Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Átírás

1 Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük

2 Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált osztályok helyzetvektorok pontok

3 Vektorlger VE Vektor jellemzői hossz (ngyság): irány helyzetvektor esetén: vontkozttási pont helye Speciális vektorok: nullvektor: 0 egységvektor: v

4 Vektorlger VE 4 A vektorműveletek geometrii értelmezése Definíció: összedás Az összedás tuljdonsági: ( c ) ( ) c 0 ( - ) 0

5 Vektorlger VE 5 Definíció: szorzás számml A számml vló szorzás tuljdonsági: t ( s ) ( t s ) ( t s ) t s t ( ) t t

6 Vektorlger VE 6 Definíció: lineáris komináció Az,,, n vektoroknk t, t,, t n képzett lineáris kominációj számokkl vektor. t t t n n

7 Vektorlger VE 7 Definíció: skláris szorzás cosα Egy fiziki péld: W F r cosα F r Megjegyzés és pontosn kkor merőlegesek, h 0

8 Vektorlger VE 8 Definíció: vektoriális szorzás Az és vektorok vektoriális szorztán zt z -vel jelölt vektort értjük, melyre sinα (,, ) josodrású rendszer Egy fiziki péld: F q (v B)

9 Vektorlger VE 9 A vektoriális szorzás tuljdonsági - ( ) ( ) c c c ( t ) t ( ) Tétel és pontosn kkor párhuzmos, h 0 Definíció: vegyes szorzás c ( c )

10 Vektorlger VE 0 Definíció: derékszögű koordinátrendszer H z i, j, k egységvektorok páronként merőlegesek een sorrenden josodrású rendszert lkotnk O tér egy rögzített pontj kkor z (O, i, j, k ) négyest derékszögű koordinátrendszernek nevezzük.

11 Vektorlger VE Elnevezések i, j, k : ázisvektorok { i, j, k } : ázis (ortonormált vektorrendszer) O : koordinátrendszer kezdőpontj Megjegyzések A skláris és vektoriális szorzás definíciój, illetve tuljdonsági lpján: ii, jj, kk, ij 0, ik 0, jk 0 továá i i 0, j j 0, k k 0, i j k, j k i, k i j

12 Vektorlger VE Tétel Minden v vektor egyértelműen előállíthtó z i, j, k ázisvektorok lineáris kominációjként: Definíció: koordináták v v i v j v k A v, v, v számokt v vektor koordinátáink nevezzük.

13 Vektorlger VE Megjegyzés Egy vektor koordinátái különöző koordinát-rendszereken különözőek! A koordinátrend-szer megválsztás efolyásolhtj számítások onyolultságát:

14 Vektorlger VE 4 Definíció: pont koordinátái Egy pont koordinátáink pont muttó helyzetvektor koordinátáit nevezzük. P (v, v, v ) H dott egy koordinátrendszer, kkor R és geometrii tér pontji (vektori) között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ennek lpján geometrii prolémák R eli számításokkl megoldhtók ( vektorok koordinátáivl kell számolni ).

15 Vektorlger VE 5 Számolás koordinátákkl Összedás H (,, ) és (,, ), kkor (,, ) Szorzás számml H (,, ) és t R, kkor t ( t, t, t )

16 Vektorlger VE 6 Az (,, ) vektor hossz (normáj): Az 0 vektorrl egyirányú egységvektor: 0 Péld Az (,,) vektorrl egyirányú egységvektor : 9 0 (,,),,

17 Vektorlger VE 7 Tétel Az (,, ) és (,, ) vektorok cosα módon értelmezett skláris szorzt: Ez megegyezik z R -eli skláris szorzássl. Indoklás Mivel ii, jj, kk, ij 0, ik 0, jk 0, ezért ( i j k)( i j k) i i j j k k i j i k j i j k k i k j

18 Vektorok szögének kiszámítás cos α z (,-4,5) és (,,) vektorok szöge: ) ( 5 4) ( cos α α 68 Vektorlger VE 8 Péld

19 Vektorlger VE 9 A koordináttengelyekre eső merőleges vetületek Vetületek hossz ( koordináták ): v v i, v v j, v v k Vetületvektorok: v v i (v i) i v v j (v j) j v v k (v k) k v (v i) i (v j) j (v k) k

20 Vektorlger VE 0 Vektor merőleges vetülete dott irányr A v vetületének hossz z irányn: d v 0 Vetületvektor: d (v 0 ) 0

21 Vektorlger VE A vektoriális szorzt kiszámítás koordinátákkl H (,, ), (,, ), kkor ( -, -, - ) Emlékeztető sinα (,, ) josodrású rendszer Indoklás Mivel i i, j j, k k, i j 0, i k 0, j k 0, ( i j k) ( i j k) i i j j k k i j i k j i j k k i k j ( - )i (- )j ( - )k

22 k j i det Vektorlger VE A számolás könnyeen megjegyezhető een formán: Ez z írásmód zt jelképezi, hogy vektori szorzt úgy számolndó, minth formálisn egy hrmdrendű mátrix determinánsát számítnánk ki. (4,5,-), (,,6) 6,) (, k j 6 i k 5 4 det j 6 4 det i 6 5 det k j i det Péld

23 Vektorlger VE Csúcspontjivl dott háromszög területének kiszámítás T Megjegyzés Az fenti képlet összefügg háromszög területét megdó, jól ismert formulávl: T sin α Péld A (,,0), B (5,8,-), C (,6,6) Ekkor (4,5,-), (,,6), (,-6,) T ( 6) 769

24 Vektorlger VE 4 Kitérő egyenesek távolság H kitérő egyenesek irányvektori v ill. v, kkor z n v v vektor párhuzmos z egyenesek normál trnszverzálisávl. H A z e egyenes, B z e egyenes egy pontj, kkor z egyenesek távolság megegyezik z vektornk z n irányr eső merőleges vetületének hosszávl.

25 Vektorlger VE 5 A vegyes szorzt kiszámítás koordinátákkl c det c c c Emlékeztető c ( c )

26 Vektorlger VE 6 Csúcspontjivl dott tetréder térfogt V c 6 Péld A (,,0), B (5,8,-), C (,6,6), D (-4,-,0) Ekkor (4,5,-), (,,6), c (-5,-6,0), 4 5 c 9 c det 6 9 V,