ALGEBRA. 1. Hatványozás

Átírás

1 ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel: Jele: ^ vgy y A kijelző lieáris tud megjeleítei: ^ 777 H egtív számot htváyozuk, figyeljük zárójelezésre! ( )^ 777 Megjegyzés: A égyzetre emelésre és köbre emelésre áltláb v külö gomb is. Defiíció: Bármely ullától külöböző szám egtív egész kitevős htváy egyelő ugyeze lp pozitív kitevőjű htváyák reciprokjávl. H 0, kkor. Péld: 9 ) Írd fel szorzt lkb! Pl.: ) b) ( ) c) 7 d) 0 e) 6 f) y g) h) k g) h) i) j) k) 0 l) 6 m) y ) 7 ) Írd fel htváy lkb! Pl.: ) ( ) ( ) ( ) b) c) d) 7 e) b b f) ( ) ( ) ( ) g) c c c c h) p q p q

2 Htváyozás zoossági I. Azoos lpú htváyokt úgy szorzuk, hogy kitevőket összedjuk. m m+ ) Írd htváy lkb szorztokt! Pl.: 7 ) b) c) 9 6 d) 0 e) 6 6 f) g) h) 7 7 g) h) b 0 b i) c c 0 j) d d k) l) 0 m) II. Azoos lpú htváyokt úgy osztuk, hogy z osztdó kitevőjéből kivojuk z osztó kitevőjét. m ( m 0) ) Írd htváy lkb háydosokt! Pl.: 6 ) e) g) k) b) 6 6 f) h) l) c) 9 6 d) 0 g) b 0 b i) 0 m) h) c c 0 j) ) 7 7 d d III. Htváyt úgy htváyozuk, hogy kitevőket összeszorozzuk. ( ) m m ) Írd fel egy htváykét és végezd el htváyozást! Pl.: ) b) c) 9 d) e) f) 7 9 g) 8 0 h) 0

3 ) Írd fel egy htváykitevővel! Pl.: 6 ) b) b c) c d) d 0 e) e 0 f) f 8 g) g h) y IV. Azoos kitevőjű htváyokt úgy szorzuk, hogy z lpok szorztát htváyozzuk. b b ) Írd fel szorzt htváykét és végezd el htváyozást! Pl.: 6 96 ) 0 b) c) d) e) 0, 7 7 f) 0, 8 8 g) 0 h) 9 9 6) Írd szorzt lkb z lábbi htváyokt! Pl.: ( ) ) b) 0 c), 6 d) e) 6 f) g) b h) IV. Azoos kitevőjű htváyokt úgy osztuk, hogy z lpok háydosát htváyozzuk. b b (b 0) 7) Írd tört lkb és végezd el htváyozást! Pl.: ) e) b) f) 7 c) g) 8 8 d) h) 9 8) Írd tört lkb! Pl.: y y ) e) y p q 0 b) f) c) g) b d) h) y c

4 9) Hozd egyszerűbb lkr z lábbi kifejezéseket és htározd meg htváy értékét! Pl.: ) d) g) j) b) 7 e) h) k) c) 6 6 f) ( ) i) l) 8 6 0) Hozd egyszerűbb lkr z lábbi kifejezéseket! Pl.: ) d) g) j) ( ) b) 0 7 c) 8 0 e) 6 y y y h) (b) b b k) (y) y 6 f) y i) b b b y y 0 0 y l) ( ) ) Alkítsd át egy egész szám htváyár z lábbi kifejezéseket! Pl.: 7 9 ) b) c) d) 9 e) 7 9 f) 7 9 g) 0 0, 00 h) 0 0, i)

5 Számok ormállkj A midepi életükbe bizoyos dtokt gyo gy, illetve gyo kicsi számokkl írhtuk le. Defiíció: Mide pozitív szám egyértelműe felírhtó egy oly kéttéyezős szorztkét, melyek első téyezője és 0 közötti szám, második téyezője pedig 0 egész kitevőjű htváy. Ez számok ormál lkj. b 0 ( < 0; Z) ) Htározd meg z ismeretle kitevőt! Pl.:,, 0 800, , 0 b,, 0 c 60,,60 0 d,, 0 e, 0 f 0 000, 0 g 0,00 0 0,00000, 0 i 0,000, 0 j 0, k 0,, 0 l ) Írd fel számokt ormál lkb! Pl.: 700 7, 0 ) 90 b) 6,7 c) d) e) 9, f) 0,07 g),6 h) 000 i) 6, j) 0,00 k) 0, l) 0,0000 ) Add meg z lábbi szorztok értékét ormál lkb! Pl.: 7, , 0 8 ) 0 6 (. 0 8 ) b) 7 0 ( 0 ) c) ( 0 ) ( 0 0 ) d) e) f) ) Add meg z lábbi összegek értékét ormál lkb! Pl: , 0, 0 ) (. 0 8 ) b) ( 0 0 ) c) 0 + ( 0 0 ) d), 0 0 e) f)

6 . Algebri kifejezések Egy lgebri kifejezés kostsokból (vgy álldóból), változókból (vgy ismeretleekből) és lgebri műveletekből áll. A kostsok számok, míg változókt áltláb betűkkel (ritká más jelekkel) reprezetáljuk. Példák: Egyváltozós lgebri kifejezések: 7k Kétváltozós lgebri kifejezések: b + y + b Négyváltozós trtlmzó lgebri kifejezések: b + c + d Egyéb foglmk: () Kitevő: A változók htváykitevője. () Együtthtó: H egy kostssl szorzuk egy változót, zt változó kitevőjéek evezzük. () Tg: Egy kitevőből és egy vgy több változó szorztából áll és zok htváyiból. () Előjel: Egy tg lehet egtív vgy pozitív. (Az összedás és kivoás jele is előjel.) Alphlmz: Az lphlmz egy számhlmz, mely elemeit változók helyettesítik. Példák: H k Z, kkor k + lgebri kifejezés jeleti z összes pártl egész számot. H N +, kkor kifejezés jeleti pozitív többszöröseit. H R {0}, kkor z kifejezés lphlmz egybe z értelmezési trtomáy. ) Krikázd be külöböző szíel z együtthtókt és változókt! H em látszik z együtthtó, kkor írd oly lkb kifejezést, hogy meg tudd oldi feldtot! ) b) b c) d) y e) bc f) g) b ( ) h) c (,) H z lgebri kifejezésbe változók helyére kokrét számokt íruk, és műveleteket elvégezzük, kkor kifejezés behelyettesítési értékét kpjuk. ) Htározd meg kifejezések behelyettesítési értékét! ) +,, h b) h

7 Két lgebri kifejezés egyemű, h csk együtthtóib külöbözek. ) A következő lgebri kifejezésekből gyűjtsd külö z egyemű kifejezéseket! ; y; y; ; ; y ; ; y; y ; ; ; y ;,8 ; y; y ; y;,6y y ; ; 0, y. Egy többtgú lgebri kifejezésbe z egyemű tgokt összevohtjuk. ) Végezd el lehetséges összevoásokt! Pl.: ) + + b) + 6 c) d) e) b 9 f) g) y y y h) i) j) + 7 k) l) ) Végezd el szorzásokt! Pl.: y 6 y ) 6y b) 7 8y c) 9y 8 y d) 6 e) y ( y) f) y ( 6) g) y 7 h) ( 6y ) i) (y ) (y ) j) (y) k) ( y) (7 y) l) A szorzás z összedásr ézve disztributív, zz z összeg szorzását tgokét is elvégezhetjük. 6) Végezd el z lábbi szorzásokt, zz botsd fel zárójelet! Pl: 7 8 ) ( ) b) ( ) c) (b ) d) (c + ) e) ( ) f) (6 b) g),( ) h),(y +,) i) ( ) j) ( + ) ( ) k) y( y + ) l) 6( 7 ) 6

8 7) Botsd fel zárójelet, és végezd el lehetséges összevoásokt! Pl: ) ( + )( + ) b) ( )( ) c) ( )( + ) d) (y + )(y ) e) ( + 0,7)(,) f) ( )( ) g) ( )( + ) h) (z +,)(z,) i) + j) ( 0,)( + ) k) (,8 )( + ) l) + b b Nevezetes szorztok Néháy többtgú kifejezések szorztát érdemes fejből tudi. Ezek z úgyevezett evezetes szorztok. A három legfotosbb evezetes szorzt: + b + b + b b b + b + b b b 8) Végezd el égyzetre emeléseket! Pl: ) + y b) + b c) + d) + e) + 0, f) y + g) + h) 0, + b i) + d j) + y k) c + l) + f 9) Végezd el égyzetre emeléseket! Pl: ) y b) b c) d) e) 0, f) y g) h) 0, b i) d j) y k) c l) f 0) Végezd el szorzást, vgyis botsd fel zárójeleket és voj össze! Pl: + ( ) 6 ) y ( + y) b) b ( + b) c) + d) + e) + 0, 0, f) y + y g) + h) 0, + b 0, b i) + d ( d ) j) y (y + ) k) c (c + ) l) f + ( f )

9 ) Írjuk fel szorztlkb (vgy két tg égyzetekét), z lábbi kifejezéseket! ) + y + y b) + c) y d) c + cd + d e) y + y f) c d g) + k + 9k h) b 6bc + 9c i) 6p j) k) 0y + y l) 9k m) 6p + 60pq + q ) 0b + 6b o) Az egyváltozós másodfokú kifejezéseket evezetes szorztok segítségével át tudjuk úgy lkíti, hogy változó csk egy kéttgú kifejezés égyzetébe fordul elő. Ezt evezzük teljes égyzetté lkításk. Péld: ) Alkítsuk teljes égyzetté z lábbi kifejezéseket! ) + + b) 0 + c) d) e) f*) ) Botsuk fel zárójeleket és vojuk össze! (Ügyeljük z előjelekre!) Pl.: ) b) + y 6 + y + y + c) + b b b + d) e) f) + g) h) 8y + y 8 + y 9

10 A szorzttá lkításk több módszere v: ) Kiemelés ) Nevezetes szorzt hszált Szorzttá lkítás (többtgú lgebri kifejezések egytgúvá lkítás) Kiemelés: Egy többtgú kifejezésbe meg kell tláli tgokb közös szorzótéyezőt, és zt kiemelve zárójel elé (esetleg mögé) írjuk. Példák: + 6 ( + ) + ( + ) + + ( + + ) ) Alkítsd szorzttá z lábbi kifejezéseket! ) + b b) 0 y c) + b d) + e) 6 f) b c g) y 6z h) 0y i) y j) k) + 0 l) 8 6 m) ) o) + b + c Nevezetes szorzt hszált: H em tláluk közös szorzótéyezőt, kkor meg kell vizsgáli kifejezést, hogy evezetes szorztról v-e szó. Példák: y 0y + 9 y ( ) ) Alkítsd szorzttá z lábbi kifejezéseket! ) y b) k c) d) e) f) 9 g) y + y h) i) + j) + + j) k) + b + b 6) Az lábbi kifejezésekből emeljük ki, mjd botsuk további téyezőkre. ) b b) c) 0b d) + y + y e) 6 + f) + + 0

11 Algebri törtek Defiíció: Algebri törtekek evezzük z oly lgebri kifejezéseket, hol evezőbe ismeretle szerepel. Egy tört em értelmezhető, h evező értéke ull. 7) Az ismeretleek mely értékeire em értelmezhetők következő törtek. Pl.: (Avgy htározzuk meg kifejezések értelmezési trtomáyát!) + ) b) d) g) j) + b b + e) h) j) 6q + q + + y + ( ) c) f) i) k) b b 7 + ( + ) Algebri törtek egyszerűsítése: Az lgebri törteket kkor csk kkor tudjuk egyszerűsítei, h szorzt lkb vk (vgyis számlálób, és evezőbe is egy egy tg szerepel). Ebbe z esetbe közös szorzótéyezővel leoszthtjuk számlálót és evezőt. Példák: + 8 ( + ) ( ) ( ) (Itt közös szorzótéyező.) (Itt közös szorzótéyező z.) (Itt közös szorzótéyező z +.) 8) Egyszerűsítsük z lábbi lgebri törteket ( változók megegedett értékei mellett). ) d) g) j) y 0 b) + b c) 7 6 e) y + 6y + 8 f) 7 + b + b h) b + b + b j) + i) + + k) b 6 b b +

12 Algebri törtek összevoás: Az lgebri törteket úgy tuduk összevoi, hogy közös evezőre hozzuk őket. A közös evező megtlálásáb sokt segít, h először szorzttá lkítjuk evezőbe szereplő kifejezést, mjd úgy tláljuk meg közös többszöröst. Az összevoásál ügyelük kell z előjelekre. Példák: ( + ) 9 ( + ) ( + ) ( + ) + + ( + ) 0( + ) ( + ) ) Vojuk össze z lábbi kifejezéseket! ( változók megegedett értékei mellett). ) + b) c) d) e) f) y y + y y + 6 g) h) + b b 8b b 8 i) + j) j) k)

13 . Gyökvoás A égyzetgyök foglm Négyzetgyökvoás számológéppel: Jele: Defiíció: H 0, kkor jeleti zt emegtív számot, melyek égyzete. b b és ; b 0 A kijelző lieáris tud megjeleítei: 0,06 0, H törtszámból vouk gyököt, megtehetjük zárójelek segítségével! ) Mivel egyelő? (Ahol kell, ott kerekíts két tizedesjegy potossággl. ( ) 0,86968 ) b) 6 c) 0 d) e) 6 f) 6 g) h) 096 g) h) i) j) 0 k) 0, l) 9 m) 6 ) Defiíció: A rcioális számokt felírhtjuk két egész szám háydoskét (ormál törtlkb). H egy szám em írhtó fel két egész szám háydoskét, kkor irrcioális számk evezzük. Megjegyzés: A rcioális számok véges vgy végtele szkszos tizedes törtek, míg z irrcioális számok végtele em szkszos tizedes törtek. Példák: 0 felírhtó két egész szám háydoskét tehát z rcioális szám 6 0,, végtele szkszos tizedestört,6 végtele em szkszos tizedestört, irrcioális szám ) Htározzuk meg következő kifejezések értelmezési trtomáyát! Pl.: + ) + b) + c) + d) + e) f)

14 A égyzetgyökvoás zoossági I. Szorzt égyzetgyöke egyelő téyezők égyzetgyökéek szorztávl. b b ( 0 és b 0) Péld: ) Végezzük el következő műveleteket: ) 00 9 b) 8 00 c) 6 II. Tört égyzetgyöke megegyezik számláló és evező égyzetgyökéek háydosávl. b b ( 0 és b > 0) Péld: ) Végezzük el következő műveleteket: 0, 0, ) 8 b) 9 c) 9 6 III. A égyzetgyökvoás és htváyozás művelete felcserélhető. k k ( 0 és k Z) Péld: ) Végezzük el következő műveleteket: ) b) 9 c) 8 III. A égyzetgyökös kifejezés páros kitevőjű htváy megegyezik kitevő felére emelt htváyl. k k ( 0 és k páros egész) 6) Végezzük el következő műveleteket: ) b) 8 c) 7 d) e) f)

15 A égyzetgyökvoás zoosságik lklmzás Sokszor hhoz hogy össze tudjuk hsolíti égyzetgyökös kifejezéseket, vgy köyebbe tudjuk műveleteket végezi velük, szükség lehet rr hogy átlkítsuk kifejezéseket. I. Egy természetes szám égyzetgyök lól vló kihozás: Péld: 8 7) Hozzuk ki égyzetgyökjel elé lehető leggyobb természetes számot: ) b) 7 c) d) 7 e) 6 f) 08 8) Vojuk össze z lábbi égyzetgyökös kifejezéseket! Pl.: ) + 00 b) c) d) e) f) II. Négyzetgyökjel lá vló bevitel: Péld: ) Négyzetgyökjel lá vitellel írjuk egyszerűbb lkb következő kifejezéseket! ) b) c) 6 d) e) 7 7 f) 7 0) Állpítsuk meg melyik szám gyobb, számológép hszált élkül. Pl.: vgy > 7 ) vgy 0 b) vgy 80 c) 8 vgy 8 d) vgy e) vgy 0, f) vgy 0 ) Botsuk fel zárójeleket! Pl.: ) ( + ) b) c) + d) e) + f)

16 Nevező gyökteleítse (A kifejezés szorzás -gyel oly lkb, hogy gyökjel eltűjö): Péld: + + ) Gyökteleítsük z lábbi törtekbe evezőket! ) b) c) 7 d) e) 7 f) 0 g) j) 7 h) k) i) l) 7 Összetettebb feldtok: ) Számítsuk ki következő kifejezések értékét! ) b) + + c) + d) e) g*) + 7 f)

17 Defiíció: H páros egész és 0, kkor számot, melyek z -edik htváy. H páros: b H pártl egész, kkor -edik htváy. H pártl: b Az -edik gyök foglm jeleti zt emegtív b és ; b 0 jeleti zt számot, melyek z b Gyökvoás számológéppel: Jele: vgy /y A gyökvoás áltláb másodlgos fukció, és htváyozás gomb felett tlálhtó. Az ilye fukciókt SHIFT vgy df gombbl lehet hszáli. A kijelző lieáris tud megjeleítei: 8 ) Mivel egyelő? (Ahol kell, ott kerekíts két tizedesjegy potossággl.) ) 7 b) 8 c) 8 d) 0 e) 6 f) 8 g) 6 8 h) g) h) 0 i) 0,000 j) 6 k) 79 6 l) 00 6 m) ) ) Htározzuk meg következő kifejezések értelmezési trtomáyát!pl.: ) + b) c) 6 d) 8 7 e) 0, f) + 9 e) f) g) 8 + Megjegyzés: A égyzetgyök is -edik gyök (második gyök), csk közös megegyezés lpjá em tesszük ki z ideet. 7

18 Az -edik gyök zoossági I. Szorzt -edik gyöke megegyezik téyezők -edik gyökéek szorztávl. Péld: b b ) Végezzük el következő zárójelfelbotásokt, és hozzuk kifejezést egyszerűbb lkb! Pl.:, +, ) b) c) +, d) e) 8 0, f), + 6, II. Tört -edik gyöke egyelő számláló és evező -edik gyökéek háydosávl. b b 7) Hozd egyszerűbb lkr és htározd meg z eredméyt! Pl.: 6 8 ) b) 0 d), 7 d) + 0 e) + 0 f) III. A gyökvoás és htváyozás felcserélhető műveletek. k k 8) Hozd egyszerűbb lkr, és htározd meg z eredméyt! ) 8 b) e) 0 6 d) e) 7 f) 6 8

19 IV. Gyökek gyökét felírhtjuk úgy is, hogy gyökjelek ltti kifejezésből oly kitevővel vouk gyököt, mely z eredeti gyökkitevők szorzt. m m 9) Hozd egyszerűbb lkr! ) b) b f) 0 d) 6 e) 7 f) 7 V. A gyök és htváykitevő egyszerűsíthető, illetve bővíthető. m k m 0) Hozd egyszerűbb lkr! ) 6 b) g) 0 d) e) 6 f) Összetett feldtok: ) + 8 b) 0 + d) e) + f) + g*) 9 + 9

20 HASZNOS WEBOLDALAK: Egy tköyvkidó olie segédyg edik_gyoke Mgyrázó videók és olie tesztek Okttási célll létrehozott közösségi oldl