A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

Átírás

1 A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v / 26

2 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26

3 Bevezetés alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk. 3 / 26

4 Bevezetés alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk. alapit Isaac Newton fedezte fel az 1600-as évek végén. Természetesen alapozott sokak munkájára, de nála állt össze egy rendszerré a mechanika. 3 / 26

5 Bevezetés alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk. alapit Isaac Newton fedezte fel az 1600-as évek végén. Természetesen alapozott sokak munkájára, de nála állt össze egy rendszerré a mechanika. A mechanika alapi azóta is a Newton-k, melyeket a következőkben tárgyalunk. (Newton nem pontosan ebben a formában mondta ki őket, de mindezek benn vannak műveiben.) 3 / 26

6 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. 4 / 26

7 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. 4 / 26

8 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. 4 / 26

9 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! 4 / 26

10 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! Sok rossz megfogalmazása létezik Newton I. törvényének! Általában elfelejtik megjegyezni, hogy ez csak bizonyos rendszerekben teljesül. 4 / 26

11 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! Sok rossz megfogalmazása létezik Newton I. törvényének! Általában elfelejtik megjegyezni, hogy ez csak bizonyos rendszerekben teljesül. Newton többi csak inerciarendszerben teljesül! 4 / 26

12 Newton II. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemezhető egy F úgynevezett erőfüggvénnyel, ami csak a test tömegétől, helyétől sebességétől és az időponttól függ, úgy, hogy ahol a a test gyorsulása. F = m a 5 / 26

13 Newton II. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemezhető egy F úgynevezett erőfüggvénnyel, ami csak a test tömegétől, helyétől sebességétől és az időponttól függ, úgy, hogy ahol a a test gyorsulása. F = m a Newton szerint tehát a testek tömege állandó, független a test mozgásától és attól, milyen kölcsönhatásban vesz részt a test. 5 / 26

14 Newton II. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemezhető egy F úgynevezett erőfüggvénnyel, ami csak a test tömegétől, helyétől sebességétől és az időponttól függ, úgy, hogy ahol a a test gyorsulása. F = m a Newton szerint tehát a testek tömege állandó, független a test mozgásától és attól, milyen kölcsönhatásban vesz részt a test. Másik elrejtett feltételezés, hogy a kölcsönhatások előre meghatározott módon mennek végbe, azaz az erő mindig ugyanaz, ha azonos körülmények közt megismétlek egy kísérletet. 5 / 26

15 ... alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. 6 / 26

16 ... alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás... ) 6 / 26

17 ... alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás... ) Newton II. törvényének jelentősége: Ha egy kölcsönhatás erőtörvényét egyszer megállapítom, és egy test tömegét lemérem, akkor Newton II. alapján megkapom a gyorsulást. Ebből a kinematika módszereivel a teljes mozgás visszakapható. 6 / 26

18 ... alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás... ) Newton II. törvényének jelentősége: Ha egy kölcsönhatás erőtörvényét egyszer megállapítom, és egy test tömegét lemérem, akkor Newton II. alapján megkapom a gyorsulást. Ebből a kinematika módszereivel a teljes mozgás visszakapható. Sok, korábban megmagyarázhatatlan dologra derült fény. (Bolygók mozgása, lövedék röppálya, gépek tervezési kérdései, stb.) 6 / 26

19 Newton III. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha csak két test van egymással kölcsönhatásban, akkor ha az egyikre F 1 erő hat, akkor a másikra ható erő F 2 = F 1. 7 / 26

20 Newton III. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha csak két test van egymással kölcsönhatásban, akkor ha az egyikre F 1 erő hat, akkor a másikra ható erő F 2 = F 1. Szokás ezt hatás-ellenhatás törvényének is nevezni. F 1 replacements F 2 = F 1 Sfrag 7 / 26

21 Newton IV. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha egy testre több másik is hat egyszerre, akkor a test úgy mozog, mintha olyan kölcsönhatásban szerepelne, melynek ereje a különkülön kölcsönhatások erőinek vektori összege. 8 / 26

22 Newton IV. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha egy testre több másik is hat egyszerre, akkor a test úgy mozog, mintha olyan kölcsönhatásban szerepelne, melynek ereje a különkülön kölcsönhatások erőinek vektori összege. Az erők tehát egymástól függetlenül hatnak, hatásuk egyszerű matematikai művelettel összegezhető. F + F 1 2 F 1 F 2 8 / 26

23 ... alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Több kölcsönhatás esetére Newton II. törvényét szokás az alábbi alakok valamelyikében felírni: F 1 + F F n = m a n F i = F eredő = ma i=1 9 / 26

24 alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma 10 / 26

25 2 kölcsönható test esete alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. 11 / 26

26 2 kölcsönható test esete alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. Newton III. szerint a rájuk ható erők: F 1 = F 2 11 / 26

27 2 kölcsönható test esete alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. Newton III. szerint a rájuk ható erők: Egy igen kicsi t-re: F 1 = F 2 F 1 = m 1 v 1 t 11 / 26

28 2 kölcsönható test esete alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. Newton III. szerint a rájuk ható erők: Egy igen kicsi t-re: F 1 = F 2 F 1 = m 1 v 1 t Hasonló összefüggés igaz a második testre is. Ezért: m 1 v 1 t = m 2 v 2 t 11 / 26

29 2 kölcsönható test esete alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. Newton III. szerint a rájuk ható erők: Egy igen kicsi t-re: F 1 = F 2 F 1 = m 1 v 1 t Hasonló összefüggés igaz a második testre is. Ezért: m 1 v 1 t = m 2 v 2 t Innét: m 1 v 1 + m 2 v 2 = 0 11 / 26

30 ... alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Mivel a tömegek állandóak, ezért nyilvánvalóan (m 1 v 1 ) + (m 2 v 2 ) = 0 (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) = 0 12 / 26

31 ... alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Mivel a tömegek állandóak, ezért nyilvánvalóan (m 1 v 1 ) + (m 2 v 2 ) = 0 (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) = 0 azaz m 1 v 1 + m 2 v 2 = állandó 12 / 26

32 ... alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Mivel a tömegek állandóak, ezért nyilvánvalóan (m 1 v 1 ) + (m 2 v 2 ) = 0 (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) = 0 azaz m 1 v 1 + m 2 v 2 = állandó Az mv mennyiségek összege tehát állandó, ezért ez fontos mennyiség lehet, hisz minden körülmények közt megmarad. 12 / 26

33 a lendület fogalma alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Célszerű tehát elnevezni valaminek a tömeg és a sebesség szorzatát: Egy m tömegű, v sebességű test lendületének (vagy impulzusának) nevezzük a p = mv mennyiséget. 13 / 26

34 a lendület fogalma alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Célszerű tehát elnevezni valaminek a tömeg és a sebesség szorzatát: Egy m tömegű, v sebességű test lendületének (vagy impulzusának) nevezzük a p = mv mennyiséget. Nemcsak 2, hanem n testre is bizonyítható, hogyha zárt rendszert alkotnak, összlendületük állandó: n i=1 m i v i = n p i = áll. i=1 13 / 26

35 a lendület fogalma alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Célszerű tehát elnevezni valaminek a tömeg és a sebesség szorzatát: Egy m tömegű, v sebességű test lendületének (vagy impulzusának) nevezzük a p = mv mennyiséget. Nemcsak 2, hanem n testre is bizonyítható, hogyha zárt rendszert alkotnak, összlendületük állandó: n m i v i = n p i = áll. i=1 i=1 Könnyen bebizonyítható, hogy a lendület idő szerinti deriváltja az erő: dp dt = F 13 / 26

36 alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 14 / 26

37 a munka alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r 15 / 26

38 a munka alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r Itt a F r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli. 15 / 26

39 a munka alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r Itt a F r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli. A munka ilyen értelmezése mellett az alábbi alapvető dolgokat érdemes megjegyezni: W = 0, ha F és r merőlegesek. Tehát ha az erő és az elmozdulás merőlegesek egymásra, nincs munkavégzés. 15 / 26

40 a munka alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r Itt a F r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli. A munka ilyen értelmezése mellett az alábbi alapvető dolgokat érdemes megjegyezni: W = 0, ha F és r merőlegesek. Tehát ha az erő és az elmozdulás merőlegesek egymásra, nincs munkavégzés. W < 0, ha F és r szöge tompaszög. Ezt úgy is szokták mondani, hogy a test végez munkát azon a testen, ami hat rá. 15 / 26

41 a munkavégzés másik alakja alapi Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 16 / 26

42 a munkavégzés másik alakja alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, hogy kellően rövid idő alatt a mozgás paraméterei állandónak vehetők. 16 / 26

43 a munkavégzés másik alakja alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, hogy kellően rövid idő alatt a mozgás paraméterei állandónak vehetők. Ilyenkor a helyett formálisan d-t írunk. Azaz a munkavégzés egy kis elemi idő alatt: dw = F dr 16 / 26

44 a munkavégzés másik alakja alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, hogy kellően rövid idő alatt a mozgás paraméterei állandónak vehetők. Ilyenkor a helyett formálisan d-t írunk. Azaz a munkavégzés egy kis elemi idő alatt: dw = F dr (Most nem törődünk a nagyon precíz matematikai megfogalmazással.) 16 / 26

45 a mozgási energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munka előző definícióját osszuk el formálisan egy elemi időintervallum hosszával: dw dt = F dr dt 17 / 26

46 a mozgási energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munka előző definícióját osszuk el formálisan egy elemi időintervallum hosszával: dw dt = F dr dt Vegyük észre a bal oldalon a sebesség felbukkanását: dw dt = F v 17 / 26

47 a mozgási energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munka előző definícióját osszuk el formálisan egy elemi időintervallum hosszával: dw dt = F dr dt Vegyük észre a bal oldalon a sebesség felbukkanását: dw dt = F v Newton II. szerint F = m a = m (dv/dr), ezért: dw dt = m dv dt v illetve a rövidebb alakot használva a deriválásra: W = m v v 17 / 26

48 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( 1 2 v2 ) = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v 18 / 26

49 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( ) 1 2 v2 = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v Ezt beírva az előző összefüggésbe: W = m v v = 1 2 m ( v 2) 18 / 26

50 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( ) 1 2 v2 = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v Ezt beírva az előző összefüggésbe: W = m v v = 1 2 m ( v 2) Kihasználva, hogy a tömeg és az 1/2-es szorzó állandó: W = ( ) 1 2 mv2 18 / 26

51 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( ) 1 2 v2 = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v Ezt beírva az előző összefüggésbe: W = m v v = 1 2 m ( v 2) Kihasználva, hogy a tömeg és az 1/2-es szorzó állandó: W = ( ) 1 2 mv2 Bármilyen mozgás esetén tehát a munka időegység alatti megváltozása megegyezik az (1/2)mv 2 mennyiség változásával. 18 / 26

52 a mozgási energia definíciója alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munka és az (1/2)mv 2 mennyiség tehát egyforma módon változik, de utóbbit pontról pontra meg lehet határozni, a munkát viszont csak a pálya és az a mentén ható erők folytonos nyomon követésével. 19 / 26

53 a mozgási energia definíciója alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munka és az (1/2)mv 2 mennyiség tehát egyforma módon változik, de utóbbit pontról pontra meg lehet határozni, a munkát viszont csak a pálya és az a mentén ható erők folytonos nyomon követésével. Ezért az E m = (1/2)mv 2 mennyiség megérdemli, hogy nevet kapjon: mozgási energia. 19 / 26

54 a munkatétel alapi Mivel a fentiek szerint minden időpontban W = E m, ezért a munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W 0 ) térhet el egymástól: a munka a munkavégzés másik alakja W = E m + W 0 definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 20 / 26

55 a munkatétel alapi Mivel a fentiek szerint minden időpontban W = E m, ezért a munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W 0 ) térhet el egymástól: a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák W = E m + W 0 Kellemetlen, hogy az ismeretlen W 0 állandó felbukkant. Ezért ezt az összefüggést írjuk fel két időpont között és vonjuk ki egymásból: W (t 2 ) W (t 1 ) = E m (t 2 ) E m (t 1 ) 20 / 26

56 a munkatétel alapi Mivel a fentiek szerint minden időpontban W = E m, ezért a munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W 0 ) térhet el egymástól: a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák W = E m + W 0 Kellemetlen, hogy az ismeretlen W 0 állandó felbukkant. Ezért ezt az összefüggést írjuk fel két időpont között és vonjuk ki egymásból: W (t 2 ) W (t 1 ) = E m (t 2 ) E m (t 1 ) W (t 2 ) W (t 1 ) nyilván a testen a t 1 és t 2 közt végzett munka. Beírva a mozgási energia formuláját a munkatételt kapjuk: W 2,1 = 1 2 mv mv / 26

57 a potenciális energia alapi A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 21 / 26

58 a potenciális energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) 21 / 26

59 a potenciális energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. 21 / 26

60 a potenciális energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. Egy erőt potenciállal rendelkezőnek nevezünk, ha az általa végzett munka csak a kezdő- és végponttól függ. 21 / 26

61 a potenciális energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. Egy erőt potenciállal rendelkezőnek nevezünk, ha az általa végzett munka csak a kezdő- és végponttól függ. Ilyen pl. a gravitációs erő, a nyugvó töltésekből származó erő, a rugalmas alakváltozásokkor fellépő erők. 21 / 26

62 a potenciális energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. Egy erőt potenciállal rendelkezőnek nevezünk, ha az általa végzett munka csak a kezdő- és végponttól függ. Ilyen pl. a gravitációs erő, a nyugvó töltésekből származó erő, a rugalmas alakváltozásokkor fellépő erők. Nem ilyen a súrlódási és közegellenállási erő. 21 / 26

63 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) 22 / 26

64 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy potenciálos erő esetén tetszőleges két pont közt: V (r 1 ) mv2 1 = V (r 2) mv / 26

65 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy potenciálos erő esetén tetszőleges két pont közt: V (r 1 ) mv2 1 = V (r 2) mv2 2 azaz a potenciál és a mozgási energia összege állandó. Ezért V -t szokás potenciális energiának is nevezni. 22 / 26

66 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy potenciálos erő esetén tetszőleges két pont közt: V (r 1 ) mv2 1 = V (r 2) mv2 2 azaz a potenciál és a mozgási energia összege állandó. Ezért V -t szokás potenciális energiának is nevezni. Fontos újra megjegyezni, hogy nem minden erő rendelkezik potenciális energiával, így a mozgási- és potenciális energiák összege nem mindig állandó. 22 / 26

67 a potenciál és az erő kapcsolata alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz 23 / 26

68 a potenciál és az erő kapcsolata alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz Ez az egyenlet lehetővé teszi a potenciál ismeretében az erő kiszámítását. 23 / 26

69 a potenciál és az erő kapcsolata alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz Ez az egyenlet lehetővé teszi a potenciál ismeretében az erő kiszámítását. Sajnos, a fordított irány bonyolultabb, tehát egy tetszőleges F (r) erőfüggvény esetén eldönteni, van-e potenciálja és ha igen, az mi: magasabb matematikai ismereteket igényel. 23 / 26

70 a potenciál és az erő kapcsolata alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz Ez az egyenlet lehetővé teszi a potenciál ismeretében az erő kiszámítását. Sajnos, a fordított irány bonyolultabb, tehát egy tetszőleges F (r) erőfüggvény esetén eldönteni, van-e potenciálja és ha igen, az mi: magasabb matematikai ismereteket igényel. Egyszerűbb esetekben azonban találgatással is jó eredményt érhetünk el. 23 / 26

71 példák alapi 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 24 / 26

72 példák alapi 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 24 / 26

73 példák alapi 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák F z = d(mgz) dz = mg 24 / 26

74 példák alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. a munkatétel a potenciális energia példák 24 / 26

75 példák alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. Ez a Föld felszín közelében a gravitációs erőtér esete. 2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx / 26

76 példák alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. Ez a Föld felszín közelében a gravitációs erőtér esete. 2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx 2. F x = Dx 24 / 26

77 példák alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. Ez a Föld felszín közelében a gravitációs erőtér esete. 2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx 2. Ez a rugón rezgő test esete. F x = Dx 24 / 26

78 alapi a newtoni mechanika 25 / 26

79 a newtoni mechanika alapi nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) a newtoni mechanika 26 / 26

80 a newtoni mechanika alapi nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. a newtoni mechanika 26 / 26

81 a newtoni mechanika alapi a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) 26 / 26

82 a newtoni mechanika alapi a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) 26 / 26

83 a newtoni mechanika alapi a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.) 26 / 26

84 a newtoni mechanika alapi a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.) Ezekkel később röviden találkozni fogunk. 26 / 26

85 a newtoni mechanika alapi a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.) Ezekkel később röviden találkozni fogunk. A mindennapokban a newtoni mechanika pontatlansága kimérhetetlenül kicsi, ezért többnyire bátran alkalmazhatjuk. 26 / 26