v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M

Átírás

1 Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P MV, M = m A V = P M = állandó (2) sebességre P = 0. mndg létezk egy olyan K vonatkoztatás rendszer, melyben a rendszer mpulzusa nulla (nyugalomban van). V a mechanka rendszer egységes egészként való mozgásának sebessége.

2 Pontrendszer tömegközéppontja ( N =1 m r ) V = d dt M Legyen a rendszer N =1 R m r, M ún. tömegközéppont vektora V = Ṙ a tömegközéppont állandó sebességvektora. R Vt = R 0. Ez a pontrendszer újabb három prmntegrálját adja.

3 Pontrendszer energája W (C AB ) = B A B (F + j f j ) dr = m v v dt = m 2 B B A m v dr = = d(v 2 ) = A A = T (B) T (A), ahol T = 1 m v 2 2 Mképpen vselkedk a T a különböző vonatkoztatás rendszerekben? (1) Galle-transzformácót követően K -ben... T = 1 m v 2 1 = m v m V = T + MV 2 P V 2 m v V = (3)

4 Legyen K a tömegközéppont vonatkoztatás rendszer, azaz V = P/M a rendszer, mnt egész, nyugalomban van E b T belső energa T = MV E b, ahol V a tömegközéppont sebesség Koeng másodk tétele.

5 Legyenek az erők konzervatívak, F = U, f j = j U j ( r r j ) azaz f j d(r r j ) = du j ( r r j ),j B A B A f j dr = 1 2 F dr =,j B A B A U dr = (f j dr + f j dr j ) = 1 2,j B A 2 U, ntegrál független az úttól. A rendszer teljes potencáls energája : U = U ( r ) + 1 U j ( r r j ) 2 j 1 f j d(r r j ) A teljes energa : T + U = E = állandó

6 Pontrendszer mpulzusnyomatéka dj dt = = = = dj dt = d dt (r p ) = ṙ p + r ṗ }{{} = =0 r F + r f j = r F + 1 (r f j + r j f j ) = 2,j,j r F + 1 (r r j ) f j = r F = 2 }{{},j =0 M = M A teljes mpulzusnyomaték megmaradásának tétele : Ha a rendszere ható eredő M erőnyomaték nulla, akkor a rendszer J teljes mpulzusnyomatéka állandó.

7 Impulzusnyomaték eltolás esetén Az mpulzusnyomaték függ a koordnáta-rendszer kezdőpontjának megválasztásától. Olyan koordnáta-rendszerekben, amelyeknek kezdőpontja a távolságra van egymástól: r = r + a J = r p = r p + a p, J = J + a P. Abban az esetben nem függ a koordnáta-rendszer kezdőpontjának a megválasztásától, ha az anyag rendszer mnt egységes egész nyugalomban van (azaz P = 0).

8 Impulzusnyomaték sebességeltolás esetén Egymáshoz képest V sebességgel mozgó K és K nercarendszerek v = v + V J = m r v = m r v + m r V. J = J + MR V. (4) Ha K a rendszer mnt egységes egész nyugalomban van, akkor Va tömegközéppont sebessége J = J + R P. (5) a mechanka rendszer mpulzusnyomatéka két részből tehető össze: a rendszer saját mpulzusnyomatéka abban a vonatkoztatás rendszerben, amelyben nyugalomban van a másk a rendszernek mnt egésznek a mozgásából adódó R P mpulzusnyomaték.

9 Görbék Háromdmenzós eukldesz tér, P pont helyzete egy rögzített O ponthoz vszonyítva OP = r helyvektor. A vektor folytonosan függ egy w valós skalár paramétertől. Az r : [w 1, w 2] R R 3. Descartes- koordnáta rendszerben r(w) = x(w)e x + y(w)e y + z(w)e z = (x(w), y(w), z(w)), ahol e x, e y és e z a egységvektorok. A vektorfüggvény derváltja egy adott P pontban ṙ(w) dr(w) dw = lm r(w) w 0 w = lm r(w + w) r(w) = w 0 w = ẋ(w)e x + ẏ(w)e y + ż(w)e z A dervált s egy vektor, mely érntő a görbéhez a P pontban. 1. d dw (a b) = ȧ b + a ḃ 2. d (a b) = ȧ b + a ḃ dw 3. d (ϕa) = ϕa + ϕȧ dw ahol ϕ = ϕ(w) egy skalár függvény.

10 A görbe mentén történő nfntezmáls elmozdulás (dw 0) dr = ṙdw = dxe x + dye y + dze z dl 2 = dr dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) dw 2 = ṙ 2 dw 2. (6) elem ívhossz ṙ = dl dw A görbe P(w 1 ) és P(w 2 ) pontja között szakasz ívhossza l = w2 w 1 dl = Ha w = φ(u) bjektív megfeleltetés: w2 dr dw = r (u) φ (u) w 1 ṙ dw (7) dl 2 = ṙ 2 dw 2 = r 2 du 2 (8) ahol dw = φ (u)du. Következésképpen a (14) feĺırása az ívhossznak bármely paraméterezés esetén azonos alakú.

11 természetes paraméterezés: a paraméter a görbe egy adott pontjától számított ívhossz. u l: dl 2 = r (l) 2 dl 2 ahonnan tehát r (l) = dr(l) dl = 1, e t r (l) (9) az érntő rányába mutató (tangencáls) egységvektor. Vzsgáljuk az e t ívhossztól való függését. e 2 t = 1, ezért merőleges derváltjára: de 2 t dl = 2e te t = 0.

12 Bevezetve a e t rányába mutató e n egységvektort fennáll, hogy: e t e n = 0. e e t (l) e t (l) θ t = lm = e n lm = e n lm l 0 l l 0 l l 0 l = e n R, ahol R annak a körnek a sugara, amely a legjobban lleszkedk a görbéhez a P pontban. Tehát e n = Re t = Rr, (10) ahol 1 R G = lm e t (l) l 0 l a görbe görbülete, R a megfelelő görbület sugara, C a görbület középpont ( PC = Re n ). Az egyenesnek nncsen görbülete (G = 0 R = ), az R sugarú kör görbülete annak mnden pontjában G = 1/R=állandó és görbület középpontja a kör középpontja.

13 Egy görbe pontjahoz tartozó görbület középpontok mértan helye a görbe evolutája. r C = r P + PC = r P + Re n a görbe evolutájának nevezzük. A görbe evolvensének azt a görbét nevezzük melyet úgy kapunk, hogy a görbére felcsévélünk egy fonalat, majd mndg feszesen tartva lecsévéljük róla. Végpontjának pályája a görbe evolvensét írja le. Pl. A kör evolvense a csgavonal. Egy görbe evolutájának az evolvense maga a görbe.

14 Az e t és e n egységvektorok által kfeszített síkra merőleges,bnormálsnak nevezett e b egységvektor: e b = e t e n (11) e t, e n, e b a görbe adott pontjához kötött lokáls koordnátarendszer, az ún. Frenet-féle tréder. Páronként a következő síkokat határozzák meg: 1. e t, e n : a görbe adott pontjának smuló síkja. Síkgörbék mnden pontjának smulósíkja azonos. 2. e n, e b : a görbére merőleges normálsík. 3. e b, e t : rektfkáló sík. (16), (15) és (11) felhasználásával: e b = Rr r, 1 R = r r. (12)

15 Mvel r = ṙ dw dl és r = d ( ṙ dw ) ( ) 2 dw dw dw dl dl = r + ṙ d dl 2 dw ( ) 2 dw, dl ahonnan a görbület Kfejtést követően 1 R ṙ r = dl 3. dw (ẋ R ẏ 2 + ż 2) 3 = (ẏ z ÿż) 2 + (żẍ zẋ) 2 + (ẋÿ ẍẏ) 2 Gyakran találkozunk a z =állandó, y = y(x) típusú síkgörbékkel. Ebben az esetben ( ) 1 + ẏ 2 3 R 2 = ÿ 2

16 dl 2 = dr dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) dw 2 = ṙ 2 dw 2. (13) w2 w2 l = dl = w 1 w 1 ṙ dw (14) e t r (l) (15) e n = Re t = Rr, (16) 1 R = r r. (17)

17 Alkalmazás: anyag pont knematkája A mozgástörvényt r = r(t), t [t 1, t 2 ] alakban adjuk meg, ahol t az dőt jelöl. Az anyag pont sebességvektora (13) és (14) felhasználásával v ṙ = dr dt, (18) v = ve t, ahol v v = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = dl dt. Az anyag pont gyorsulása a dv dt = v = d 2 r = r (19) dt2

18 (18) alapján Mvel ezért a = a t + a n, ahol a = ve t + ve t = ė t = de t dl dl dt = e n R v, a t = ve t, és a n = v 2 R e n. a pont érntő- lletve normál centrpetáls gyorsulása. a = a = v 2 + v 4 R 2.

19 Síkmozgás: x, y Descartes- koordnátarendszer ρ, ϕ polárkoordnátákat: x = ρ cos ϕ, y = ρ sn ϕ. azaz ρ = x 2 + y 2 = r, tan ϕ = y x. Tehát r = xe x + ye y = r(cos ϕe x + sn ϕe y ) re r A sebesség polárkoordnátákban v = ṙe r + rė r v r e r + v ϕ e ϕ, ahol v r = ṙ, és v ϕ = ϕr, ugyanakkor e r = cos ϕe x + sn ϕe y, ė r = ϕe ϕ, e 2 r = e 2 ϕ = 1 e ϕ = sn ϕe x + cos ϕe y, ė ϕ = ϕe r, e ϕ = 0. (20) azaz a két új egységvektor s ortogonáls.

20 A gyorsulás a = v = v r e r + v r e r + v ϕ e ϕ + v ϕ e ϕ = a r e r + a ϕ e ϕ, ahol a (20) összefüggésekből a r = r r ϕ 2, a ϕ = r ϕ + 2ṙ ϕ = 1 r d ( r 2 ϕ ) dt A v r és a r radáls sebesség lletve gyorsulás, a v ϕ és a ϕ pedg azmutáls megfelelők. Másodrendű dfferencálegyenletrendszer, r(t 0 ) = r 0 és v(t 0 ) = v 0 kezdet feltételek. Adott a(t) gyorsulás esetén: t τ r(t) = r(t 0 ) + v(t 0 )(t t 0 ) + dτ dτ a(τ ). t 0 t 0 Sok esetben: r = a(t, r, v), analtkus vagy numerkus módszer révén kapható meg.

21 Terület sebesség A pont helyzetvektora a dr elem elmozdulás során egy df = 1 2 r dr felületet súrol. Az terület sebesség Ḟ = 1 2 r v, (21) Ḟ = 1 2 (xẏ yẋ) = 1 2 r 2 ϕ (22) Mvel d (r v) = r a, dt radáls gyorsulás esetén (r a) a (21) terület sebesség állandó. egy egyszerűen összetett D tartomány területe kfejezhető a pereme mentén végzett ntegrállal: F (D) = 1 xdy ydx. 2 D