2 óra szeminárium, kedd 10 óra, 3/II terem. Elektronikus anyag: comodi.phys.ubbcluj.ro/elmeletifizika

Átírás

1 Tematika: AZ ELMÉLETI FIZIKA ALAPJAI Kódszám: FLM1303 Kreditszám: 6 Órarend:3 óra előadás, hétfő 10 óra, 243A. terem 2 óra szeminárium, kedd 10 óra, 3/II terem Oktató: Lázár Zsolt József adjunktus főépület 203. terem zsolt.lazar@phys.ubbcluj.ro Elektronikus anyag: comodi.phys.ubbcluj.ro/elmeletifizika 1. Vizsga (60%) Parciális (írásbeli) 50% (1.-7. előadások anyagából) Félév végi (írásbeli) 50% ( előadások anyagából). 2. Tevékenység (40%) Házi feladatok (70%) Felmérők (30%)

2 A tudomány módszerei A természetben ritkák az egyszerű folyamatok, többnyire több hatás keveredik. absztrakció (elvonatkoztatás) szükséges. Pl. Newton szerint a magukra hagyott testek egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. Nehéz ilyen feltételeknek eleget tevő testet megfigyelni.

3 Megtalálni, mi lényeges, mi nem (megfigyelés) Kapcsolatot keresni a lényeges jellemzők között (megfigyelés) Általánosítani (logika) Megkeresni a talált törvény érvényességi körét (megfigyelés) Nem kielégítő eredmény esetén visszatérni valamely korábbi lépéshez. indukció Az indukció nem szavatolja az igazság megtalálását. Pl: Arisztotelész szerint minden mozgást élőlény kell, hogy elindítson. A mozgásnak lényeges jellemzője, hogy az azt végző rendszer élő vagy élettelen.

4 Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete, Akadémiai Kiadó (2011)

7 megismerés, megismételhető(!!), obiektív(!!) tapasztalat minőségi mennyiségi jellemzés. A mennyiségi jellemzés egyértelmű.

8 megismerés, megismételhető(!!), obiektív(!!) tapasztalat minőségi mennyiségi jellemzés. A mennyiségi jellemzés egyértelmű. A reáltudományok egyértelműségre törekszenek. MATEMATIKA

9 megismerés, megismételhető(!!), obiektív(!!) tapasztalat minőségi mennyiségi jellemzés. A mennyiségi jellemzés egyértelmű. A reáltudományok egyértelműségre törekszenek. MATEMATIKA matematika: két értelmezés i. a természet nyelve ii gondolkodásunk (agyunk) képessége mely csodálatos módon messzire jut a természet megértésében modellek: fizikai model matematikai model elméletek

10 Az előadás célja Elsősorban nem a mechanikai problémák leírása, hanem olyan módszereknek a megismerése melyek alkalmazhatósága a fizika összes/számos területére kiterjed: Lagrange és Hamilton formalizmus kontinuumok leírása több szabadságfokú rendszerek leírása perturbációszámítás (???) ütközések, szórások (???)

11 Amit nem feszegetünk világ szerkezete és működése automatikusan időt feltételez a tér jellemzői: euklideszi (korlátlan, kompakt valós vektortér, euklideszi metrikával) idő jellemzői: független a tértől, kauzalitás (a fizika minden területén), megfordíthatóság (mechanikában) vonatkoztatási rendszer

12 A peripatetikus dinamika Arisztotelész (i.e ) rendszerezte a dinamikai ismereteket. Sétálás közben (=peripatetomai) tanította tanítványait és ők írták le azt. Nem mondhatni túl sikeresnek az elmélet. Mégis vannak érdemei: Megpróbálta rendszerezni az ismereteket. Néhány területen (pl. emelők) jó eredményeket adott. Sajnos, sok évszázadig Arisztotelész tekintélye miatt nehéz volt túllépni rajta.

13 Alapgondolatok Az égi és a földi mozgások más természetűek: az égiek örökké tartanak, a földiek hamar megállnak. A földi tárgyak természetes állapota a nyugalom. A földi tárgyaknak megvan a természetes helye. Anyag építőelemei: 4 alapelem: föld, víz, levegő, tűz. A természet rendje: az előző sorrend alulról felfelé értendő. Mozgások típusai: Égi mozgások (mozgás az örök rend szerint körpályákon) Földi mozgások: élőlények mozgása természetes mozgás (a rend helyreálĺıtására törekvés) kényszerített mozgás

14 mozgástörvény Le nem írt alapegyenlet: sebesség Newton kb év múlva: ható ok ellenállás, dv dt = F m v F R Peripatetikus dinamika: a közegellenállásos végsebességre kvalitatíve jó kép. Mai jelöléssel: F e = F R v Végsebességnél F e = 0, azaz F = Rv, azaz az arisztotelészi dinamikánál vagyunk. Sok megoldatlan probléma. Pl. miért repül a nyílvessző, miután kilőtték Magyarázat: a levegő közvetíti a hatást. Teljesen téves, de nehéz cáfolni.

15 Newton törvényei Tömegpont (részecske) méretei elhanyagolhatók mozgásának leírása szempontjából. A tömegpont helyzete a térben r x, y, z Descartes-koordináták. v dr dt ṙ, a dr 2 dt 2 r a részecske sebessége illetve gyorsulása. Newton, 1687-ben, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapjai) három törvény, melyek a részecskék mozgását irányítják. Vonatkoztatási rendszer = koordináta-rendszer + a rendszerhez rögzített órák együttese. A különböző vonatkoztatási rendszerekben általában különbözők a mozgástörvények. Olyan vonatkoztatási rendszert keresünk, amelyben a mechanikai törvények a legegyszerűbb alakúak.

16 Első főtörvény(a tehetetlenség elve) Minden magára hagyott test megőrzi nyugalmi állapotát vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását. tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer, másszóval inerciarendszer. Az inerciarendszerhez képest gyorsulva mozgó, vagy forgó vonatkoztatási rendszerek nem inerciarendszerek, mivel ezekben nem teljesül a tehetetlenség fenti törvénye. - magára hagyott test = messze van más testektől. Példa forgószínpad + teniszlabda ballisztikus pályája

17 Első főtörvény(a tehetetlenség elve) Minden magára hagyott test megőrzi nyugalmi állapotát vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását. tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer, másszóval inerciarendszer. Az inerciarendszerhez képest gyorsulva mozgó, vagy forgó vonatkoztatási rendszerek nem inerciarendszerek, mivel ezekben nem teljesül a tehetetlenség fenti törvénye. - magára hagyott test = messze van más testektől. Példa forgószínpad + teniszlabda ballisztikus pályája NEM JÓ! forgószínpad + atomi szinten zajló folyamatok

18 Első főtörvény(a tehetetlenség elve) Minden magára hagyott test megőrzi nyugalmi állapotát vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását. tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer, másszóval inerciarendszer. Az inerciarendszerhez képest gyorsulva mozgó, vagy forgó vonatkoztatási rendszerek nem inerciarendszerek, mivel ezekben nem teljesül a tehetetlenség fenti törvénye. - magára hagyott test = messze van más testektől. Példa forgószínpad + teniszlabda ballisztikus pályája NEM JÓ! forgószínpad + atomi szinten zajló folyamatok JÓ! talaj + teniszlabda ballisztikus pályája

19 Első főtörvény(a tehetetlenség elve) Minden magára hagyott test megőrzi nyugalmi állapotát vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását. tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer, másszóval inerciarendszer. Az inerciarendszerhez képest gyorsulva mozgó, vagy forgó vonatkoztatási rendszerek nem inerciarendszerek, mivel ezekben nem teljesül a tehetetlenség fenti törvénye. - magára hagyott test = messze van más testektől. Példa forgószínpad + teniszlabda ballisztikus pályája NEM JÓ! forgószínpad + atomi szinten zajló folyamatok JÓ! talaj + teniszlabda ballisztikus pályája JÓ! talaj + távolhordó ágyúk ballisztikájának, főbb szélrendszerek (passzát) dinamikája

20 Első főtörvény(a tehetetlenség elve) Minden magára hagyott test megőrzi nyugalmi állapotát vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását. tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer, másszóval inerciarendszer. Az inerciarendszerhez képest gyorsulva mozgó, vagy forgó vonatkoztatási rendszerek nem inerciarendszerek, mivel ezekben nem teljesül a tehetetlenség fenti törvénye. - magára hagyott test = messze van más testektől. Példa forgószínpad + teniszlabda ballisztikus pályája NEM JÓ! forgószínpad + atomi szinten zajló folyamatok JÓ! talaj + teniszlabda ballisztikus pályája JÓ! talaj + távolhordó ágyúk ballisztikájának, főbb szélrendszerek (passzát) dinamikája NEM JÓ!

21 Tapasztalat: mozgásállapot (sebesség) módosul az elszenvedett erőhatások mértékének függvényében ugyanazon erőhatás különböző testek esetén eltérő mértékű sebességváltozást okoz tehetetlenség, mértéke a tömeg. az erő egy vektoriális mennyiség Az erőnek a mozgásra kifejtett hatásának leírására bevezetjük a impulzus(mozgásmennyiség) fogalmát. p = mv.

22 Második főtörvény(a mozgástörvény) Ha egy részecskére egy F erő hat, akkor a mozgás során az impulzusvektor idő szerinti deriváltja megegyezik az F erővel. Matematikai alakja F = dp dt. (1) Ha a test tömege állandó a mozgás során F = m dv dt = m d 2 r dt 2 = ma, a = F m,

23 Harmadik törvény (a kölcsönhatás törvénye) Ha két részecske erővel hat egymásra, akkor az erők a részecskéket összekötő egyenes mentén hatnak, azonos nagyságúak és ellentétes irányításúak. F AB = F BA, F AB + F BA = 0

24 Az erőhatások szuperpozíciójának elve Ha egy részecskére egyidőben két erő F 1 és F 2 is hat, akkor ezek helyettesíthetők egyetlen olyan F erővel, melyet az összetevő erők vektori összegeként kapunk: ahol F az F 1 és F 2 erők eredője. F 1 + F 2 = F, matematikai indukcióval kiterjeszthető tetszőleges számú erőre is. az elv fordítottja is érvényes, azaz bármely erő felbontható több, egyidőben ható erőre, amennyiben ezek eredője kiadja az eredeti erőt.

25 Az anyagi pont mozgása során bizonyos mechanikai mennyiségek időben állandók maradnak, melyeket a megmaradási tételekkel fejezünk ki. f (t, r, ṙ) = C, a mozgásegyenletek primintegráljai, elsőrendű(!) differenciálegyenletek. Segítségükkel a rendszer leírható másodrendű differenciálegyenletének megoldása nélkül. A dinamika második törvénye is megmaradási tétel: dp dt = 0, azaz p = állandó. A fenti egyenlet fejezi ki az impulzusmegmaradás tételét.

26 A Galilei-féle relativitási elv Ha adott egy inerciarendszer, akkor a hozzá képest egyenesvonalú egyenletesen mozgó vonatkoztatási rendszerek is inerciarendszerek végtelen sok inerciarendszerünk van. A természettörvények valamennyi inerciarend- A relativitás elve szerben azonosak. a természettörvényeket kifejező egyenletek változatlanok maradnak, ha egy adott inerciarendszerről egy másikra térünk át.

27 K inerciarendszer + ehhez képest állandó V sebességgel mozgó K inerciarendszer. t = 0-ban O és O vonatkoztatási pont egybeesett. t idő múlva az O elmozdulása O-hoz képest OO = V t P pont a helye r illetve r r = r + OO = r + V t Az idő minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz: t = t Galilei-transzformáció

28 ṙ = ṙ + V v = v + V, r = r a = a a tömegpont gyorsulása, a két inerciarendszerben ugyanaz. ma = F mozgásegyenlet változatlanul érvényes a K rendszerben is : és ma = F F = F. a mozgástörvények ugyanolyan alakúak a két inerciarendszer egyenértékű mechanikai szempontból. Galilei-féle relativitási elv,

29 Mechanikai munka és energia Egy részecskére ható F erő munkája egy C görbe két A és B pontja: W (C AB ) = F dr. (2) C AB Elemi elmozdulásnak megfelelő mechanikai munka: dw = F dr. Az elmozdulásra merőleges erők nem végeznek mechanikai munkát. Az erők szuperpozíciójának elve az elmozdulás irányába mutató (tangenciális) F t + merőleges erő F n erőre. Az elemi munka: dw = (F t + F n ) dr = F t dr = F t dr, csak a mozgás pályájához érintőleges irányú összetevő végez munkát.

30 B A F = m dv dt F dr = m kinetikus-(mozgási-)energia, és dr = vdt, tb t A dv dt vdt = m 2 (v 2 B v 2 A). (3) T = mv 2 2 A kinetikus energia változásának tétele W (C AB ) = T (B) T (A) A fenti összefüggés mindenféle erő esetén érvényes. Általános esetben a végzett munka és következésképpen a mozgási energia változása függhet az útvonaltól. Nem konzervatív erők a súrlódási erő és a közegellenállási erők illetve időtől függő potenciálterek

31 Konzervatív erőtér (időfüggetlen potenciáltér) Ha két pont között végzett munka értéke nem függ a pontokat összekötő görbétől csak a végpontok helyzetétől, (pl. elektrosztatikus és gravitációs erőterek). bármilyen zárt C görbére: F dr = 0. C Ez azt jelenti, hogy F dr egy skalár ú.n. potenciális energia függvény teljes differenciálja: F dr = du(r) U(r) dr. F = U, azaz F x = U x, F y = U y, F z = U z. Ellenőrzési mód: F = 0. A fenti háromféle feltétele a konzervatívitásnak egyenértékű.

32 A mechanikai munka konzervatív erőtérben: W AB = B A F dr = B A U dr = U(A) U(B) ahol U(A) U(r A ), U(B) U(r B ) a potenciális energia értékei, az A és B pontokban. Az energiamegmaradás tétele Konzervativ erőtérben mozgó részecske kinetikus és potenciális energiájának összege, az E a teljes energia, időben állandó: T (A) + U(A) = T (B) + U(B) = E Ha nemkonzervatív F nk erők is hatnak akkor a a részecske teljes energiaváltozásának tétele: E(B) E(A) = W n.k. (C AB ).

33 Impulzusnyomaték impulzusnyomatéka az O pontra nézve erőnyomatéka ugyanarra az O pontra vonatkozóan. J = r p (4) N = r F (5) dj dt = d dt (r mv) = v mv + r d dt (mv) = N J = N. N = 0 egy újabb megmaradási tétel: Az impulzusnyomatékmegmaradás tétele Ha egy részecskére ható erőnyomaték N nulla akkor annak J impulzusnyomatéka állandó

34 Az erőnyomaték nulla, ha F = 0 r = 0 F r Az r helyzetnek az F -re merőleges összetevőjét az erő karjának nevezzük. Az impulzusnyomaték úgy a koordinátarendszer, mint a vonatkoztatási rendszer sebességének megválasztásától nagymértékben függ.

35 Centrális erőtér m tömegű részecske U(r) = U(r) centrális erőtérben. A részecskére ható erő: F (r) = U(r) = U(r) = du r r dr r r Ennek nagysága az erőtér középpontjától mért távolságtól függ, az iránya pedig párhuzamos a részecske helyzetvektorával. J = M = r F = 0. J pályaimpulzusnyomaték vektora állandó. Az impulzusnyomatékvektor és az r helyzetvektor merőlegességének következményeként a részecske mozgása az impulzusnyomatékvektorra merőleges síkban történik. Centrális erőtérben a mozgás mindig síkmozgás (f = 2).

36 Pontrendszerek mechanikája N darab részecske m i, v i illetve p i = m i v i. Az egyes részecskékre hasson az F i külső erő, míg a j részecske részéről az f ij belső erő. i, j = 1, N Newton harmadik törvénye értelmében: Newton második törvénye értelmében f ij r i r j, (6) f ij = f ji. (7) ṗ i = F i + j f ij, Vezessük be a P i p i vektorösszeget.

37 Ṗ = i ṗ i = i F i + i,j f ij = = i = i F i + 1 (f ij + f ji ) = 2 }{{} i,j =0 F i = F (8) F a rendszerre ható külső erők eredője P mennyiségre hasonló törvény érvényes, mint az egyes részecskékre P a rendszer impulzusa és idő szerinti deriváltja egyenlő a külső erők eredőjével.