1. Algebra Elemek Műveletek. Tenzor algebra és analízis Einstein-féle konvencióval
|
|
- Laura Gáspárné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Indexes deriválás Tenzor algebra és analízis Einstein-féle konvencióval Készítette: Kómár Péter, 200 Az indexes írásmód ill. deriválás egy eszköz, amely tenzorok analízisét teszi egyszerűbbé a fizikai számításokban gyakran előforduló esetekben. Minden számítás, amelyet indexesen végeznek el, elvégezhető a parciális deriváltak koordinátánkénti kiszámításával és a tenzoralgebrai műveletek definíció szerinti alkalmazásával is, és ugyanarra az eredményre vezet. Az indexes írásmód egyszerűsítő képessége azon a felismerésen alapul, hogy a fizikai számítások struktúrája általában szimmetrikus az n-dimenziós tér Descartes-koordinátáinak összes permutációjára. Ezt felhasználva az indexes írásmód nem csak tinta kímélő és emiatt átlátható, de beépített ellenőrzéseket is tartalmaz, melyek csökkentik az emberi hiba valószínűségét.. Algebra.. Elemek Tenzori rend szerint a mennyiségek az alábbi kategóriákba sorolhatók: 0. rend: skalár: α, elemei {α}. rend: vektor: a, elemei {a, a 2,... a n } 2. rend: tenzor: A, elemei {A, A 2,... A m ; A 2, A 22,... A 2m ;... ; A n, A n2,... A nm } s. rend: (s-indexes) tenzor: A, elemei {A i,i 2,...i s i j {, 2,... n j }} Itt az első három renddel (skalár, vektor és másodrendű tenzor) foglalkozunk..2. Műveletek Jelölések: (a) i az a vektor i. eleme (A) ij az A tenzor i. sorában és j. oszlopában lévő eleme = E az Einstein-féle automatikus összegzési konvenció szerinti egyenlőség Vektor műveletek:. Összeadás: vektor + vektor = vektor + : R n R n R n a + b = (a + b, a 2 + b 2,... a n + b n ) (a + b) i = a i + b i 2. Skalárral való szorzás: skalár vektor = vektor : R R n R n α a = (αa, αa 2,... αa n ) (α a) i = α a i
2 Indexes deriválás Kómár Péter, Skaláris szorzás: vektor vektor = skalár : R n R n R a b = a b + a 2 b a n b n a b = n i= a ib i = E a i b i 4. Vektoriális szorzás: 3D vektor 3D vektor = 3D vektor : R 3 R 3 R 3 a b = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b a b 3, a b 2 a 2 b ) (a b) i = 3 j= 3 k= ε ijka j b k = E ε ijk a j b k ahol ε a Levi-Civita-szimbólum Levi-Civita-szimbólum: Definíció: + ha (i, j, k) {(, 2, 3), (2, 3, ), (3,, 2)} ε ijk = ha (i, j, k) {(, 3, 2), (2,, 3), (3, 2, )} 0 ha i = j vagy i = k vagy j = k Tulajdonságai: ε ijk = ε jki azaz indexei ciklikusan szabadon permutálhatók. ε ijk = ε jik azaz bármely két indexének felcserélésére előjelet vált. ε ijk ε ilm = E 3 i= ε ijkε ilm = δ jl δ km δ jm δ kl ahol δ a Kronecker-delta. Kronecker-delta: Definíció: { ha i = j δ ij = 0 ha i j Tulajdonságai: δ ik = δ ki azaz indexeiben szimmetrikus. δ ij a j = E j δ ija j = a i δ ij A jk = E j δ ija jk = A ik azaz δ ik = (I) ik, azaz az egységmátrix reprezentánsa. Ez úgy is megfogalmazható, hogy a Kronecker-delta összegzés hatására beírja a másik indexét az összegző index helyébe a másik tényezőben, a δ pedig eltűnik. 5. Tenzoriális (v. diadikus) szorzás: vektor vektor = tenzor : R n R m R n m a b a b 2 a b m a 2 b a 2 b 2 a 2 b m a b = a n b a n b 2 a n b m (a b) ik = a i b k 2
3 Indexes deriválás Kómár Péter, 200 Tenzor műveletek:. Összeadás: tenzor + tenzor = tenzor + : R n m R n m R n m A + B A 2 + B 2 A m + B m A 2 + B 2 A 22 + B 22 A 2m + B 2m A + B = A n + B n A n2 + B n2 A nm + B nm (A + B) ik = A ik + B ik 2. Skalárral való szorzás: skalár tenzor = tenzor : R R n m R n m αa αa 2 αa m αa 2 αa 22 αa 2m α A = αa n αa n2 αa nm (α A) ik = αa ik 3. Mátrix szorzás: tenzor tenzor = tenzor : R n s R s m R n m j A jb j j A jb j2 j A B = A 2jB j j A 2jB j j A njb j j A njb j2 (A B) ik = s j= A ijb jk = E A ij B jk j A jb jm j A 2jB jm. j A njb jm 4. Mátrix hatása vektorra (mátrix szorzás spec esete): tenzor vektor = vektor : R n s R s R n A a = ( j A ja j, j A 2ja j,... j A nja j, ) (A a) i = s j= A ija j = E A ij a j 5. Trace (v. Spur, v. nyom): Tr (tenzor) = skalár Tr : R n n R Tr A = A + A A nn Tr A = n j= A jj = E A jj 6. Transzponálás: (tenzor) T = tenzor ( ) T : R n m R m n A T = az A főátlóra való tükrözöttje. (A T ) ik = A ki Transzponálásra való szimmetria alapján három kategóriát különböztetünk meg: Szimmetrikus: S ik = S ki Antiszimmetrikus: A ik = A ki egyik sem: M ik ±M ki 3
4 Indexes deriválás Kómár Péter, Szabályok Az indexes írásmód használata közben sok-indexes kifejezéseket rendezünk és újrarendezünk. Példa egy ilyenre: A ij δ kl B kp a l ε sip d s + δ rv d v (C sq ε tjq a t b s d r + c j e r ) Az ilyen kifejezések úgy manipulálhatók mint valós változók hagyományos szorzatai és összegei:. A tagok sorrendje szabadon cserélhető (hiszen az összeadás kommutatív) 2. Indexes alakban a tényezők sorrendje is szabadon cserélgethető, ugyanis a nemkommutatív tulajdonságot az index párok hordozzák, ezért viszont fontos, hogy minden tényező viszi magával az indexeit. pl: A ij δ kl B kp a l ε sip d s = δ kl a l A ij d s ε sip B kp 3. A szorzás disztributív az összegen. pl: δ rv d v (C sq ε tjq a t b s d r + c j e r ) = δ rv d v C sq ε tjq a t b s d r + δ rv d v c j e r Az indexek kezelésére az alábbiak érvényesek: 4. Egy index az egyes tagokban szerepelhet 0-szor -szer: (megmaradó index) Az adott kifejezés tenzori rendjét e párosítatlan indexek száma adja: pl: a i B kl ε jkl δ ij skalár A ij c i δ kl Λ ssk b j vektor Γ ijkl δ jk a i ε lpq másodrendű tenzor 2-szer: (néma index) Az ilyen kétszer szereplő indexekre automatikusan összegzünk. (Einstein-konvenció) NB: 2-nél többször ugyanaz az index nem szerepelhet egy tagban. 5. A néma indexek betűi mindig átjelölhetők más betűkre, csak arra kell figyelni, hogy egy tagon belül ne legyen 2-nél több egyik indexből sem. pl: C sq ε tjq a t b s + c j = E C sr ε pjr a p b s + c j Az eredmények értelmezéséhez két relációt használunk: 6. (P) ijkl... = (Q) ijkl... P = Q azaz ha két kifejezés azonos indexű elemei megegyeznek (az indexek minden értékére), akkor a két kifejezés egyenlő. 7. i j k l... a i... B jl... c i... d j... F lkk... = E a i... B jl... c i... d j... F lkk... azaz az egy tagban kétszer szereplő indexekre az összegzés akkor is ki van róva ha azt nem jelöljük. (Einstein-féle automatikus összegzés konvenciója) NB: Az automatikus összegzés csak egy tagon belül az azonos indexű tényezőkre érvényes. Két külön tagban előforduló ugyanolyan indexekre nincs összegzés: a i b i c k = E i a ib i c k = ((a b)c) k (automatikus összegzés) λ a i + ν b i = (λa + νb) i (nincs összegzés) 4
5 Indexes deriválás Kómár Péter, Példák Az alábbiakban bemutatjuk az indexes írásmód és a hagyományos írásmód közötti oda-vissza váltást a gyakorlatban, miközben hasznos (így megjegyzésre is javasolt) azonosságokat vezetünk le. skalárral való szorzás disztributivitása: [λ (a + b)] i = λ(a i + b i ) = λa i + λb i = (λa + λb) i skalárral való szorzás és a skaláris szorzat asszociativitása: a (λ b) = E (a) i (λ b) i = a i λb i = λa i b i = E λ(a b) skaláris szorzat disztributivitása: a (b + c) = E (a) i (b + c) i = a i (b i + c i ) = a i b i + a i c i = E a b + a c vektoriális szorzás disztributivitása: [a (b + c)] i = E ε ijk (a) j (b + c) k = ε ijk a j (b k + c k ) = ε ijk a j b k + ε ijk a j c k = E a b + a c kettős vektoriális szorzat kifejtése: [a (b c)] i = E ε ijk a j (b c) k = E ε ijk a j ε klm b l c m = ε ijk ε klm a j b l c m = ε kij ε klm a j b l c m = E = E (δ il δ jm δ im δ jl )a j b l c m = E a j b i c j a j b j c i = E b i (a c) c i (a b) = [b(a c) c(a b)] i vegyes szorzat ciklikus permutációja: a (b c) = E a i (b c) i = E a i ε ijk b j c k = ε ijk a i b j c k = ε kij a i b j c k = E (a b) k c k = E (a b) c tenzor szorzat hatása: [(a b)c] i = E (a b) ij c j = a i b j c j = E a i (b c) = [a(b c)] i tenzor szorzat trace-e: Tr (a b) = E (a b) jj = a j b j = E (a b) n-dimenziós egység mátrix trace-e: Tr (I) = E (I) jj = δ jj = E n j= δ jj = n j= = n trace ciklikus permutációja: Tr (ABCD) = E (ABCD) ii = E A ij B jk C kl D li = D li A ij B jk C kl = E (DABC) ll = E Tr (DABC) Feladatok: algebra Alakítsuk az alábbi kifejezéseket indexessé ill. index mentessé!. a(b c)d 9. a i δ ij b j 2. [a (λb + (cd)e)] i 0. c k δ kl c l + A ij b j a i 3. aabc(bc)(d e). A ik δ kl a l 4. a(b c) + Tr (A 2 ) 2. ε klm a k b l c m 5. Tr (λi + ν((a b) c)) 3. ε ijk ε jlm a k b l c m 6. {[A(a (b c))] d} i 4. A ij B ij 7. [ (AB) ] { T 5. A ik ij b i C jk a l B lk 8.Tr ([(a b)(c d)] e) T 6. δ ii a j b j + A ij B jk C kl δ il 5
6 Indexes deriválás Kómár Péter, Analízis 2.. Mezők és deriváltjaik A három-dimenziós téren (R 3 ) értelmezett különböző tenzori rendű függvényeket tenzormezőknek hívjuk: Jelölés: T : R 3 R r = (x, y, z) = (x, x 2, x 3 ) az alaphalmazként szolgáló háromdimenziós tér egy általános vektora. Ez játsza a mezőknél a független változó szerepét. =, x 2 =, y 3 = z operátorai. az r vektor három komponense szerinti parciális deriválás Nabla: = (, 2, 3 ), amely algebrai tulajdonságait tekintve első rendű tenzor, miközben egy elsőrendű deriváló operátor. A három legfontosabb mező és az azokon értelmezett gyakran előforduló deriváló operátorok: Skalármező: φ : R 3 R, r φ(r) = φ(x, y, z). Gradiens: skalármező vektormező grad : (R 3 R) (R 3 R 3 ) grad φ = ( φ, 2 φ, 3 φ) = φ (grad φ) i = i φ 2. Laplace-operátor: skalármező skalármező : (R 3 R) (R 3 R) φ = 2 φ + 2 2φ + 2 3φ = ( )φ = 2 φ φ = 3 i= 2 i φ = E i i φ 3. Derivált tenzor: skalármező tenzormező D : (R 3 R) (R 3 R 3 3 ) φ 2 2 φ 3 φ Dφ = 2 φ 2φ φ = ( φ) = ( )φ 3 φ 3 2 φ 3φ 2 (Dφ) ik = i k φ Ez mindig szimmetrikus. (Young-tétel: i k = k i ) Vektormező: v : R 3 R 3, r (v (r), v 2 (r), v 3 (r)) = (v (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z)). Divergencia: vektormező skalármező div : (R 3 R 3 ) (R 3 R) div v = v + 2 v v 3 = v div v = 3 i= iv i = E i v i 2. Rotáció: vektormező vektormező rot : (R 3 R 3 ) (R 3 R 3 ) rot v = ( 2 v 3 3 v 2, 3 v v 3, v 2 2 v ) = v (rot v) i = 3 j= 3 k= ε ijk j v k = E ε ijk j v k 6
7 Indexes deriválás Kómár Péter, Gradiens: vektormező tenzormező grad : (R 3 R 3 ) (R 3 R 3 3 ) v v 2 v 3 grad v = 2 v 2 v 2 2 v 3 = v 3 v 3 v 2 3 v 3 (grad v) ik = i v k 4. Laplace-operátor: vektormező vektormező : (R 3 R 3 ) (R 3 R 3 ) v = 2 v + 2 2v + 2 3v = ( )v = 2 v ( v) i = 3 j= 2 j v i = E j j v i Tenzormező: T : R 3 R 3 3 T (r) T 2 (r) T 3 (r) r T 2 (r) T 22 (r) T 23 (r) = T 3 (r) T 32 (r) T 33 (r) T T 2 T 3 T 2 T 22 T 23 T 3 T 32 T 33 (x, y, z). Divergencia: tenzormező vektormező div : (R 3 R 3 3 ) (R 3 R 3 ) div T = ( T + 2 T T 3, T T T 32, T T T 33 ) = T (div T) i = 3 j= jt ji = E j T ji NB: Ez a művelet kitünteti az első indexet, előfordulhat a fordított definíció is. (Ez csak szimmetrikus tenzor esetén lényegtelen.) 2. Laplace-operátor: tenzormező tenzormező : (R 3 R 3 3 ) (R 3 R 3 3 ) T = 2 T + 2 2T + 2 3T = ( )T = 2 T ( T) ik = 3 j= 2 j T ik = E j j T ik 2.2. Differenciál operátorok összefoglaló Skalármezo φ div v φ grad div Vektormezo gradφ v rot div T v rot v grad div Tenzormezo grad v T Dφ T grad D -val differenciálási rend mire hathat tenzori rend változás div v, T - rot v 0 grad φ, v, T + 2 φ, v, T 0 D 2 φ, v, T +2 7
8 Indexes deriválás Kómár Péter, Szabályok Indexes deriválás során sokindexes kifejezésekkel kell dolgoznunk, mint például: T ij j k v l a k u s b r ε srp t (λ(δ tq + A tq )w q + c t φ) ahol most λ; a, b, c; A konstansok, δ a Kronecker-delta, ε a Levi-Civita-szimbólum, φ; v, u, w; T pedig mezők. NB: A -k pozíciója fontos ugyanis definíció szerint mindazt deriválják ami mögöttük áll. Az ilyen kifejezések manipulálása az alábbiak szerint történik:. A konstans tényezők szabadon áthelyezhetők a szorzatban, azaz nem csak egymáson és a mezőkön de a deriválásokon is átemelhetők. (ugyanis (λφ) = λ f) (NB: δ és ε is konstans) pl: T ij j k v l a k u s b r ε srp t (λ(δ tq + A tq )w q + c t φ) = = a k b r ε srp T ij j k v l u s t (λ(δ tq + A tq )w q + c t φ) 2. A deriválás disztributív az összeadáson. ( (f + g) = f + g) pl: t (λ(δ tq + A tq )w q + c t φ) = λ(δ tq + A tq ) t w q + c t t φ 3. Az egymás mellé került -k felcserélhetők (Young-tétel). 4. Szorzaton a deriválás a Leibnitz-szabály szerint oszlik szét: (f g) = ( f)g + f g 5. Összetett függvény deriváltjánál megjelenik a külső függvény argumentum szerinti deriváltja: (f(g)) = f (g) g 6. Index átnevezések továbbra is végrehajthatók a korábban ismertetett szabályok szerint. Feladatok: differenciál operátorok Határozzuk meg, hogy a div, rot, grad,, D operátorok közül melyek hattathatók az alábbi kifejezésekre:. (r (a + b)) r 2. rφ(r) + (a r)b 3. ATr (a v(r)) + (a r)aψ(r) Értelmesek-e az alábbi kifejezések? 4. rot rot (r ψ(r) a) 5. div div ((a r) v(r)) 6. (a φ(r) + λψ(r)) 7. grad (rot (a b)(r v(r))) Bizonyítsuk az alábbi azonosságokat az indexes írásmód segítségével:. div grad φ = φ 2. rot rot v = grad div v v 3. div rot v = 0 4. rot grad φ = 0 5. Tr (Dφ) = φ 8
9 Indexes deriválás Kómár Péter, Példák Három gyakran előforduló példa: identitás függvény (r r = (x, x 2, x 3 )) deriváltja: i x j = x i x j = δ ij (javasolt koordinátás írásmóddal ellenőrizni, (= r) ij ) abszolút érték (r = r = x 2 + x x 2 3) deriváltja: i r = i r2 = E i xj x j = 2 xj x j i x j x j = E (( 2 r ix j )x j + x j i x j ) = 2 δ 2 r ijx j = E x i r irányított egységvektor (e = r/ r ) deriváltja: i e j = i x j = ( r ix j ) +x r j j = δ r ij +x r j ( ) i r = (r 2 δ r 2 r 3 ij x j x i ) = (δ r ij e i e j ) További példák: [grad (ar)] i = i (ar) = E i a j x j = a j i x j = a j δ ij = E a i = (a) i [ grad r α ] i = i r α = ( α) r α+ i r = α x i r α+2 = [ α r r α+2 ]i div ( r ) = E x i ( r α i = ( r α i x i ) + x r α i i = δ r α ii + x r α i ( α) r α+ i r = r α δii + x i ( α) r 3 α r2 = E r α ( r 2 ) = (3 α) r α [ ( )] ( ) rot a r r α i =E ε ijk j a r x r α k =E ε ijk j ε klm a m x l r α = ε kij ε klm a l m j r α = ( ) = (δ il δ jm δ jl δ im )a l ( j x m ) ( + x r α m j r = α = (δ il δ jm δ jl δ im )a l δjm + x r α m ( α) x j ) ( r α+ r = = a i δjj α x j x j ) ( r α r α r 2 aj δji α x i x j ) r α r α r = 2 = (δ r α jj a i αa i e j e j a j δ ji + αa j e i e j ) = E = E (3a r α i αa i a i + αe i (ae)) = = [ ((2 α)a + αe(ae)) ] r α i x i ) E r = (sin(ar)) = E i i sin(ar) = i [cos(ar) i (ar)] = i [cos(ar)a i ] = = a i i cos(ar) = a i ( sin(ar)) i (ar) = a i ( sin(ar))a i ) = a i a i sin(ar) = E a 2 sin(ar) [(b )(a r)] i = E b j j ε ikl a k x l = b j a k ε ikl j x l = b j a k ε ikl δ jl = E b l a k ε ikl = ε ikl a k b l = E (a b) i Feladatok: indexes deriválás. grad ((a r)b) 7. rot (r (log(sin(r))) 2. grad (sin(ar r α )) 8. rot (a r + r (r b)) 3. grad (exp(r) + exp( r)) 9. rot (r (Ar)) 4. div (a r) 0. (rar) 5. div (r sin(ar) + b r cos(br)). (sin(r 2 )) 6. div (r exp(r)) 2. [((ar)(br)) 3 ] 9
10 Indexes deriválás Kómár Péter, 200 Emlékeztető kártyák (a + b) i = a i + b i (A + B) ik = A ik + B ik ε ijk = ε jki = ε kij (αa) i = αa i (αa) ik = αa ik ε ijk = ε ikj ab = a i b i (AB) ik = A ij B jk δ ik = δ ki (a b) i = ε ijk a j b k (Aa) i = A ij a j δ ij a j = a i a(b c) = ε ijk a i b j c k (A T ) ik = A ki (a b) ik = a i b k Tr (A) = A jj div v = i v i (div T) i = j T ji (rot v) i = ε ijk j v k (grad φ) i = i φ (grad v) ik = i v k (grad T) ikl = i T kl φ = i i φ ( v) i = j j v i ( T) ik = j j T ik (Dφ) ik = i k φ (Dv) ikl = i k v l (DT) iklm = i k T lm (f + g) = f + g λf = λ f fg = ( f)g + f g f(g) = f (g) g i x k = δ ik i r = x i /r = e i i e k = (δ ik e i e k )/r Háttér Ez az anyag önszorgalomból készült 200. április 8. és 0. között. A nettó idöbefektetés kb. 20 óra volt, melynek kb. 0%-a volt papír feletti tervezés, 20%-a gépelés és formázás, 60%-a a legtömörebb és leginformatívabb formák kiválasztása és 0%-a a hibajavítás. A sajtóhibák észrevételeit és egyéb megjegyzéseket az alábbi címre várom: peter pont komar pont hu kukac gmail pont com Sok sikert! (az élethez, a tudományhoz, de legelöször is a zh-hoz!) Ha még ezt a sort is el akarod olvasni akkor elmondom, hogy nagyon izgulok, hogy sikerült-e hasznos anyagot írnom, és közben reménykedem, hogy sokan fogják a tudtomon kívül dícsérni :) 0
Az elméleti fizika alapjai házi feladat
Az elméleti fizika alapjai házi feladat A jellel ellátott feladatok opcionálisak és plusz pontot érnek. A határidőn túl leadott házi feladatok is pontot érnek, még ha kevesebbet is. Pl. az 1. házi feladat
Részletesebbenn m db. szám a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a ij két indexű mennyiség (i sor index, j oszlop index) a ib j
a R 1 db. szám a 1, a 2,..., a n {a i} i=1,n a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m........ a n1 a n2... a nm {a ij} i=1,n,j=1,m R a ij két indexű mennyiség (i
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenLineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Részletesebben{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenSkalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után -
1 ALAPFOGALMAK Vektoranalízis 1. Alapfogalmak Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után - összehasonlíthatóak
Részletesebben2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma
Mátrixok Definíció Az m n típusú (méretű) valós A mátrixon valós a ij számok alábbi táblázatát értjük: a 11 a 12... a 1j... a 1n.......... A = a i1 a i2... a ij... a in........... a m1 a m2... a mj...
Részletesebben= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenGyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenMateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)
MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
RészletesebbenTENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN
Kozák Imre Szeidl György TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Második, bővített kiadás MISKOLC 2013 Kozák Imre Szeidl György TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Második, bővített kiadás MISKOLC 2013
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat
6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
Részletesebben1. Transzformációk mátrixa
1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)
Részletesebben1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!
. Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenBevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
Részletesebben1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)
Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenIrodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
Részletesebben1. A kétszer kettes determináns
1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
Részletesebbenu u IR n n = 2 3 t 0 <t T
IR n n =2 3 u() u u u u IR n n = 2 3 ξ A 0 A 0 0 0 < T F IR n F A 0 A 0 A 0 A 0 F :IR n IR n A = F A 0 A 0 A 0 0 0 A F A 0 A F (, y) =0 a = T>0 b A 0 T 1 2 A IR n A A A F A 0 A 0 ξ A 0 = F (ξ) ε>0 δ ε
RészletesebbenLineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103) Kátai-Urbán Kamilla (1. előadás) Mátrixok 2019. február 6. 1 / 35 Bevezetés Előadás Tudnivalók (I.) Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Az előadáson készített
Részletesebbenés n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenSzeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium
Klasszikus Térelmélet 2012. október 01. Tartalom: Jelölések bevezetése Kovariáns deriváltak kommutátora és a Riemann-tenzor Vektor megváltozása zárt görbe mentén Riemann-tenzor és a Stokes-tétel Geodetikus
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenMátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal
fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére
RészletesebbenA3 minimumkérdések szóbelire 2016
A3 minimumkérdések szóbelire 2016 Vektoranalízis 1. 1. Duális tér V Hom(V, R), ahol (V, +, λ) vektortér, V elemei pedig ún. lineáris formák, azaz és v φ(v) φ(αv + βw) = αφ(v) + βφ(w) Megjegyzés: homomorfizmus
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenVektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük
Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze!
1 1. Rendezd a következő polinomokat a bennük lévő változó növekedő hatvánkitevői szerint! a) 2 + + 2 b) 2 + + 2 + 6 2. Melek egnemű algebrai kifejezések? a) a 2 b; 2ab; a 2 b; 2a b; 1,a 2 b b) 2 ; 2 ;
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
Részletesebben1. Szabadvektorok és analitikus geometria
1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
Részletesebben4. feladatsor Mátrixok
4 feladatsor Mátrixok 41 Feladat Döntse el, hogy igazak-e az alábbi állítások, és döntését röviden indokolja: (a) n i=1 i = 1 i n i (b) 1 i>n 1 = 1 minden n pozitív egészre; (c) n i i=1 j=1 (i j) = n j
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenKalkulus. Komplex számok
Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak) T C T = ( 1 ) ; , D T D =
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (1.) 2018/2019. tavaszi félév Mátrixok 1.1. Feladat. Legyen A = 1 2 1, B = 1 2 3 1 2 1 1, C = ( 1 2 0 ), D = 1 3 1 1 2 1 ( ) 10/2 0.6 1
Részletesebben3. FELADATSOR. n(n 1) Meggondolható, hogy B képtere az összes alternáló 4-lineáris függvény tere, magja pedig R. Hesse(f)(X, Y ) = X(Y (f)) X Y (f).
011/1 I. félév 3. FELADATSOR 3-1: Legyen R T 0,4 V az algebrai görbületi tenzorok tere az n-dimenziós V vektortér felett. Mennyi R dimenziója? Mennyi a 0 Ricci-tenzorú görbületi tenzorok terének dimenziója?
Részletesebben