Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső"

Átírás

1 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog.

2 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása.

3 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása.

4 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül.

5 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet.

6 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük.

7 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük. 6. Egy csúcsával felfele mutató gömbsüveg külső felületén lecsúszó kis korong mozgása.

8 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük. 6. Egy csúcsával felfele mutató gömbsüveg külső felületén lecsúszó kis korong mozgása. 7. A 3. példában a rúd helyett használhatunk kötelet.

9 Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük. 6. Egy csúcsával felfele mutató gömbsüveg külső felületén lecsúszó kis korong mozgása. 7. A 3. példában a rúd helyett használhatunk kötelet. 8. Vízszintes síkon guruló függőleges korong.

10 Kötések kényszererők. 1. példa: csak felület menti mozgás, meggátolja a részecske áthatolását a felületen az erő a felületre és a mozgás pályájára is merőleges irányú. A kényszerektől független erőket szabaderőknek nevezzük. m r = F + F, (1) ahol F a szabad- és F a kényszererőt jelenti. A fenti geometriai kényszert a megfelelő felület egyenlete határozza meg: típusú egyenlete határozza meg. ϕ x dx + ϕ y differenciál- vagy más néven Pfaff-alak ϕ(x, y, z) = 0 (2) ϕ dy + dz = ϕ dr = 0. (3) z

11 dr = (dx, dy, dz) lehetséges elmozdulás mivel kizárólag a kötéssel áll összefüggésben se a mozgásegyenletek se a kezdeti feltételek megszorításának nincs alávetve. A valós elmozdulása egy a végtelen sok lehetséges elmozdulások közül. (2) a ϕ(r) skalárfüggvény egy szintfelületét F = λ ϕ. (4) az elmozdulás, azaz a pálya, és a kényszererő ortogonális. A kényszererő által végzett munka a dr elmozdulás során dw = F dr = 0, azaz az időtől független kényszerek esetén fellépő kényszererők nem végeznek munkát. x, y, z koordináták illetve λ, időfüggését kell meghatároznunk. A (1) (3 egyenlet) és a (2) (1 egyenlet) azonos számú egyenletből meg is tehetjük.

12 2. példa: a görbét (hullámvasút vágánya vagy merev drót) nem hagyhatják el a rajtuk mozgó testek. Három dimenzióban görbe = két felület metszésvonala: ϕ 1 (x, y, z) = 0, ϕ 2 (x, y, z) = 0 (5) görbe két kényszer dr ortogonális mindkét függvény gradiensére ortogonális azok tetszőleges lineáris kombinációjára is. F = λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2. Öt ismeretlenre három koordináta, λ 1 és λ 2 a (1) és (5) révén azonos számú egyenlet jut.

13 3. példa: ϕ(x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2 ) (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 d 2 = 0 hat dimenzióba ágyazott öt dimenziós felület. (1) mozgásegyenletek (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2 ) hat dimenziós kiterjesztése: tekinthetők, ahol ( ) F = λ 12 ϕ(r 1, r 2 ), 12 =,,,,,. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 A kötés a részecskék felcserélésével szemben szimmetrikus az F első három illetve utolsó három komponense belső erők azonos nagyságúak és ellentétes irányításúak.

14 4. példa: az 1. példa általánosítása időtől függő kényszerekre. alakú míg Pfaff-alakja ϕ x dx + ϕ y (4) továbbra is érvényes dy + ϕ z ϕ(x, y, z, t) = 0 dz + ϕ t ϕ dt = ϕ dr + dt = 0. (6) t elmozdulás = felület menti összetevő (mint az időtől független esetben) + a felülettel való együttmozgásból adódó összetevő (6) kényszererő és az elmozdulás már nem ortogonálisak egymásra. időtől függő kényszerek esetén a kényszererők által végzett munka

15 elmozdulás = felület menti összetevő (mint az időtől független esetben) + a felülettel való együttmozgásból adódó összetevő (6) kényszererő és az elmozdulás már nem ortogonálisak egymásra. időtől függő kényszerek esetén a kényszererők által végzett munka nem nulla.

16 Virtuális elmozdulás. Virtuális munka δr, ún. virtuális elmozdulás vektor egy adott időpillanatban a kényszerrel kompatibilis végtelen kis elmozdulás. a rendszert egy másik, a kötés pillanatnyi állapotának megfelelő helyzetben képzeljük el végtelen nagy sebességgel történő elmozdulás (δt = 0). A virtuális munka. ϕ x δx + ϕ y Ha egy pontrendszer egyensúlyban van: ϕ δy + δz = ϕ δr = 0 (7) z δw = F δr = 0, (8) F i + F i = 0. δr i (9) i F i δr i = 0. (10) Virtuális munka elve Egy pontrendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a szabaderők munkája bármely virtuális elmozdulásnál nulla

17 (10) előnye: elkerüli a kényszererők kiszámítását. hátránya: virtuális elmozdulások bevezetése. Könnyen előálĺıthatók ha például δr i -k egymástól függetlenek az egyes F i erők eltűnnek. Általában a kényszerek kapcsolatot teremtenek a virtuális elmozdulások között δw = 0 F i = 0.

18 A kényszerek általános alakja N részecsk, s darab kötés. x 1, x 2,...x 3N koordináták : 3N j=1 a αj dx j + a α0 dt = 0, α = 1, s, (11) ahol a αj az összes koordináta és az idő ismert folytonos függvényei. Ha ezek valamely ϕ α (x 1, x 2,...x 3N, t) függvények parciális deriváltjai a kényszer holonom. tehát a holonom jelleg feltétele a 2 ϕ α x i x j = 2 ϕ α x j x i a αi x j = a αj x i Ha a holonom kényszerek nem függnek az időtől ( a α0 = 0, α = 1, s) a rendszer szkleronomnak Ellenkező esetben a rendszer reonomnak.

19 A virtuális δx j elmozdulásokra fennáll, hogy 3N j=1 és a megfelelő kényszerőkre, hogy F j = a αj δx j = 0, α = 1, s, s λ α a αj, j = 1, 3N α=1 az s darab λ α + 3N koordináta meghatározható a 3N mozgásegyenlet és s kötésből.

20 Szabadsági fokok Szabadon tömegpont helyzetét az x, y és z független koordinátával jellemezzük. N szabad részecske esetén 3N darab x 1, y 1, z 1,..., x N, y N, z N koordinátával. Egy asztallapon mozgo részecske leírásához két koordináta. A matematikai inga esetén egyetlen φ kitérési szög szükséges. Egy rendszer szabadsági foka alatt azon koordináták minimális számát értjük melyek egyértelműen jellemzik a rendszer állapotát.

21 Kényszer kapcsolat a koordináták között ezek már nem függetlenek. Például a ϕ(x, y, z) = 0 kényszer esetén egyenértékű z = z(x, y) elégséges két koordináta a kötés csökkentette egyel a szabadsági fokok számát az eredetileg háromdimenziós rendszerünk egy két dimenziós altérben mozog. Görbe esetén két kötés, azaz két egyenlet az y mint a z koordináták kiküszöbölhetők a mozgásegyenletekből és az x koordinátára kapott megoldásból a teljes háromdimenziós mozgás megadható a szabadsági fokok száma egy. Minden kötés eggyel csökkenti a szabadsági fokok számát. s darab kötésnek alávetett N részecskéből álló pontrendszer szabadsági fokainak a száma f = 3N s. (12)

22 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek.

23 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra.

24 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések

25 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések

26 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések (távolság az első részecskétől)

27 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések (távolság az első részecskétől) (távolság az első két részecskétől) i > (távolság korábbi három részecskétő

28 Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések (távolság az első részecskétől) (távolság az első két részecskétől) i > (távolság korábbi három részecskétő Összesen tehát s = (N 3) = 3N 6 kötésünk van. Következésképpen: Egy merev test szabadsági fokainak száma hat.

29 Általános koordináták A ϕ(x, y, z) = 0 implicit egyenlet általában nem írható át explicit formába, A kényszererők kiszámítása is bonyodalmas lenne. Egyenértékű parametrikus feĺırása a (holonom) kényszerfelületnek: q 1 és q 2 ún. általános koordináták. x = x(q 1, q 2 ) y = y(q 1, q 2 ) z = z(q 1, q 2 ).

30 R sugarú gömbfelületen való mozgás: ϕ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. q 1 = θ és q 2 = φ. koordinátatranszformáció + x = x(r, θ, φ) y = y(r, θ, φ) z = z(r, θ, φ). ψ(r, θ, φ) = r R = 0, tehát r = állandó. kikötés. A kényszer által tiltott sugárirányú mozgás merőleges a felületre.

31 R sugarú gömbfelületen való mozgás: ϕ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. q 1 = θ és q 2 = φ. koordinátatranszformáció + x = x(r, θ, φ) y = y(r, θ, φ) z = z(r, θ, φ). ψ(r, θ, φ) = r R = 0, tehát r = állandó. kikötés. A kényszer által tiltott sugárirányú mozgás merőleges a felületre. Nem minden holonom feltételre x 1, x 2,..., x 3N q 1, q 2,... q 3N transzformáció, melyben a k darab kötést megfelelő számú q koordináta állandósága biztosítja.

32 R sugarú gömbfelületen való mozgás: ϕ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. q 1 = θ és q 2 = φ. koordinátatranszformáció + x = x(r, θ, φ) y = y(r, θ, φ) z = z(r, θ, φ). ψ(r, θ, φ) = r R = 0, tehát r = állandó. kikötés. A kényszer által tiltott sugárirányú mozgás merőleges a felületre. Nem minden holonom feltételre x 1, x 2,..., x 3N q 1, q 2,... q 3N transzformáció, melyben a k darab kötést megfelelő számú q koordináta állandósága biztosítja. Ha a kötések nem holonómok, akkor a kötések még csak nem is vezetnek a koordináták számának csökkenéséhez.

33 Általános koordinátákat használunk, ha a dinamikáról feltételezzük, hogy valamely szimmetriát követ. Például ha izotróp a külső tér szférikus koordináták. Ebben az esetben a három koordináta egymástól függetlennek tekinthető.

34 Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) Jelölés: x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N.

35 Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: Jelölés: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N. Egy tetszőleges f (q, q, t) függvény idő szerinti teljes deriváltja: d f f (q, q, t) = q r + f q r + f dt q r q r t.

36 Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: Jelölés: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N. Egy tetszőleges f (q, q, t) függvény idő szerinti teljes deriváltja: Az f = f (q, t) sajátos esetben: d f f (q, q, t) = q r + f q r + f dt q r q r t. d f f (q, t) = q r + f dt q r t. (15)

37 Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: Jelölés: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N. Egy tetszőleges f (q, q, t) függvény idő szerinti teljes deriváltja: Az f = f (q, t) sajátos esetben: d f f (q, q, t) = q r + f q r + f dt q r q r t. d dt d f f (q, t) = q r + f dt q r t. (15) q s f (q, t) = d f (q, t) q s dt azaz a kétféle deriválás sorrendje felcserélhető.

38 (14) és (15) alapján a sebesség: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16)

39 (14) és (15) alapján a sebesség: A mozgási energia: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16) T = i m i 2 ẋ 2 i =

40 (14) és (15) alapján a sebesség: A mozgási energia: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16) T = i = i m i 2 ẋ 2 i = [ x i x i m i q r q s + 2 x i x i q r + q r q s t q r ( ) ] 2 xi t

41 (14) és (15) alapján a sebesség: A mozgási energia: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16) T = i m i 2 ẋ 2 i = [ x i x i m i q r q s + 2 x i x i q r + q r q s t q r = i = T 2 + T 1 + T 0, ( ) ] 2 xi t (17) ahol T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (18) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (19) T 0 = γ, nemnegatív fg. (20) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg.

42 T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg.

43 T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg. Időtől független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus az általános sebességekben.

44 T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg. Időtől független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus az általános sebességekben. Időtől függő koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia az általános sebességben kvadratikus tag mellett (T 2 ) egy lineáris tagot (T 1 ) és egy sebességtől független tagot (T 0 ) is tartalmaz.

45 T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg. Időtől független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus az általános sebességekben. Időtől függő koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia az általános sebességben kvadratikus tag mellett (T 2 ) egy lineáris tagot (T 1 ) és egy sebességtől független tagot (T 0 ) is tartalmaz. Koordinátatranszformáció esetén a kinetikus energia kifejezése az általános sebességek mellett az általános koordinátákat is tartalmazhatja.

46 A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre.

47 A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője.

48 A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője. ahol ṗ i tehetetlenségi erő F i + F i ṗ i = 0,

49 A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője. F i + F i ṗ i = 0, ahol ṗ i tehetetlenségi erő a dinamika második törvénye: egy testre ható erők eredője mindig nulla. F i δr i :

50 A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője. F i + F i ṗ i = 0, ahol ṗ i tehetetlenségi erő a dinamika második törvénye: egy testre ható erők eredője mindig nulla. F i δr i : (F i ṗ i )δr i = 0 (24) D Alembert elv. i

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,

Részletesebben

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

Az elméleti mechanika alapjai

Az elméleti mechanika alapjai Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Az elméleti mechanika newtoni alapjai Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 1. El szó 7 2. Newton törvényei

Részletesebben

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS

Részletesebben

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből 1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások

Flat rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások "Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.

Részletesebben

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

Mechanika. Kinematika

Mechanika. Kinematika Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat

Részletesebben

1. ábra. 24B-19 feladat

1. ábra. 24B-19 feladat . gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,

Részletesebben

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra . Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9. Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek

Részletesebben

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel 1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora

Részletesebben

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú

Részletesebben

Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika

Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós

Részletesebben

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test

Részletesebben

2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A

2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A Mechatronika alapjai 2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A elmozdulás erő nyomaték elmozdulás erő nyomaték Mechanizmusok Mechanizmus: általánosságban: A gép mechanikus elven működő részei Definíció: A

Részletesebben

Robotika. Kinematika. Magyar Attila

Robotika. Kinematika. Magyar Attila Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések . REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós

Részletesebben

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13. Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 017. február 13. A lejtő mint kényszer A lejtő egy ún. egyszerű gép. A következő problémában először a lejtőt rögzítjük, és egy m tömegű test súrlódás nélkül lecsúszik

Részletesebben

Irányításelmélet és technika I.

Irányításelmélet és technika I. Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010

Részletesebben

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés

Részletesebben

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció

Részletesebben

Egy mozgástani feladat

Egy mozgástani feladat 1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.

Részletesebben

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P

Részletesebben

Mechanika I-II. Példatár

Mechanika I-II. Példatár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Pere Balázs október 20.

Pere Balázs október 20. Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje? Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]

Részletesebben

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje? Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]

Részletesebben

Differenciálegyenletek december 13.

Differenciálegyenletek december 13. Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire

Részletesebben

Lagrange és Hamilton mechanika

Lagrange és Hamilton mechanika Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája

Részletesebben

1. Az előző előadás anyaga

1. Az előző előadás anyaga . Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton

Részletesebben

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2) 2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Szilárd testek rugalmassága

Szilárd testek rugalmassága Fizika villamosmérnököknek Szilárd testek rugalmassága Dr. Giczi Ferenc Széchenyi István Egyetem, Fizika és Kémia Tanszék Győr, Egyetem tér 1. 1 Deformálható testek (A merev test idealizált határeset.)

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Tartalomjegyzék. A mechanika elvei. A virtuális munka elve. A TételWiki wikiből 1 / 6

Tartalomjegyzék. A mechanika elvei. A virtuális munka elve. A TételWiki wikiből 1 / 6 1 / 6 A TételWiki wikiből Tartalomjegyzék 1 A mechanika elvei 2 A virtuális munka elve 3 d'alembert elv és a Lagrange-féle elsőfajú egyenletek 4 A Gauss-féle legkisebb kényszer 5 Általános koordináták

Részletesebben

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról 1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.

Részletesebben

Fizika feladatok - 2. gyakorlat

Fizika feladatok - 2. gyakorlat Fizika feladatok - 2. gyakorlat 2014. szeptember 18. 0.1. Feladat: Órai kidolgozásra: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel s 1 utat, második szakaszában

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Hajder Levente 2017/2018. II. félév

Hajder Levente 2017/2018. II. félév Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer

Részletesebben

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 3. GÉPEK MECHANIKAI FOLYAMATAI 1. Definiálja a térbeli pont helyvektorát! r helyvektor előáll ortogonális (a 3 tengely egymásra merőleges) koordinátarendszer koordinátairányú

Részletesebben

1 2. Az anyagi pont kinematikája

1 2. Az anyagi pont kinematikája 1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni

Részletesebben

Serret-Frenet képletek

Serret-Frenet képletek Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor

Részletesebben

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport MECHANIKA I. 1. Definiálja a helyvektort! 2. Mondja meg mit értünk vonatkoztatási rendszeren! 3. Fogalmazza meg kinematikailag, hogy mikor

Részletesebben

X i = 0 F x + B x = 0. Y i = 0 A y F y + B y = 0. M A = 0 F y 3 + B y 7 = 0. B x = 200 N. B y =

X i = 0 F x + B x = 0. Y i = 0 A y F y + B y = 0. M A = 0 F y 3 + B y 7 = 0. B x = 200 N. B y = 1. feladat a = 3 m b = 4 m F = 400 N φ = 60 fok Első lépésként alkossuk meg a számítási modellt. A kényszereket helyettesítsük a bennük ébredő lehetséges erőkkel (második ábra). Az F erő felbontásával

Részletesebben

Végeselem analízis. 1. el adás

Végeselem analízis. 1. el adás Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet

Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet 2. előadás A rugalmas lemezelmélet alapfeltevései A lemez anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas (Hooke törvény); A terheletlen állapotban

Részletesebben

r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.

r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2. Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba

Részletesebben

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből 1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló

Részletesebben

Termodinamika (Hőtan)

Termodinamika (Hőtan) Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Mérések állítható hajlásszögű lejtőn

Mérések állítható hajlásszögű lejtőn A mérés célkitűzései: A lejtőn lévő testek egyensúlyának vizsgálata, erők komponensekre bontása. Eszközszükséglet: állítható hajlásszögű lejtő különböző fahasábok kiskocsi erőmérő 20 g-os súlyok 1. ábra

Részletesebben

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek Keresés (http://wwwtankonyvtarhu/hu) NVDA (http://wwwnvda-projectorg/) W3C (http://wwww3org/wai/intro/people-use-web/) A- (#) A (#) A+ (#) (#) English (/en/tartalom/tamop425/0027_fiz2/ch01s03html) Kapcsolat

Részletesebben

Merev testek kinematikája

Merev testek kinematikája Merev testek kinematikája Egy pontrendszert merev testnek tekintünk, ha bármely két pontjának távolsága állandó. (f=6, Euler) A merev test tetszőleges mozgása leírható elemi transzlációk és elemi rotációk

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Molekuláris dinamika I. 10. előadás

Molekuláris dinamika I. 10. előadás Molekuláris dinamika I. 10. előadás Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok,

Részletesebben

mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati

mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram

Részletesebben

Speciális relativitás

Speciális relativitás Fizika 1 előadás 2016. április 6. Speciális relativitás Relativisztikus kinematika Utolsó módosítás: 2016. április 4.. 1 Egy érdekesség: Fizeau-kísérlet A v sebességgel áramló n törésmutatójú folyadékban

Részletesebben

Mechanika - Versenyfeladatok

Mechanika - Versenyfeladatok Mechanika - Versenyfeladatok 1. A mellékelt ábrán látható egy jobbmenetű csavar és egy villáskulcs. A kulcsra ható F erővektor nyomatékot fejt ki a csavar forgatása céljából. Az erő támadópontja és az

Részletesebben

1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z

1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z 1. FELADATSOR 1-0: Írjuk le az R3 euklideszi tér Riemann-metrikáját az u, v, z koordináták használatával, ahol x = u + v, y = v + z, z = z. Megoldás. (L. Gy.) 1. változat: Az eredeti metrika a x, x x,

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

Rezgések és hullámok

Rezgések és hullámok Rezgések és hullámok A rezgőmozgás és jellemzői Tapasztalatok: Felfüggesztett rugóra nehezéket akasztunk és kitérítjük egyensúlyi helyzetéből. Satuba fogott vaslemezt megpendítjük. Ingaóra ingáján lévő

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően

Részletesebben

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK január 30.

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK január 30. Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 2017. január 30. Tapasztalatok az erővel kapcsolatban: elhajított kő, kilőtt nyílvessző, ásás, favágás Aristoteles: az erő a mozgás fenntartója Galilei: a mozgás

Részletesebben

Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid

Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.

a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus. 2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3

Részletesebben

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11

Részletesebben

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1) 3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)

Részletesebben

2 óra szeminárium, kedd 10 óra, 3/II terem. Elektronikus anyag: comodi.phys.ubbcluj.ro/elmeletifizika

2 óra szeminárium, kedd 10 óra, 3/II terem. Elektronikus anyag: comodi.phys.ubbcluj.ro/elmeletifizika Tematika: AZ ELMÉLETI FIZIKA ALAPJAI Kódszám: FLM1303 Kreditszám: 6 Órarend:3 óra előadás, hétfő 10 óra, 243A. terem 2 óra szeminárium, kedd 10 óra, 3/II terem Oktató: Lázár Zsolt József adjunktus főépület

Részletesebben

6. A Lagrange-formalizmus

6. A Lagrange-formalizmus Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 6. rész 1 6. A Lagrange-formalizmus A Lagrange-formalizmus alkalmazásával bizonyos fizikai rendszerek mozgásegyenleteit írhatjuk fel egyszerű módon. Az alapvető

Részletesebben

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi

Részletesebben

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség.

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség. Ha az erő és az elmozdulás egymásra merőleges, akkor fizikai értelemben nem történik munkavégzés. Pl.: ha egy táskát függőlegesen tartunk, és úgy sétálunk, akkor sem a tartóerő, sem a nehézségi erő nem

Részletesebben

Vontatás III. A feladat

Vontatás III. A feladat Vontatás III Ebben a részben ázoljuk a ontatási feladat egy lehetséges numerikus megoldási módját Ezt az I részben ismertetett alapegyenletre építjük fel Itt az egy ontatott kerékpár esetét izsgáljuk feladat

Részletesebben