MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája

Átírás

1 Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre ható erőket redukáljuk a keresztmetszetbe. Függvényként való ábrázolásuk axonometrikusan, vagy vetülettel oldható meg. Igénybevételek térben II. z erő felbontása: Normálerő: a km. síkjára merőleges Nyíróerő(k): a km. síkjában (két komponens) nyomaték felbontása: Csavarónyomaték: a tartó tengelyével párhuzamos Hajlítónyomaték(ok): a km. síkjában (két komponens)

2 Igénybevételek térben III. (Központos) húzás-nyomás (Tiszta) nyírás Csavarás Hajlítás Egyenes Ferde Külpontos (hajlítással egyidejű) húzás-nyomás Hajlítással egyidejű nyírás Nyírás és csavarás Szilárdságtan bevezetés I. Szilárd test: korlátozottan alakváltozásra képes anyag szilárdságtan tárgya a szilárd test: alakváltozások elmozdulások feszültségek Szilárdságtan bevezetés II. kapcsolódó fizikai tulajdonságok a szilárdsági tulajdonságok z anyaggal szemben támasztható szilárdságtani követelmények: szilárdsági (teherbírási) merevségi (használhatósági) stabilitási

3 Szilárdságtan feladatai z alakváltozásra képes rúd keresztmetszeti igénybevételeiből a keresztmetszet mentén megoszló erők (feszültségek) z alakváltozások és az elmozdulások számítása Egyensúlyi helyzet jellemzése Szilárdságtan bevezetés III. vizsgált anyag: Folytonos függvényekkel leírható kontinuum, mely a teret gyűrődés- és hézagmentesen tölti ki. Viselkedése, mikroszerkezete szerint lehet: homogén, vagy inhomogén, izotróp, anizotróp vagy ortotróp, időfüggetlen, vagy időfüggő hőmérsékletfüggetlen, vagy hőmérsékletfüggő a terhelési történettől független, vagy függő stb. Vizsgált változók, egyenletek Elmozdulások Külső erők (terhek) Geometriai egyenletek Egyensúlyi egyenletek lakváltozások nyagegyenletek Feszültségek (belső erők)

4 (Mechanikai) Feszültségek I. test részei egyensúlyban vannak. z n normálisú elemi felület mentén megoszló erő: Feszültségvektor: p n = lim 0 Q =d Q d nagysága és iránya is n irányától függ tenzor -t az eredeti, vagy a megváltozott helyzetben nézzük? (nemlinearitás) Feszültségek II. Feszültségvektor felbontása: normál- és nyírófeszültségre p n = n n n n, n n Komponensek számítása: n = p n n n= n n n = p n n = nt t nyírófeszültség indexelése: első (egyetlen) index: felület normálisa második index (ha van): irány Fajlagos nyúlás: lakváltozások I. x = l 0 Fajlagos szögtorzulás:, xy = xy xy,, = y l x x l y

5 nyagegyenletek I. nyag homogén izotróp lineárisan rugalmas időfüggetlen anyag Teher statikus, kvázi-statikus Rúdmodell Tengely, keresztmetszetek nyag z-vel párhuzamos, ill. xy-síkban Sík keresztmetszetek elve Megmerevítés elve Kis elmozdulások Rudak keresztmetszeti jellemzői Terület = d Statikai nyomaték S x = y d, S y = x d Tehetetlenségi nyomaték = y 2 d, = Centrifugális nyomaték x 2 d, I 0 = r 2 d= y =C xy = xy d(ha x vagy y szimmetriatengely, akkor 0)

6 Súlypont S x =S y =0 x S ' = y S ' = x ' d d = S y ' y ' d d = S x ' Steiner-tétel Koordinátarendszer eltolása S x =S y =0 (súlypont) 2 ' = t x 2 ' = t y C x ' y ' =C xy t x t y Inerciaszámítás Koordinátarendszer elforgatása,,c xy,α adott I, I,C =? I = 2 d, etc. =x cos y sin = x sin y cos I = 2 cos 2 C 2 xy sin 2

7 Főinerciák I. I, I harmonikus függvények szélsőértékek d I d =0 ahol C =0 tan 2 0 = 2C xy, tehetetlenségi főirány 0 k 90 is megoldás I 0 főtehetetlenségi nyomaték, I 1 I 2 Megjegyzések: C 12 =0! szimmetriatengely főirány I 1,2 = + 2 ± ( I 2 x 2 2 ) + C xy Főinerciák II. Tehetetlenségi Mohr-kör Normálfeszültségek - igénybevételek Sík km.:ε z =α x+ β y+ γ σ z =E ε z =a x+ b y+ c N = σ z d M x = M y = σ z y d σ z xd c =N a C xy + b =M x a + bc xy = M y [ C xy 1 C xy ] = 1 C 2 xy [ C xy C xy ]

8 Normálfeszültségek c= N a= M xc xy + M y b= M x M y C xy C 2 xy C 2 xy σ z = N + M xc xy + M y x+ M x M y C xy y C 2 xy C 2 xy Speciális eset: x és y főirány (C xy =0) σ z = N + M y x+ M x y= N + M x y M y x Semleges tengely Def.: ahol a normálfeszültség nulla: egy egyenes egyenlete Speciális eset: normálerő zérus 0= M x 0= N + M x y M y y M y Nem párhuzamos a nyomatékvektorral ferde hajlítás N csak eltolja ezt az egyenest x x y= M y M x x Hajlítás és húzás-nyomás Legyen C xy =0 és M y =0: σ z = N + M x semleges tengely M x -szel párhuzamos egyenes hajlítás N és M x eredője egy nem a súlypontban ható erő külpontos húzás-nyomás Speciális eset: M x =M y =0: Központos húzás-nyomás y σ z = N

9 Hooke-tv. alapján: lakváltozások ε z = σ z E = N E + M x C xy + M y E (C 2 xy ) x+ M x M y C xy E(C 2 xy ) x és y együtthatói: κ y = M xc xy + M y E (C 2 xy ) görbületek (y-, x-tengelyre) a keresztmetszet alakváltozása Egyenes hajlítás esetén: κ x = M x M y C xy E (C 2 xy ) κ x = M x E y Mintapélda Nyírófeszültségek, igénybevételek Nyíróerőből: Tiszta nyírás esetén Hajlítással egyidejű nyírás esetén Csavarónyomatékból (csavarásból) Kör(gyűrű) keresztmetszetben Középponttól távolodva lineárisan növekvő Egyéb keresztmetszetben: Gátolatlan csavarás öblösödés Gátolt csavarás normálfeszültség

10 Tiszta nyírás Feszültség: τ= T lakváltozás: γ= τ G = T G Hajlítással egyidejű nyírás Nyíróerő változó hajlítónyomaték változó normálfeszültség Metszet egyensúlya: F iz : τ yz Reciprocitás: τ zy =τ yz = S xt y b Zsuravszkij-képlet Feszültség: Szögtorzulás: Kör(gyűrű) csavarása τ z = M cs r, ahol I I 0 a poláris inercia 0 γ z = τ z G = M cs G I 0 r keresztmetszet alakváltozása: κ z = M cs G I 0 fajlagos elcsavarodottság