Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük.

Átírás

1 Arányosság Az törtszámot z és szám rányánk, egyszeren ránynk nevezzük. Az rány értéke zt ejezi ki, hogy z szám hányszor ngyo számnál, illetve szám hányszor kise z számnál. Az rányokkl végezhet két legontos mvelet vítés és z egyszersítés: k k illetve k k k k hol k nem null. A gykorltn eloruló mennyiségek nem elszigetelten változnk, kpsoltn vnnk egymássl, üggnek egymástól. A legegyszer kpsolt z egymástól ügg mennyiségek között z egyenes és orított rányosság.. értelmezés Két, egymástól ügg változó mennyiség egyenes rányn vn egymássl, h: ) z egyik növekeésével (sökkenésével) másik is n (sökken); ) h z egyik n-szeresére növekszik (n, sökken), kkor másik is n-szeresére növekszik (sökken).. tétel Az M, illetve M 2 mennyiségek és 2, illetve y és y 2 értékeire egyenes rányosság esetén z y 2 vgy ránypárok írhtók el. y y y értelmezés Két, egymástól ügg változó mennyiség orított rányn vn egymássl, h ) z egyik növekeésével (sökkenésével) másik sökken (növekszik); ) h z egyik n-szeresére növekszik (n, sökken), kkor másik n-e részére sökken (növekszik). 2. tétel Az M, illetve M 2 mennyiségek és 2, illetve y és y 2 értékeire orított rányosság esetén z 2 y vgy y2 2 y vgy 2 ránypárok írhtók el. 2 y y y 2 3. értelmezés Tö, egyenl érték rányt egyenl rányok soroztánk nevezzük. Tehát, h n k, k,... k, kkor 2 n... n \{}. 2 2 n 2 n Amennyien n = 2 (tehát két egyenl rányról vn szó), z ránypár megnevezést hsználjuk.

2 Az ránypárok tuljonsági * Az ránypárok lptuljonság: vgyis kültgok szorzt egyenl eltgok szorztávl. * Az ránypár ismeretlen tgjánk kiszámolás:,,, * Változtln tgú szármzttás: - elseréljük eltgokt: - elseréljük kültgokt: - elseréljük eltgokt és kültgokt is: - megorítjuk z rányt: * Megváltozttott tgú szármzttás:,,, :, : :, : : :, : :,,,,, k k pq pq A tuljonságoknk izonyítás z lptuljonság segítségével történik! 2

3 Következmény: Az ránypárok tuljonság lpján levezethet z egyenl rányok soroztánk egy ontos tuljonság: kk... k... kk... k 2 n 2 2 n n 2 n 2 2 n n, n \{}, Arányos mennyiségekkel kpsoltos eltok Egyszer hármsszállyl megolhtó eltok A hármsszály, z rányos mennyiségek három ismert értékének és kiszámítnó ismeretlen értékének íráseli elrenezését jelenti, z ismeretlen kiszámolás éljáól.. elt: Egy l álló szerelsoport npont 30 motort tu összeszerelni. Hány motort tu összeszerelni npont 8 munkás? Leghmr zt vegyük észre, hogy lét-szám és motor r-szám egyenes rányn vnnk! megolás egységre hoztlll:.30 motor 30: = 6 motor =48 motor megolás ránypárokkl:.30 motor motor Mivel egyenesen rányosságról vn szó, z értelmezés lpján elírhtó, hogy ( motor) megolás egyszer hármsszállyl:.30 motor motor 30 honnn ( motor) 2. elt: 6 munkás egy munkát 4 ór ltt végez el. Ugynezt munkát 8 munkás hány ór ltt végezi el? Leghmr zt vegyük észre, hogy munkások szám és z ór orított rányn vnnk! megolás egységre hoztlll: 6 munkás.4 ór munkás 6 4=24 ór 8 munkás :8=3 ór 3

4 megolás ránypárokkl: 6 munkás.4 ór 8 munkás ór Mivel egyenesen rányosságról vn szó, z értelmezés lpján elírhtó, hogy 64 3 (ór) 8 megolás egyszer hármsszállyl: 6 munkás.4 ór 8 munkás ór 6 honnn (ór) 8 3. elt: Egy kertl 20 elntt és gyerek 2 np ltt szei le gyümölsöt, npi 7 órát olgozv. Hány np ltt szei le gyümölsöt, ugynkkor területrl, egy 2 elnttl és 20 gyerekl álló soport, h npi 6 órát olgoznk és tujuk zt, hogy gyermek npján ugynnnyi gyümölsöt sze le mint 4 elntt. A eltn lényegéen 2 mennyiség vn: munkás (elntt, illetve elntt munkájávl egyenl munkát végz gyermek), és z i (órán mérve). Elször is próáljuk meg gyermek munkáját elntt munkán kiejezni, így egyjt munkásról lesz szó. gyermek.4 elntt gyermek. elntt 4 4 Mivel egyenes rányosságról vn szó, ezért honnn 2 (elntt) Az els soportn tehát 20+2=32 munkás volt, kik 2 7= 84 órát olgoztk. gyermek.4 elntt 20 gyermek. elntt Mivel egyenes rányosságról vn szó, ezért honnn 6 (elntt) 20 A másoik soportn 2+ 6= 28 munkás olgozott nem tuni, hogy hány órát. Tehát 32 munkás.. 84 ór 28 munkás.. ór Ezúttl munkások szám és munki (órán) orított rányn vnnk, tehát: 32 honnn (ór). 28 A 96 ór npi 6 órát leolgozv np. 4

5 Összetett hármsszállyl megolhtó eltok Akkor eszélünk összetett hármsszályról, h eltn 2-nél tö rányos mennyiség vn.. elt: 3 zonos hozmú spon 72 per ltt 4680 l víz olyik ki. Mennyi i ltt olyik ki 9 ugynilyen spon 670 l víz? A megolás során minig 2 mennyiséggel olgozunk, töit változtlnul hgyv! A megolás során olgozhtunk egységre hoztlll vgy tö egyszer hármsszállyl, vgy z ránypárokkl. Een z eseten is ez utóivl olgozunk. A elt szerkezete: 3 sp 4680 l 72 per 9 sp. 670 l per A elt megolás összetett hármsszállyl, hol spok szám lesz változtln: 3 sp l. 72 per 3 sp..670 l y per Mivel itt liter vízmennyiség és z i (per) egyenes rányn vnnk, ezért: honnn 670 y y 30 3 Most változtssuk meg spok számát is: 3 sp. 670 l per 9 sp l. per Mivel itt spok szám és z i (per) orított rányn vnnk, ezért: 3 honnn 0 (per) A elt megolás gyorsíthtó, h kiolgozunk egy számítási szályt. Nézzük elt tit: 3 sp 4680 l 72 per 9 sp. 670 l per Az el két számolási menetet egyevetve rr következtehetünk, hogy z ugynnnyi, h így számoljuk ki: A gyorsított eljárás szályi következk: ) Felírjuk elt szerkezetét két sor úgy, hogy z zonos mennyiségek értékei egymás lá kerüljenek.

6 2) Megállpítjuk, hogy z ismeretlent trtlmzó mennyiség milyen rányn áll töi mennyiséggel. H egyenes rányn áll kkor leele nyilt, h orított rányn áll, kkor elele nyilt teszünk z illet oszlop mellé. 3) Ahová orított irányú nyíl kerül, ott z rány orítottját vesszük, máshol mgát z rányt. Az így kpott ismert rányokt összeszorozzuk, és egyenlvé tesszük z ismeretlent trtlmzó ránnyl. Nézzünk egy pélát is. Gyorsított eljárássl oljuk meg következ eltot: 2. elt: 8 szöv npi 6 óri munkávl 840 m vásznt np ltt sz meg. Hány np ltt sz meg 630 m vásznt olyn szöv, ki npont 9 órát olgozik? 8 szöv 6 ór / np m np szöv 9 ór/ np m np A orított vgy egyenes rányosságok lpján, joollról elinulv, kitettük z egyes nyilkt. Ezek szerint honnn = 4 (np) Egy mennyiség elosztás ott számokkl rányos részekre 2 k k k Az ilyen eltok megolás során már említett... 2 k k k szármzttás vlmilyen ormáját hsználjuk. n n n n n n. elt: Egy meneékházn z elszállásolásért 3 személy tllért izetett. Az els sk 2 npot, másoik 3 npot, hrmik 4 npot trtózkoott ott. Hány tllért izettek különkülön? Algeri megolás Mivel, h vlki tö npot töltött meneékházn, kkor töet kell, hogy izessen (nnyiszor töet, hányszor tö npot volt ott), z eltöltött npok szám és izeten pénzösszeg egyenes rányn vn. Legyen renre, y és z z els, másoik, illetve hrmik személy áltl izetett pénzösszeg. Ekkor következ ránysor írhtó el: y z yz , honnn : 2 = 000 = = 0 000, y : 3 = 000 y = = 000, z : 4 = 000 z = = Tehát személyek renre 0 000, 000, illetve tllért izettek. Aritmetiki megolás Az el megolás során tuljonképpen következ gonoltmenetet követtük:. A 3 személy összesen = 9 npot izetett ki. 2. Egy npr : 9 = 000 tllért izettek. 3. Az els személy = tllért izetett. 4. A másoik személy = 000 tllért izetett.. A hrmik személy = tllért izetett. 6

7 . elt: Az A, B, C, D városok úgy helyezkenek el, hogy z AB, BC, CD távolságok egyenesen rányosk 3, 4, 2 számokkl. Tuv zt, hogy z AB távolság ötszörösének meg BC távolság háromszorosánk és CD távolság négyszeresének z összege 30 km, számítsuk ki z AB, BC és CD távolságokt! Algeri megolás Egyenes rányosságról lévén szó, elírhtó, hogy: AB BC CD AB 3BC 4 CD ) 3) 4) Tehát AB = 3 0 = 30 (km), BC = 4 0 = 40 (km), CD = 2 0 = 20 (km).. Aritmetiki megolás. Az AB, BC, CD távolságok renre 3, 4, illetve egyenl részl állnk. 2. Az AB + 3 BC + 4 CD távolságösszeg = 3 rész. 3. Az AB + 3 BC + 4 CD távolságösszeg (mi 30 km) pontosn 3 részl áll, ezért rész 30 km : 3 = 0 km. 4. Tehát AB = 3 0 km = 30 km, BC = 4 0 km = 40 km, CD = 2 0 km = 20 km. 2. elt: Négy ás egy házt kr építeni. Az els egymg év ltt építi el, másoik 2 év ltt, hrmik 3, negyeik 4 év ltt. Mennyi i ltt építik el z illet házt, h min négy együtt olgozik? Algeri megolás Mivel z egyes munkások teljesítménye (z iegység ltt végzett munk) és z építésre orított i orítottn rányos mennyiségek, h z egyes munkások teljesítményét renre, y, z és t jelöli, kkor y z t 2 2y 2z 2t 2( yzt) yzt Az ránysoról leolvshtó, hogy négy munkásnk együtt 2 évre, zz (z évet 36 2 npnk véve) 2 (36 : 2) = 7 + npr vn szüksége. Aritmetiki megolás H minegyik ás ugynnnyi ieig, 2 évig olgozn, z els 2 házt, másoik 6-ot, hrmik 4-et, negyeik 3-t építene el. Együtt összesen = 2 házt építenének el. Egy évet 36 npnk véve négy ás együtt házt (2 36) : 2 = 7 + np ltt épít el. 3. elt: Egy tömház 3 lépsházát 26 munkás esti ki. Hány munkásnk kell olgozni minegyik lépsházn hhoz, hogy z els lépsház estése 2 np ltt, másoiké 3 np ltt, hrmiké peig 4 np ltt ejezjön e? (Feltételezzük, hogy minegyik munkás ugynnnyi i ltt ugynnnyi munkát végez.) Algeri megolás Könnyen eláthtó, hogy een z eseten is orított rányosságról vn szó. Legyen renre, y és z z els, másoik, illetve hrmik lépsházn olgozó munkások szám. Ekkor elírhtó, hogy 7

8 y z 2 2y 2z 2( yz) A 2-vel vló vítést (kársk z el elt esetéen is) törtekkel vló mveletvégzés elkerülése és z lgeri, vlmint z ritmetiki megolás közelítése éljáól végeztem. Tehát munkás, 2 2 y y 8 munkás, 3 3 z z 6 munkás. 4 4 Aritmetiki megolás Ugynsk törtekkel vló mveletek elkerülése éljáól úgy képzeljük el, minth 26 munkás ugynnnyi ieig (2 npig) olgozn.. A 2 np ltt z els lépsház munkási 2 : 2 = 6 lépsházt, másoik lépsház munkási 2 : 3 = 4 lépsházt, hrmik lépsház munkási 2 : 4 = 3 lépsházt tunk kiesteni. 2. Tehát 2 np ltt 26 munkás = 3 lépsházt tu kiesteni. 3. Ezért 2 np ltt 26 : 3 = 2 munkás lépsházt est ki. 4. Így 2 2 = 24 munkásnk kell olgozni hhoz, hogy egy lépsház np ltt ki legyen estve.. Az els lépsházt 2 np ltt 24 : 2 munkás, másoik lépsházt 3 np ltt 24 : 3 = 8 munkás, hrmik lépsházt 4 np ltt 24 : 4 = 6 munkás esti ki. 4. elt: Egy meene eltöltéséhez 3 spot hsználhtunk. A spok vízhozmáról következket tujuk: z els és másoik sp együtt 3 ór, másoik és hrmik együtt 4 ór, míg hrmik és z els sp együtt 6 ór ltt töltené meg meenét. Hány ór ltt töltenék el meenét spok külön-külön? Algeri megolás Jelöljük renre -szel, y-nl és z-vel z els, másoik, illetve hrmik sp vízhozmát (z ór ltt kiolyt vízmennyiséget). Mivel vízhozm és meene megtöltéséhez szükséges i között orított rányosság áll enn, következ ránysor írhtó el: y yz z 2( yz) yz, honnn yz yz yz( yz) Hsonlón y z z y és y z y z Az ránysorokól leolvshtó, hogy z els sp meenét 8 ór ltt, másoik ór ltt, hrmik sp peig 24 ór ltt töltené meg. 8