Mechanika. I. előadás február 25. Mechanika I. előadás február / 31

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mechanika. I. előadás február 25. Mechanika I. előadás február / 31"

Átírás

1 Mechanika I. előadás február 25. Mechanika I. előadás február / 31

2 Elérhetőségek, információk Tantárgy: Mechanika (GEMET266-ZD-B) Előadó: Dr. Lengyel Ákos József Elérhetőségek: Iroda: Miskolc, Egyetemváros, A/4. épület 428. Tel.: / Honlap: lengyel/education Mechanika I. előadás február / 31

3 Követelmények Tantárgyi követelmény: aláírás + kollokvium (vizsga) Az aláírás megszerzése szorgalmi időszakban: 2 db 50 perces zárthelyi, melyek a 3. és 5. alkalommal kerülnek megíratásra, egyenként 40 pontért (10 pont elmélet + 30 pont példa megoldás). Az aláírás feltétele a két zh-n összesen szerezhető 80 pontból legalább 32 pont (40%) elérése összesen. Ha ez nem sikerül, akkor a 6. alkalommal pótzh megírására is van lehetőség, mely az addig elhangzott teljes tananyagot tartalmazza, 40 pontos, 50 perces zh, melyen minimum 16 pontot (40%), vagy a ponthiányt kell megírni. Az aláírás megszerzése vizsgaidőszakban: a vizsgaidőszak első két hete aláíráspótló időszak, minden héten egy-egy aláíráspótlási lehetőség, 40 pontos 50 perces zh-val, melyből 20 pontot (50%) kell elérni. Vizsgajegy megszerzése szorgalmi időszakban: a 2 db zárthelyin összesen 80 pont érhető el, a két zh pontszámait összeadva 60 ponttól megajánlott jó (4) és 70 ponttól megajánlott jeles (5) vizsgajegy szerezhető. Vizsgajegy megszerzése vizsgaidőszakban: a 6 hetes vizsgaidőszakban hetente egy vizsgalehetőség, melyen egy 40 pontos, 50 perces zárthelyit kell megírni. Ponthatárok: 0 19 elégtelen (1), elégséges (2), közepes (3), jó (4), 32 jeles(5). Aki a félévközi két zh-n 32 ponttól több pontot ér el, pluszpontokat kap, melyeket a vizsgán beszámítjuk. Az elért pontszámból ki kell vonni 32 pontot, az eredményt pedig osztani kell néggyel, ennyi pluszpont jár a vizsgán (ha a hányados nem egész szám, a kerekítés szabályai érvényesek). Ebben a félévben ezek a pluszpontok minden vizsgán érvényesek. Mechanika I. előadás február / 31

4 A) Statika Mechanika I. előadás február / 31

5 1. Bevezetés, alapfogalmak Mechanika, mint tudomány tárgya: testek, anyagi rendszerek mozgásának és tartós nyugalmának feltételeit, okait vizsgálja. Műszaki mechanika: a mechanika elveinek alkalmazása műszaki feladatokra. Például tartós nyugalom biztosítása teherbíró képesség meghatározása: méretezés, ellenőrzés dinamika: előírt mozgások biztosítása Modellezés a mechanikában: modellezés: a valóságos viszonyokat a vizsgálatok szempontjából lényegesnek ítélt tulajdonságok kiemelésével leegyszerűsítjük modellt alkotunk folyamata: megfigyelés, mérés leírás törvények megfogalmazása, alkalmazása, számolás (ezzel fogunk foglalkozni) ellenőrzés, pontosítás fontosabb modellek: merev test: olyan test, amely pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága mozgás közben nem változik, térbeli helyzetét 6 adat határozza meg. Spec. eset: anyagi pont tömegpont, olyan merev test, amelynek mozgását egyetlen pontja mozgásával írjuk le, térbeli helyzetét 3 koordináta jellemzi, szabadsági foka 3. Mechanika I. előadás február / 31

6 1. Bevezetés, alapfogalmak fontosabb modellek (folytatás): szilárd test: alakváltozásra képes test, terhelés mozgás során pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága változik. Pl.: rugalmas test (a terhelés levétele után visszanyeri eredeti alakját), képlékeny test (a terhelés levétele után nem nyeri vissza eredeti alakját), viszkózus testek (polimerek) koncentrált erő: egyik testnek a másik testre történő hatása (gravitáció, érintkezés útján, rugó, stb.) a mechanika egy lehetséges felosztása merev testek mechanikája (statika, dinamika) szilárd testek mechanikája (szilárdságtan, rugalmasságtan) folyadékok, gázok mechanikája (áramlástan) Fizikai mennyiségek típusai [ ] skaláris mennyiség: nagyság, mértékegység (térfogat, V [cm 3 ], sűrűség, ρ kg, tömeg, m 3 m [kg], stb.) vektoriális mennyiség: nagyság, irány, mértékegység (erő, F [N], sebesség, v [ ] m s, [ ] gyorsulás, a m, stb.) s 2 tenzor mennyiség: (később) Mechanika I. előadás február / 31

7 1. Bevezetés, alapfogalmak Koordináta-rendszer: Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer (DDKR). Ez egy merev test, amihez képest a mozgásokat viszonyítjuk. z P e z r P e x e y x y bázisvektorok: e x, e y, e z koordináták: x, y, z a P pont helyvektora: r P = x e x + y e y + z e z [m] [ tetszőleges vektor: v = v x e x + v y e y + v z e m ] z s Statika tárgya: merev testekből álló rendszer tartós nyugalmának biztosításához szükséges külső és belső erők meghatározása. Mechanika I. előadás február / 31

8 2. Anyagi pont statikája 2.1 Anyagi pontra ható erő megadása a) síkbeli eset (2D): F y y F hatásvonal ϕ y ϕx = ϕ támadáspont F x x az erővektor F = F x + F y = F x e x + F y e y [N] az erő irányvektora: e, F = F e, ahol F = F = e = cos ϕ x e x + cos ϕ y e y = cos ϕ e x + sin ϕ e y F 2 x + F 2 y Mechanika I. előadás február / 31

9 2. Anyagi pont statikája b) térbeli eset (3D): z F = F x e x + F y e y + F z e z irányvektor: ϕ z F e = cos ϕ x e x + cos ϕ y e y + cos ϕ z e z x ϕ x ϕ y y e = 1 = cos 2 ϕ x + cos 2 ϕ y + cos 2 ϕ z két szög független, a harmadik belőlük számítható. Az erő nagysága: F = F = Fx 2 + Fy 2 + Fz 2 F = F e = F cos ϕ x e x + F cos ϕ y e y + F cos ϕ z e z }{{}}{{}}{{} F x F y F z Mechanika I. előadás február / 31

10 2. Anyagi pont statikája 2.2 Anyagi pontra ható erőrendszer (ER) a) értelmezés: anyagi pontra ható erők összessége z F 2 F 1 x F i y ER: F i ; i = 1, 2,..., n (adott) hatásvonalaik irányvektorai: e i ; i = 1,..., n; e i = 1 jellemző: közös támadáspont (közös ponton támadó ER) az erők nagysága: F i = F i = Fix 2 + F iy 2 + F iz 2 Mechanika I. előadás február / 31

11 2. Anyagi pont statikája b) az ER eredője Értelemzés: az F i ; i = 1,..., n db koncentrált erőből álló ER eredője az erők összege. F = F 1 + F F n = n F i az eredő erő koordinátái: így az eredő n F x = F 1x + F 2x F nx = F ix n F y = F 1y + F 2y F ny = F iy n F z = F 1z + F 2z F nz = F iz F = F x e x + F y e y + F z e z Mechanika I. előadás február / 31

12 2. Anyagi pont statikája c) az anyagi pontra ható ER egyensúlya Értelmezés: az anyagi pontra ható F i, i = 1,..., n koncentrált erőkből álló ER egyensúlyi ER, ha eredőjük zérus, vagyis F = F F n = n F i = 0 vetületi vagy skaláris egyensúlyi egyenletek: e x : F 1x + F 2x F nx = 0 e y : F 1y + F 2y F ny = 0 e z : F 1z + F 2z F nz = 0 3 db egyenlet d) az anyagi pont tartós nyugalma Newton I. mozgástörvénye: ha az anyagi pontra ható ER eredője zérus, akkor az anyagi pont vagy tartós nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez az ER egyensúlya szükséges feltétel a tartós nyugalomhoz speciális esetek: n = 1: egyetlen erő nyugalom nem lehetséges n = 2: F 1 ; F 2 : egyensúly feltétele, hogy F 1 + F 2 = 0 F 1 = F 2 jellemzőik tehát, hogy azonos a hatásvonaluk, a nagyságuk, de ellentétes az irányuk e) anyagi pontra ható két ER egyenértékűsége Értelmezés: két különböző ER egyenértékű, ha az eredőjük megegyezik egymással (csak anyagi pontnál) Mechanika I. előadás február / 31

13 3.1 Koncentrált erő pontra számított nyomatéka a) értelmezés: a P pontban támadó F erő nyomatéka az pontra: M = r P F [Nm] következmények: ( M r P ; F ) ; M d r P ϕ támadáspont P F hatásvonal iránya a jobbkézszabály szerint M nagysága: M = r P F sin ϕ = F r P sin ϕ = F d }{{} d vagyis erőször erőkar Az erő nem ad nyomatékot hatásvonalának pontjaira (igazolás: az erő karja zérus lesz). Az erő a hatásvonala mentén eltolható, nyomatéka nem változik. (igazolás: az erőt áttoljuk a hatásvonal egy tetszőleges pontjába, az erőkar változatlan marad). Mechanika I. előadás február / 31

14 b) összefüggés két pontra számított nyomaték között M A MA = r AP F M B = r BP F = ( r BA + r AP ) F = M B r BA A r AP F = r BA F + r AP F }{{} M A B r BP P M B = M A + r BA F = M A + F r AB Mechanika I. előadás február / 31

15 3.2 Koncentrált erő tengelyre számított nyomatéka a) tengely: irányított egyenes, egységvektora: e; e = 1, például A ponton áthaladó a tengely: e a. A tengely x, y és z tengelyekkel bezárt szöge rendre α x, α y és α z, így e a = cos α x e x + cos α y e y + cos α z e z F A M A A e a A tengelyre számított nyomaték értelmezése: a P pontban támadó F erő a tengelyre számított nyomatéka: a r AP P M a = M ( A e a = r AP F ) e a [Nm] Mechanika I. előadás február / 31

16 következmények: M a az M A vektor merőleges vetülete az a tengelyre M a nagysága nem függ az A pont megválasztásától: M a = M ( A e a = MA + r A A F ) e a = M ( A e a + r A A F ) e a } {{ } =0 ha az erő hatásvonala metszi a tengelyt, akkor M a = 0. Igazolás: A rajta van F hatásvonalán és a-n is, tehát M A = 0 M a = 0 = M A e a ha az erő párhuzamos az a tengellyel, akkor M a = 0. Igazolás: mivel M A merőleges az F erőre, így M A egyúttal merőleges e a-ra is, így a két vektor skaláris szorzata 0-át ad: M A e a = 0. Mechanika I. előadás február / 31

17 Q r F r Q r P d F ϕ P 3.3 Az erőpár és nyomatéka a) értelmezés: az erőpárt két párhuzamos hatásvonalú, azonos nagyságú, ellentétes irányú erővektor alkotja (a hatásvonalak nem esnek egybe, de egyetlen síkban vannak) b) az erőpár eredője és nyomatéka eredő: F + ( F ) = 0 nyomaték a Q pontra: M Q = r QP F = r F 0 nyomaték a P pontra: M P = r PQ ( F ) = r F nyomaték a tetszőleges pontra: M = r P F ( + r Q F ) = ( ) r P r Q F = r F Mechanika I. előadás február / 31

18 következmények: az erőpár nyomatéka a test/tér bármely pontjára ugyanakkora: M = r F, nagysága: M = r F sin ϕ = F ( r sin ϕ ) = Fd }{{} d az erőpár M nyomatéka a test/tér bármely pontjába áthelyezhető ha ismert n db erőpár, akkor ezek n db nyomatékvektorral egyenértékűek: M 1 ; M 2 ;... ; M n, amelyek összegezhetők, így az eredő nyomaték: M = M 1 + M M n = n M i [Nm] Mechanika I. előadás február / 31

19 3.4 Koncentrált erők áthelyezése másik pontba: redukálás F F M F r P P F P F P a) a( redukált ) vektorkettős fogalma: a P pontban támadó F erő pontba redukált vektorkettőse az F ; M erő és nyomatékvektor, ahol M = r P F [Nm]; és M merőleges az F -re. b) a redukálás megfordítása: ha ismert a tetszőleges pontban egy egymásra merőleges F M erő és nyomaték, akkor léteznek olyan pontok, amelyekben az F, M csak az F erővel helyettesíthető. Ezeknek a pontoknak a mértani helye egy egyenes, amely párhuzamos az F erővel és átmegy P-n. Egyenlete ( r r P ) F = 0 ahol r = x ex + y e y + z e z Ez az egyenes az ún. centrális egyenes. Mechanika I. előadás február / 31

20 3.5 A merev testre ható általános ER redukált vektorkettőse statikai egyenértékűség: F i F F 1 M 1 P i F 1 P 1 M i M 1 F i M i + M 1 M i M Tehát adott a P i pontokban támadó F i, M i, i = 1, 2,..., n általános ER. Mechanika I. előadás február / 31

21 a) az általános ER pontba redukált vektorkettőse F i, M i áthelyezése P i -ből -ba: F i, M i = r P F i és M i, i = 1, 2,..., n Ezekkel az ER pontba redukált vektorkettőse: F = F 1 + F F n = n F i M = r P1 F r Pn F n + M M n = ( r Pi F i + M i ) következmény: ( a testre ) ható bármely általános ER helyettesíthető egy erővel és egy nyomatékkal: F ; M az ER pontba redukált vektorkettőse b) a redukált vektorkettős az A pontban eredő: F = n F i nyomaték: M A = n ( r APi F i + ) M i M M A kiszámítása M ismeretében: M A = M + r A F (lásd 3.1 b)) Mechanika I. előadás február / 31

22 ( c) statikai egyenértékűség: a merev testre ható általános ER F i ; M ) i ; i = 1,..., n statikailag ( ) egyenértékű egy tetszőleges pontban az odaredukált vektorkettősével F ; M (egy erővel és egy nyomatékkal) d) két különböző ER egyenértékűsége a merev testre hat két ER: 1 ER: F i ; M i ; i = 1,..., n 2 ER: F j ; M j ; j = 1,..., m redukált vektorkettőseik ( ) ugyanabba az pontba: 1 ER: F ; M ( ) 2 ER: F ; M a két ER statikailag egyenértékű, ha a redukált vektorkettősük azonos egymással: F = F F x = F x : F y = F y 3 db skaláris vagy vetületi egyenlet F z = F z M = M : M x = M x M y = M y M z = M z 3 db skaláris nyomatéki egyenlet Mechanika I. előadás február / 31

23 3.6 Merev testre ható általános ER centrális egyenese a) értelmezés: a P i pontokban támadó F i ; M i ; i = 1,..., n általános ER centrális egyenese azon pontok mértani helye, amelyekben az ER eredőjével és egy vele párhuzamos nyomatékkal helyettesíthető b) a centrális egyenes egyenlete M M F M r P r C r C P F M pontba ( ) redukált vektorkettős: F ; M az M nyomaték F -fel párhuzamos és F -re merőleges összetevője: M = 1 ( ) F M F 2 F M = 1 F 2 ( F M ) F = M M 3.4 b) alapján: M és F helyettesíthető egy P ponton átmenő egyenes mentén egyetlen F erővel, az M vektort pedig áthelyezzük az egyenes P pontjába, így a centrális egyenes egyenlete: ( r r P ) F = 0. Másik alak: r F = M, r = x e x + y e y + z e z Mechanika I. előadás február / 31

24 c) a centrális egyenes ponthoz legközelebb eső C pontja: egyenlet: r C F = M ( r r C ) ( F r C F ) = F M ( ) r C F F ( ) F F r C = F M } {{ } } {{ } F 2 0 r C = 1 F 2 F M [m] a centrális egyenes egyenlete r C ismeretében: ( r C = d az F ) erő karja F ( r r C ) = 0 Mechanika I. előadás február / 31

25 d) speciális esetek, az ER-ek osztályozása: F = 0; M = 0 egyensúlyi ER Statika F = 0; M 0 egyetlen erőpár F 0; M F az ER centrális egyenesében egyetlen erővel, az F -fel helyettesíthető F 0; M F általános eset: erőcsavar a centrális egyenes mentén Mechanika I. előadás február / 31

26 3.7 Merev testre ható egyensúlyi ER, és a test tartós nyugalma a) értelmezés: a P i pontban ható F i ; M i ; i = 1,..., n általános ER egyensúlyi ER, ha a test vagy a tér egy tetszőleges pontjában a redukált vektorkettős zérus, vagyis F = M = n F i = 0 n e x : e y : e z : ( r Pi F i + M i ) = 0 F x = n F ix = 0 F y = n F iy = 0 F z = n F iz = 0 e x : M x = 0 e y : M y = 0 e z : M z = 0 3 db skaláris erőegyensúlyi egyenlet 3 db skaláris nyomatéki egyenlet összesen 6 db egyenlet. Ha az pontban zérus a redukált vektorkettős, akkor a test/tér bármely pontjában zérus: áthelyezés -ból A-ba: F = 0 M A = M }{{} + r A F }{{} = Mechanika I. előadás február / 31

27 b) a merev test tartós nyugalma: A statika alaptétele: egy merev test csak akkor lehet tartós nyugalomban, ha a testre ható külső ER egyensúlyi az egyensúlyi ER szükséges feltétel a tartós nyugalomhoz, a merevtestszerű mozgást (eltolódás és forgás) a támasztó ER-nek meg kell akadályozni a külső ER: terhelés (adott) és a támasztásoknál fellépő támasztó ER (keresett) Mechanika I. előadás február / 31

28 3.8 Merev testre ható speciális ER-ek egyensúlya a) síkbeli erőrendszerek ismert: P i, F i, M i, i = 1,..., n síkbeli y ER, most F i = F ix e x + F iy e y, M i = M i e z F i az ER pontba redukált vektorkettőse: F F = n F M i = F x e x + F y e y, i r Pi P i M = n ( r Pi F i + ) M i = M e z M x egyensúlyi ER F x = n F ix = 0 F = 0 F y = n F iy = 0 M = 0 M = 0 centrális egyenes: M F mindig fennáll, ezért az ER egyetlen erővel, az F eredővel helyettesíthető a centrális egyenesben Mechanika I. előadás február / 31

29 b) merev testre ható két erő egyensúlya F 2 P 1 P 2 F 1 adott: P 1 ; F 1, keresett: P 2 ; F 2 úgy, hogy az ER egyensúlyi legyen egyensúlyi ER: F 1 + F 2 = 0 F 2 = F 1, M = 0 bármely pontra. következmény: P 2 rajta van az F 1 hatásvonalán (bárhol), F 2 pedig F 1 nagyságával azonos, de ellentétes irányú Mechanika I. előadás február / 31

30 c) merev testre ható három nem párhuzamos erő egyensúlya F 1 F 1 F 3 F 3 P 1 P 3 F 2 P 2 F 1 + F 2 F 1 + F 2 F 2 helyzetábra erőábra adott: P 1 ; F 1 ; P 2 ; F 2 ; keresett: P 3 ; F 3, ha ez ER egyensúlyi egyensúlyi ER: F 1 + F 2 + F 3 = 0 F ( 3 = F 1 + F ) 2 M = 0 F 3 hatásvonala azonos F 1 + F 2 hatásvonalával következmény: azonos síkban vannak hatásvonalaik egyetlen pontban metsződnek eredőjük zérus kell legyen erőábrában nyílfolyam folytonos Mechanika I. előadás február / 31

31 d) három párhuzamos erő egyensúlya adott: P 1 (x 1 ); F 1 ; P 2 (x 2 ); F 2, keresett: P 3 (x 3 ); F 3, ha az ER egyensúlyi egyensúlyi ( ER: F 1 + F 2 + F 3 = 0 F 3 = F 1 + F ) 2 = (F 1 + F 2 ) e y y F 1 F 2 M = 0 = F 1 x 1 e z + F 2 x 2 e z F 3 x 3 e z x 3 = F 1x 1 +F 2 x 2 ; F F 1 +F 3 = F 1 + F 2 2 megoldás másként x 3 -ra: nyomatéki egyenlet a Q(x 3 ; 0) pontra M Q = F 1 a e z + F 2 b e z = 0 F 1 a = F 2 b F 1 = b F 2 a a = x 3 x 1 ; b = x 2 x 3 Q x 1 x 3 x 2 a F 3 b x Mechanika I. előadás február / 31

TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ STATIKA

TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ STATIKA TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ STATIKA GEMET001-B Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Műszaki Mechanikai Intézet MM/37/2018. Miskolc, 2018. február 5. HIRDETMÉNY Statika(GEMET201NB és GEMET001-B)

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MECHANIKA. Anyagmérnök BSc Szak Évfolyamszintű tárgy. Miskolci Egyetem. Gépészmérnöki és Informatikai Kar

KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MECHANIKA. Anyagmérnök BSc Szak Évfolyamszintű tárgy. Miskolci Egyetem. Gépészmérnöki és Informatikai Kar KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MECHANIKA Anyagmérnök BSc Szak Évfolyamszintű tárgy Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Műszaki Mechanikai Intézet 1. Tantárgyleírás Tantárgy neve: Mechanika Tantárgy

Részletesebben

Az M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege:

Az M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege: 1. feladat Határozza meg a T i támadáspontú F i erőrendszer nyomatékát az A pontra. T 1 ( 3, 0, 5 ) T 1 ( 0, 4, 5 ) T 1 ( 3, 4, 2 ) F 1 = 0 i + 300 j + 0 k F 2 = 0 i 100 j 400 k F 3 = 100 i 100 j + 500

Részletesebben

EGYSZERŰ GÉPEK. Azok az eszközök, amelyekkel kedvezőbbé lehet tenni az erőhatás nagyságát, irányát, támadáspontjának helyét.

EGYSZERŰ GÉPEK. Azok az eszközök, amelyekkel kedvezőbbé lehet tenni az erőhatás nagyságát, irányát, támadáspontjának helyét. EGYSZERŰ GÉPEK Azok az eszközök, amelyekkel kedvezőbbé lehet tenni az erőhatás nagyságát, irányát, támadáspontjának helyét. Az egyszerű gépekkel munkát nem takaríthatunk meg, de ugyanazt a munkát kisebb

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

IMPULZUS MOMENTUM. Impulzusnyomaték, perdület, jele: N

IMPULZUS MOMENTUM. Impulzusnyomaték, perdület, jele: N IPULZUS OENTU Impulzusnyomaték, perdület, jele: N Definíció: Az (I) impulzussal rendelkező test impulzusmomentuma egy tetszőleges O pontra vonatkoztatva: O I r m Az impulzus momentum vektormennyiség: két

Részletesebben

az eredő átmegy a közös ponton.

az eredő átmegy a közös ponton. M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös

Részletesebben

DINAMIKA ALAPJAI. Tömeg és az erő

DINAMIKA ALAPJAI. Tömeg és az erő DINAMIKA ALAPJAI Tömeg és az erő NEWTON ÉS A TEHETETLENSÉG Tehetetlenség: A testek maguktól nem képesek megváltoztatni a mozgásállapotukat Newton I. törvénye (tehetetlenség törvénye): Minden test nyugalomban

Részletesebben

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika 0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika Mechanika (ismétlés) statika, kinematika Dinamika, energia Áramlástan Reológia Optika find x Teszt: 30 perc, 30 kérdés Matek alapfogalmak: Adattípusok: Természetes,

Részletesebben

Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31

Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31 Mechanika II. előadás 219. március 4. Mechanika II. előadás 219. március 4. 1 / 31 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok megtámasztás: testek érintkezése útján jön létre, az érintkezés során

Részletesebben

Digitális tananyag a fizika tanításához

Digitális tananyag a fizika tanításához Digitális tananyag a fizika tanításához Ismétlés Erőhatás a testek mechanikai kölcsönhatásának mértékét és irányát megadó vektormennyiség. jele: mértékegysége: 1 newton: erőhatás következménye: 1N 1kg

Részletesebben

Merev testek kinematikája

Merev testek kinematikája Merev testek kinematikája Egy pontrendszert merev testnek tekintünk, ha bármely két pontjának távolsága állandó. (f=6, Euler) A merev test tetszőleges mozgása leírható elemi transzlációk és elemi rotációk

Részletesebben

TÁRGYLEÍRÁS 1. ALAPADATOK

TÁRGYLEÍRÁS 1. ALAPADATOK TÁRGYLEÍRÁS 1. ALAPADATOK 1.1. Tantárgy neve A STATIKA ÉS DINAMIKA ALAPJAI 1.2. Azonosító (tantárgykód) BMEEOTMAT41 1.3. A tantárgy jellege kontaktórás tanegység 1.4. Óraszámok gyakorlat: 5 óra/hét 1.5.

Részletesebben

A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS-

A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS- A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS- Forgatónyomaték meghatározása G Á L A T A Egy erő forgatónyomatékkal hat egy pontra, ha az az erővel össze van kötve. Például

Részletesebben

A síkbeli Statika egyensúlyi egyenleteiről

A síkbeli Statika egyensúlyi egyenleteiről 1 A síkbeli Statika egyensúlyi egyenleteiről Statikai tanulmányaink egyik mérföldköve az egyensúlyi egyenletek belátása és sikeres alkalmazása. Most egy erre vonatkozó lehetséges tanulási / tanítási útvonalat

Részletesebben

ERŐRENDSZEREK EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA

ERŐRENDSZEREK EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA ALAPOGALMAK ERŐRENDSZEREK EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA Egy testre általában nem egy erő hat, hanem több. Legalább két erőnek kell hatni a testre, ha az erő- ellenerő alaptétel alapján járunk el. A testek vizsgálatához

Részletesebben

Statika gyakorló teszt I.

Statika gyakorló teszt I. Statika gakorló teszt I. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) közös ponton támadó erőrendszerek síkbeli és térbeli feladatai (1.1-1.6) (II) merev testre ható síkbeli és térbeli erőrendszerek (1.7-1.13)

Részletesebben

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ 1. Egy téglalap alakú háztömb egyik sarkából elindulva 80 m, 150 m, 80 m utat tettünk meg az egyes házoldalak mentén, míg a szomszédos sarokig értünk. Mekkora az elmozdulásunk?

Részletesebben

TANTÁRGYFELELŐS INTÉZET: Építőmérnöki Intézet. OKTATÓ, ELŐADÓ címe: fogadóórája a szorgalmi időszakban:

TANTÁRGYFELELŐS INTÉZET: Építőmérnöki Intézet. OKTATÓ, ELŐADÓ  címe: fogadóórája a szorgalmi időszakban: Mechanika 1 Mechanika I. (Statika) Mechanika I. (Statika) Neptun kódja: SGYMMET2001XA Neptun kódja: SGYMMET201XXX Tantárgy neve angolul: Mechanics 1 Építészmérnöki szak, Építőmérnöki szak Nappali tagozat

Részletesebben

Newton törvények, erők

Newton törvények, erők Newton törvények, erők Newton I. törvénye: Minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását (állandó sebességét), amíg a környezete ezt meg nem változtatja (amíg külső

Részletesebben

KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK

KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK web-lap : www.hild.gor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STATIKA 50. KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK A TARTÓK MÉRETEZÉSE SORÁN SZÁMOS ESETBEN SZÜKSÉGÜNK VAN OLYAN ADATOKRA,

Részletesebben

Newton törvények, lendület, sűrűség

Newton törvények, lendület, sűrűség Newton törvények, lendület, sűrűség Newton I. törvénye: Minden tárgy megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását (állandó sebességét), amíg a környezete ezt meg nem változtatja

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Kiegészítés a három erő egyensúlyához

Kiegészítés a három erő egyensúlyához 1 Kiegészítés a három erő egyensúlyához Egy régebbi dolgozatunkban melynek jele és címe : RD: Három erő egyensúlya ~ kéttámaszú tartó már sok mindent elmondtunk a címbeli témáról. Ez ugyanis egy megkerülhetetlen

Részletesebben

TANTÁRGYFELELŐS INTÉZET: Építőmérnöki Intézet OKTATÓK, ELŐADÓK címe: fogadóórája a szorgalmi időszakban:

TANTÁRGYFELELŐS INTÉZET: Építőmérnöki Intézet OKTATÓK, ELŐADÓK  címe: fogadóórája a szorgalmi időszakban: Mechanika 1 Mechanika I. (Statika) Mechanika I. (Statika) Neptun kódja: SGYMMET2001XA Neptun kódja: SGYMMET201XXX Tantárgy neve angolul: Mechanics 1 Építészmérnöki szak, Építőmérnöki szak Nappali tagozat

Részletesebben

Mechanika - Versenyfeladatok

Mechanika - Versenyfeladatok Mechanika - Versenyfeladatok 1. A mellékelt ábrán látható egy jobbmenetű csavar és egy villáskulcs. A kulcsra ható F erővektor nyomatékot fejt ki a csavar forgatása céljából. Az erő támadópontja és az

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

ELÕADÁSVÁZLATOK. Az elõadásvázlatok Word for Windows 2.0 vagy HTML formátumban vannak. Tantárgyismertetô bevezetô:

ELÕADÁSVÁZLATOK. Az elõadásvázlatok Word for Windows 2.0 vagy HTML formátumban vannak. Tantárgyismertetô bevezetô: Eloadasvazlatok ELÕADÁSVÁZLATOK Az elõadásvázlatok Word for Windows 2.0 vagy HTML formátumban vannak. Tantárgyismertetô bevezetô: A mechanika tárgya, felosztása, vizsgálati módszere Alapfogalmak, mértékegységek

Részletesebben

Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai Tér is idő. Hosszúság- és időmérés.

Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai Tér is idő. Hosszúság- és időmérés. SZABÓ JÁNOS: Fizika (Mechanika, hőtan) I. TARTALOMJEGYZÉK Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai... 2. Tér is idő. Hosszúság- és időmérés. MECHANIKA I. Az anyagi pont mechanikája 1. Az anyagi

Részletesebben

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás ZÉHENYI ITVÁN EGYETE GÉPZERKEZETTN É EHNIK TNZÉK 6. EHNIK-TTIK GYKORLT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa Egy létrát egy verembe letámasztunk

Részletesebben

A magától becsukódó ajtó működéséről

A magától becsukódó ajtó működéséről 1 A magától becsukódó ajtó működéséről Az [ 1 ] műben találtunk egy érdekes feladatot, amit most mi is feldolgozunk. Az 1. ábrán látható az eredeti feladat másolata. A feladat kitűzése 1. ábra forrása:

Részletesebben

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

ÁRAMLÁSTAN MFKGT600443

ÁRAMLÁSTAN MFKGT600443 ÁRAMLÁSTAN MFKGT600443 Környezetmérnöki alapszak nappali munkarend TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MISKOLCI EGYETEM MŰSZAKI FÖLDTUDOMÁNYI KAR KŐOLAJ ÉS FÖLDGÁZ INTÉZET Miskolc, 2018/2019. II. félév TARTALOMJEGYZÉK

Részletesebben

Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA

Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft. Győr, 2010 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK ALKALMAZOTT

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár TARTÓK web-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STATIKA 19. TARTÓK FOGALMA: TARTÓK A tartók terhek biztonságos hordására és azoknak a támaszokra történő

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Mechanika (alap szint) Fizika BSc és Fizikatanár MA

Mechanika (alap szint) Fizika BSc és Fizikatanár MA Mechanika (alap szint) Fizika BSc és Fizikatanár MA Előadó: Ispánovity Péter Dusán Demonstrátor: Zilahi Gyula Gyakorlatvezetők: Wiener Csilla, Hömöstrei Mihály, Révész Ádám Mi a tantárgy célja? Newtoni

Részletesebben

A ferde tartó megoszló terheléseiről

A ferde tartó megoszló terheléseiről A ferde tartó megoszló terheléseiről Úgy vettem észre az idők során, hogy nem nagyon magyarázták agyon azt a kérdést, amivel itt fogunk foglalkozni. Biztos azt mondják majd megint, hogy De hisz ezt mindenki

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Mérések állítható hajlásszögű lejtőn

Mérések állítható hajlásszögű lejtőn A mérés célkitűzései: A lejtőn lévő testek egyensúlyának vizsgálata, erők komponensekre bontása. Eszközszükséglet: állítható hajlásszögű lejtő különböző fahasábok kiskocsi erőmérő 20 g-os súlyok 1. ábra

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek.

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek. Mozgások dinamikai leírása A dinamika azzal foglalkozik, hogy mi a testek mozgásának oka, mitől mozognak úgy, ahogy mozognak? Ennek a kérdésnek a megválaszolása Isaac NEWTON (1642 1727) nevéhez fűződik.

Részletesebben

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó

Részletesebben

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ez a bemutató a tanszéki Fizika jegyzet kiegészítése Mechanika I. félév 1 Stabilitás Az úszás stabilitása indifferens a stabil, b labilis S súlypont Sf a kiszorított

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények Cím:

TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények Cím: TANTÁRGY ADATLAP és tantárgykövetelmények Cím: MECHANIKA II. (Szilárdságtan) Tárgykód: PMKSTNE143 Heti óraszám 1 : 2 ea, 4/2 gy, 0 lab Kreditpont: 7 / 5 Szak(ok)/ típus 2 : Építőmérnök BSc., Gépészmérnök

Részletesebben

Szeretném felhívni figyelmüket a feltett korábbi vizsgapéldák és az azokhoz tartozó megoldások felhasználásával kapcsolatban néhány dologra.

Szeretném felhívni figyelmüket a feltett korábbi vizsgapéldák és az azokhoz tartozó megoldások felhasználásával kapcsolatban néhány dologra. Tisztelt Hallgatók! Szeretném felhívni figyelmüket a feltett korábbi vizsgapéldák és az azokhoz tartozó megoldások felhasználásával kapcsolatban néhány dologra. Az, hogy valaki egy korábbi vizsga megoldását

Részletesebben

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár web-lap : www.sze.hu/~deme e-mail : deme.ferenc1@gmail.com HÁROMCSUKLÓS TARTÓ KÜLSŐ ÉS BELSŐ REAKCIÓ ERŐINEK SZÁMÍTÁSA, A TARTÓ IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁINAK RAJZOLÁSA

Részletesebben

Mechanika I-II. Példatár

Mechanika I-II. Példatár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3

BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3 BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (2A) Név: Műszaki Mechanikai Tanszék 2. január. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3. feladat (2 pont) A vázolt befogott tartót a p intenzitású megoszló erőrendszer, az F

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre

Részletesebben

Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya

Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya 1 Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya Az [ 1 ] példatárban találtunk egy érdekes feladatot, melynek egy változatát vizsgáljuk meg itt. A feladat Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra

Részletesebben

Hajder Levente 2017/2018. II. félév

Hajder Levente 2017/2018. II. félév Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer

Részletesebben

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) SZÉHNYI ISTVÁN GYT LKLZOTT HNIK TNSZÉK 6. HNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Triesz Péter egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár) Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa gy létrát egy

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

DR. BUDO ÁGOSTON ' # i. akadémikus, Kossuth-díjas egyetemi tanár MECHANIKA. Kilencedik kiadás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST

DR. BUDO ÁGOSTON ' # i. akadémikus, Kossuth-díjas egyetemi tanár MECHANIKA. Kilencedik kiadás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST DR. BUDO ÁGOSTON ' # i akadémikus, Kossuth-díjas egyetemi tanár MECHANIKA Kilencedik kiadás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST 1991 TARTALOMJEGYZÉK Bevezette 1.. A klasszikus mechanika feladata, érvényességi határai

Részletesebben

A klasszikus mechanika alapjai

A klasszikus mechanika alapjai A klasszikus mechanika alapjai FIZIKA 9. Mozgások, állapotváltozások 2017. október 27. Tartalomjegyzék 1 Az SI egységek Az SI alapegységei Az SI előtagok Az SI származtatott mennyiségei 2 i alapfogalmak

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

FIZIKA MECHANIKA MŰSZAKI MECHANIKA STATIKA DINAMIKA BEVEZETÉS A STATIKA HELYE A TUDOMÁNYBAN

FIZIKA MECHANIKA MŰSZAKI MECHANIKA STATIKA DINAMIKA BEVEZETÉS A STATIKA HELYE A TUDOMÁNYBAN BEVEZETÉS A STATIKA HELYE A TUDOMÁNYBAN A statika a fizikának, mint a legszélesebb körű természettudománynak a része. A klasszikus értelemben vett fizika azokkal a természeti törvényekkel, illetve az anyagoknak

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes

Részletesebben

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 ) 1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )

Részletesebben

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai Hidrosztatika A Hidrosztatika a nyugalomban lévő folyadékoknak a szilárd testekre, felületekre gyakorolt hatásával foglalkozik. Tárgyalja a nyugalomban lévő folyadékok nyomásviszonyait, vizsgálja a folyadékba

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

Mechanika, dinamika. p = m = F t vagy. m t

Mechanika, dinamika. p = m = F t vagy. m t Mechanika, dinamika Mozgás, alakváltozás és ennek háttere Newton: a mozgás természetes állapot. A témakör egyik kulcsfontosságú fizikai mennyisége az impulzus (p), vagy lendület, vagy mozgásmennyiség.

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer

Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer Óbudai Egyetem Mikroelektronikai és Technológia Intézet Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar Tantárgy neve és kódja: Matematika III. KMEMA31TND Kreditérték:

Részletesebben

Alapmőveletek koncentrált erıkkel

Alapmőveletek koncentrált erıkkel Alapmőveletek koncentrált erıkkel /a. példa Az.7. ábrán feltüntetett, a,5 [m], b, [m] és c,7 [m] oldalú hasábot a bejelölt erık terhelk. A berajzolt koordnátarendszer fgyelembevételével írjuk fel komponens-alakban

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Komplex természettudomány 3.

Komplex természettudomány 3. Komplex természettudomány 3. 1 A lendület és megmaradása Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének a szorzata. Jele: I. Képlete: II = mm vv mértékegysége: kkkk mm ss A lendület származtatott

Részletesebben

Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat)

Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat) Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat) 1. Az inerciarendszer fogalma. Newton I. törvénye 3. Newton II. törvénye 4. Newton III. törvénye 5. Erők szuperpozíciójának elve 6. Különböző mozgások

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Példa: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén

Példa: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén Példa: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. március 20. Az 1. ábrán vázolt síkgörbe rúd méretei és terhelése ismert.

Részletesebben

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek?. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

HELYI TANTERV. Mechanika

HELYI TANTERV. Mechanika HELYI TANTERV Mechanika Bevezető A mechanika tantárgy tanításának célja, hogy fejlessze a tanulók logikai készségét, alapozza meg a szakmai tantárgyak feldolgozását. A tanulók tanulási folyamata fejlessze

Részletesebben

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra . Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától

Részletesebben