Rugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015

Átírás

1 Rugalmasságtan Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 05

2 Példák (folyt.)

3 5. feladat Fajlagos térfogatváltozás DDKR-ben és HKR-ben. dv = [ e x e y e z]dxdydz dv = [( a x + e x)( a y + e y)( a z + e z)]dxdydz A I = dv dv dv = [ a x e y e z] + [ e x a y e z] + [ e x e y a z] + O( a ) = ε x + ε y + ε z = u + v y + w = div u = u ( u = r er + r ϕ eϕ + ) ez u = e r u r + eϕ r u r + r ( u u + ez ϕ = u + v ϕ ) + w = εr + εϕ + εz u r = u v w er + eϕ + r r r ez; u ϕ = u v w er +u eϕ + eϕ v er + ϕ ϕ ϕ ez; u = u v w er + eϕ + ez 3/8

4 6. feladat Egy rugalmas test P (x, y, z) pontjában is mert a T feszültségi tenzor [T ] = (x,y,z) [ x y x( y ) 0 x( y ) 3 (y 3 3y) z ] Kérdés: (a) határozzuk meg a b = b(x, y, z) térfogati tehervektort, ha a mechanikai egyensúly a test minden pontjában teljesül! σ x azaz b = 4z e z τ xy + τxy y + τxz + bx = xy xy + bx = 0 bx = 0 + σy y + τyz + by = y + y + b y = 0 b y = 0 τ xz + τyz y + σz + bz = 4z + bz = 0 bz = 4z 4/8

5 6. feladat (folyt.) Feladat: (b) keressük meg a főfeszültségeket a rugalmas test P (a, 0, a) pontjában, és ugyanitt határozzuk meg a nyírófeszültség legnagyobb értékét is (τ max = σ σ 3 =, 5a)! Ismeretes, hogy a főfeszültségeket az alábbi sajátértékfeladat megoldásából nyerjük: (T σ) n = 0 σ, σ és σ 3 számítása a det(t σ) = 0 karakterisztikus egyenletből történik; az n, n és n 3 főirányok meghatározásához pedig σ i ismeretében az eredeti sajátértékfeladat egyenletet használjuk fel. [T ] (x,y,z) (a, 0, a) = a [ ] det(t σ) = 0 σ a 0 a σ a σ = (4a σ)(σ a ) = 0 σ = σ z = 4a > σ = a > σ 3 = a a sajátvektorok n = e z, illetve a többi sajátvektorok [ a a 0 a a a ] [ ] [ n x n y = ] an x + an y = 0, an x an y = 0; 3an z = 0 mivel n x = n y, n z = 0 és n x + n y + n z = így n = ( e x + e y), n 3 = n n 3 = ( e x + e y). 5/8

6 6. feladat (folyt.) Feladat: (c) Határozzuk meg a P (a, 0, a) pontban az S feszültségi deviátor tenzort! σ k = 3 (σx + σy + σz) = T I 3 = 4a 3 [ 4a 3 a 0 ] S = T σ k = a 4a a 3 S I 0 minden esetben. 6/8

7 Alakváltozási tenzorral kapcsolatos kompatibilitási feltételek \ A = ( u) + u ) / A = 0 szükséges és elégséges feltétel, hogy egy megadott A-hoz egy u elmozdulásvektort rendeljünk, amely egy merevtestszerű elmozdulástól eltekintve egyértelműen meghatározott, ha a test egyszeresen összefüggő térbeli tartományban helyezkedik el. (Saint-Venant-féle kompatibilitási, vagy összeférhetőségi egyenlet) e z ( A ) e z = ( e z ) A ( e z) = 0 Megj.: e z = e z = y ex + ey [ y 0 ] [ ε x γ xy γ xz γ yx ε y γ yz γzx γ zy ε z y 0 ] [ y 0 ] = ε x y εy + γxy y = 0 azaz εx y + εy = γxy y illetve εy + εz y = γyz y és εz + εx = γzx y. 7/8

8 Alakváltozási tenzorral kapcsolatos kompatibilitási feltételek e y ( A ) e x = ( e y ) A ( e x) = 0 Megj.: e y = ex ez illetve ex = ey y ez [ 0 azaz illetve és ] [ ε x γ xy γ xz γyx εy γ yz γzx γ zy ε z y 0 ( ( ( γxy γyz γzx y ] [ 0 + γyz + γzx y + γxy y ] ( = γxy ) + γxz = ε z y y ) + γyx = ε x y ) + γzy = ε y. γyz ) γxz + ε z y y 8/8

9 Véges alakváltozások Véges alakváltozások ε = (U + U T + U T U) ε x = e x ε e x = u + ex U T U e x = u + u = u e x + v e y + w e z [ ( ) u + ( ) v + ( ) w ] mivel U e x = u v w e x U T = [ u v w ] U e y = u y v y w y γ xy = e x ε e y = u y + v + ex U T U e y = u y + v + u v y + v v y + w a merevtestszerű infinitezimális forgásból számolt linearizált alakváltozások zérus értékűek, de a véges alakváltozások nem. w y 9/8

10 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) SP = OQ = r z QP = z e r = cos ϕ e x + sin ϕ e y e ϕ = sin ϕ e x + cos ϕ e y x O ϕ e z e ϕ P (r, ϕ, z) e r y Q d e r = e dϕ ϕ d e ϕ dϕ = e r Bázisvektorok és koordináták u = u e r + v e ϕ + w e z = r er + r ϕ eϕ + ez U = u = u r er + u u eϕ + r ϕ ez 0/8

11 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) Alakváltozások u r u ϕ u = u v w er + eϕ + r r r ez = u v w er + u eϕ + eϕ v er + ϕ ϕ ϕ = u v w er + eϕ + ez U e r = u r [U] (r,ϕ,z) = U e ϕ = u r ϕ ( u u r r ( ϕ v) ) v r r u + v ϕ w r r w ϕ U e z = u u v w [A] = (r,ϕ,z) A = ( ) U + U T = A T szimmetrikus ( u v ) r r = + u r ϕ v r... ε r γrϕ γrz γϕr εϕ γϕz γzr γzϕ εz u r + r v ϕ ( w ( r + u v + w ϕ w ) ) /8

12 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) Egyensúlyi egyenletek HKR-ben T = ρ r e r + ρ ϕ e ϕ + ρ z e z ρ r = σ r e r + τ ϕr e ϕ + τ zr e z, ρ ϕ = τ rϕ e r + σ ϕ e ϕ + τ zϕ e z, ρ z = τ rz e z + τ ϕz e ϕ + σ z e z, ( T = T r er + r ϕ eϕ + ) ez = T r er + T T eϕ + r ϕ ez = ρ r r + ρr r + ρ ϕ r ϕ + ρz ρϕ (r ρr) + r ϕ + (r ρz) + r q = 0 τrϕ (rσr) + r ϕ σϕ + (rτrz) + rqr = 0 σϕ (rτϕr) + τϕr + r ϕ + (rτϕz) + rqϕ ϕ = 0 τzϕ (rτzr) + r ϕ + (rσz) + rqz = 0 /8

13 Egyenletek a gömbikoordináta-rendszerben (GKR) d er = sin ϑ e dϕ ϕ d er = e dϑ ϑ d eϕ dϑ = 0 d eϑ = e dϑ r x z d eϑ = cos ϑ e dϕ ϕ O ϕ OP = r e ϕ e r P (r, ϕ, ϑ) ϑ e ϑ Q y x = r cos ϕ sin ϑ y = r sin ϕ sin ϑ z = r cos ϑ e r = {cos ϕ sin ϑ; sin ϕ sin ϑ; cos ϑ} e ϕ = { sin ϕ; cos ϕ; 0} e ϑ = {cos ϕ cos ϑ; sin ϕ cos ϑ; sin ϑ} Bázisvektorok és koordináták u = u e r + v e ϕ + w e ϑ = r er + r sin ϑ ϕ eϕ + r ϑ e ϑ U = u = u r er + u r sin ϑ ϕ eϕ + r u ϑ e ϑ 3/8

14 Egyenletek a gömbikoordináta-rendszerben (GKR) Tekintsük az alábbi gömbszimmetrikus alakváltozást u = u(r) e r u r = u r er, u u = u sin ϑ eϕ, ϕ ϑ = u e ϑ U = u r er er + u r eϕ eϕ + u r e ϑ e ϑ = U T = A [ A ] ε r = u r ε ϕ = ε ϑ = u r [ u 0 r u = 0 0 r u (r,ϕ,ϑ) 0 0 r γ ϑr = γ ϕr = γ ϑϕ = 0 Az e r, e ϑ és e ϕ alakváltozási főirányok, a ε r, ε ϕ = ε ϑ főnyúlások, főtengelyek KR-ben az A diagonális szerkezetű ] 4/8

15 Egyenletek a gömbikoordináta-rendszerben (GKR) Egyensúlyi egyenletek gömbszimmetrikus terhelésre T = σ r(r) e r e r + σ ϕ(r) e ϕ e ϕ + σ ϑ (r) e ϑ e ϑ T = T r er + r sin ϑ σ ϕ(r) T ϕ eϕ + r T ϑ e ϑ = σr sin ϑ er + r r sin ϑ σr e r+ r sin ϑ ( sin ϑ er cos ϑ e ϑ) + σ ϑ (r) cos ϑ r sin ϑ e ϑ + σr r er σ ϑ r er = ( σr r + σr σϕ r r σ ) ϑ e r r mellyel σ r r + r σr σϕ + σ ϑ + q r = 0. r 5/8

16 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) Rugalmas testnek nevezzük a kontinuumot, ha a kontinuum mozgása során a feszültségtenzor a kontinuum minden egyes pontjában egyértelmű függvénye az alakváltozási tenzornak. Az alakváltzási tenzor függhet még további nem mechanikai mennyiségektől is: hőmérséklet, villamos térerősség, entrópia, stb. A T és A közötti függvénykapcsolatot hívjuk a rugalmas test anyagtörvényének. Homogén anyagtörvényről beszélünk, ha ez az összefüggés független a helykoordinátáktól. Ha a test izotróp, akkor a feszültségi és alakváltozási tenzorok főirányai összeesnek. (izotrópia=iránytól való függetlenség) 6/8

17 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) Az A és T közös főtengelyei által meghatározott KR-ben ε i = C i σ + C i σ + C i3 σ 3 (i =,, 3) Tiszta húzás(nyomás) esetére vonatkozó képletek szerint pl. ε = C σ + C σ + C 3 σ 3 = σ E ν E σ ν E σ 3 = + ν E σ ν E (σ + σ + σ 3 ) ahol ν a Poisson szám, E a rugalmassági (Young) modulusz. A = + ν [ T ν ] E + ν T I KR-ben igaz T I = σ + σ + σ 3 illetve továbbá A = [ T ν ] G + ν T I G = ( T = G A + ν ) ν A I E a csúsztató rugalmassági modulusz ( + ν) A I = ε + ε + ε 3 Az első skalár invariánsok között fennállnak az alábbi összefüggések A I = ν G + ν T I T I = G + ν ν A I A I = ν + ν G 3σ k = σ k K ahol K a térfogati rugalmassági modulusz. K = 3 G + ν ν 7/8

18 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) Összenyomhatatlan rugalmas testre A I = ε x + ε y + ε z = u + v y + w = u = div u = 0 K = (ν = ) σ k véges σ k = KA I Az anyagtörvény felírása a λ és µ Lamé-állandók segítségével T = µa + λa I ahol ν λ = µ ν = ν E λ, µ = G Lamé állandók ( + ν)( ν) A = µ T λt I µ(3λ + µ) 8/8

19 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) anizotróp eset Tömörített írásmód/jelölés x = x, y = x, z = x 3 σ x = σ, σ y = σ, σ z = σ 3, τ yz = σ 4, τ xz = σ 5, τ xy = σ 6, ε x = ε, ε y = ε, ε z = ε 3, γ yz = ε 4, γ xz = ε 5, γ xy = ε 6, mellyel az anizotróp lineárisan rugalmas test anyagtörvénye σ i = σ σ σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 }{{} σ 6 C ij ε j = C ij ε j j= = (j néma/összegző index) C C C 3 C 4 C 5 C 6 C C C 3 C 4 C 5 C 6 C 3 C 3 C 33 C 34 C 35 C 36 C 4 C 4 C 43 C 44 C 45 C 46 C 5 C 5 C 53 C 54 C 55 C 56 C 6 C 6 C 63 C 64 C 65 C 66 }{{}}{{} C ε ε ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ε 9/8

20 Fajlagos alakváltozási energia Anyagállandók mátrixa u(ε) = mely alapján ε 0 σdε = ε 0 σ i dε i = ε 0 ε i C ij dε j = ε i 0 ( ) d C ijε i ε j = C ijε i ε j = εt Cε u ε i = C ij ε j = σ i u ε i ε j = u ε j ε i C ij = σ i = σ j = C ji C mátrixa szimmetrikus ε j ε i azaz C = C T, így a független, rugalmassági állandók száma = db. Míg izotóp esetben az alábbi mátrixot kapjuk C = G ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν /8

21 Anyagállandók mátrixa Egy szimmetria-síkkal rendelkező anizotróp test (monoclinic materials) C = azaz 3 független rugalmassági állandó. C C C C 6 C C C C 6 C 3 C 3 C C C 44 C C 45 C 55 0 C 6 C 6 C C 66 ε = C σ = S σ S = {s ij } (i, j =,,..., 6) S = S T hajlékonysági mátrix fajlagos alakváltozási energia u = σt S σ C, S pozitív definit szimmetrikus mátrixok. ε k = u σ k x T C x 0 x T C x = 0 x = 0 /8

22 Alakváltozási energia 3 u = T : A = t ij a ij = (σxεx + σyεy + σzεz + τxyγxy + τxzγxz + τyzγyz) = i,j= [ G ε x + ε y + ε z + ( γ xy + γyz xz) ] + γ + G ν ν (εx + εy + εz) = { [ ( )] ( + ν) σ E x + σy + σ z + τxy + τ yz + τ xz ν (σx + σ y + σ } z) = u T + u V ahol az u T a térfogat-torzításhoz, míg az u V u T = + ν 6E a térfogat-változáshoz tartozik. U = u dv = W = q u dv + p u da V V A [ ] (σx σ y) + (σ y σ z) + (σ z σ x) + 6(τxy + τyz + τxz), u V = ν 6E (σx + σy + σz) /8

23 Lineáris rugalmasságtan alapegyenletei a lehetséges peremfeltételek A = A u + A p V = A A u A p = {0} n = {n x, n y, n z } E, ν (G, ν) ÓØØ x z O A u y n V A p q p Izotróp rugalmas test. Kinematikai (geometriai) egyenlet A = ( u + u) E = 6 I = kinematikai (geometriai) peremfeltétel u( r) = v r A u. Egyensúlyi egyenlet T + q = 0 E = 3 I = 6 - statikai (feszültségi) peremfeltétel T n = p r A p 3. Anyagtörvény t ij = C ijkl a ij (σ i = C ij ε j ) E = 6 I = 0 I = = 5 E = = 5 3/8

24 Lamè-Navier egyenlet levezetése Az általános Hooke-törvény T = G ( A + ν ) ν A I A = ( T ν ) G + ν T I és a geometriai egyenlet alapján írható, hogy ν u u T = G( u + u ) + G u = ν + v y + w = εx + εy + εz = A I T = G u + G ( u) + G ν G ( u) = G u + ( u) ν ν melyből a Lamè-Navier egyenlet u + ν ( u) + q G = 0 a DPF [ T n = p G u( n) rot u n + ν u ] ν n = p r A p (Belátható a ( u) n = u( n) ( u n) alapján) 4/8

25 Lamè-Navier egyenlet levezetése Az előzőekben felírt Lamè-Navier egyenlet a rugalmasságtan első peremérték-feladata () A = A u ha az egész határoló felületen az elmozdulás-vektor adott () A = A p ha az egész határoló felületen a felületi terhelés adott, a megoldhatóság szükséges feltétele, hogy q dv + p da = 0 r q dv + r p da = 0 V A V A legyen (3) Az A felület A u peremszakaszán az elmozdulás az A p peremszakaszán pedig a felületi terhelés adott A p, A u { } (4) ha nincs térfogati terhelés akkor A I harmonikus függvény ( A I = 0) A I = u A I + ν ( ν)g q = q 0 u ( q)+ ( ν)g G u = 0 ( u = v = w = 0) u biharmónikus vektor! = 0 5/8

26 A Lamè-Navier egyenlet felírása DDRK-ben u = u e x + v e y + w e z u = e x u + e y v + e z w u = u + v y + w q = q x e x + q y e y + q z e z u + ( u ν + v y + w v + ( u ν y + v y + w w + ( u ν + v y + w ) + qx G = 0 ) + qy G = 0 ) + qz G = 0 6/8

27 Beltrami-Michell-féle egyenlet felírása A I = ν G + ν T I ( u ) + ν A I + q G = 0 ( u) + ν A I + q G = 0 A + ν A I + G ( q + q ) = 0 A = ( T νt ) I G + ν [ T ν G + ν T I + ] + ν T I + q + q = 0 ν G + ν T I + ν ( ν)g q = 0 + ν T I + q ν = 0 mely alapján a Beltrami-Michell egyenlet T + + ν T I + ν q + q + q = 0 ν A feszültségmező meghatározásához még fel kell használni az egyensúlyi egyenlet is. Részletes elemzéssel kimutatható, hogy a Beltrami-Michell hat egyenlete közül csak három független. 7/8

28 Kérdések?