Szeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium

Átírás

1 Klasszikus Térelmélet október 01.

2 Tartalom: Jelölések bevezetése Kovariáns deriváltak kommutátora és a Riemann-tenzor Vektor megváltozása zárt görbe mentén Riemann-tenzor és a Stokes-tétel Geodetikus elhajlás Példák kétdimenziós sík és görbe felületekre

3 Jelölések: Riemann-geometria (általános): Dv k = dv k δv k = dv k + Γ k lm v l dx m m v k = m v k + Γ k lm v l m v k = m v k Γ l km v l

4 bevezetése: Definíció: tenzor alatt a T k lm = Γ k lm Γ k ml kifejezést értjük. fizikai tartalma: Ezzel a torziós konnexióval vezetjük be a kovariáns deriváltat: m v k = m v k + Γ k lm v l k Φ = k Φ l k Φ = l k Φ Γ m kl mφ és k l Φ = k l Φ Γ m lk mφ,ahol Φ egy skalármező. [ k, l ]Φ = ( Γ m kl Γ m lk ) mφ = T m lk mφ

5 Vizsgálódjunk tovább egy metrikával ellátott Riemann-geometriában. ds 2 = g kl dx k dx l Ez automatikusan definiál egy torziómentes metrikát, ha feltesszük a következőt: m g kl = 0 Amiből következik, hogy: Γ k lm = 1 2 g kp ( m g pl + l g pm p g ml ) Γ k lm = Γk ml Metrikus struktúrával ellátott Riemann-geometriában (ahol a metrikus tenzor tudja azt, m g kl = 0) a torzió tenzor mindenhol eltűnik, vagyis torziómentes a geometria.

6 Kis érdekesség: Legyen Γ a Levi-Civita konnexió és definiáljunk egy új konnexiót a következő módon: Ekkor:,ahol Φ egy skalármező és Γ k lm = Γk lm + C k lm [ l, m ]Φ = T k lm kφ m g kl = Q klm T klm = C klm C kml és Q klm = C klm + C lkm Most követeljük meg ennek a konnexiónak a torzió mentességét, ekkor C szimmetrikus lesz utolsó két indexében. De ez Q értékét nem befolyásolta, vagyis egy torziómentes konnexióból nem származik metrika, csak fordítva.

7 Általános relativitáselméletben egy pszeudo-riemann-geometriát használunk, ahol a konnexió a metrikus tenzorból származtatható. Ennek a feltétele: T klm = 0 és Q klm = 0 C klm = C lkm = C lmk = C mlk = C mkl = C kml = C klm Vagyis C klm = 0, amiből következik, hogy Γ k lm = Γk lm Tehát a Levi-Civita konnexió az egyetlen ami tudja a m g kl = 0 -t. Mostantól metrikus-, és Levi-Civita konnexiós struktúrával ellátott pszeudo-riemann-geometriában dolgozunk tovább.

8 Riemann-tenzor definíciója: Nézzük meg a kovariáns deriváltak kommutátorát egy adott v k vektormező esetén. l v k = l v k + Γ k ml v m m l v k = m l v k + m Γ k ql v q + Γ k ql mv q Γ p lm pv k Γ p lm Γk qpv q + Γ k qm l v q + Γ k pmγ p ql v q Most mindenki cserélje ki m és l indexeket.

9 Most képezzük a kommutátorát a kovariáns deriváltaknak: R k mql [ m, l ]v k = [ {}}{ m Γ k ql lγ k qm + Γ k pmγ p ql ] Γk pl Γp qm v q R k mql = m Γ k ql lγ k qm + Γ k pmγ p ql Γk pl Γp qm Felső-indexes metrikus tenzor deriváltjaira szükség lesz, mert a konnexiós együtthatók deriváltjaiban az jelenik meg: g kl g lm = δ k m Ezt deriválva megkapjuk a keresett mennyiséget: p g kl = g ml g kq p g qm Ekkor már R is kifejezhető a metrikus tenzorral: R(g, g, g)

10 Ekkor már R is kifejezhető a metrikus tenzorral: R(g, g, g) Írjuk is ki a komponenseket: R kmql = 1 2 ( m q g kl + k l g mq k m g ql q l g km )+g st (Γ s mqγ t kl Γt ml Γs kq )

11 Riemann-tenzor fizikai jelentése I. Vegyünk egy infinitezimálisan kis zárt hurkot (x k (τ)), és egy olyan vektormezőt (v k (x(τ))), hogy miközben körbejárjuk a görbét azt minden pontban ugyanannak a vektornak lássuk. Ekkor a vektormezőt egy adott (belső) pont körül sorba fejthetjük: v k (x) = v k + m v k x m + O(x 2 ) A vektormező megváltozását a következő módon kapjuk: v k = dτ d dτ v k( x(τ) ) = dτ dx m dτ mv k( x(τ) )

12 Dv k 0 m v k = Γ k lm v l v k = dτ Γ k dx m lm dτ v l Most pedig helyettesítsük be v l és a Γ sorfejtett alakját, majd vegyük figyelembe, hogy infinitezimálisan kis hurok mentén x(τ) is kicsi és O(x 2 ) elhanyagolható. v k = dτ (Γ k lm + qγ k lm x q ) dx m dτ (v l + m v l x m ) Belátható, hogy a következő eredményre jutunk: v k = 1 ( x q dx m ) 2 dτ dτ Rlmq k v l Itt is azt kapjuk, hogy R antiszimmetrikus a két megfelelő indexében, ugyan is: x q dx m dτ dτ + x m dx q dτ dτ = 0

13 Riemann-tenzor fizikai jelentése II. Riemann-tenzor és a Stokes-tétel: Ismét azt szeretnénk kiszámítani, hogy változik meg egy vektor, miközben körbemegyünk egy zárt görbén. δa k = Γ l km A ldx m és x k (p) x(0) = x(1) A k = Γ l ( ) ( )dx m km x(p) Al x(p) dp dp Stokes-tétel több dimenzióban: v l dx l = 1 df kl( ) k v l l v k 2,melyben df kl dx k dx k = du dw dx l dx dudw,ahol a felületet u és w-vel l du dw paramétereztük.

14 Alkalmazzuk a Stokes-tételt a mi esetünkben: A k = df kl[ ( p Γ l kq) Al + Γ l kq pa l ( q Γ l ) ] kp Al + Γ l kp qa l Most feltesszük, hogy a görbénk infinitezimálisan kicsi és kihasználjuk az előző levezetésben szereplő összefüggést: DA k 0 vagyis da k = δa k = Γ l km A ldx m tehát da k dx m = ma k = Γ l km A l Ezt behelyettesítve kapjuk az egyenletet, amiben megtalálható a görbületi-tenzor: A k = 1 2 Rl pkq A l df kl

15 Riemann-tenzor fizikai jelentése III. Geodetikus elhajlás: Vegyünk egy görbét és ennek egy pontjában egy vektort. Toljuk ezt a vektort a görbe mentén w-vel arrébb. Ezt az eltolást a görbe paraméterezése alapján értelmezzük. Indítsunk, minden pontból olyan geodetikusokat,amiknek az érintője a megadott vektor eltoltja. Paraméterezzük ezeket a görbéket például a sajátidővel (s). Ekkor egy x k pont két paraméterrel adható meg (s, w).

16 Definiáljuk a következő vektorokat: u k = xk s és v k = xk w. Adott (infinitezimális) dw esetén értelmezzük két geodetikus pontját összekötő "vektort": η k = xk w dw = ηk (s) Vizsgáljuk a 2 η k s 2 mennyiséget, ami azt jellemzi milyen gyorsulással közelednek/távolodnak a szomszédos geodetikusokon az ugyanolyan sajátidőhöz tartozó pontok. Lemma (bizonyítás nélkül): v k k u l = u k k v l

17 Most mégsem 2 η k D 2 v k ds 2 s 2 mennyiséget. 2 η k s 2 D2 v k ds 2 mennyiséget számítjuk ki, hanem a vele arányos = D ds ( D ds v k) = x l }{{} s u l D dx l }{{} l ( Dv k ) = ds = u l l (u m m v k ) = u l l (v m m u k ) = (u l l v m )( m u k )+u l v m l m u k lemma Felhasználjuk, hogy l m u k = R k lpm up + m l u k és úgy választjuk, hogy D ds uk = 0, akkor azt kapjuk, hogy D 2 v k ( ds 2 = Rlpm k ul u p) v m

18 Riemann-tenzor fizikai jelentése IV. R kmql 0 akkor és csak akkor, ha választható olyan koordinátázás, hogy a metrikus tenzor konstans legyen, vagyis sík geometrián vagyunk! Riemann-tenzor szimmetriái: R kmql = R qmkl = R klqm R kmql = R mklq R kmql + R klmq + R kqlm = 0 p R kmql + m R klqp + l R kpqm = 0 n dimenzióban a görbületi-tenzornak n2 (n 2 1) 12 független komponense van a szimmetriái miatt. 4D-ben ez 20 komponenst jelent, 2D-ben pedig 1 szám.

19 Vezessünk be néhány később még fontos fogalmat: Ricci-tenzor: R lm = R k klm Ricci-skalár: R = R k k Két dimenzióban éppen a Ricci-skalár az a szám, ami jellemzi a görbületet, és ez éppen kétszerese a Gauss-görbületnek, ami a felület egy adott pontjában a két főgörbület reciprokának a szorzata.

20 Sík (merőleges koordinátázással): ds 2 = dx 2 + dy 2 ( ) 1 0 g ij = Γ = 0 R = 0 0 1

21 Sík (polár koordinátázással): g ij = ds 2 = dr 2 + r 2 dϕ 2 ) g ij = ( r 2 ( r 2 r g ϕϕ = 2r és r g ϕϕ = 2 r 3 Kis számolással megmutatható, hogy: ) R i j = 0 R = 0

22 Hengerfelület: g ij = ds 2 = ϱ 2 dϕ 2 + dz 2 ) g ij = ( ϱ ( 1 ϱ Mivel a metrikus tenzor konstans, így minden deriváltja nulla Γ = 0 Rj i = 0 R = 0, vagyis a henger nem görbült, más szóval kiteríthető síkká. Ugyan ez megmutatható a kúpfelületről is. Kúpfelület (ds 2 = dr 2 + r 2 sin 2 ϕ c dϑ 2 ) metrikus tenzora: ( ) 1 0 g ij = 0 r 2 sin 2 ϕ c )

23 Gömb felület: ds 2 = rc 2 dϑ 2 + rc 2 sin 2 ϑdϕ 2 ( ) g ij = rc sin 2 g ij = 1 ( 1 0 ϑ rc sin 2 ϑ Számítsunk ki néhány mennyiséget: ϑ g ϕϕ = 2r 2 c sin ϑ cos ϑ ϑ g ϕϕ = 2 cos ϑ r 2 c sin 3 ϑ Γ ϑ ϕϕ = sin ϑ cos ϑ Γ ϕ ϑϕ = Γϕ ϕϑ = cos ϑ sin ϑ ϑ Γ ϑ ϕϕ = sin 2 ϑ cos 2 ϑ ϑ Γ ϕ ϑϕ = ϑγ ϕ ϕϑ cos2 ϑ R ij = ( sin 2 ϑ ) R = 2K = 2 r 2 c ) sin 2 ϑ 1

24 Köszönöm a figyelmet! Felhasznált irodalom: Reed College - Physics Classical Mechanics II/Lecture 13 academic.reed.edu/physics/courses/physics411/html/page2/files/lecture.13.pdf Sean M. Carrol - Lecture Notes on General Relativity/Lecture 3 preposterousuniverse.com/grnotes/grnotes-three.pdf Gerard t Hooft - Introduction to General Relativity Matthias Blau - Lecture Notes on General Relativity L.D.Landau-E.M.Lifsic - Elméleti fizika II Valek Béla - Általános Relativitáselmélet