Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Átírás

1 Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év

2 Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti lklmzások ór évfolym Tágbb köryezetbe: Soroztok lkotás Megfigyelésbe, mérésbe, számlálásb, számolásb gyűjtött dtok, elemek soroztb redezése; keletkező sorozt tuljdosági szbályosságák vizsgált (Például periodikus soroztok, számti, mérti sorozt) Megkezdett sorozt folyttás, kiegészítése dott szbály szerit, felismert összefüggés lklmzásávl Az összefüggés meglkotás sorozt elemei közti kpcsolt áltláosításkét; elleőrzése Hétközpi szituációk Gzdsági számítási feldtok és külöböző összegzések gyors elvégzése Szűkebb köryezetbe: Láss, hogy sorozt diszkrét folymtok megjeleítésére lklms mtemtiki eszköz, pozitív számok hlmzá értelmezett függvéy Gzdsági mtemtik előkészítése Ajálott megelőző tevékeységek: Függvéytuljdoságok és függvéygrfikook átismétlése A képességfejlesztés fókuszi Ajálott követő tevékeységek: Gzdsági mtemtik Számolás, számlálás, számítás: Képlet lpjá képletbe szereplő ismeretle kifejezés kiszámítás Szöveges feldtok, metkogíció: Szövegbe előforduló trtlmi összefüggések megkeresése A vlóságból merített feldtok lpjá felismeri z lklmzdó eljárást, képletet A megkpott végeredméy értelmezése Redszerezés, kombitív godolkodás: Speciális soroztok felismerése Soroztok tuljdoságik elemzése

3 Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A TANANYAG JAVASOLT ÓRABEOSZTÁSA: ór: Soroztok foglm és megdás ór: Soroztok grfikoj, tuljdosági ór: Számti sorozt foglm, -edik tg kiszámítás ór: Számti sorozt első tgják összege ór: Gykorlás 6 ór: Mérti sorozt foglm, -edik tgják kiszámítás 7 ór: Játék és gykorlás 8 ór: Kmtos kmt 9 ór: Mérti sorozt első tgják összege 0 ór: A mérti sorozt gykorlti példákb - ór: Számti és mérti soroztot is lklmzó feldtok Vegyes feldtok számti és mérti soroztokr ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK: Soroztok Középszit Ismerje számsorozt foglmát és hszálj külöböző megdási módjit Tudjo oly feldtokt megoldi számti és mérti soroztok témköréből, hol számti, illetve mérti sorozt foglmát és z -re, illetve z S -re votkozó összefüggéseket kell hszáli Tudj kmtos kmtr votkozó képletet hszáli, s bból bármelyik ismeretle dtot kiszámoli Emelt szit Sorozt jellemzése (korlátosság, mootoitás) kovergeci szemléletes foglm Egyszerű rekurzív képlettel megdott soroztok Bizoyíts számti és mérti sorozt áltláos tgjár votkozó összefüggéseket, vlmit z összegképleteket Ismerje végtele mérti sor foglmát, összegét Tudjo gyűjtőjárdékot és törlesztőrészletet számoli Godolkodási módszerek Legye képes tuló dott szövegbe rejlő mtemtiki problémákt észrevei, szükség eseté mtemtiki modellt lkoti, modell lpjá számításokt végezi, és kpott eredméyeket értelmezi

4 Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó MODULVÁZLAT Lépések, tevékeységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjteméy I Soroztok foglm és megdás Te hogy folyttád? ötletbörze külöböző Kommuikáció, kombitív godolkodás, potos foglmzás soroztokr Sorozt defiíciój, megdás, mitpéld; Redszerzés, logikus godolkodás Gykorlás,, feldt II Soroztok grfikoj, tuljdosági Függvéytuljdoságok felidézése Redszerzés, logikus godolkodás Periodikus soroztok, mitpéld Mooto soroztok mitpéld Kombitív godolkodás, becslés Gykorlás feldt III A számti sorozt Számti sorozt defiíciój, felismerése Redszerezés -edik tg kiszámítás Redszerzés, meyiségi következtetés 6 mitpéld Középső tg mit számti közép Redszerzés, logikus godolkodás 7 mitpéld Gykorlás Redszerzés, meyiségi következtetés 6,7feldtok

5 Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó IV A számti sorozt első tgják összege Képlet levezetése Redszerezés Alklmzás Redszerzés, meyiségi következtetés 8, 9 mitpéld Cseles számítás Redszerezés 0 mitpéld; 0 feldt Sok-sok gykorlás Redszerzés, meyiségi következtetés,, feldt V A mérti sorozt A mérti sorozt defiíciój, felismerése Redszerezés mitpéld -edik tg kiszámítás Redszerzés, meyiségi következtetés mitpéld Játék: Folytsd soroztot úgy, hogy számti vgy Játék tári Redszerezés mérti sorozt legye! segédletből Feldtmegoldás 6 8 feldt VI Kmtos kmt Százlékszámítás feleleveítése, gykorlás Meyiségi következtetés 6 mitpéld, vgy 9 0 feldt Kmtos kmt mit mérti sorozt Redszerzés, meyiségi következtetés 7, 8 mitpéld Gykorlás Meyiségi következtetés feldt VII Mérti sorozt első tgják összege Problém fölvetése 9 mitpéld A képlet levezetése Képlet lklmzás I Redszerezés, kombitív godolkodás 0 mitpéld

6 Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó 6 VIII A mérti sorozt gykorlti példákb Képlet lklmzás II Redszerzés, meyiségi következtetés, kombitív,, 6 feldt Járdék, ill betét típusú, de em gzdsági feldtok godolkodás 8 0 mitpéld Gykorlás Meyiségi következtetés 7 feldt IX Számti és mérti soroztot is lklmzó feldtok Típuspéldák Kombitív godolkodás, meyiségi következtetés mitpéld Gykorlás Redszerzés, meyiségi következtetés 7, 9, 0 feldt Gykorlás Kombitív godolkodás, meyiségi következtetés,,,,6 feldt

7 modul: SOROZATOK 7 I Soroztok foglm és megdás Logiki feldváyokb gykr szerepelek oly kérdések, mi lee egy megkezdett számsor vgy ábrsor 00 tgj Ilyekor bizoyos törvéyszerűséget kell felfedezi z első éháy tg lpjá Hsoló témávl már z áltláos iskoláb is fogllkozttok, sőt már tulttok soroztokról Idézzük fel ezt! Keressük felsorolt elemek tuljdosági között szbályszerűséget, és k megfelelőe folytssuk még tggl! I 7 0 II III IV C D E F G V Bizoyár midekiek támdt ötlete, hogy lehete ezeket z elemeket folytti Mtemtikilg ezek egyikét sem lehet soroztk evezi, ugyis h ezek jól megdott vlódi soroztok leéek, csk egyféleképpe lehete folytti őket Ezeket viszot többféleképpe is lehet: és ettől kezdve mide tg -ml gyobb z előzőél, vgy és ettől kezdve mide tg 0 és ettől kezdve midig z első égy tg ismétlőde, vgy és ettől kezdve mide tg zöld kör

8 8 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ és ettől kezdve midig ebbe z ráyb őéek bbák Vgy kár folyttódht így is: mjd ismét övekedek, és újbb bb utá megit csökke méretük A következő betűbe felfedezhetjük zeei hgok sorát, mit kár folytthtuk így is: C D E F G A H C D E és így folyttv ez hét betű ismétlődik végteleségig, vgy felfoghtjuk z öt leírt gybetű egy lehetséges permutációják, melyet követhet többi 9 permutáció, mjd vége soroztk C D E F G C D E G F A égyzeteket is folytthták több módo, legkézefekvőbb, hogy égyzet oldli midig egy egységgel őek: de z is elképzelhető, hogy ettől kezdve csup egységégyzettel folyttódk: Az I V feldtokál többféleképpe is folytthttuk hiáyzó elemek keresését, ezért kell potosítuk sorozt foglmát:

9 modul: SOROZATOK 9 egy soroztot csk kkor tekitük megdottk, h elemei egyértelműe meghtározottk Ilye esetekbe meg tudjuk zt is modi, hogy mi lesz sorozt, 00, 000, -edik tgj Azt is modhtjuk, hogy mide pozitív egész számhoz egyértelműe hozzáredelük vlmit Vlójáb tehát függvéyről v szó, mi két hlmz közti egyértelmű hozzáredelés Sorozt eseté függvéy értelmezési trtomáy: pozitív egész számok hlmz, értékkészlete pedig: sorozt tgji Amit úgy íruk függvéyekél, hogy x f ( x), zt most pl II soroztál úgy tekitjük, hogy Például II sorozt esetébe ezt így írjuk:,,,,, Összefogllv tehát: Soroztk evezük egy oly függvéyt, melyek értelmezési trtomáy pozitív egész számok hlmz, értékkészletéek elemei pedig sorozt tgji A sorozt -edik tgját áltláb jelöli Mitpéld Adjuk meg következő soroztok első öt, illetve 00 tgját, és vizsgáljuk meg, hogy megdott szám beletrtozik-e soroztb! I +, 007, II b 6, b 770, III c, + c 0, IV d tört tízedestört lkják tizedesvessző utái -edik számjegye, 7 d 6 I h, + 6; h, + 7; h, + 8; h, + 9; h, + 0; h 00,

10 0 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Nézzük meg, v-e oly pozitív egész szám, melyre + 007? 00 eseté 007, zz 007 eek soroztk 00 tgj 00 II h, b 6 6; h, b 6 ; h, b 6 8; h, b 6 ; h, b 6 0; h 00, b Oldjuk meg egyeletet! 8, mi em pozitív egész szám, tehát ics oly, hogy b 770 legye, 770 em tgj soroztk III h, c ; + 0 h, c ; + h, c ; h, c ; + 7 h, c ; h 00, c Az 0 egyelet megoldás, mi egész ugy, de em pozitív, így 0 + sem tgj soroztk IV Írjuk fel törtet tizedestört lkb, zz végezzük el : 7 osztást! 7 : 7 0, mit tg, mivel , így d 7 Láthtó, hogy mit újr megjeleik mit mrdék, háydosb szereplő számjegyek ismétlődi fogk, ismét, 8,, 7,,, mjd ismét ez 6 hosszúságú szksz következik Így d, d 8, d, d 7, d A százdik tg kiszámításához em kell z előtte levő 99 tgot felíri, elég, h észrevesszük, hogy mide 6 tg zoos, és 00 tg ezek szerit ugyyi lesz, 00 Mivel z osztás eredméyébe csk z,,,, 7, 8 számjegyek ismétlődek, így 6 em tgj soroztk

11 modul: SOROZATOK Mitpéld Adjuk meg következő soroztok első öt, illetve 00 elemét ( )! V e, e e VI f, f, f f + f Fibocci-sorozt Eél két soroztál z egyes elemeket z őt megelőző elemek segítségével kell meghtározi V A sorozt mide eleme -vel kevesebb z őt megelőző elemél e e e e e 6 e e 6 8 e e 8 0 A 00 tg kiszámításához képlet utsítás szerit ismerük kellee z előtte levő tgot, z 99 -et H em ügyeskedük, ez hosszú számolást igéyel H egy sorozt tgjit úgy djuk meg, hogy z -edik tg meghtározásához szükség v sorozt előző tgjir is, kkor soroztot rekurzív defiícióvl dtuk meg Példákb észrevehetjük, hogy egtív páros számok csökkeő soroztához jutuk, sorozt -edik tgj ( ) e Tehát e VI Ez sorozt leghíresebb rekurzív sorozt, melyet Leordo Piso fedezett fel Leordo Piso (70 0?), zz FIBONACCI Itálii mtemtikus; középkor leggyobb európi mtemtikus BONACCIO pisi kereskedő fi, ie Fibocci (Boccio fi) év Egy észk-friki városb őtt fel, mjd kereskedelmi utzásokt tett Egyiptomb, Szíriáb, Görögországb és Szicíliáb Röviddel hztérte utá publikált híres Liber Abci című művét A köyv gymértékbe elősegítette z rb lgebr és hidu-rb számírás elterjedését Európáb Nevét őrzi Fiboccisorozt További érdekes iformációk tlálhtók Fiboccivl kpcsoltb oldlo A sorozt tgji közül megdtuk z első két tg értékét, és mide további tgot z őt megelőző két tg összegekét számolhtuk ki f, f, f f + f +, f f + f +, f f + f +

12 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ A sorozt 00 tgját most hiáb töpregük csk z előző 99 tg ismeretébe tudjuk meghtározi Eek tgk közelítő értéke: f 0 00, 0 A sorozt tetszőlegese sok tgját köyedé kiszámíthtjuk egy excel-tábláztb Létezik z -edik elem kiszámításár egy zárt képlet is: f +, de k bizoyítás, hogy ez sorozt zoos rekurzív megdott Fibocci-sorozttl, komoly lgebri ismereteket követel Mitpéld Megdtuk következő soroztokt: ) ; 0; 00; 0 00; 00 00; b) ; 6; ; 8; 7; Keress képletet vgy rekurzív defiíciót, mellyel meghtározhtó sorozt -edik tgj! Add meg sorozt 0 tgját is! ) , hol z -es és -s között 8 drb 0 v b) Az egymást követő számok külöbsége pártl számok részsorozt, tehát b b +, b b +, b b + 7, b b 9, áltláos: b +, b b + ( ) H vlki ezt rekurzív defiíciót követve krj megdi 0 tgot, k ki kell számoli sorozt összes előbbi tgját is Észrevehetjük zob, hogy b +, b +, b,, zz áltláos: + Ezzel z + összefüggéssel köyedé kiszámíthtó sorozt 0 tgj is: b b 0 Az utóbbi megdássl zt kpjuk, hogy két egymást követő tg külöbsége midig pártl számok övekvő sorozt: ( ) ( ) + + ( ) ( + ) + + ( ) + b b + Itt lklom dódik, hogy rról beszéljük, hogy z egymást követő égyzetszámok külöbsége pártl számok soroztát dj Láttuk, hogy soroztokt többféle módo is megdhtuk: képlettel, utsítássl vgy rekurzív defiícióvl (zz visszvezető lépésekkel)

13 modul: SOROZATOK Feldtok Add meg z lábbi soroztok első 0 elemét: ), ( N + ); b) 7-re végződő pozitív egész számok övekvő sorozt; c) P( ; ) c hol P derékszögű koordiát-redszer egy potj;, (,,,, 0) d) d ; e) prímszámok övekvő sorozt; f) origó középpotú egység sugrú kör, ( N + ); g) g ( ), ( N + ); h) h, h 8, h h h, ( egész szám) 7 ) ; 6; ; 6; ; 6; ; 6; ; 6 b) 7; 7; 7; 7; 7; 7; 67; 77; 87; 97 c) (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (6; ); (7; ); (8; ); (9; ); (0; ) d) ; 0; ; 8; ; ; ; 8; 6; 80 e) ; ; ; 7; ; ; 7; 9; ; 9 f) 0 origó középpotú kocetrikus kör g) ; ; ; ; ; 6; 7; 8; 9; 0 h) 7; 8; ; 7; 8; ; 7; 8; ; 7

14 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Válszd ki zokt soroztokt, melyekek tgji között következő számok vlmelyike megtlálhtó: e ; ;, 7 8 b e + ; e ; c + ; f, d f f ; + 7 d ; f ;, c0 e ; b e ; 7 f ; 8 em tgj egyik soroztk sem Adj meg egy képletet vgy rekurzív defiíciót, mellyel ki lehet számíti sorozt - edik tgját! Add meg sorozt 0 tgját is! ) ; 6; 9; ; ; b) ; ; ; ; 7; c) 6; ;,; 0,7; d) ; ; 9; 6; ; e) 00; ; ; 69; ; f) ; ; ; ; ) 0 60 b) ( ) b vgy rekurzív módo megdv b b b b c c) c vgy rekurzív módo megdv c 6 c c 0 6, 0 9 d) d, vgy rekurzív módo megdv d d d + (Ez kkor fordulht elő, h tuló zt fedezi fel, hogy z egymást követő számok külöbsége pártl számok soroztát dj) d 0 00 e e 8 e) ( + 9) 0 f) f + 0 f 0

15 modul: SOROZATOK Jelöljük sorozt első eleméek összegét S -el Például S S +, S + +,, Mit d meg S S, S6 S, illetve áltláb z S S külöbség? Add meg sorozt első elemét, h ) S ; b) S ; c) S S S Vegyük észre, hogy ( ) ( ) ) S, S S 0, S S 0, S S 0, S S 0 b) b S, b S S, b S S, b S S 7, b S S 9 c) c S, S 0, tehát c c c c 0 S

16 6 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ II Soroztok grfikoj, tuljdosági Tudjuk, hogy soroztok oly speciális függvéyek, melyek értelmezési trtomáy pozitív egész számok hlmz A függvéyek tuljdoságivl sokt fogllkoztuk Eze tuljdoságok közül éháy soroztokál is érdekes lehet Mitpéld Tekitsük következő soroztokt, és írjuk fel éháy elemüket! ( ) ; ; ; ; b π si π b si ; π b si ; b siπ 0 b π si b π si b si π 6 0 b 7π π si si b 7 70 c tört tizedestört-lkják -edik számjegye tizedesvessző utá 70 0,0 & & 0,000, tehát c ; c ; c c ; c c ; c 6 0 c v v(;) helyvektor elforgtottj z origó körül o 90 -kl v ( ;); v ( ; ); v (; ); v (;), és ie újr ismétlődek vektorok A tárgylt soroztok közös tuljdoság, hogy tgjik periodikus ismétlődek Az sorozt periódus p, zz A + b sorozt periódus p 6, zz b b +6

17 modul: SOROZATOK 7 c sorozt periódus p, zz c c A + A v sorozt periódus p, zz v + v Periodikusk evezzük zt soroztot, melyhez v oly p pozitív egész szám, hogy sorozt bármely -edik elemére + p Mitpéld Állpítsuk meg következő soroztok periódusát: ) húrtrpéz +90 -os elforgtási z átlók metszéspotj körül b) b z pozitív egész szám -tel vló osztási mrdéki c) c z szám utolsó számjegye o o d) si( 0 ) cos( 0 ) d ) külöböző helyzet lehetséges, így + b) Írjuk fel sorozt első éháy elemét: b b b b b 0 b 6 A sorozt elemei ettől kezdve ismétlődek, tehát periódus, zz b + b Azt kell belátuk, hogy + ugyyi mrdékot d -tel osztv, mit z Ez kkor következik be, h két szám külöbsége oszthtó -tel És vlób: ( + ) c) Írjuk fel sorozt első éháy elemét: c c 8 c 7 c c c 6 c c c 9 c 0 c Sejtésük szerit z ismétlődés most már bekövetkezik Sejtésüket igzoljuk is, zz megmuttjuk, hogy sorozt periódus 0, zz mide eseté c +0 c Két szám utolsó számjegye kkor és csk kkor egyelő, h két szám külöbsége 0- r végződik, zz két szám külöbsége oszthtó 0-zel Vizsgáljuk meg zt két számot, melyekek utolsó számjegye dj sorozt megfelelő tgjit: ( + 0) vlmit A két szám külöbsége: ( + 0) ( ) oszthtó 0-zel, tehát két szám utolsó számjegye megegyezik, periódus 0

18 8 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ d) Abb biztosk lehetük, hogy p jó periódus lee, hisze sorozt mide tgjáb oly szögek szerepelek, melyekek midkét szögfüggvéye zoos, hisze szögek eltérése 60º De v-e vjo eél kisebb lehetséges periódus? Írjuk fel sorozt első éháy elemét: o o o o d si0 cos0 0,8660, d si 60 cos60 0, 8660 Itt juthták rr z elhmrkodott következtetésre, hogy sorozt periódus, zz d + d, átredezve d + d 0, de ez csk bizoyos -ekre lee igz H sorozt éháy további tgját felírjuk: o o o o d si 90 cos 90 0 d si0 cos0 0, 8660 o o o o d si0 cos0 0,8660 d si80 cos80 0 o o d si 0 cos 0 0,8660, tehát d d A továbbikb csk számsoroztokt (rövide: soroztokt) tekitük, zz oly függvéyeket, melyekek értelmezési trtomáy pozitív egész számok hlmz, értékkészletük pedig vlós számok egy részhlmz E függvéyek grfikoji tehát midig potsoroztok A most következő sorozt-tuljdoságokt csk számsoroztokr értelmezzük Az lábbi R + R függvéyekről tudjuk, hogy szigorú mooto övekedők: f ( x) x g ( x) x h ( x) x

19 modul: SOROZATOK 9 H leszűkítjük z értelmezési trtomáyukt pozitív egész számokr, kkor Z + R függvéyek áltl megdott sorozt tgji is övekedek (piros potok): f, g, h Egy sorozt mooto ő, h mide tgj leglább kkor, mit z előző tg: Hsolóképp defiiálhtjuk mooto csökkeő soroztokt is: Egy sorozt mooto csökke, h mide tgj legfeljebb kkor, mit z előző tg: Mitpéld 6 Válszd ki z lábbi soroztokból mooto csökkeőket és mooto övekedőket ( N + )! Sejtésedet bizoyítsd! ) ; b) b 0, b b + ; c) c 0, c c ; d) d 0, d d ( ) Először számítsuk ki sorozt éháy tgját, hogy megsejtsük, mooto soroztok-e melyik sorozt 6 b c d Az sorozt tgji egyre közelebb kerülek 0-hoz, sejtésük szerit csökkeő sorozt És vlób: h, A < 0, zz < ( ) ( ) b sorozt tgji övekedek, mivel b b b + b + 0, zz b > b > 6

20 0 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ A c sorozt csökkeő, mivel c c c c c Eek előjele ttól függ, hogy c pozitív, vgy egtív Láthtó, hogy sorozt mide eleme (köztük c is) egtív, mivel második elemtől kezdve midig egy egtív szám háromszorosát számítjuk ki A d sorozt se em csökkeő, se em övekvő sorozt H vlki mégis megpróbálá bebizoyíti, hogy csökkeő, vgy övekvő, d d külöbséget kellee vizsgáli Most próbkét tegyük ezt meg! d d ( ) d d Eek előjele d előjelétől függ, z viszot váltkozó d A soroztok mootoitásák vizsgáltát megköyíti, h ismerjük k függvéyek grfikoját, melyből sorozt elemeit képezzük x x x x x x x x 0 ( ) ()/ b() sorozt c() sorozt d() sorozt, ,8 0, , 0, Feldt Írd fel soroztok első 0 elemét! Válszd ki z lábbi soroztok közül periodikus soroztokt Add meg periódusukt! Htározd meg mooto övőket és mooto csökkeőket ( N + )! 7 ; ( ) b ; c z szám utolsó számjegye; ( ) d ; o ( ) e si 0 ; f ; + g z szám osztóik szám

21 modul: SOROZATOK b c d e 0,76 0,0 0, 0,68 0,7660 0,8660 0,997 0,988 0,988 f g Periodikus soroztok: c és e A c sorozt periódus 0, mivel + 0 szám égyzete ugyzt mrdékot dj 0- zel osztv, mit z szám égyzete, ugyis ( + 0) , és eek z összegek z utolsó két tgj oszthtó 0-zel, tehát szám utolsó számjegye ugykkor lesz, mit z -é e sorozt periódus 6, mivel tudjuk, hogy z f ( x) si x π 60º Mooto csökkeő soroztok: és [ 7 ( ) ] 0 d Az 7 <, zz < A d sorozt csökkeő, mivel d d ( ) ( ) ( ) ( ) 0 < Az f sorozt mooto ő, mivel ( )( + ) ( + ) ( + ) függvéy periódus sorozt csökkeő, mivel, zz d < d f f > 0 +, zz f > f A g sorozt em redelkezik feti tuljdoságok egyikével sem

22 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ III A számti sorozt Módszerti megjegyzés: Az áltláos iskolából ismerős foglom számti sorozt Köye lehetséges, hogy z előző óráko diákok már felismerték és megevezték, h tlálkoztk ilye soroztokkl A középiskolás megközelítése eek foglomk yib más, hogy: I Nem elég sejtés, számtik látszó soroztokról meg is kell mutti, hogy zok számtik II A képletek egy részét most már úgy hszáljuk, hogy előtte be is bizoyítottuk zokt III Ngyobb mtemtiki pprátus áll redelkezésükre z egyes feldtok megoldáskor Vizsgáljuk meg, mi közös z lábbi soroztokb:, b , b b, c z -edik oly pozitív egész, melyek utolsó számjegye Vlmeyi sorozt közös tuljdoság, hogy z egymás utái tgokt megkphtjuk úgy is, h z előző tghoz midig ugyzt számot djuk, tehát z egymást követő tgok külöbsége (differeciáj) álldó Az ilye soroztokt számti soroztk evezzük Számti soroztk evezzük z oly soroztot, melybe z egymást követő tgok külöbsége álldó Ezt z álldót differeciák (lti: külöbség) evezzük, jele: d

23 modul: SOROZATOK A számti soroztb második tgtól kezdve mide tgot úgy kpuk meg, hogy sorozt előző tgjához hozzádjuk differeciát A számti soroztot áltláb úgy djuk meg, hogy megdjuk z első tgját és differeciát Nézzük meg, eek segítségével hogy lehet meghtározi sorozt többi tgját! + d ; + d + d ; + d + d +d +d +d +d +d A sorozt -edik tgjához úgy jutuk el, hogy sorozt első tgjához -szer hozzádjuk d-t A számti sorozt -edik tgját így számoljuk ki: + ( ) d Mitpéld 7 Ismerjük egy számti sorozt első tgját és differeciáját: ) 7, d ; b) b, d 0, 6 ; c) c, d, Számítsuk ki számti soroztok tizedik, huszdik, százdik tgját! ) + ( 0 ) d ; 0 ( 0 ) ; 0 + d ( 00 ) d b) b b + 9d + 9 0, ; 0, ( 0 ) d + 9 0, 6 76 b ; 0 b +, ( 00 ) d , b 00 b +, c) c c + 9d, + 9 ( ) 6 ; 0, c c ( 0 ) d, + 9 ( ) 6 0 c +, ; ( 00 ) d, + 99 ( ) c +, Észrevehetjük, hogy számti sorozt mooto csökke, h d < 0, mooto ő, h d > 0 H differeci ull, sorozt mide tgj zoos Az ilye soroztot kosts soroztk evezzük

24 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mitpéld 8 Számítsd ki sorozt tizedik elemét, h tudjuk, hogy 9 és 9 módszer: Alklmzzuk számti sorozt midkét tgjár z ismert képletet, mjd megoldjuk kpott egyeletredszert: + 8d + ( ) d, tehát 9 + 0d Ezt behelyettesítve z első egyeletbe: + 8 7, 8 7, 6 Ie (kivoássl): d 7, Alklmzv képletüket 0 elemre , 0, módszer: Tudjuk, hogy d, átredezve 9 0 d, vlmit 0 + d tehát d d 0, et megkphtjuk tehát, számítás eredméyekét Az első módszer midig lklmzhtó, h dott számti sorozt két tgj, és meg krjuk htározi z első tgot és differeciát A második módszerből z derült ki számukr, hogy számti sorozt tizedik eleme kilecedik és tizeegyedik elem számti közepe (Ie szármzik z ilye tuljdoságú soroztok számti jelzője) Ez áltláb is érvéyes: Az első tg kivételével számti sorozt bármely tgj hozzá képest szimmetrikus elhelyezkedő tgok számti közepe Képlettel: k + + k, h >k >0 egészek Feldt 6 Mutsd meg z lábbi soroztokról, hogy számti soroztot lkotk, és dd meg differeciájukt!

25 modul: SOROZATOK ) ; b) b 0 ; c) ( ) c ) Írjuk fel sorozt éháy tgját:, 8,, 8 Sejtésük z, hogy sorozt számti, és differeci Vlób, ( ) [ ( ) ] b) Írjuk fel sorozt éháy tgját: 9, 8, 7, 6 Sejtésük z, hogy differeci Vlób, b b ( 0 ) [ 0 ( ) ] c) Írjuk fel sorozt éháy tgját:,,, 7 Sejtésük, hogy ez is számti sorozt, és differeci Írjuk fel c -et összeg c + lkb: ( ) Így c így lkul: ( ) c Vlób, c c ( ) ( ) 7 Néháy számti sorozt első tgját és differeciáját dtuk meg Számítsd ki keresett tgokt! ), d,?? 7 8 b) b, d, b8? b? c) c 0,9, d 0,, c0? c? 9 ) 8 6; ; b) b 8 ; b 7 ; c) c 0 96,; c 8, 9 8 Egy gyo erős doháyos szilveszterkor megfogdj, hogy leszokik doháyzásról Juár elsejé még elszívj z ddig szokásos két doboz (0 szál) cigrettáját, mjd ettől kezdve mide p szálll csökketi z dgját H trtj mgát elhtározásához, sikerül-e születéspjáig (juár 0-ig) leszoki doháyzásról? A pot elszívott cigretták szám számti soroztot lkot, melyél 0, d

26 6 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Kérdés, hogy háydik pr éri el, hogy cigretták szám e legye pozitív szám, + + zz milye -re lesz ( ) d 0 ( ) ( ) 0 Az egyelőtleséget megoldv -ot kpuk, ez zt jeleti, hogy juár -é már egyáltlá em gyújt rá, tehát sikerül megtrti fogdlmát 9 Add meg számti sorozt jellemzőit ( -et és d-t), h elemei között feáll következő lgebri kpcsolt: 9 6d 6 d ( + ) másodfokú egyelet megoldásából: 8, illetve 6 következik, így d, d 8 0 Egy háromszög szögei egy számti sorozt egymást követő tgji Leghosszbb és legrövidebb oldl, illetve cm ) Számítsd ki háromszög területét! b) Számítsd ki háromszög hrmdik oldlát! ) A háromszög belső szögeiek összege 80º Legye α < β < γ Mivel háromszögbe gyobb oldlll szembe gyobb szög v, szokásos jelöléseket hszálv cm, c cm H szögek számti sorozt egymást követő tgji, α és γ felírhtókα β d, γ β + d lkb o o Így α + β + γ β 80 β 60 A két kérdésre pedig már kkor is tuduk válszoli, h csk β -t ismerjük: c siβ o T Δ si 60,6cm b) A kosziusztétel segítségével kiszámíthtjuk b oldlt: b + c c cosβ o + 6 cos b,6cm

27 modul: SOROZATOK 7 IV A számti sorozt első tgják összege Egy trpéz lkú ézőtére 0 sor v Mide sorb SZÍNPAD kettővel több szék v, mit z előtte levőbe Háy éző fér el szíházb, h z első sorb tíze ülhetek le? A sorokb levő székek szám számti soroztot lkot, melyek első tgj 0, differeciáj pedig H rr vgyuk kívácsik, háy férek el ézőtére, z S összeget kell kiszámítuk, és 0 0 ehhez számti sorozt mid 0 tgját meg kell állpítuk, és zokt összegezi kell Vjo ics eél egyszerűbb módszer? Egy sorozt tgjik összegére gykr v szükségük Egy sorozt első eleméek összegé következőt értjük: S (Az S kifejezés S betűje summösszeg lti szóból ered) Az ilye típusú összegeket szokás rövide így is íri: gy szigm betű) i (Σ görög A számti sorozt első eleméek összegéek meghtározásához Guss ötletét lklmzzuk i Guss, Krl Friedrich (777 8) émet mtemtikus, fizikus és csillgász A mtemtikusok fejedelme Korák leggyobb mtemtikus volt, ki megújított szite z egész mtemtikát A szászországi Bruschweigbe született szegéy csládból Tehetségét títój fedezte fel A több osztállyl fogllkozó tító tizeévesekek gykorlásul feldt számok összedását -től 00-ig Pltáblájá Guss rögtö megmuttt z eredméyt: 00 A csodálkozó títók elmgyrázt, hogy em szokásos módo számolt, hem z összeget vette 0-szer Két külöböző sorredbe djuk össze tgokt, először z első, mjd z utolsó (-edik) tgtól kezdve: S S Adjuk össze két sort úgy, hogy z egymás ltt álló tgokt összepárosítjuk: ( + ) + ( + ) + + ( + ) + + ( + ) + ( ) S k k + Vizsgáljuk meg, hogy milye összefüggés v z egy zárójelbe szereplő tgok között!

28 8 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ + felírhtó + d + d + lkb, de ez igz lesz mide zárójelbe szereplő kifejezésre, hisze ( k ) ( k ) k + d k + k + k d Így egyeletük jobb oldlá mide zárójelbe levő kifejezés helyettesíthető tehát S ( + ) ( k ) d + ( k ) d + + -el, +, tehát S Gykr előfordul, hogy számti soroztot első elemével és differeciávl dják meg, így + kifejezés behelyettesítése utá kpott következő képlettel is célszerű z ( ) d + ( ) megbrátkozi: S d H egy számti sorozt első tgj, -edik tgj és differeciáj d, kkor sorozt első eleméek összegét következő képlettel tudjuk kiszámíti: + + ( ) d S Oldjuk most meg fejezet elejé felvetett problémát! Mitpéld 9 Egy trpéz lkú ézőtére 0 sor v Mide sorb kettővel több szék v, mit z előtte levőbe Háy éző fér el szíházb, h z első sorb tíze ülhetek le? 0, d Képletüket lklmzv 0 + ( 0 ) S Mitpéld 0 Háy sor v bb kör lkú réáb, melyről tudjuk, hogy z első sorb 00 ülőhely v, mjd mide sorb -gyel több helyek szám, mit z eggyel lcsoybb levő sorb? Az egész réáb 700 éző fér el

29 modul: SOROZATOK 9 Jelöljük sorok számát -el! Az egyes sorokb levő ülőhelyek szám számti soroztot lkot, melyek differeciáj Ismerjük még számti sorozt első tgját: 00, vlmit z első elem összegét: S 700 H z ismert dtokt beírjuk képletükbe, egyetle ismeretleük mrd, z Redezés utá ( ) / [ 00 + ( ) ] másodfokú egyelethez jutuk A megoldóképletet lklmzv: ( 80) 9 ± 9 9 ± 99, 7; A egtív eredméy em jöhet szób, így, tehát z réáb sor v 00 + Elleőrzés: S 700 Mitpéld Egy számti sorozt tgj Meyi z első tg összege? + d Láthtó, hogy kevés z dtuk hhoz, hogy megállpítsuk számti sorozt első elemét és differeciáját, ugyis végtele sok ilye számti sorozt v Szerecsére z összeg megállpításához ics szükségük feti dtokr, ugyis z oly soroztokb, melyekek tgj, mid zoos z első tg összege Hszáljuk most z S + képletet z összeg kiszámításár: + S Mivel tghoz képest z első és tg szimmetrikus helyezkedik el, + Így S 7

30 0 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ H egy számti soroztk pártl sok tgját djuk össze, midig megtehetjük, hogy középső tgot szorozzuk meg tgok számávl Feldtok Számítsd ki hiáyzó dtokt! ) ; d, S? b) b ; d, S? 0 c) c,; S 9 d? d) d,; S 66? 0 e) d,; S 7 e? 0 f) S ; S f? f? ) S 09 ; b) S 0, ; c) d 0, 7 ; d) 0; e) e ; f) f f 0, Vlki összedt z összes oly legfeljebb jegyű pozitív egész számot, melyre igz, hogy számjegyek összege oszthtó 9-cel Meyi lett ez z összeg? Azokr és csk zokr számokr lesz számjegyek összege oszthtó 9-cel, melyekre mg szám is oszthtó 9-cel, tehát keressük 9-cel oszthtó, legfeljebb jegyű számok összegét A 9-cel oszthtó számok számti soroztot lkotk, d 9, 9, ( ) 9, tehát z összeg S 9 Egyforitosokból z ábrá láthtó lkztokt rktuk ki Háy forit szükséges 00 ilye lkzt megformálásához?

31 modul: SOROZATOK A pirmisok olyok, hogy fetről lefelé ézve mide sorb eggyel több érme v, mit z előzőbe, tehát egy-egy pirmis sorib levő érmék szám differeciájú számti soroztot lkot A 00 ilye lkzt lsó soráb 0 ilye érme v, tehát ez tgj számti soroztk Az érmék szám S 0 0 Tehát 0 pirmishoz Ft kell Egy soroztot z ( + ) képlettel dtk meg ) Számítsd ki sorozt első 0 eleméek összegét! b) Milye képlet dj meg sorozt első eleméek összegét? ) Hozzuk egyszerűbb lkr soroztot megdó képletet! b) H felírjuk sorozt első éháy tgját:,,, 6, z sejtésük támd, hogy számti sorozt tgjit kptuk Vlób, z egymást követő tgok külöbsége álldó, hisze [ 0( ) + ] 0 + ( 0 + ) d A sorozt első tgj + 9 0, tehát S ( ) S [ + ( ) ] ( + 0) Ngymm vstg folból bbkocsib vló lábzsákot köt kisuokáják A szbásmit szerit zsák hátsó része trpéz lkú Ezt formát úgy lkított ki, hogy z első sorb 0 szemet kötött, mjd mide ötödik sorb szemet szporított Az utolsó sorb 80 szemet kötött Milye hosszú lesz lábzsák, h mide kötéssor 0, cm-ek felel meg? Összese háy szemet kötött, míg elkészült mukávl? H csk mide ötödik sor szemszámát tekitjük, kkor zok számti soroztot lkotk

32 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 0; d ; 80 Az ( ) d + képletet hszálv -et kpuk Ez zt jeleti, hogy 0 sort kötött gyi, ezért 0 0,, cm hosszú lesz lábzsák H összedák, hogy mide ötödik sorb háy szem v, feti számti sorozt első tgják összegét kpák De gymm ötször eyit kötött, hisze mide sorhosszúságból v, így S 600 szemet kötött

33 modul: SOROZATOK V A mérti sorozt Vizsgáljuk meg, mi közös z lábbi soroztokb: ) ; b) b 8 6 c) c c ; c 6 8 Az közös soroztokb, hogy mid háromál úgy kpjuk meg sorozt tgjit z előzőből, hogy ugyzzl számml megszorozzuk Mérti soroztk evezzük z oly soroztot, melybe szomszédos tgok háydos soroztr jellemző ullától külöböző álldó Ezt z álldót háydosk (kvóciesek) evezzük, jele q A kvócies elevezés lti quoties háydos szóból szármzik, ezért szoktuk q-vl jelöli A mérti soroztokb második tgtól kezdve mide tgot úgy kpuk meg, hogy sorozt előző tgját q-vl ( kvóciessel) megszorozzuk ( ) ( b ), ( c ), soroztok tehát mérti soroztok

34 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mitpéld Mutssuk meg, hogy z előző három sorozt midkét defiíciók megfelel! Az ( ) sorozt tgji úgy keletkezek, hogy mide tg z őt megelőző -szoros, tehát z egy kvóciesű sorozt H ( b ) sorozt bármely tgját -vel szorozzuk, következő tgot kpjuk: b + b+ A ( c ) sorozt képletét átredezve c c, tehát ez egy sorozt q kvóciesű mérti Láthtó, hogy z ( ) és ( ) b soroztokál álldó z egymást követő tgok háydos:,, ; 9 b, b b, b A hrmdik sorozt megdás eleve oly volt, hogy z egymást követő tgok háydos legye A mérti soroztok esetébe gykr megdjuk z első tgot és q-t Hogy tudjuk meghtározi és q ismeretébe sorozt tgjit élkül, hogy z összes előzőt ki kellee számoluk? q q q q q A sorozt -edik tgját úgy kpjuk meg, hogy z első tgot -szer megszorozzuk q-vl, tehát q A mérti sorozt -edik tgját így számoljuk ki: q -

35 modul: SOROZATOK Mitpéld Számítsuk ki bevezetésbe szereplő soroztok htodik tgjit! 6 ; ; 6 q 7; b 6 6 b ; q ; b6 6; b c c ; q ; c6 c 6 Mitpéld Egy mérti sorozt két tgját ismerjük:, 000 Számítsuk ki sorozt tgját! módszer: Az 0 0 q egyelet segítségével állítsuk fel egyeletredszert 9 0 q kiszámításár: 000 q A két egyelet megfelelő oldlit elosztjuk egymássl (másodikt z elsővel): q 00 ie q 0 vgy q 0 A két értéket behelyettesítve z első egyeletbe zt kpjuk, hogy q módszer: ( 0) 8 q q , vgy ( 0 ) ( 0) ( 0 ) és q 0 értékét megkphtjuk úgy, hogy -et elosztjuk q-vl, vgy 9 -et megszorozzuk q-vl: 0 0 q 9 q 9 0 q 0 q

36 6 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ q 0 Tehát ( q) ( ) Így ( ) vgy 00 Az első módszer lklmzhtó mide oly esetbe, mikor dott mérti sorozt két tgj, és meg krjuk htározi z első tgot és kvóciest A második módszerbe kpott összefüggés áltláos is igz: A mérti sorozt bármely tgják égyzete megegyezik hozzá képest + szimmetrikus elhelyezkedő tgok szorztávl, zz ( ) k k H kikötjük, hogy mérti sorozt összes tgj pozitív, kkor feti összefüggésből következik Kimodhtuk számti soroztb megismerthez hsoló k + k jellegű tételt: A pozitív tgú mérti sorozt bármely tgj hozzá képest szimmetrikus elhelyezkedő tgok mérti közepe Képlettel: h >k és mide i >0, i N + k + k (Ezért evezik z ilye tuljdoságú számsoroztokt mérti soroztk) Módszerti megjegyzés: Szóforgós játék A játék szbály z, hogy midekiek felváltv kell egy-egy tggl folytti soroztot úgy, hogy megelőző két számml hol számti, hol mérti soroztot lkosso Például legye z első két szám 0 és játékos folyttj -gyel, mert 0; ; számti Most két folyttdó szám és játékos folyttj 8-cl, mert ; ; 8 mérti A két folyttdó szám és 8 játékos folyttj -vel, mert ; 8; számti A két folyttdó szám 8 és játékos folyttj 8-cl, mert 8; ; 8 mérti Tehát soroztuk így lkul: 0; ; ; 8; ; 8; Az lábbi soroztokt megdott szbály szerit két változtb is játszhtják: I z első két számot először számti soroztkét kell folytti, mjd z utolsó kettő tgot mértivá kiegészítei, és így tovább (ilye szerepelt példákb is)

37 modul: SOROZATOK 7 II z első két számot először mérti sorozttá kell kiegészítei egy számml, mjd z utolsó kettőt számtivá és így tovább Az első két szám legye: ), ; b) b +, ; c) c, c ; d) d, d ; e) e, e 6 Feldtok Módszerti megjegyzés: A 6 feldtot házi feldtk jvsoljuk H fogllkoztk tulók mootoitássl, mérti soroztokt érdemes áltláos is osztályozi mootoitás szempotjából: Mooto csökke mérti sorozt, h < 0 és q, > vgy h > 0 és 0 < q < Mooto ő mérti sorozt, h > 0 és q, > vgy h < 0 és 0 < q < 6 Írd fel következő mérti soroztok első elemét! Állpítsd meg soroztok mootoitását! Sejtésedet igzold! ) 00; q 0, b) b 6; q 0, c) c,; q d) d 7; q, e) e 6; q ) 0,,,, 6,, sorozt mooto csökke, hisze ( 0, ) 00 0, 00 0, 00 0, 00 0, < 0, zz < b) b 6, b, b, b 0,, sorozt mooto ő, mert b b ( 6) 0, ( 6) 0, ( 0, ) 6 0,

38 8 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 6 0,7 0, > 0 zz b > b c) c,6 c 0,8 c, c 97, sorozt em ő és em csökke d) d 08 d 6 d d 6, sorozt mooto ő, mert (, ) 0, 7, d d 7, 7, 7,, 6, > 0, zz d > d e) e 7 e e 88 e 76 mooto csökke, hisze e ( 6) ( 6) ( 6) ( ) < 0, e e e zz < 7 Számítsd ki megdott mérti soroztok hiáyzó dtit: ) ; q ;? b) b ; q ;? 9 7 c) c ; c ; q? d) d ; d ; q? 8 e) e ; e 6; q? ) ( ) ( ) 8 ; b) ( ) ( ) 8 b ; 9 7 c) c q q q ; d) d q q q vgy q 8 6 e) e q 6 q 6, vlós számok körébe ics megoldás, zz ilye mérti sorozt em létezik 8 Adott egy mérti sorozt z első elemével és kvóciesével Dötsd el, hogy tgj-e soroztk t-vel jelölt szám, és h ige, kkor háydik tgj ez soroztk? ) 6; q 0,; t 6 ; b) b ; q 0,; t 0, 7 ; c) c 800; q 0,; t 0000

39 modul: SOROZATOK 9 Tekitsük úgy, mith t szám sorozt -edik tgj lee ) 6 6 0, b) 8 0, 7 0, 0,, Midkét oldlo pozitív szám v, így vehetjük logritmusukt: ( ) lg 0, lg(,776 0 ) c) , Nics megoldás, mert -re em pozitív egész számot kptuk (A soroztk ics ( )-edik tgj)

40 0 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ VI Kmtos kmt Először ismételjük át százlékszámításról tultkt! p Egy A meyiség p százlék z dott összeg -d része, tehát h ki krjuk számíti z 00 p A meyiség p százlékát, meg kell szorozuk A-t -zl 00 Az A meyiség p %-: p 00 A p H z A meyiséget p %-kl öveljük, kkor z A-hoz hozzá kell di z A meyiség - 00 szorosát: p p Az A meyiség p %-kl övelve: A + A + A Hsoló, h most p%-kl csökketei krjuk A-t: Az A meyiség p %-kl csökketve: p p A A A Mitpéld A hvi kötelező felelősségbiztosítás összege 9 Ft-ról Ft-r változott Háy százlékkl őtt hvi díj? módszer: Először számítsuk ki, háyszoros z új díj z eredetiek:, 07 Ez 0,7 9 százdrészt, zz 0,7 százlékot jelet Tehát övekedés (00%-ról),7% módszer: Azt ézzük meg, hogy övekedés háydrésze z eredeti összegek! ,07 Ez z eredeti összeg,7 százdrésze, tehát,7%-

41 modul: SOROZATOK Mitpéld 6 Egy üzlet forglm z előző hóphoz képest 7%-kl őtt Ebbe hópb Ft volt Mekkor volt z elmúlt hópb? Jelölje x z eredeti forglom értékét Ez 7%-kl övekedett, vgyis 7 x + x ,07x x, Tehát z elmúlt hóp forglm Ft volt Mitpéld 7 Mgyrországo hlálozások szám 00-be 7 volt, 006-b pedig 00 (KSH dt) Háy százlékkl csökket hlálozások szám 00-ről 006-r? módszer: Először megvizsgáljuk, háydrésze (háyszoros) 006 évi hlálozások szám 00 évihez képest: 00 0, 969, százlékb megdv 96,9 %, tehát csökkeés 7,%-os módszer: Vizsgáljuk meg, hogy csökkeés háydrésze (háyszosos) 00 évi dtk: ,0 Ez, százdrészek, zz,%-k felel meg 7 Mitpéld 8 A bkb berkott pézem hvot kmtozik úgy, hogy 0,9%-át mide hóp végé jóváírják számlámo Vizsgáljuk meg, milye összegek szerepelek számlámo hópról hópr, h juár -é beteszek Ft-ot, és egész évbe em yúlok számlámhoz!

42 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ H x összeg v számlá, ez z összeg 0,9% kmt mitt,009-szorosár ő 007 juár 0000 február 0000, 009 márcus 0000, 009, , 009 április 0000, 009, , 009 május 0000, 009, , 009 júius 0000, 009, , 009 július , 009, , 009 ugusztus , 009, , 009 szeptember , 009, , 009 október , 009, , 009 ovember , 009, , 009 december , 009, , juár , 009, , 0000, Ft Észrevehetjük, hogy z egymást követő pézösszegek mérti soroztot lkotk A 008 juár -é felvehető pézt kiszámíthttuk vol mérti sorozt -edik eleméek képlete segítségével is: 0000; q,009; ; 0000,009 Amikor egy bizoyos pézösszegek zoos mértékű ismételt kmtát számítjuk ki (vgyis kmttl övelt összeg kmtát számítjuk), kmtos kmtról beszélük

43 modul: SOROZATOK Mitpéld 9 Egy természetvédelmi területe egy övéy egyedszám úgy változik, hogy évről-évre %- kl ő H körülméyek em változk, háy év múlv lesz övéyek egyedszám z eredeti szám másfélszerese? Legye övéyek eredeti egyedszám N, ekkor feldt: N; q,0;, N;? q, N N, 0 / : N,,0 Most z ismeretle kitevőbe szerepel, megoldást ezért megkpjuk, h vesszük z egyelet midkét oldlák logritmusát Ezt megtehetjük, hisze h két pozitív meyiség egyelő, kkor (és csk kkor) logritmusuk is egyelő (Az függvéy kölcsööse egyértelmű pozitív vlós számokr) ( ) lg, lg,0 A htváy logritmusák zoosságát lklmzv: lg, ( ) lg,0 / : lg, 0 lg, 0,, ie lg,0, x log x A sorozt első tgják modtuk z iduló egyedszámot, mi igzából 0 év, így másfélszeres populációt 0,-edik évbe éri el övéy Tehát0 év elteltével még em, de év elteltével populáció egyedszám már meg is hldj z eredeti másfélszeresét Észrevehetjük, hogy feldt megoldás em függ z eredeti egyedszámtól

44 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feldtok 9 Mgyrországo 00-be z élveszületések szám 9796 volt, 006-b pedig 9980 (KSH dt) Háy százlékkl változott z élveszületések szám 00-ről 006-r? Megoldás 9980,0, tehát,%-kl őtt Egy személygépkocsi árát %-kl megemelték, mjd ebből z árból egy kció lklmávl %-ot elegedtek Hogy változott gépkocsi ár z eredeti árhoz képest? Legye gépkocsi eredeti ár A Az áremelés utá z ár,0a lesz, mjd eek z árk csk 9%-át kell kifizeti, zz 0, 9 (, 0A) ( 0, 9, 0) A 0, 997A új ár z eredeti ár 99,7%- lesz, ez 0,%-os csökkeések felel meg Tehát z Egy gymm uokáj születésekor oly foritos betétet helyezett el számár bkb, mely évete 8%-ot kmtozik Uokáj ezt 8 éves koráb felveszi, hogy továbbtulását ygilg fedezze Mekkor összeget tud ekkor felvei? A betett péz sorozt első tgj, 8 év elteltével már sorozt 9 tgj lesz számlá ; q,08; 8; , Tehát z uok mjdem kétmillió foritot tud felvei Egy ország 007-be válllj, hogy károsyg-kibocsátást évi %-kl csökketi Háy év kell hhoz, hogy szeyezés mosti érték 70%- legye? Jelöljük K-vl 007-be kibocsátott károsyg meyiségét 007 K; q 0,97; 0,7K;? 007 0,97 0, ; 007 0,97 006

45 modul: SOROZATOK Itt szerepel egy oly meyiség,, miek vlójáb icse értelme Azt jeleti, hogy Krisztus születése évébe meyi lett vol károsyg-kibocsátás, h zót is mide évbe %-kl csökketjük Ezt zért vezettük be mégis, mert így értéke zt z évszámot dj meg, melyet feldt kérdez Másrészt 0, 7K 0, 7 K Tehát 0, 97 0, 7 ; ie 08, 7 Ez z eredméy zt jeleti, hogy 09-re károsyg-kibocsátás 007-es dt 70%- ár fog csökkei, vgyis körülbelül év kell szeyezés megdott mértékű csökkeéséhez

46 6 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ VII A mérti sorozt első tgják összege Mitpéld 0 A leged szerit egy idii király udvri bölcse volt skk feltlálój Az urlkodó yir örült z új játékk, hogy feljálott bölcsek, kérje, mit csk kr, megkpj A bölcs kérése szeréyek látszott: Tégy skktábl első mezőjére egy búzszemet, másodikr kettőt, hrmdikr égyet és így tovább, mide mezőre kétszer yit, meyi z előtte lévő volt Ayi búzszem legye jutlmm, meyi ilye módo skktáblá v! Számítsuk ki, háy szem búz lett vol 6 kocká, h bölcs szeréy kérését király teljesítei tudj! A kérés szerit z elhelyezett búzszemek szám kvóciesű mérti soroztot lkot, mert első tgj, másodikt úgy kpjuk meg, hogy z elsőt szorozzuk kettővel, és így tovább:,,, 6 8 9, 6 0

47 modul: SOROZATOK 7 Tehát z utolsó mező több mit 9 trillió búzszemek kellee elférie A tudós zob emcsk 6 mezőre jutó búzát kérte, hem skktáblár elhelyezett összes búzát Ki kellee számítuk mérti sorozt első 6 tgják összegét! A mérti sorozt első eleméek összegéek kiszámításkor hsoló cselt lklmzuk, mit számti sorozt képletéek levezetésekor Itt is kétszer írjuk fel z összeget, de második sorb z összeg helyett z összeg q-szoros szerepel: S q S + q + q q + q + + q + + q + q + q + q Észrevehetjük ugyis, hogy két egymás ltt álló összegbe gyo sok zoos tg v, ezért, h két egyeletet kivojuk egymásból, következőt kpjuk: q S S q S ( q ) ( q ), ie, h q, S q q H q, sorozt mide tgj zoos, kosts sorozt keletkezik, tehát S A mérti sorozt első eleméek összege q S, h q és S, h q q Mitpéld Számítsuk ki, háy szem búz járt vol skk feltlálóják!, q, Alklmzzuk képletet: S6 8, 0 Észrevehetjük, hogy ez z érték z utolsó égyzetre tett búzszemek kétszerese, zz legutolsó mező yi búz v, mit másik 6 mező összese H egy szem búz tömegét kb 0,0 g-k tekitjük, kkor ez búzmeyiség 7,6 0 to, és Földö eyi búz eddig még összese em termett

48 8 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mitpéld Kerítésüket oly -szer méteres égyzet lkú elemekből krjuk elkészítei, mit betocél rudkból hegesztük össze következő módo: Az méteres oldlú égyzet oldlfelező potjib rudkt hegesztve kisebb égyzetet formáluk, mjd eljárásukt ddig folyttjuk, míg z eredetivel együtt már 7 égyzet v mitákb ) Mekkor lesz legkisebb égyzet oldl? b) Háy m célrúd kell egy ilye kerítéselem elkészítéséhez? ) A leggyobb égyzet oldl m, következőé egy oldlú égyzet átlój, tehát, mi z előző dt ( m) -szöröse Mide kis égyzetoldl z előzőek eyiszerese, tehát z oldlk hosszi mérti soroztot lkotk, melyek kvóciese, első tgj, és keressük hetedik tgot: 7 0, 8 6 m Tehát legrövidebb rúd hossz, cm b) A égyzetek kerületei is mérti soroztot lkotk, melyek kvóciese szité,, hisze K K ( ) K A mérti sorozt első tgj most K, kvócies q tg összegét keressük: S ( ) ( ) 7 Egy kerítéselem elkészítéséhez tehát körülbelül, m yg kell, de most z első hét,

49 modul: SOROZATOK 9 Mitpéld Egy mérti sorozt első öt tgják összege 8989, kvóciese Htározzuk meg mérti sorozt első tgját! Alklmzzuk z összegképletet: ,8, 60, Mitpéld Egy mérti sorozt első tgj, kvóciese q, A sorozt első éháy tgját összedtuk, és zt kptuk, hogy S 676, Háy tgot dtuk össze? Alklmzzuk mérti sorozt első eleméek összegére votkozó képletet: 676, 8,87 98,66 97,66 (,) (,),, (,) (,) Most z ismeretleük kitevőbe v Ilyekor logritmust szoktuk segítségül hívi, de ebbe z esetbe zt most sjos em tehetjük, hisze egtív számk em vehetjük logritmusát Szerecsére z számot pozitív egész számok körébe keressük, így egy kicsit ügyeskedhetük: 97, 66 ( ), Tudjuk, hogy [( ) ] ( ), és > 0 eseté ez csk kkor lesz egtív, h z szám pártl, tehát jele esetbe ( ) Osszuk el z egyelet midkét oldlát -gyel, és ezutá már vehetjük midkét oldl logritmusát:

50 0 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 97,66, lg 97,66 lg, lg 97,66 lg, Tehát mérti sorozt első tgját dtuk össze Mitpéld Számítsuk ki mérti sorozt kvóciesét, h tudjuk, hogy z első három tg összege 9,68, és z első tg 8 módszer: Tudjuk,, hogy, q, q 8 és 8, tehát 9, 68, 8 +, 8q +, 8q másodfokú egyelethez jutuk Ezt átredezve és megoldóképletet lklmzv:,8q q q, +,8q, q 9,6 0 ± + 9,6 / :,8 ± 6, q,6 és q,6 megoldásokt kpjuk És vlób, h q,6;,8 + (,68) + 9,8 9,68; és h q,6;,8 + 9,88 +,688 9,68 módszer: Alklmzzuk z összegképletet: q 9, 68, 8 q q 0, 6 q H most beszorozák z egyelet midkét oldlát ( q ) -gyel ( q ), hrmdfokú egyelethez juták H viszot lklmzzuk z b ( b)( + b + b ) zoosságot, átlkíthtjuk törtük számlálóját, mjd egyszerűsíthetük ( q ) -gyel: q q q q ( q )( q + q + ) + + q q q Tehát egyeletük így lkul: q + q + 0, 6 q + q 9,6 0, mi z előzőekbe megoldott egyelet

51 modul: SOROZATOK Midkét esetbe látszik, hogy > eseté z ilye típusú feldtok megoldásár ics módszerük, hisze hrmd- vgy ál mgsbbfokú egyelethez juták > eseté oly egyelethez jutuk, melyek megoldás lgebri eszközökkel áltláb em lehetséges, csk közelítő módszerek vk, mikkel viszot tetszőleges potosságú megoldáshoz eljuthtuk Ilye módszert lklmzk bkok bizoyos törlesztési részletek kiszámolásáál is Mitpéld 6 Egy mérti sorozt első 6 tgják összege 9,696 H csk pártl sorszámú tgokt djuk össze, kkor,68-t kpuk, zz , Mekkor sorozt első tgj? A mérti sorozt pártldik tgji szité mérti soroztot lkotk, hisze ; q ; q oly mérti sorozt egymást követő tgji, melyek első tgj b kvóciese q q és Írjuk fel midkét sorozt eseté megfelelő tgok összegét: 9,696,68 b 6 q, q ( q ) q q q 6 ( q + )( q ) H második egyelet midkét oldlát ( q +) -gyel szorozzuk, z helyére 9,669-ot helyettesíthetük: 6 q kifejezés q,68,68 q 6 ( q )( q + ) 6 q q ( q + ),68 ( q + ) 9,696 Ie q +, q, A sorozt első tgják kiszámításához újr elő kell veük vlmelyik összegképletet:

52 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ ( +) 6, 9, 696, 9, 696 0, 6, A sorozt első tgj tehát q -gyel zért szorozhtuk, mert q, ugyis bb z esetbe S 0 lee 6 Mitpéld 7 Hogy írhtó fel leggyobb 7-jegyű szám -s számredszerbe? Add meg eek értékét tízes számredszerbe! (Ahogy tízes számredszerbe pl 0 szám értéke 0 hárms számredszerbe ) , úgy A hárms számredszerbe leggyobb számjegy, így leggyobb hétjegyű szám Az eredméy em túl meglepő, hisze leggyobb hétjegyű utá legkisebb 7 yolcjegyű következik, mi A feldt tehát zzl z ötlettel is 7 megoldhtó, hogy -s számredszer legkisebb yolcjegyű számából ( ) -et levouk Feldtok Írd fel tízes számredszerbe következő -ös számredszerbeli számot: (Ahogy tízes számredszerbe pl 769 szám értéke 0 ötös számredszerbe pl ) Számítsd ki mérti sorozt első tgják összegét! ),7; q 0,; 9 b) b,; q 0,; 0 0, úgy z

53 modul: SOROZATOK c) c,; q 0,; 0 d) d,; q 0,; 0 e) e 0,6; q ; f) f 0,6; q ; g) g 0,6; q ; 9 0, ) S9, 7, 99; b) 0, ( 0, ) 0 ( 0, ) 0 S 0,, ; 0, 0 0, c) S0,, ; d) S0, 6, 97 ; 0, 0, ( ) ( ) 0 e) S 0, 6 0, 6 0, 6 ; f) S 0, 6 0, 6 0 ; g) S 0, 6, Egy mérti sorozt első tgj, első három tgják összege 7 Írd fel sorozt első három tgját! A feldt szerit + q + q 7, zz q + q 0 ie H q,, kkor h q, 8 0 q 7, vgy q, ( Ell : + ( 0) + 7 7) 7 ( Ell : ), 6 Számítsd ki mérti sorozt első tgját, h ) q S6 60 ; b) q 0, S7 90, 6 ) b) 6 60, ie , 90, 6, ie 0, 6 ( ) ( 0, 8) 90, 6 7 0,,

54 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ VIII A mérti sorozt gykorlti példákb Mitpéld 8 Két üzlet közül z első forglm juár elejé,-szer kkor, mit másodiké Az első üzlet forglmát később hvi 0%-kl, másodikét hvi 0%-kl sikerül öveli ) Melyik hópb lesz második üzlet forglm leglább kkor, mit z elsőé? b) Melyik hópb éri el z ddigi forglom összege második üzletbe z elsőét? ) Midkét üzlet hvi forglmát mérti soroztk tekitjük Jelölje F második üzlet eredeti forglmát, ekkor z első üzlet esetébe:, F, q,, F,, második üzlet esetébe: b F, q, b F, Azt krjuk megtudi, milye eseté lesz b F,,,,,,, F,,,,, / :, Az ismeretle kitevőbe v, tehát z egyelőtleség midkét oldlák logritmusát vesszük Tehetjük ezt, mivel z x lgx függvéy szigorú mooto > 0 ő, így h b, kkor lg lgb is teljesül ( ), lg lg,,,66,66, / : lg > 0, A feti eredméy zt muttj, hogy z idulástól számított htodik hópb lesz először második üzlet forglm gyobb, mit z elsőé b) Most ismét z előbbi soroztokkl számolv zt kell megtuduk, hogy milye eseté lesz s S ( S -el z első, s -el pedig második üzlethez trtozó bevétel,, összegét jelöltük) S, F, s F,,,

55 modul: SOROZATOK,,, F F,,,,, 0, 0, (, ),,,,,, +, Az ilye típusú feldtokt lgebri módszerrel áltláb em tudjuk megoldi Mivel most csk pozitív egész számok körébe keressük megoldást, sőt zt is tudjuk, hogy 6, hisze csk bb hópb érte utol második üzlet forglm z elsőét, próbálgtássl igyekszük válszt di Készítsük tábláztot! ,,,,6,,9,9 A tábláztból láthtó, hogy második üzlet összegzett forglm z idulástól számított 9 hópb már meghldj z elsőét: 9 9,, S9, F 0,7F, s9 F 0,80F,, Mitpéld 9 Krcsik édespj zt ígérte, h mide évbe sját zsebpézéből 0 köyvet vásárol, potos tizedyi (áltl kiválsztott) köyvet vesz eki krácsoyr, mit háy polcá sorkozik Ekkor éppe 00 sját köyve volt A köyveket gyo szereti, de zsebpéze kevés, így évete potos 0 köyvet tudott vásároli Háy köyve lesz így év elteltével? H édespj tizedyi köyvet vásárol, mit háy éppe volt, köyvek számát zok 0 - ével öveli, tehát köyvek szám,-szeresére ő

56 6 MATEMATIKA A ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Év végé ( ), 0 00, + 0, ( 00, + 0, + 0), 00, + 0, + 0, ( 00, + 0, + 0, + 0), 00, + 0, + 0, + 0, ( 00, + 0, + 0, + 0, + 0), 00, + 0, + 0, + 0, + 0, ( 00, + 0, + 0, + 0, + 0, + 0), 00, + 0, + 0, + + 0, Észrevehetjük, hogy z év végé megjeleő összegbe megjeleik kezdetbe meglevő köyvek évi 0%-kl övelt szám, vlmit z éves köyvvásárlások számák évekét,-szeresére övelt értéke Az összeddó tgok egy mérti soroztot lkotk, hol z első tg 0,, kvócies pedig, Így z év végé Krcsi köyveiek szám: (, ) 0, 0 89, 6, 00, + S 00, + 0, 00, + 0, 0,6 köyv icse, így vlós eredméy yilvá em pot eyi, de lig tér el tőle A köyvek szám végül is ttól függ, hogy z p (h köyvek szám em oszthtó 0-zel) merrefelé kerekít Így év elteltével körülbelül 89 köyve lesz Krcsik