelőség z helye vett helyettesítési értére z ( ) miől ( ) egyelőséget eredméyezi,, tehát Az -re vett helyettesítési érté z ( ) övetezésé ( ) ( ) ( ), és egyelőséget 6, zz eredméyezi,

28 5 Poliomo és lgeri egyelete Az ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) együtthtój: ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9 5) Megjegyzés Az ( )( ) ( ) iszámításor szorzt -es tgot cs úgy htu, h ét zárójelől z -es tgot töi zárójel szdtgjávl szorzu, vgy h z egyi zárójel -es tgját töi zárójel szdtgjávl szorozzu Az első válsztásr C 9 lehetőségü v, másodir, tehát z -es tg együtthtój: ( 9 ) C 9 5 P( ) oly egész együtthtós oliom, melye égy ülööző egész szám eseté vett helyettesítési értée 7 Bizoyítsu e, hogy em létezi oly α egész szám, melyre P ( α ) ( ) Megoldás Jelöljü Q -szel P ( ) 7 oliomot, α -gyel, α -vel, α -ml és -gyel égy ülööző egész számot, melyre α ( α ) P( α ) P( α ) ( α ) Q ( α ) P P Eől Bézout-tétel ljá övetezi: és tehát 7 Q ( α ) Q( α ) Q( α ) ( ) ( α )( α )( α )( ) Q, α Q( ) ( α)( α )( α)( α ) Q ( ) ( α) P( α) 7 7 Q( α) 7 P ( α ), or erre z α értére ( α) ( α )( α α )( α α )( α α ) ( α) 7 α, P Tehát, h léteze oly α Z, melyre Q 7 lee Eől övetezi, hogy α Q, hol α α α, α α, α α ülööző egész számo De 7 rímszám, így 7 legtö három ülööző egész l 7, tehát elletmodáshoz jutottu szorztár othtó fel ( ) ( α ) A feti elletmodás ljá P egyetle egész α -r sem lehet 5 (A is Fermt-tétel) H rímszám, or Q ( ) oliom - vett helyettesítési értée oszthtó -vel mide N szám eseté Bizoyítás A tételt mtemtii iducióvl izoyítju -r, mi oszthtó -vel -re, oszthtó -vel

29 Poliomo és lgeri egyelete 5 Feltételezzü, hogy z állítás igz -r, és izoyítju, hogy * N -re is igz, C C C de z iduciós feltevés szerit és C, ármely eseté, tehát *, N [ ] 6 Htározd meg!!!! P oliom gyöeit, h * N Megoldás Jelöljü P -szel z!!! oliomot P P ; 6 6 P Mtemtii iducióvl igzolju, hogy! P Az állítás { },, eseté igz Bizoyítju, hogy h z állítás -r igz, or -re is igz * N!!!! P!, mely z iduciós feltevés értelmée övetezőée líthtó:!!!,! Tehát mtemtii idució elve ljá! P A oliom -ed foú, és yilvávló P P P,, P,, tehát gyöei oliom Mivel z -ed foú oliom legtö ülööző gyöe lehet, oliom gyöei:,,,

30 5 Poliomo és lgeri egyelete 7 Htározzu meg zot ( ) C[ ] P oliomot, melye teljesíti övetező feltételeet: i ) P és ii) P P P (Mirce Lscu) Megoldás Teitsü z, reurzióvl dott ( ) soroztot (,,, st ) N P ( ) H, or ( ) P * P ( ) P( ) P P N N Bizoyítju, hogy ármely eseté or izoyítju, hogy P H, or H feltevésü -r igz, ( ) -re is igz ( ) P( ) P ( ) P( ) P A mtemtii idució elve ljá P ( ) ármely N N eseté P ( ) Így ( ) zt jeleti, hogy P( ) zérusoliom, eől övetezi: ( ) P( ) eseté, zz ármely P oliom végtele so gyöe v, ez P 8 A oliom eseté teljesüle P egyelősége, hol {,,,, } értéét! Megoldás A P egyelőség ( ) P P Teitsü Q( ) ( ) ( ) oliomot Ez egy ( ) feltevés szerit ( ) Q Q,,, Számítsd i P( ) l is írhtó -ed foú oliom A Q, tehát gyöei oliom Mivel oliom ( ) -ed foú, legtö gyöe lehet, ezért oliom gyöei:,,, Eől övetezi, hogy Q c, tehát ( ) P( ) ( )( ) ( ) Az helye vett helyettesítési érté ljá c, tehát z ( )! helye vett értére P 9 P s omle együtthtós oliom Bizoyítsu e, hogy h, é P ( ) P P ( ) P P P ( ) Q oszthtó ( ) -gyel oliom oszthtó oliomml, or, {,, } P oliomo Bizoyítás A Q( ) ( ) α, α i és i H P ( ) oliom oszthtó Q( ) P( α ) P( α ) P( α ), eől dódi, hogy P () P () P () ; P ( ) ip P és P ip oliom gyöei α -szel, or P

31 Poliomo és lgeri egyelete 5 H másodi és hrmdi egyelőséget ivoju egymásól, ju, hogy ip (), vgyis P Így P P és P P H ezt ét P és P egyelőséget összedju, zt ju, hogy P, vgyis Tehát P () P P, és Bézout-tétel ljá ( ) gyel, {,, } -r Igzolju, hogy h m oszthtó -el ( m N ) ( ) -gyel Megoldás Mivel m oszthtó -el, létezi oly () P oszthtó ( )-,, or z oszthtó N, melyre m Az y ( y )( y y ) zoosság ljá m m ez ée zt jeleti, hogy oszthtó ( ) -gyel, VI Gyorlto és feldto Bizoyítsd e, hogy ) h áros, or z ( ) ( ) oszthtó ( ) oszthtó ( ) -el; oszthtó ( ) ( ) ( ) -gyel; ) ( ) c) oszthtó ( ) ( ) oszthtó ( ) ( ) ( ) d) oszthtó e) f) oszthtó ( -gyel; -gyel; -gyel; g) oszthtó ) -el; -gyel; ( ) h) oszthtó Htározd meg z, C rmétereet úgy, hogy ( ) ( ) -el m -gyel, és em ) z oliom -gyel vló osztási mrdé legye; ) z 5 oszthtó legye i -vel; ( ) c) z oszthtó legye -gyel; ( ) ( ) )( ) ( 7) ( ) d) z oszthtó legye -vel; e) z oszthtó legye -vel; f) z oszthtó legye ( -ml; g) z oszthtó legye -el; 5 h) z oszthtó legye ( 5 6) -tl

32 5 Poliomo és lgeri egyelete Htározd meg zot z m N értéeet, melyere: m m ) ( ) oszthtó ( ) -gyel; m m m ) ( ) oszthtó ( ) -gyel; c) m ( ) oszthtó ( ) -gyel Htározd meg zot legise foszámú, em osts oliomot, melye ( ) -gyel, ( ) -vel, ( ) -ml vló osztási mrdé, és ( ) -gyel vló osztási mrdé 5 Htározd meg zt legise foszámú oliomot, mely z ( ) -vel vló osztási mrdé és z ( ) -vel vló osztási mrdé ( ) 6 Létezi-e oly P R[ ] oliom, melyre P ( ) ( ) P( ) ármely R eseté? 7 Bizoyítsd e, hogy h P R[ ] oliom teljesíti z ( ) P( ) ( ) P( ) 6 egyelőséget, or 7 ( )( ) -vel vló osztási mrdé 8 Létezi-e oly emull P R[ ] oliom, melyre ( ) P( ) ( ) P( ) ármely R eseté? 9 Bizoyítsd e, hogy z 6 6 oliom oszthtó P oliom ( 7 7 ) -gyel! Bizoyítsd e, hogy P R[ ] oliom z ( ) -vel vló osztási mrdé P Milye feltételeet ell teljesíteie z m és természetes szám hhoz, hogy z m m oliom oszthtó legye z oliomml? m Bizoyítsd e, hogy h z oliom oszthtó z oliomml, or m, vgy m Bizoyítsd e, hogy h P R[ ], or létezi oly N szám, melyre P() összetett szám! Bizoyítsd e, hogy P Z[ ] oliom égy ülööző (,,, ) egész számr vett helyettesítési értée, or P egyetle egész -re sem veszi fel z, 5, 7 vgy 9 értéeet ) Bizoyítsd e, hogy h P R[ ], or em létezi oly,, c Z, melyre P, P ( ) c és P ( c) π ) Bizoyítsd e, hogy h > 6, or cos Q m

33 Poliomo és lgeri egyelete 55 VI Algeri egyelete VI Algeri egyelete gyöei Értelmezés Egyismeretlees lgeri egyelete evezzü P lú egyeletet, hol P emull oliom Tehát z lgeri egyelete l írhtó, hol i C, i, és N z egyelet fo, P oliom együtthtói z egyelet együtthtói A P együtthtói természete szerit eszélhetü omle, vlós, rcioális, egész st együtthtós lgeri egyeleteről Példá hrmdfoú, egész együtthtós lgeri egyelet, 5 másodfoú, rcioális együtthtós egyelet ( ) ( 6) ( ) 6 vlós együtthtós egyedfoú egyelet i i egyedfoú, omle együtthtójú egyelet Értelmezés Az C szám gyöe P lgeri egyelete, h P egyelőség igz Nyilvávló z C szám or és cs or gyöe P egyelete, h gyöe P oliom Példá Az egyelet göei z, és, mert ; ( ) és Az, 5 egyelete z gyöe, mivel, 5 Az ( ) ( 6) ( ) 6 egyelete z i, i,, gyöei, mivel i ( ) i ( 6) i ( ) i 6 i i 6 i i 6 ( i) ( )( i) ( 6) i ( )( i) 6 i i 6 i i 6 és ( ) ( 6) ( ) 6 6i 6 6 6

34 56 Poliomo és lgeri egyelete Az i i egyelet gyöei i,, ε, és ε, hol ε és hrmdredű egységgyöö Vló, ( i ) i( i) ( i) i i i, i i, ε iε ε i és ( ε ) i( ε ) ε i ε i ε i A Bézout-tétel ljá, h z szám gyöe ( ) P oliom, or P oszthtó ( ) -vl V zo oly oliomo is, melyee z szám gyöe, és oliom emcs ( ) -vl, hem ( ) - gyo htváyivl is oszthtó Például z,5 oszthtó (, 5) -el,5 (, 5) ε, így z Az 8 oliom gyöe Osszu el oliomot ( ) -vel Horer-sém segítségével 8 6 Kju: 8 ( ) ( 6), de 6 6 ( ) ( ) ( )( ), tehát 8 ( ) ( ) A oliom gyöeie meghtározásor ezeet helyzeteet figyeleme ell veü (Pl, h egy egyed foú oliom oszthtó ( ) -el, or már cs egy gyöét ell meghtározzu) 5 Értelmezés Az C szám P emzérus-oliom -szeres gyöe, ) h P oszthtó ( ) -el és em oszthtó ( -el 6 Példá A,5 z, 5 oliom étszeres gyöe; z 8 oliom étszeres gyöe, edig egyszeres gyöe Az ( ) 5( ) oszthtó ( ) -el, de em oszthtó ( ) -el, tehát z háromszoros gyö 7 Tétel H,,, P oliom -szeres, -szeres,, illetve -szoros gyöei, or P oszthtó z ( ) ( ) ( ) oliomml Bizoyítás A tételt ( ülööző gyöö szám szerit) mtemtii iducióvl izoyítju eseté: mivel P( )-e -szeres gyöe, P( ) oszthtó ( ) -el * Bizoyítju, hogy h z állítás igz N -r, or ( ) -re is igz Tehát, h,,,, számo P( ) -e -szeres, -szeres,, -szoros, illetve

35 Poliomo és lgeri egyelete 57 ) ( ) ( ) -l, tehát létezi oly P( ) ( ) ( ) ( ) P ( P ( ) P ( ) ) ( ( -szeres gyöei, or z iduciós feltétel szerit P oszthtó P oliom, melyre Ugyor, mivel z szám -e -szeres gyöe, P oszthtó P ( ) P ( A ét egyelőségől z ) ( ) ( ( ) ) ( P ) ( ) ( ) ( Q ( ) ) ho P ( ) Bézout tétele értelmée P ( ) oszthtó ( -el, tehát P ( ) ( ) P ( ), miől dódi, hogy ) ( ( ) ( ( ) P ( ) ( P ) ) ( ) ( ) ( ) P ( ) ( l írhtó, és oliomegyelőséget ismét felírju z ) ) ( ) P ( ) értére Az ( ) ( összefüggésől ju, hogy P, és Bézout tétele ljá P oszthtó ( ) -gyel, tehát P ( ) ( ) P ( ) Az előie ljá ( ) ( ) ( ) ( P ( ) ) ) P ( ) ( P ) ( ) P,, P ( ) ( ) ( ) ) ( P, P tehát P ( ) ( ) P ( ) és P( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) -el, tehát létezi oly oliom, melyre egyelőséghez jutu, és h z H >, or z egyelőség z -e vett helyettesítési értéet felírju z ) P ( ) összefüggéshez jutu, -e vett helyettesítési H, z állítást eizoyítottu A feti godoltmeetet folyttju, összese -szer: P ( ( ) P, 8 Megjegyzés A 7 tétel zoli övetezméye, hogy z -ed foú P oliom legtö (em feltétleül ülööző) gyöe v Az lgeri egyelete megoldásor övetező érdésere eresü válszt: ) V-e mide lgeri egyelete megoldás C-e? ) Háy megoldás v egy P( ), -ed foú egyelete? c) V-e vlmilye lgoritmus, melye segítségével meghtju tetszőleges foszámú egyelet megoldásit?

36 58 Poliomo és lgeri egyelete E érdése soáig megválszoltlo volt, és eze rolémá megoldás mtemti egyi legfotos feldt volt Az első- és másodfoú egyelete gyöeit már z óori mtemtiuso meghtároztá A hrmd- és egyedfoú egyelete megoldásár cs sol éső tlált megoldási lgoritmust (életet): Sciioe del Ferro és Nicollo Trtgli olsz mtemtiuso VI százd meghtároztá hrmdfoú egyelet megoldáséletét, Ludovico Ferrri edig egyedfoú egyelet megoldóéletét Továr is megválszoltl volt ét lérdés: v-e mide lgeri egyelete omle megoldás, illetve létezi-e megoldási lgoritmus tetszőleges foú egyeletre Ezere érdésere cs I százd sierült válszt tláli Az első érdésre válsz ozitív: sierült eizoyíti, hogy mide lgeri egyelete v megoldás Ezt övetező tétel modj i: 9 Az lger ltétele (D AlmertGuss tétele) Mide, leglá elsőfoú, omle együtthtós lgeri egyelete v leglá egy omle gyöe Az lger ltétele zt fotos téyt jeleti i, hogy számhlmzo ővítésée folymt, melyet z lgeri egyelete megoldhtóságávl hozhtu csolt, omle számo evezetésével efejeződött A másodi érdésre válsz egtív H Ael orvég és A Ruffii olsz mtemtiuso eizoyítottá, hogy égyél mgs foú egyeletere em létezi megoldóélet (Ruffii eredeti izoyítás hiás izoyult, de érdéssel töe is fogllozt, és ijvítottá Ruffii izoyítását Kiss Elemér mrosvásárhelyi rofesszor legúj uttási szerit Bolyi Jáos is) AelRuffii tétele A égyél mgs foú áltláos lú lgeri egyelet lgerilg em oldhtó meg (zz em létezi z egyelet együtthtói oly, összedást, ivoást, szorzást, osztást, htváyozást, gyövoást trtlmzó élete, mely z egyelet gyöeit megdá) V zo sjátos egyelete, melye eseté gyöö meghtározásár dhtó élete Ilye egyelete megoldásávl övetező fejezetee fogllozu A 9 és tétel izoyítás meghldj ismeretei eretét, ezért itt em izoyítju őet Arr érdésre, hogy háy gyöe v egy -ed foú egyelete, eddigi ismeretei ljá öye válszolhtu * Tétel Vlmely -ed foú ( N ) oliom otos omle gyöe v (eze em feltétleül ülöözőe, így midegyiet yi gyöe P -e) teitjü, háyszoros gyöe

37 Poliomo és lgeri egyelete 59 Bizoyítás Legye,,, oliom gyöei (em feltétleül ülööző) A 7 tétel ljá P( ) ( )( ) ( )-vl, tehát létezi oly ( ) ( ) ( )( ) ( ) P ( ) H ( ) P P P oszthtó P oliom, melyre oliom leglá elsőfoú lee, or z lger ltétele szerit léteze leglá egy gyöe:, mely yilvávló gyöe P( )-e is Így P( ) elletmodás Így P ( ) c, (hol c C ) és P( ) c( )( ) ( ) De gr P ( ) és gr [ c ( )( ) ( )], így, tehát P( ) gyöe v -e gyöe lee, mi -e Most már tudju, hogy mide, -ed foú lgeri egyelete v otos, em feltétleül ülööző gyöe Eze meghtározásár > eseté em létezi megoldóélet, gyöö cs sjátos esetee htározhtó meg Követezméy H ( ) P, legfelje -ed foú, oliom gyöe v, or oliom zérusoliom P em zérusoliom Aor tétel Bizoyítás Feltételezzü, hogy értelmée P( )-e legfelje gyöe v, mi elletmodás Tehát P ( ) zérusoliom Követezméy (Poliom felotás elsőfoú téyezőre) feltétleül ülööző) gyöei, or P( ) ( )( ) ( ) Bizoyítás A 7 tétel ljá P ( ) oszthtó ( )( ) ( )-el Így P( ) c( )( ) ( ) A c( )( ) ( ) oliom domiás tg együtthtój c, P ( ) oliom edig A ét H P oliom z,,, (em oliom egyelőségéől z együtthtó egyelősége övetezi, így c Tehát P( ) ( )( ) ( ) Megjegyzés Ez övetezméy ige fotos mid oliomo téyezőre otás, mid z lgeri egyelete megoldás szemotjáól Láthtju tehát, hogy mide -ed foú oliom felothtó feti módo Kérdés zo, hogy ez felotás z egyedüli lehetséges felotás-e, vgy létezi más, ettől eltérő, elsőfoú téyezőre P oliom? vló felotás is Vizsgálju meg először egy orét esetet! Legye P ( ) 8 6 Megeressü P ( ) gyöeit Mivel P () 8 6, z gyöe oliom A P( )-et elosztju z ( ) -gyel Horer-sém segítségével:

38 6 Poliomo és lgeri egyelete A háydos ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( 8) 8 ( ) [ ( ) ( ) ] ( )( )( ) Ee gyöei és étszeres gyö Tehát ( ) ( )( )( ) Feltételezzü, hogy P Eszerit P( ) c( )( )( )( ), c Mivel z P -e v mási, elsőfoú téyezőre vló felotás is ( )( ) ( ) c( )( )( )( ), -re vett helyettesítési értée egyelő, így c( )( )( )( ), ez cs or lehetséges, h vlmelyi szorzótéyező, legye ez Így és ( )( ) ( ) c( )( )( )( ) Egyszerűsítü ( ) -gyel, így ( ) ( ) c( )( )( ) -re ju, hogy c( )( )( ), tehát z egyi szorzótéyező ull, legye ez Tehát, és ( ) ( ) c( )( )( ), egyszerűsítü ( ) -gyel, és így ( ) c( )( ) Az -re vett helyettesítési értée egyelő, tehát c( )( ), tehát z egyi téyező ull, legye ez Tehát, és ( ) c( )( ); egyszerűsítü ( ) -vel és ju, hogy c Az -re vett helyettesítési értée ( ) egyelőségéől dódi, hogy c( ), ho egyszerűsítü ( ) -vel és ju, hogy c megegyezi z elsővel A felotás szerelő téyező és c, Tehát másodi felotás lú (zz együtthtój ) Az ilye téyezőet ormált elsőfoú téyezőe evezzü Például: z, z, z i ormált, míg z, z i em ormált elsőfoú téyező A vizsgált oliomot egyértelműe ormált elsőfoú téyezőre otottu: ( ) ( )( ) ( ) P H téyező lehete em ormált is, or éldául P ( ) ( )( ) is egy lehetséges felotás, így ez felotás em egyértelmű

39 Poliomo és lgeri egyelete 6 Tétel A P, oliom ormált elsőfoú téyezőre vló felotás egyértelmű:,,, P( ) ( ) ( ) oliom gyöei, hol Bizoyítás A övetezméye eláttu, hogy P( ) ( ) ( ) Feltételezzü, hogy P( )-e v még egy, ormált elsőfoú téyezőre vló felotás: P y y, Mivel P( ) -ed foú, övetezi, hogy m m, és ( )( ) ( ) ( y )( y ) ( y ) () Az -re vett helyettesítési értée egyelőségéől dódi, hogy ( y )( y ) ( y ), tehát vlmelyi szorzótéyező ull A változót esetleg újrideelve, feltételezhetjü, hogy y H z () egyelősége y -et helyettesítü, z y y ( ) ( ) ( )( ) ( ) egyelőséghez jutu, mi z ( )-gyel vló egyszerűsítés utá z ( ) ( ) ( y ) ( y ), egyelőséggé lul Az -re vett helyettesítési értée egyelőségéől fetihez hsoló ju, hogy y Az eljárást folyttv övetezi, hogy y,, y A tétel értelmée vlmely oliom gyöeie meghtározás és oliom ormált elsőfoú téyezőre vló otás egymássl egyeértéű feldto, h z egyiet meg tudju oldi, or másit is meg lehet oldi Ezt övetező éldá is szemlélteti 5 Megoldott feldto Botsu elsőfoú téyezőre 9 oliomot! Megoldás Megoldju 9 egyeletet Legye t, t > A 9 t t egyelet gyöei: 6 t, 8 zz t, t, eől dódi, hogy,,, tétel ljá 9 9 Tehát, mivel meg tudtu oldi z egyeletet, felothttu oliomot 6 t, 8 A

40 6 Poliomo és lgeri egyelete Oldju meg z 7 7 egyeletet! Megoldás 7 7 ( )( 9) 7( ) ( ) ( 9) ( )( 9 9) ( )( 9 )( ) [ 9] ( ) ( 9) 7 7 ( )( 9)( ), mi or áll fe, h vlmelyi téyező ull, így, 9, 7 Mivel sierült feloti 7 P oliomot elsőfoú téyező szorztár, meg tudtu oldi z egyeletet Írj fel egy oly lgeri egyeletet, melye háromszoros, étszeres gyöe és más gyöe ics! Megoldás A eresett egyelet: Írju fel egy miimális foszámú lgeri egyeletet, melye i, i, z 5 és z 5 gyöei! Megoldás Mivel v gyöe és foszám miimális, z egyelet egyedfoú Tehát z egyelet lú, zz ( i)( i)( 5 )( 5 ) Ez redre övetezőée líthtó: 6 5 ( 6 5)( ) ) Az egyelet még z ( )( )( )( ) lól z ( )( ) ( )( ) meghtju: és és ifejezésee S és P segítségével törtéő felírásávl is Tehát z egyelet: ( 6 5)( )

41 Poliomo és lgeri egyelete 6 VI Poliomo egyé tuljdosági és csoltu z lgeri egyeleteel VI Irreducíilis oliomo Értelmezés A ( ) C[ ] P emosts oliomot egy dott oliomhlmz or evezü reducíilise, h z dott hlmz létezi ét, leglá elsőfoú oliom, Q és P Q R [ ] ( ) R, melyre A P C oliom vlmely oliomhlmz irreducíilis, h em reducíilis z dott hlmz Példá A oliom C -e reducíilis, ugyis z P [ ] egyelet gyöei ( i )( i ) és, így i i Viszot P ( ) em reducíilis [ ] R -e, mert ( felotás egyértelműsége mitt) em léteze oly vlós, leglá elsőfoú P -et oliomo, melye szorztét meghtá Q ( ) 5 C[ ]-e és z R[ ] A reducíilis -e, de irreducíilis Q [ ]-e és Z[ ]-e, ugyis z 5 egyelet gyöei: 5 5 és, tehát Tétel A C -e mide, leglá másodfoú P oliom reducíilis [ ] Bizoyítás Mivel P ( ) oliom leglá másodfoú, z lger ltétele értelmée P( )-e létezi leglá ét (em feltétleül ülööző) gyöe Jelöljü P ( ) oszthtó z ( )( )-vel, így P ezeet -gyel és -vel Eor tehát Q ( ) Q( ) [ ] P ( ) C[ ]-e reducíilis [ ], Követezméy C -e cs z elsőfoú oliomo irreducíilise Vló, z elsőfoú oliomo irreducíilise mide számhlmz, mert yilvávló em írhtó fel ét, leglá elsőfoú oliom szorztét (mide ilye szorzt foszám leglá ettő), ugyor tétel ljá leglá másodfoú oliomo reducíilise C[ ] -e A oliomo és z lgeri egyelete továi tulmáyozás sorá R -e irreducíilis oliomo A övetező megvizsgálju, hogy melye z [ ] fejezete imuttju, hogy R[ ] -e cs z elsőfoú és cs izoyos másodfoú oliomo irreducíilise Nem tlálu ilye egyértelmű elhtárolást Q -e reducíilis oliomo meghtározásár A Q -e mide -re tlálhtu -ed foú irreducíilis oliomot Ee elátás érdeée megvizsgálju, hogy ét oliom szorztá együtthtói milye tuljdoságol redeleze [ ] [ ]

42 6 Poliomo és lgeri egyelete m r R( ) c c c H Q és m r c c c, or szorztoliom együtthtói redre c,, c c, és áltlá c c c H egy özös rímosztój z - és z -e, or osztj -t vgy c -t (tételezzü fel, hogy -t), és így másodi összefüggésől övetezi, hogy h égyzete em osztój z -, or osztój -e Ezt godoltmeetet töször megismételhetjü, h feltételezzü, hogy oliom domiás tgjá együtthtójától elteitve mide együtthtó osztój Viszot z m c r egyelőségől övetezi, hogy -e domiás tg együtthtóját is oszti ell Eől z ötletől szármzi övetező ritérium: 5 Tétel (Eisestei ritérium) H P( ) egy egész együtthtós oliom, és h létezi oly rímszám, melyre feáll övetező tuljdoságo: i,,,, ii / és /, or oliom Q -e irreducíilis oliom P [ ] Bizoyítás A tételt lehetetlere vló visszvezetés módszerével izoyítju Feltételezzü, hogy P reducíilis Q[ ] -e Eor létezi Q ( ) és z R( ) rcioális oliom, melyre P( ) Q( ) R( ),vlmit Q ( ) és R ( ) leglá elsőfoú I eset Feltételezzü, hogy Q ( ) és ( ) m r H Q( ) m és R( ) cr c c ( ) Q( ) R( ) R oliomo együtthtói egész számo, or P egyelőségől z együtthtó zoosítás yomá övetező egyelőségehez jutu:, c c c, c c c, c c c, c Mivel és c, osztój c -, tehát vgy c (mivel rím) Feltételezzü, hogy és / c ( em lehet - is és c - is osztój, mert or c m r, mi elletmod ii feltétele) Gotthold Eisestei (8 85)