1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

Átírás

1 SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy példkét mgukt természetes számok említhetjük:,, 3, 4, Egy másik péld ugyezekek számokk égyzete:, 4, 9, 6, Midkét példáb három pot zt jelzi tgok felsorolás utá, hogy így folytthtó kármeddig. H felsorolás kármeddig folytthtó, kkor zt modjuk, hogy sorozt végtele, ellekező esetbe végesek modjuk. Azt téyt, hogy sorozt egy redezett felsorolás, potosbb leírhtjuk, h sorozt tgjit z,, 3,,, sorszámokhoz redeljük. Ebbe z értelembe, redre sorozt.,., 3.,,., tgjáról beszélhetük, zz mide természetes számhoz egyértelműe hozzáredeljük sorozt. tgját. Ezt z áltláos. tgot, és mgát soroztot rövide ( ) N jelöli. Például z előbbi,, 3, 4, sorozt áltláos tgj z =, míg z, 4, 9, 6, sorozt eseté =. Tekitsük most zt soroztot, melyek modjuk = z áltláos tgj. A sorozt első tgjit is felírhtjuk:, 3, 5, 7, Gykr szükség v z dott eljárás megfordításár: H dott sorozt éháy kezdő tgj, lehet, hogy észrevehetük egy szbályszerűséget, mitát, mi lehetővé teszi, hogy kitláljuk sorozt áltláos tgját. H potosbb foglmzuk, kkor kezdő tgok számától függetleül, em elég csupá felíri z áltláos tg képletét. Ez zért v, mert megdott tgok esetleg több képletbe is beilleszthetők. A gykorltb eek elleére z áltláos tgot gykr hétközpi logikávl, józ prszti ésszel tláljuk ki. Például, h sorozt tgji redre:, 4, 6, 8, 0, Akkor észszerűek tűik, hogy = áltláos tgot írjuk fel. Megjegyzéskét megdhtuk egy másik képletet z re, mi ugyezt z öt első tgot dá: = + 000( )( )( 3)( 4)( 5) de mégis sokkl észszerűbb = képlet hszált. Az godolkodási út melyek sorá egy szbályszerűség megfigyelésével egy képletet tláluk ki, z iduktív godoltmeet. Nem z céluk, hogy egy ismert téyből, szbályból következtetést foglmzuk meg (ez deduktív godoltmeet), hem megfigyelések lpjá mitegy megsejtjük, megjósoljuk z eredméyt.. Feldt. Az lábbi soroztokt kezdő tgok felsorolásávl dtuk meg. Próbálj meg kitláli szbályszerűséget, és írj fel sorozt következő három tgját ) 7, 3, 9, 5,,, b) 3,,, 3, 5, _, _, c) 6, 7, 9, 0,, _, _,

2 Meg kell jegyezük, hogy em mide sorozt rejt ilye szbályszerűséget. Például következő sorozt 3,, 4,, 5, 9,, 6, 5, 3, 5, 8, 9, tgji em trtlmzk semmilye szbályszerűséget, de egyesek felismerhetik kör kerületéek és átmérőjéek z ráyát kifejező evezetes π = 3, szám számjegyeit, mit sorozt tgjit.. Fejezet Hldváyok A hldváyok oly szbályszerűséget trtlmzó soroztok, melyeket már z ókorb is ismertek, tulmáyoztk. A következő fejezetekbe legismertebb hldváyokt, számti, mérti és hrmoikus hldváyokt tulmáyozzuk. Ezek meghtározását következő sorokb djuk meg Meghtározás szerit egy számti hldváy bármely tgját úgy kphtjuk meg, hogy sorredbe előtte lévőhöz ugyzt z álldót djuk hozzá. H eek z álldók z értéke r, kkor z ( ) N számti hldváyb: = + r, 3 = + r, 4 = 3 + r, 5 = 4 + r, Megjegyzedő, hogy r = - = 3 - = 4-3 = 5-4 =, zz z álldó külöbség bármely tg és z őt megelőző tgk külöbsége.. Feldt. A következő számti hldváyokb keresse meg hldváy álldó külöbségét, mjd segítségével írj fel hldváyok hiáyzó tgjit: 3 ),,,,, _, _, _ b) 0, 4,, 8, 4, _, _, _ c),,,,, _, _, _ Meghtározás szerit egy mérti hldváy bármely tgját úgy kphtjuk meg, hogy sorredbe előtte lévőt ugyzzl z álldóvl megszorozzuk. H eek z álldók z értéke r, kkor z ( ) N mérti hldváyb = r, 3 = r, 4 = 3 r, 5 = 4 r, Megjegyzedő, hogy h mide ullától külöböző, kkor r = = = = = zz z álldó háydos bármely tg és z őt megelőző tgk háydos. 3. Feldt. Keresse meg következő mérti hldváyok álldó háydosát, mjd írj fel hiáyzó tgokt: ) 8, 4,,,, _, _ b), 3, 9, 7, 8, _, _ c) 4, 4 3, 4 4 4, 9 7,, _, _ 8 d) 0, 5, 4 5, 6 5, 64 5, _, _

3 Meghtározás szerit egy ( ) N,ullától külöböző tgokt trtlmzó, soroztot hrmoikus hldváyk evezük, h z, sorozt tgjik iverzeiből álló N sorozt, egy számti hldváy. Például:,,,,, egy hrmoikus hldváy, mivel z iverzek,, 3, 4, 5, sorozt számti hldváy. 4. Feldt. Írj fel következő hrmoikus hldváyok két hiáyzó tgját: ) 3, 3, 3 3, 4 3, 5 3, _, _ b),,,,, _, _ c), 4, 7, 0, 3, _, _ d) 3, 7 3, 3 3, 9 3, _, _ 5. Feldt. Tulmáyozz következő soroztokt. Először írj fel hiáyzó tgokt, mjd dötse el, hogy szbályszerűség számti, mérti, vgy hrmoikus hldváyt vgy felsoroltk egyikét sem jeleti. Ahol lehetséges, írj fel z dott sorozt következő két tgját. ), 3, 4, 5, 6,. b), 4, 8, 6,.. c) x, 5x, 5x,. 0 d),,, 3, 3 3 Elkövetkezett z pillt, mikor hldváyok törtéetéről is érdemes éháy szót ejteük. A számti és mérti hldváyok mitegy égyezer éves mtemtiki feldtokb gyökerezek. Például z egyiptomi Rhid Ppirusz (kb.850 i.e.) zt kérdést teszi fel, hogy mikét lehet szétoszti 300 szelet keyeret 5 ember közt következő feltételekkel: hrmdik ugyyi szelettel kp többet másodikál, mit meyivel második többet kpott z elsőél, és így tovább mideki sorb potos yivl kp többet z őt sorb megelőzőél, mit meyivel z többet kpott, mit sorb előtte lévő. Továbbá z utolsó három együtt hétszer yit kpott, mit z első kettő. Számíts ki keyérszeletek számát, mit z emberek külö- külö kptk. A válsz számti hldváyokhoz vezet. Ugybb ppiruszb egy másik feldt mérti hldváyoko lpszik. Az feldt, hogy htározzuk meg házk, mcskák, egerek és búzszemek számát, h tudjuk, hogy hét házb midegyikébe hét mcsk v, mide mcsk hét egeret fogott, és mide egér hét szem búzát evett meg. A számti és mérti hldváyok egy lpos leírás megtlálhtó z ókori görög mtemtikusok mukáib. A kérdést z ókori Pithgorászi iskol képviselői kezdték tulmáyozi, kik ismerték számti sorozt összegéek számítását. Hsoló Euklidész z Elemekbe megdt mérti hldváy összegképletét. Midezt sok görög mtemtikus hszált, és fejlesztette, lklmzt mtemtik külöböző területei. 3

4 3. Fejezet. Középértékek Meghtározás. Az és b számok számti közepe: + b m =. H és b zoos előjelű számok (zz b 0), kkor számok mérti közepe: m g = b és h és b ullától külöbözőek, kkor számok hrmoikus közepe: m h =. + b Például elleőrizhető, hogy kock csúcsik (v) szám z élek (e) és z oldllpok (f) számák hrmoikus közepe: v =, zz = +, + v e f e f és számokkl = Az előbbi három középértéket, és további hetet, már Pithgoreusok (z ókori Pithgorászi iskol képviselői) is ismerték, de máskét (zzl egyeértékű módo) htározták meg zokt. Az eredeti meghtározások következők: Meghtározás (Nicomchus, Itroductio to Arithmetic lpjá) Az (m ) számti közép, geometric (m g ) mérti közép, és z (m h ) hrmoikus közép redre eleget tesz következőkek: m m g m = ; = és h =. m b m b m m b b g 6. Feldt. Igzolj, hogy három középértékre megdott defiíciók ekvivlesek. m Bizoyítás. H =, Pithgoreusok meghtározás szerit, kkor m = m b, m b és így + b = m. Ez utóbbi yilvá z m számti közép meghtározásávl egyeértékű. Az állítás fordítottj bizoyítás lépeseiek fordított sorredjébe következik. m g H most z = egyelőségből iduluk ki, kkor ( m g ) m g = ( m g b), így m b m m g = b, és tehát g m g = g g b. A fordított iráyb is egyszerűe következik. m Végül, h h = h h, tehát b = m h + bm h. Ez utóbbi m h b b m m egyelőséget b-vel h h = +, mi zt jeleti, hogy m b h =. A lépéseket fordított + b sorredbe követve, bizoyítás teljes egészébe befejezhető., kkor ( m ) b = ( m b) h 4

5 Érdekességkét megjegyezhető, hogy számti, mérti és hrmoikus közép foglmkk mérti értelmezései is jól ismertek. Ezek egy részét trtlmzzák következő feldtok. 7. Feldt. Jelölje z ABCD trpézb z AB és CD párhuzmos oldlkt, AB = és CD = b. H E és F redre z AD és CD középpotjit jelöli, (és így EF párhuzmos AB és AB + CD + b CD-vel) és EF = x, igzolj, hogy x = EF = = (lásd. ábr). 8. Feldt. Tekitsük egy csok gúlát. Igzolj, hogy z lpoktól egyelő távolságr lévő metszet M területéek égyzetgyöke számti közepe T és t lplpterületek égyzetgyökéek (. ábr z egyszerű T + t szemléltetés kedvéért háromszög lpú csokgúlát trtlmz): M =. 9. Feldt. Bármely derékszögű háromszögbe z átfogór merőleges mgsság mérti közepe z átfogó áltl meghtározott két szkszk (3. ábr). A c m b B x D y C 0. Feldt. Bármely derékszögű háromszög kármelyik befogój mérti közepe, z átfogók és z átfogór eső vetületéek (3. ábr).. Feldt. Jelölje c vlmely, z ABCD trpéz és b hosszúságú lpjivl párhuzmos szksz hosszát. H ez c hosszúságú szksz trpézt két egyelő T, T (T = T ) + b részre botj, kkor igzolj, hogy c = (4. ábr). 5

6 A M D h h b T c T. Feldt. H ABC háromszög A szögéek belső és külső szögfelezője szembefekvő BC oldlt redre D és E potokb metszi, kkor igzolj, hogy ez égy pot egy ú. hrmoikus potégyes (5. ábr), zz teljesül következő összefüggés: = +. BC BD BE C N B 3. Feldt. Az ABCD trpézb. melyek párhuzmos lpji AB és CD, tekitsük zt z lpokkl párhuzmos EF szkszt (legye E z AD és F BC potj), mely trtlmzz z AC és BD átlók H metszéspotját. Igzolj, hogy EF z AB és CD lpok hrmoikus közepe: = +. EF AB CD 4. Fejezet. Hldváyok további tuljdosági Köye bizoyíthtó meghtározás lpjá, hogy számti hldváy bármely három egymást követő,, + tgjár teljesül következő összefüggés: + = + Fordítv, h egy ( ) N sorozt bármely > eseté teljesíti feti összefüggést, kkor ( ) N egy számti hldváy. Néh feldtok megoldáskor szimmetri okokból hldváy három, egymást követő,, + tgját érdemes z r,, + r lkb íri. Hsoló, számti hldváyok szokásos jelölései = és = + r, ekkor yilvá 6

7 3 = + r, 4 = + 3r, 5 = + 4r és áltláb = + ( ) r. Ebből köye beláthtó, hogy: + = + - = = =... (*) 4. Feldt. Igzolj számti hldváy bármely három "egyelő közű" k,, +k tgjár következő összefüggést: k + + k = 5. Feldt. Igzolj, hogy számti hldváy első tgják S összege következőképpe számíthtó ki: ( + ) ( + ( ) r) S = = = ( ) (másképpe S = + r ). (Ötlet: Írj fel z S = összeg lá ugyzt fordított sorredbe 3 = S = ( + ) + ( + ) + ( 3 + ) ( + S + Ezeket összedv: ) és erre most lklmzz (*) összefüggést. 6. Feldt. Igzolj, hogy ( ) = ( ) = Köye beláthtó meghtározás lpjá, hogy mérti hldváy bármely három egymást követő,, + tgjár teljesül következő összefüggés: = + Fordítv, h egy ( ) N sorozt bármely > eseté teljesíti feti összefüggést, kkor ( ) N egy mérti hldváy. A feldtok megoldáskor szimmetri okokból hldváy három, egymást követő,, + tgját érdemes z /r,, r lkb íri. A mérti 3 4 hldváyok szokásos jelölései = és = r, így 3 = r, 4 = r, 5 = r, áltláos = r. 7. Feldt. Igzolj mérti hldváy bármely három "egyelő közű" k,, +k tgjár következő összefüggést: = k + k 8. Feldt. Igzolj, hogy mérti hldváy első tgják S összege következőképpe számíthtó ki: (Ötlet: z dott összeg z rs = r + r r S S ( r = r = + r + r r =.. A kettő külöbsége megoldás kulcs.) ) lkb írhtó, ezt r-el szorozv: 7

8 9. Feldt. Igzolj, hogy mérti hldváy első tgják P szorztár igz: P = 3... = r ( ) Köye beláthtó meghtározás lpjá, hogy hrmoikus hldváy bármely három egymást követő, emull,, + tgjár teljesül következő összefüggés: = + Fordítv, h egy ( ) N emull sorozt bármely > eseté teljesíti feti összefüggést, kkor ( ) N egy hrmoikus hldváy. Megjegyezzük, hogy feti bekezdésbe yilvá fotos feltei, hogy sorozt tgji ullától külöbözőek. Ugykkor éh még további feltételeket is meg kell di. Vegyük következő példát: Tegyük fel, hogy z = 6, = 8, 3 = tgok egy hrmoikus hldváy (lásd 3. Fejezet.) első három tgj, és számítsuk ki következő tgjit. Az 4 értéke = + lpjá számítv, z = =. Tovább számítv, z értékéhez felhszáljuk = + összefüggést, és zt kpjuk, hogy = = 0, mi lehetetle. Lássuk, mit teheték z elletmodásk kiküszöbölésére? Jelölje és + r hrmoikus sorozt első és második tgját. Az előbb is felhszált összefüggés lpjá = + köye levezethető, hogy. ( + r) ( + r) ( + r) ( + r) ( + r) = =, = + r =, + r 3 =, 4 =, 5 = r 3r 4r és áltláos ( + r) =. + ( )r Tehát, z elletmodás kiküszöböléséhez, k szükséges feltétele, hogy evező ullától külöböző legye, potos z, hogy z e legye z r pozitív többszöröse (ellekező esetbe z + ( )r evező értéke 0 rr z -re melyre = ( )r). Vissztérve most z előző példához, zt kpjuk, hogy h egy hrmoikus hldváy első három tgj 6, 8, kkor = 6, r = így z pozitív többszöröse z r-ek, tehát ez okozá z elletmodást. H például ugyezt három tgot, de, 8, 6 sorredbe vesszük egy sorozt első három tgják, kkor viszot =, r = - 4 tehát em pozitív többszöröse z r-ek. Ez zt is jeleti, hogy z dott számok ebbe sorredbe már lehetek egy hrmoikus hldváy tgji, és hldváy további tgjit is ki lehet számíti Feldt. Igzolj hrmoikus hldváy bármely három "egyelő közű", emull k,, +k tgjár következő összefüggést: = + k. Feldt. Igzolj, hogy hrmoikus hldváy első tgják reciprokár igz következő összefüggés: ( + ( 3 ) r) R = = 3 + =. ( + r) + k 8

9 . Feldt. Keresse meg k feltételét, hogy egy derékszögű háromszög oldli egy számti hldváy tgji legyeek. Megoldás. Jelölje derékszögű háromszög oldlit redre b - r, b, és b + r. Pithgorász tétele lpjá ( b + r) = b + (b r), miből b = 4r következik. Tehát háromszög oldli redre 3r, 4r, 5r. (ezt 3r, 4r, 5r lkú ú. Pithgorász-i számhármst már z ókorb is ismerték, sőt már Mezopotámi-i gygtábláko is felfedezhetők).. Feldt. Feltéve, hogy egy háromszög oldli egy számti hldváyt képezek, igzolj, hogy ez háromszög kkor, és cskis kkor lehet derékszögű, h z oldlk álldó külöbsége ( hldváy kosts) éppe háromszög beírt köréek sugr. Megoldás. H háromszög derékszögű, kkor z oldli z előző péld lpjá 3x, 4x, 5x lkb írhtók, és beírt kör sugr, háromszög területéek, és félkerületéek ráykét írhtó fel : 3x 4x A zz r = = = x. Tehát r = x = 4x 3x = 5x 4x, így feltétel p 3x + 4x + 5x szükségessége.. Fordított iráyb, h feltesszük, hogy háromszög oldli oly számti hldváyt képezek, miek álldó külöbsége egyelő beírt kör r sugrávl, kkor z oldlk = b 3b r, b, és c = b + r, és háromszög területe A = pr, hol félkerület p =. Hero A = p p p b p c tehát képletét lklmzhtjuk és így ( )( )( ) 3br 3b b b b = r + r, b 4r más szvkkl 3r =, tehát b = 6r, és így b = 4r. Következik, hogy = 3r, b = 4 4r d c = 5r, éppe egy derékszögű háromszög oldli. 3. Feldt. Tegyük fel, hogy egy háromszög oldlik égyzetei egy számti hldváyt képezek. Igzolj, hogy ekkor háromszög súlyvolik (egy csúcsot szemközti oldl középpotjávl összekötő szksz) égyzetei is egy számti hldváy tgji. Igz-e fordított állítás? (b + c ) (Ötlet: Az A pothoz trtozó m súlyvol hosszák égyzete m =.) 4 4. Feldt. Vegyük következő soroztokt:, 5, 9, 3, 7,, 5, 9, 33, 37 4, 5, 6, 37, 48, 59, Keresse meg két számti hldváy közös tgjit, és igzolj, hogy zok is számti hldváyt képezek. Áltláosíts feldtot! 5. Feldt. Tekitsük egy sorozt,, 3,,, tgjit. Igzolj, hogy ez sorozt kkor, és cskis kkor számti hldvéy, h: =, bármely eseté Megoldás. H,, 3,,, egy számti hldváy tgji, kkor 9

10 = + r, 3 = + r,, = + r, és így: =, = r,, = 3 r 3 r Ezeket összedv, zt kpjuk, hogy = r r 3 r = r = r = r = r + ( ) ( ) r r =., = Most, h z dott összefüggés mide -re igz, kkor = 3 eseté is igz, miből z + = összefüggést kpjuk, vgyis + 3 = vgy 3 =. 3 3 Legye most r = 3 =, így = + r, 3 = + r. Tegyük fel most, hogy bármely k < eseté k = k + r (és így k = + (k )r ). Be fogjuk bizoyíti, hogy ugyz teljesül k = eseté is, zz: = Az dott feltételt tgr lklmzv, bloldlo zt kpjuk, hogy + = ( ) + = ( ) vgy ( ) = ( ) és tehát, mi még úgy is felírhtó, hogy ( ) = ( ) + +. Felhszálv z = + ( ) r -et zt kpjuk, hogy: ( ) = ( ) + + ( )r, és tehát = + r. Következik, hogy z utolsó tg ugyk számti soroztk tgj, mit z első tg. Más szvkkl z,, 3 hldváy folytthtó z 4, z 5 stb. tgokkl. 6. Feldt. Két fitl állásiterjúr jeletkezik. Midkette következő kérdést kpják godolkodó képességeik elleőrzésére: H mukálttó elégedett mukájávl, kkor z lklmzott mg dötheti el, hogy mikét emeljék z 000 eurót kitevő kezdő fizetését: vgy ) mide égy hét eltelte utá 5 euró fizetéssel többet kp, vgy b) mide két hét eltelte utá 5 euró fizetésemelést kp. H Te kellee válszolj helyettük, melyik lehetőséget válsztád? Mgyrázd meg válszodt! 7. Feldt. Tekitsük egy oly egyelőszárú trpézt, mely kör köré írhtó. Legye, b és r redre trpéz lpji, és beírt kör sugr. Igzolj, hogy r = b, vgyis, b, r egy mérti hldváyt képez (6. ábr). 0

11 D C r A B 8. Feldt. Keresse meg k feltételét, hogy egy derékszögű háromszög oldli mérti hldváyt képezzeek. Megoldás. H derékszögű háromszög oldli egy mérti hldváy egymás utái tgji, kkor hosszúságuk jelölésére lklms z, r, és r. Pithgorász tétele lpjá ( ) ( ) 4 5 = r + r, tehát = r + r, így r ± + 5 =, és r = feltételekek megfelelő egyetle vlós megoldás. Arr következtetésre jutottuk, hogy derékszögű háromszög oldli, + 5 és + 5, hol pozitív. 9. Feldt. H következő feltételek egyidejűleg teljesülek:, b, c számti hldváyt képezek, b, c, d mérti hldváyt képezek, c, d, e hrmoikus hldváyt képezek, kkor, c, és e mérti hldváyt képezek. 30. Feldt. A Mtek Csokigyár új csokoládétermékét épszerűsíti, melyek mide tábláj egy szelvéyt trtlmz. Két ilye szelvéy beválthtó egy újbb tábl csokoládér (melybe szité v egy újbb szelvéy). Mit érhet vlójáb egy ilye tábl csokoládé? (Ötlet: A számítások szerit tábl csokoládét jelet, mely végső soro összegeződik, és ez z, egyre több tgot számláló sorozt "összege" végül ). 5. Fejezet. Rekkureci képlettel megdott soroztok A soroztok foglm gykr megjeleik (számsoroztok és lklmzásuk midepi élet része, pl. pi hőmérséklet, évi termés, stb), és gykr előfordul, hogy sorozt tgjit z őket megelőző egy vgy több tg értékét felhszáló szbályszerűséggel djuk meg (például épesség övekedése, vgy egy bkbetét övekedése pilltyi értékkel ráyos). Az ilye szbályokt rekurreci relációkk evezzük. A rekurreci relációkkl megdhtó soroztokr fotos példák z előzőekbe tulmáyozott számti, mérti és hrmoikus hldváyok. Vlób következő szbályok kötik össze hldváy egy tgját z őt megelőzővel: számti hldváy eseté: + = + r, hol és r dott, mérti hldváy eseté: + = r, hol és r dott, és hrmoikus hldváy eseté: = + r, hol és r dott. +

12 A két első rekurreci relációt lieáris rekurreci relációkk evezzük, mivel bee szereplő tgok első htváyát trtlmzzák ( hrmdik esetébe z -ek - htváy szerepel. Az első kettőt elsőredű lieáris rekurreciák evezzük, mivel + z őt közvetleül megelőző tgr épül. Rekurreci képletek közt tlá z leghíresebb mi Fibocci Liber Abci című köyvébe jelet meg. Ez zt jeleti, hogy + = +. Megjegyzedő, hogy most midkét első tgot, z és -t egyrát ismeri kell, hhoz, hogy z egész sorozt felírhtó legye. A Fibocci rekurreci képlet szité lieáris, de már másodredű. Fibocci Liber Abci c. mukájáb következő feldtot foglmzz meg: Egy ember vett egy pár kisyult (yállt és pállt), egy hóp ltt ivrérettek lettek és második hóp utá szporodi kezdtek következők szerit: mide hópb egy pár kisyúl született, ugyoly összetételbe, mit z eredeti vételkor, és mide új pár ugyzt szporultlácot követte: egy hóp ltt ivrérettek lettek és második hóp utá szporodi kezdtek. Meyi yulk szám redre következő hópokb? Elleőrizhető, hogy: Első hópb: Második hópb: Hrmdik hópb: Negyedik hópb: 3 Ötödik hópb: 5 Köye beláthtó, hogy h z. hópb yulk, kkor teljesül következő összefüggés + = + +, és z első két tg = és =. Ez z ú. Fibocci sorozt,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, Feldt. Írj fel z előbb ismertetett Fibocci sorozt három hiáyzó tgját:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, _, Mit modhtuk Fibocci sorozt áltláos tgjáról? Ebbe z esetbe em oly egyszerű válsz mit z előző kérdésekbe. Ak érdekébe, hogy többet megismerj z ilye és ehhez hsoló soroztokról, szükséged lesz többet tuli soroztok és htárértékeik tuljdoságiról, mit II. szite közölt Soroztok c. fejezetbe tlálhtsz meg. Végül álljo eek fejezetek végé egy boyolultbb feldt. x x x 3. Feldt. Keresse meg z x és y értékét, h z, és biomiális y y y együtthtók számti hldváyt képezek, ugykkor z, és vriációk egy mérti hldváy egymást követő tgji (itt Megoldás. A közölt képleteket felhszálv helyettesítése utá: y A x! = k, k!( k)!! = k, k!( k)! A k y A + y x A + x+ A k! = ). ( k)!! = megfelelő ( k)! és x x y x = + y y y y+ y y+ ( A ) = A A x x x+ A következő redszert kell megoldi:

13 (x )! (x )! x! = + y!(x y )! (y )!(x y)! y!(x y)! x! x! (x + )! (x y )! =, (x y)! (x y)! hol x y 0 és y 0, ugykkor x, y egészek. (x )! H most z elsőt kifejezéssel, és másodikt (y )!(x y )! egyszerűsítjük, kkor z egyeletredszer következő: x = + y x y y(x y) x + =, (x y) máskét: (x y) = y + x (x y) = x +. x! ( x y )! Tehát x = 3y, 4y 3y = 0, és kikötésekek csupá z x = 3, y = felel meg. kifejezéssel 3