n m db. szám a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a ij két indexű mennyiség (i sor index, j oszlop index) a ib j

Átírás

1 a R 1 db. szám a 1, a 2,..., a n {a i} i=1,n a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a 11 a a 1m a 21 a a 2m a n1 a n2... a nm {a ij} i=1,n,j=1,m R a ij két indexű mennyiség (i sor index, j oszlop index) n db. szám n m db. szám a ib j a 1b 1 a 1b 2... a 1b m a 2b 1 a 2b 2... a 2b m a nb 1 a nb 2... a nb m a ii, a ib i egy szabad indexű mennyiségek.

2 c ijk R, i = 1, n, j = 1, m, k = 1, p három indexű mennyiség, n m p db. szám Három dimenzióban téglatestszerű elrendezésben képzelhető el (függőleges réteg, sor, oszlop). Kisebb indexszámú mennyiségekből nagyobb, pl. a ib jk, a ijb k, a ib jc k. Nagyobb indexszámú mennyiségekből kisebb, pl. c iij, c jij, c ijj, (kettő) c iii, (egy). a = b egy db. egyenlet a i = b i, i = 1, n azaz a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b n n db. egyenlet. Érvénytelen egyenlőségek: a i = b k, a = b i a ij = b ij = c id j, i = 1, n, j = 1, m n m db. egyenlet. Érvénytelen egyenlőségek: a ij = b i, a ij = b ik, a ij = b Szabály: Egy egyenlet mindkét oldalán elhelyezkedő mennyiségek azonos szabad indexekkel rendelkeznek.

3 A a 1+a 2+ +a n n i=1 a i i a i, egyetlen érték i futó(összegzési) index B b 1 + b b n i b i = k b k = α b α, A + B = i a i + i b i = (a 1 + a a n) + (b 1 + b b n) = = (a 1 + b 1) + (a 2 + b 2) + + (a n + b n) = i (a i + b i) αa = α i a i = α(a 1 + a a n) = αa αa n = i αa i

4 Kétindexű mennyiség pl. mátrix n m különböző érték. a 11 a a 1m a 21 a a 2m a n1 a n2... a nm a 11 + a a 1n = i a 21 + a a 2n = i. a n1 + a n2 + + a nn = i aij, a 1i = b 1, a 2i = b 2,. a ni = b n, b j = a j1+a j2+ +a jn = i a ji, j szabad index, i futó index, n darab érték b 1 + b b n = i b i = i ( ) a ik = k

5 b j = a j1+a j2+ +a jn = i a ji, j szabad index, i futó index, n darab érték b 1 + b b n = i b i = i a 11 + a a 1n+ a 21 + a a 2n+. a n1 + a n2 + + a nn i,k ( ) a ik = k. a ik.

6 Egy indexű mennyiség felösszegzése szám Két indexű mennyiség felösszegzése egy szabadindexű mennyiség Két indexű mennyiség kétszeres felösszegzése (mindkét index szerint) szám a ij i,j i a ii. ( n ) ( n ) A B = a i b i = (a 1 + a a n) (b 1 + b b n) = i=1 i=1 a 1b 1 + a 1b a 1b n+ a 2b 1 + a 2b a 2b n+. a nb 1 + a nb a nb n = i,j a ib j a 1b 1 + a 2b a nb n = i a ib i

7 Mátrixok A {a ij} i=1,n,j=1,m dim(a) = n m Matrixjelölésről áttérve az indexes jelölésre az egyik szabály, hogy két mátrix szorzásánál, amennyiben a belső méretek megegyeznek, akkor összegzés történik a megfelelő közös (a bal oldali mátrix második és a jobb oldali mátrix első) index szerint (pl. sor mátrix szorozva oszlop mátrixal). Amennyiben nem, tenzori szorzatot feltételezünk, azaz a belső indexek különböznek és nem történik összegzés (pl. oszlop mátrix szorozva sor mátrixal). Ez fordítva is érvényes: indexes mennyiségek mátrixszorzatra való átírásakor, ha összegzés történik olyan közös indexre mely egyiknél a második és a másiknal az első index, akkor ez mátrix szorzatnak felel meg a két mennyiség között. Ha különböznek, akkor tenzori szorzat.

8 Vektorok Vektor irányított szakasz: nagyság, irány, irányítás a nagysága a = a. Nullvektor nagysága nulla. Két vektor által bezárt szög az őket tartalmazó egyenesek által bezárt szög. Két vektor párhuzamos, ha az egyenesek melyeken fekszenek párhuzamosak és ugyanaz az irányításuk

9 elemi vektorműveletek összeadás paralelogramma szabály (kommutatív, asszociatív), semleges elem a nullvektor tükrözés, összeadással szembeni inverzió számmal való szorzás = nyújtás/zsugorítás (disztributív), nullával való szorzás egységvektor definíciója

10 lineáris kombináció felbontás két/három irány szerint lineáris függetlenség

11 skaláris szorzat és tulajdonságai (kommutatív, szám kiemelhető, geometriai értelmezés), asszociativitás(?) ortogonalitás, egységvektor, vetület, vektor nagysága Descartes-i bázis, komponensek, összeadás, skálázás, tükrözés, skaláris szorzat komponensekkel. Tenzoriális jelöléssel az összest. Kronecker-szimbólum Vektori szorzat: definíció, nagyság, irány Vektori szorzat tulajdonságai: mikor nulla, antikommutativitás, skálázás, asszociatívitás, Jacobi azonosság, disztributívitás Vektori szorzat Descartes-i bázisvektorok esetén.

12 A fizikai tér, amiben a körülöttünk zajló jelenségek lejátszódnak, matematikailag egy háromdimenziós Euklideszi-térrel modelezhető. Ez egy vektortér melynek minden pontjához rendelhetünk egy r helyzetvektort. A fizikában a nullvektort a koordinátarendszerünk kezdőpontjának nevezzük. Viszonyítási rendszerként válasszuk az u.n.descartes-féle koordináta rendszert, amely egy O ponton(origón)átmenő három egymásra merőleges egyenesből u.n.koordináta tengelyből(valós számtengelyből) áll. Ezt a három tengelyt gyakran x, y és z-vel jelöljük és ezek mentén határozzuk meg merőleges vetitéssel a térbeli pont(esetleg anyagi pont) koordinátáit. A tengelyek mentén ha felvesszük az i, j és k egységvektorokat,akkor az origótól a pontig mutató r u.n. helyzetvektor(1.ábra) feĺırható: (1.ábra) r = xi + yj + zk A következőkben x x 1, y x 2 és z x 3 illetve i e 1, j e 2 és k e 3, valamint r x jelöléseket használjuk. A fenti összeget egyszerűbb alakban is feĺırhatjuk: x = x 1e 1 + x 2e 2 + x 3e 3 = 3 x ie i i=1

13 Bevezetjük a következő összegezési megállapodást: ha egy több indexet tartalmazó kifejezésben két indexnek ugyanaz az értéke, akkor a kifejezéseket összegezzük az indexek teljes halmazán. Latin betükkel jelzet indexek esetén pl. {i, j, k, l, m, n... } stb. az összegezést {1, 2, 3} index értékekre végezzük. Példák: a ijklj 3 j=1 a ijklj és b ijkijl 3 3 i=1 j=1 b ijkijl. Kettönél több azonos index esetén, a kifejezésre nem alkalmazható az összegezési megállapodás. Két azonos index esetén, csak akkor nem összegezünk, ha erre külön felhivjuk a figyelmet. A helyzetvektor fenti kifejezését, tehát az összegezési megállapodás alapján x = x ie i egyszerű formában irható. A háromdimenzios vektorok halmaza R (3) lineáris tér, ami azt jelenti, hogy ha a, b R (3) akkor tetszöleges {α, β} R valos állandók esetén αa + βb R (3). A vektortér dimenzióját a lineárisan független vektorok számával egyenlő. Ezt a kérdéskört, mivel az alapfizika szempontjábol lényegtelen, tovább nem részletezzük. Az érdeklödő olvasó részleteket,lineáris algebra témakörű számtalan könyvben talál. Legyen a és b két azonos típusú (fizikai dimenziojú) vektor és α, β számmennyiségek.ha c = αa + βb akkor c i = αa i + βb i,.

14 - A vektorok skaláris szorzata Skaláris szorzat révén, két vektorhoz egy skaláris mennyiséget rendelünk. Két a és b skaláris szorzata komutativ müvelet, melynek során a vektorokhoz rendelt skaláris mennyiséget meghatározza, a közöttük lévő szög â, b-vel, a vektorok nagysága(modulusza) a illetve b a következő képpen: a b = b a = a b cos (â, b) (1) Két nullától különböző vektor esetén nyilván: a b = 0, a b A skaláris szorzat disztributiv az összeadással szemben és fennáll, hogy: a (βb + γc) = βa b + γa c c = a ± b, c c = (a ± b) (a ± b) c 2 = a 2 + b 2 ± 2 a b cos(â, b).

15 A fentebb bevezetett egységvektorok esetén: e 1 e 1 = 1 ; e 1 e 2 = 0 ;... Általános esetben bevezetve a δ ij ú.n. Kronecker szimbólumot e i e j = δ ij = 1 ha i = j; 0 ha i j; Az a és b vektorok skaláris szorzatát megadhatjuk komponenseik esgítségével: a = a ie i ; b = b je j = a b = a ib jδ ij = a ib i mivel b jδ ij = b i. Könnyű belátni, hogy δ ij = δ ji, δ ii = 3, δ ijδ jk = δ ik és x 2 = x x = x 2 i = x 2. Az a és b vektorok közötti szöget a kifejezés adja. cos (â, b) = a ib i a b

16 Az elemi munka F erő hatására dx elemi elmozdulás esetén dl = F dx = F idx i A teljes munka egy erőtér esetén két P 1 és P 2 pont között a C görbe mentén: P2 P2 L C (P 1 P 2 ) = (C) F (x) dx = (C) F i(x)dx i P 1 P 1 Ha a görbe parametrikus egyenlete x i = x i(α) és a P 1 ill.p 2 pontoknak az α 1 ill.az α 2 paraméter értékek felelnek meg, a végzett munka kifejezése: L C (P 1 P 2 ) = P2 P 1 F dxi(α) i(x(α)) dα dα

17 Potenciáltérben és az elemi munka dl = F idx i = V (x) F i = x i V (x) dx i = dv (x) x i, egy teljes differenciál. Ilyen esetben a két pont közötti munka L C (P 1 P 2 ) = (C) P 2 P 1 dv (X) = V (P 1) V (P 2) tehát független a két pontot összekötő útvonal konkrét alakjától.ez azt jelenti, hogy zárt görbe mentén (P 1 P 2) a végzett munka értéke nulla. Az ilyen időtől független potenciál teret konzervatív erőtérnek nevezzük. Az A(x, t) vektormező esetén a Γ A (C) = (C) A dx görbevonaló integrált az A vektormező C görbe menti cirkulációjának nevezzük.

18 A vektorokra vonatkozó, egy másik szorzási müvelet, a vektoriális szorzás. Az a és b vektorok vektoriális szorzatának az eredmënye egy vektor, amit c - vel jelölünk. a b = c A c vektor nagysága c = a b sin (â, b),tehát két párhuzamos vektor vektoriális szorzata nulla. a b = 0 a b A c vektor iránya merőleges az a és b vektorok közös sikjára. Az irányítását pedig a furó(jobbkéz)-szabály adja meg. E szerint, az szorzatbeli első a vektort a másodikra b-re forgatva (a kisebb szög mentén),az eképpen forgatott furó elörehaladási iránya adja meg a kelletkezett c vektor irányitását. Másképpen, ha jobbkezünk begörbitett ujai jelölik a forgatás irányát, akkor nagyujunk jelöli a szorzásbol kapott vektor irányitását. Innen azonnal következik, hogy a vektoriális szorzat antikomutatív, tehát; a b = b a

19 A vektoriális szorzat akárcsak a skaláris szorzat szintén disztributiv az összeadásra vonatkozóan: a (βb + γc) = βa b + γa c Három veca, b és vecc vektorok esetén képezhetjük ezek dupla vektoriális szorzatát a következő képpen : (a b) c. Könnyű belátni, hogy a keletkező vektor benne van a a és a b síkjában, tehát ezek lineáris kombinációja ás ezenkivül lineáris mindhárom vektorban. Tehát (a b) c = αa(b c) + βb(a c) Mivel a = b esetén nullát kell kapnunk, következik, hogy α + β = 0. Válaszuk a vektorokat a következőképpen : c = a b és a = b = 1. Mivel az eredmény b, következik, hogy β = α = 1 és a végsö képlet : (a b) c = b(a c) a(b c) Hasonló gondolatmenet alapján kajuk, hogy : a (b c) = b(a c) c(a b, tehát a vektoriális szorzat nem asszociativ.

20 Alkalmazva a vektoriális szorzatot a bázisvektorokra: e 1 e 1 = 0 ; e 1 e 2 = e 2 e 1 = e 3 ;... nem nehéz belátni, hogy a többi szorzatot a fenti eredmény indexeinek cirkuláris permutációjábol kaphatjuk meg. Az eredményeket összefoglalhatjuk az alábbi általános kifejezéssel: e i e j = ε ijk e k ahol az ε ijk u.n. Levi-Civita simbolum vagy más nevén harmadrendü teljesen antisimetrikus egységtenzor és azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy ε 123 = 1 és a ε ijk két idex felcserélése (transzpoziciója) során előjelt vált. Innen következik: 1 ha (i,j,k)-bol (1,2,3)-hoz az indexek konkrétan: ε ijk = páros számu transzpoziciója során jutunk 1 ha (i,j,k)-bol (1,2,3)-hoz az indexek páratlan számu transzpoziciója során jutunk 0 ha két index megegyezik ε ijk = ε jki = ε kij = ε jik = ε ikj = ε kji

21 Amint látható, ε ijk étéke(előjele) nem változik az indexek cirkuláris permutációja során.tehát az elöbbi két vektor vektoriális szorzatából kapott vektor konkrét alakja: a b = a ie i b je j = a ib je i e j = ε ijk a ib je k == c és a megfelelő komponensek kifejezése: c = c k e k = c k = a ib jε ijk A Levi-Civita szimbolumot kifejezhetjük a Kronecker szimbolumok segitségével az alábbi módon: δ i1 δ j1 δ k1 ε ijk = δ i2 δ j2 δ k2 δ i3 δ j3 δ k3 amiből következik, hogy δ i1 δ i1 δ i1 ε ijk ε lmn = δ j2 δ j2 δ j2 δ k3 δ k3 δ k3 δ 1l δ 2l δ 3l δ 1m δ 2m δ 3m δ 1n δ 2n δ 3n = δ il δ jl δ kl δ im δ jm δ km δ in δ jn δ kn

22 Az indexek egybeejtése során, felhasználva az összegezési megállapodást, sorra kapjuk, hogy: ε ijk ε lmk = δ il δ jm δ imδ jl ε ijk ε ljk = 2δ il ε ijk ε ijk = 6 Tetszöleges 3 3-as típusu mátrix esetén A 11 A 12 A 13 A = A ik = A 21 A 22 A 23 ha det A A A 31 A 32 A 33 felhasználva a Levi-Civita szimbolum determináns formáját ε i1 i 2 i 3 A i1 j 1 A i2 j 2 A i3 j 3 = A ε j1 j 2 j 3 Legyen a, b és c három tetszöleges vektor, melyből képezzük az alábbi skaláris mennyiséget, az u.n. vegyes szorzat formában a 1 a 2 a 3 (a b) c = ε ijk a ib jc k (a, b, c) = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Mivel a determináns két sorának felcserélésekor, értéke elöjelt vált (a, b, a) = (b, c, a) = (c, a, b) = (b, a, c) = (a, c, b) = (c, b, a) a vegyes szorzat mértani jelentése és alkalmazása a sík egyenleténél, ábra